Puteri cu exponent rațional: definiție și condiții (M2, științe ale naturii)

Încălzită în absența aerului, acetaldehida se descompune în metan și monoxid de carbon, iar măsurătorile arată ceva neobișnuit: viteza reacției este proporțională cu concentrația ridicată la puterea $\frac{3}{2}$. Când concentrația se dublează, viteza nu se dublează și nici nu se înmulțește cu patru, ci cu un număr aflat între ele. Ca să-l calculezi, trebuie să știi ce înseamnă un exponent care este o fracție. În clasa a X-a, la științe ale naturii (M2), exponentul fracționar se definește prin radicali, pentru orice ordin, iar lecția arată când are sens scrierea și cum treci dintr-o formă în alta. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, programa probei MAT_P2 din 2030 nu conține puterile cu exponent rațional; radicalii de ordin 2 și 3 rămân în domeniul „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține proprietățile puterilor cu exponent rațional.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: puterea cu exponent rațional e cerută de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși nu mai apare în programa nouă a clasei a X-a (Anexa 28). Pornim de la ce ai deja: exponenții $\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{3}$ au fost fixați în lecția M2 despre funcția exponențială, unde $a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}$ și $a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a}$, iar radicalii de ordin 2 și 3 au fost lucrați în lecția M2 despre proprietățile radicalilor. Puterile cu exponent întreg vin din clasa a IX-a, din pagina M2 a funcției putere cu exponent întreg. Aici nu le reluăm, ci le ducem mai departe, la orice numitor.

Ce vei învăța

• Vei ști să citești $a^{\frac{1}{n}}$ pentru orice ordin $n\ge 2$, nu doar pentru jumătăți și treimi.
• Vei ști definiția puterii $a^{\frac{m}{n}}$ cu toate condițiile ei și motivul pentru care baza se cere strict pozitivă.
• Vei ști să alegi drumul scurt de calcul: întâi radicalul, apoi ridicarea la putere.
• Vei ști să treci dintr-o scriere în alta, inclusiv atunci când exponentul este un număr zecimal, ca $0,75$ sau $1,5$.
• Vei ști să decizi dacă o scriere ca putere are sens, chiar când baza conține radicali.
• Vei ști să folosești o lege de putere din chimie sau fizică și să verifici un rezultat fără calculator.

Hai să descoperim împreună

1. Cum extinzi la orice numitor ce știi pentru $\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{3}$?

În lecția despre funcția exponențială ai văzut de ce $a^{\frac{1}{2}}$ trebuie să fie $\sqrt{a}$: cerem ca înmulțirea exponenților, la puterea unei puteri, să funcționeze și pentru exponenți fracționari. Același argument merge pentru orice numitor. Dacă $n\ge 2$ este un număr natural, pătratul de mai devreme se înlocuiește cu puterea a $n$-a: ${\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^n$ ar trebui să fie $a^1=a$. Singurul număr pozitiv cu această proprietate este radicalul de ordin $n$, deci $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$. La ordin par există și un număr negativ a cărui putere a $n$-a este $a$, dar îl lăsăm deoparte, la fel cum s-a ales rădăcina pozitivă pentru exponentul $\frac{1}{2}$: vrem ca toate puterile unei baze pozitive să fie pozitive. La ordin impar, alegerea nici nu se pune, pentru că numărul căutat este unul singur.

Puterea cu exponent rațional $a^{\frac{m}{n}}$ a unui număr real $a>0$ este numărul $\sqrt[n]{a^m}$, unde exponentul are numărătorul $m\in \mathbb{Z}$ și numitorul $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 2$. Altfel spus, căutăm numărul pozitiv a cărui putere de ordinul $n$ este $a^m$.

Numitorul fracției dă ordinul radicalului, iar numărătorul dă puterea la care se ridică baza. De exemplu, $128^{\frac{3}{7}}$ cere radicalul de ordinul șapte: $\sqrt[7]{128}=2$, pentru că $2^7=128$, iar apoi cubul: $2^3=8$. Definiția spune și ce fel de număr obții: un radical dintr-un număr pozitiv este pozitiv, deci o bază pozitivă, ridicată la un exponent rațional, dă mereu un rezultat strict pozitiv, oricât de mic sau de negativ ar fi exponentul.

Când exponentul este întreg, definiția nu schimbă nimic: fracția se scrie cu numitorul $1$ și regăsești puterile din clasa a IX-a.

2. Care drum e mai scurt: întâi radicalul sau întâi puterea?

Numărul $\sqrt[n]{a^m}$ se poate calcula și pe drumul invers, ${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m$. Cele două scrieri dau același rezultat. Motivul este scurt: ambele numere sunt pozitive, iar puterea a $n$-a a celui de-al doilea este ${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^{mn}={\left({\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n\right)}^m=a^m$, exact ca a primului. Un număr pozitiv este hotărât complet de puterea lui a $n$-a, deci cele două coincid.

Diferența dintre drumuri se vede la calcul. Pentru $2401^{\frac{3}{4}}$, drumul „întâi puterea” cere $2401^3=13841287201$ și apoi un radical de ordinul patru dintr-un număr cu unsprezece cifre. Drumul „întâi radicalul” cere doar să recunoști că $2401=7^4$: $\sqrt[4]{2401}=7$ și $7^3=343$. Schema din figura A pune alături cele două drumuri.

Regula practică: descompui baza în factori primi, extragi radicalul, apoi ridici la putere. Dacă baza nu este o putere exactă, drumul scurt nu mai dă un număr întreg, dar rămâne cel mai comod pentru o estimare.

3. Ce regulă de calcul cade dacă admiți baza $-4$?

Definiția cere $a>0$, iar condiția are un motiv precis: fără ea, regulile de calcul care au dus la definiție nu mai sunt adevărate. Uită-te la regula puterii unei puteri aplicată bazei $-4$. Pe de o parte, ${\left((-4{)}^2\right)}^{\frac{1}{2}}=16^{\frac{1}{2}}=4$. Pe de altă parte, dacă am înmulți exponenții, am obține $(-4{)}^{2\cdot \frac{1}{2}}=(-4{)}^1=-4$. Același calcul ar da două rezultate diferite, deci o bază negativă nu poate intra în regula pe care am construit totul.

Mai e o problemă: la numitor par, pentru o bază negativă nici nu există un număr real potrivit. Un radical de ordin impar dintr-un număr negativ, cum ai lucrat la ordinul trei, are însă sens ca radical; ceea ce nu se face este scrierea lor ca puteri cu exponent fracționar. Programa de examen formulează tema exact așa: proprietățile puterilor cu exponent rațional „ale unui număr pozitiv nenul”.

4. Aceeași fracție scrisă altfel, același număr

Un număr rațional are multe scrieri: $\frac{3}{4}$, $\frac{6}{8}$ și $0,75$ sunt același număr. Ar fi grav dacă puterea ar depinde de scriere. Nu depinde: pentru $a>0$ și $k\ge 1$ natural, $\sqrt[kn]{a^{km}}=\sqrt[n]{a^m}$. Ridică ambele numere la puterea $kn$: primul dă $a^{km}$, al doilea dă ${\left(a^m\right)}^k=a^{km}$. Sunt pozitive și au aceeași putere de ordinul $kn$, deci sunt egale.

Pe un exemplu: $625^{\frac{3}{4}}={\left(\sqrt[4]{625}\right)}^3=5^3=125$, iar $625^{\frac{6}{8}}=\sqrt[8]{625^6}=\sqrt[8]{5^{24}}=5^3=125$. Același rezultat, pe două căi. Pentru științe, consecința cea mai utilă este legată de exponenții zecimali. Un calculator, o foaie de calcul sau un articol de specialitate scriu exponentul ca zecimală: $0,75$, $1,5$, $0,4$. Ca să lucrezi exact, transformi zecimala în fracție ireductibilă: $0,75=\frac{3}{4}$, $1,5=\frac{3}{2}$, $0,4=\frac{2}{5}$, $1,25=\frac{5}{4}$. Ordinul radicalului se citește abia după simplificare. Atenție la exponenții care nu au scriere zecimală finită: $\frac{1}{3}$ devine în foaia de calcul $0,3333$, iar rezultatul afișat este doar o aproximare a puterii exacte. Când vrei o valoare exactă, păstrezi fracția și lucrezi cu radicalul; zecimala e bună pentru o estimare, nu pentru o egalitate.

5. Exponentul negativ și baza zero

Pentru exponenți negativi, definiția păstrează sensul pe care îl știi din clasa a IX-a: $a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$. Minusul din exponent trimite la inversul puterii, iar rezultatul rămâne pozitiv. De exemplu, $6^{-\frac{2}{5}}=\frac{1}{\sqrt[5]{36}}$: un număr pozitiv, puțin sub $\frac{1}{2}$.

Baza $0$ este un caz separat, fiindcă definiția a cerut $a>0$. Se convine ca $0^r=0$ pentru orice exponent rațional $r>0$: de pildă $0^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{0^2}=0$. Pentru $r\le 0$ scrierea nu are sens, pentru că $0^{-\frac{1}{3}}$ ar însemna împărțirea la $\sqrt[3]{0}=0$. Baza $1$ este singura care dă mereu același rezultat: $1$, pentru orice exponent.

6. Cum se citește o lege de putere din științe?

O lege de putere are forma $y=k\cdot x^p$, cu $k$ o constantă pozitivă și $p$ un exponent, uneori fracționar, stabilit din măsurători. Pentru descompunerea acetaldehidei, $v=k\cdot c^{\frac{3}{2}}$: viteza $v$ se măsoară în moli pe litru și pe secundă, iar concentrația $c$ în moli pe litru.

Ideea de lucru este raportul. Dacă $c$ se înmulțește cu un factor $\lambda >0$, atunci $v$ se înmulțește cu ${\lambda }^{\frac{3}{2}}$, iar constanta $k$ nu mai contează. Pentru $\lambda =25$, factorul vitezei este $25^{\frac{3}{2}}={\left(\sqrt{25}\right)}^3=125$. Observă cum crește viteza: mult mai repede decât concentrația, dar mai încet decât pătratul ei, care ar fi fost $625$. Factorul se calculează cu definiția din secțiunea 1, iar unitatea de măsură nu intervine, pentru că într-un raport ea se simplifică.

Un model de acest fel e valabil într-un domeniu anume. Ordinul $\frac{3}{2}$ al acestei reacții s-a măsurat în fază gazoasă, la temperatură constantă și pentru un interval de concentrații. În afara acelui domeniu, legea poate să nu mai descrie ce se întâmplă. Ordinul fracționar nu se citește din ecuația chimică: el arată că reacția trece prin mai multe etape intermediare, iar exponentul se află din măsurători, comparând viteze obținute la concentrații diferite. Tocmai de aceea în tabelele de date el apare ca număr zecimal, $1,5$, și trebuie transformat în fracție înainte de calcul.

7. Controlul prin ridicare la putere

O egalitate de forma $a^{\frac{m}{n}}=b$, cu $a$ și $b$ pozitive, se verifică fără calculator: ridici ambii membri la puterea $n$ și compari $a^m$ cu $b^n$. Pentru $3125^{\frac{2}{5}}=25$, compari $3125^2$ cu $25^5$. Amândouă sunt $5^{10}=9765625$, deci egalitatea este adevărată.

Controlul acesta nu cere să știi radicalul dinainte și prinde repede greșelile de ordin: dacă cineva ar fi scris „$3125^{\frac{2}{5}}=125$”, ar fi trebuit ca $125^5=5^{15}$ să fie egal cu $3125^2=5^{10}$, ceea ce nu se întâmplă. Pentru baze care sunt puteri ale aceluiași număr prim, calculul se face direct pe exponenți.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Trei valori pe drumul scurt

Calculați exact: a) $343^{\frac{2}{3}}$; b) $1024^{-\frac{2}{5}}$; c) ${\left(\frac{27}{125}\right)}^{-\frac{4}{3}}$.

Rezolvare. a) $343=7^3$, deci $\sqrt[3]{343}=7$ și $343^{\frac{2}{3}}=7^2=49$.

b) $1024=2^{10}$, deci $\sqrt[5]{1024}=4$ și $1024^{\frac{2}{5}}=4^2=16$. Minusul din exponent dă inversul: $1024^{-\frac{2}{5}}=\frac{1}{16}$.

c) Exponentul negativ răstoarnă fracția: ${\left(\frac{27}{125}\right)}^{-\frac{4}{3}}={\left(\frac{125}{27}\right)}^{\frac{4}{3}}$. Radicalul de ordinul trei al fracției este $\frac{5}{3}$, iar puterea a patra dă $\frac{625}{81}$. Control: ${\left(\frac{625}{81}\right)}^3=\frac{5^{12}}{3^{12}}$ și ${\left(\frac{125}{27}\right)}^4=\frac{5^{12}}{3^{12}}$.

Exemplul 2 — Exponentul zecimal din foaia de calcul

O foaie de calcul afișează formulele $243^{0,6}$ și $0,0001^{0,75}$. a) Calculați exact cele două numere. b) Scrieți $\sqrt[5]{a^2}$, pentru $a>0$, ca putere cu exponent zecimal.

Rezolvare. a) $0,6=\frac{3}{5}$ și $243=3^5$, deci $243^{0,6}={\left(\sqrt[5]{243}\right)}^3=3^3=27$. Apoi $0,75=\frac{3}{4}$ și $0,0001=10^{-4}$, deci $\sqrt[4]{0,0001}=0,1$ și $0,0001^{0,75}=0,1^3=0,001$.

b) $\sqrt[5]{a^2}=a^{\frac{2}{5}}=a^{0,4}$. Drumul invers, de la zecimală la fracție, este cel folosit la punctul a): zecimala se transformă în fracție ireductibilă, iar numitorul devine ordinul radicalului.

Exemplul 3 — Găsește greșeala: calculatorul fără paranteze

Un elev vrea să calculeze $49^{\frac{3}{2}}$ și $49^{-\frac{1}{2}}$. Tastează 49^3/2 și obține $58824,5$, apoi 49^-1/2 și obține aproximativ $0,0102$. Unde greșește și care sunt valorile corecte?

Rezolvare. Calculatorul respectă ordinea operațiilor: ridicarea la putere se face înaintea împărțirii. Primul rând a fost citit ca $\frac{49^3}{2}=\frac{117649}{2}=58824,5$, iar al doilea ca $\frac{49^{-1}}{2}=\frac{1}{98}\approx 0,0102$. Exponentul fracționar trebuie pus între paranteze: 49^(3/2) și 49^(-1/2).

Valorile corecte: $49^{\frac{3}{2}}={\left(\sqrt{49}\right)}^3=7^3=343$ și $49^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{49}}=\frac{1}{7}\approx 0,1429$. O estimare le-ar fi prins pe amândouă: $49^{\frac{3}{2}}$ este cuprins între $49$ și $49^2=2401$, deci nu poate avea cinci cifre, iar $49^{-\frac{1}{2}}$ este inversul unui număr de o cifră.

Exemplul 4 — Are sens scrierea ca putere?

Stabiliți care dintre scrierile următoare au sens și calculați-le pe cele care se pot calcula exact: a) ${\left(\sqrt{7}-\sqrt{6}\right)}^{\frac{2}{3}}$; b) ${\left(2-\sqrt{5}\right)}^{\frac{1}{4}}$; c) $0^{\frac{4}{7}}$; d) $0^{-\frac{3}{7}}$; e) $1^{-\frac{5}{6}}$.

Rezolvare. Se cercetează doar semnul bazei. a) $7>6$, deci $\sqrt{7}>\sqrt{6}$ și baza este pozitivă: scrierea are sens, deși nu se simplifică la un număr întreg. b) $4<5$, deci $2<\sqrt{5}$ și baza este negativă: scrierea nu are sens. c) Baza este $0$, iar exponentul este pozitiv: $0^{\frac{4}{7}}=0$. d) Baza este $0$, iar exponentul este negativ: scrierea nu are sens. e) Baza $1$ dă $1$ pentru orice exponent: $1^{-\frac{5}{6}}=1$.

Figura B așază pe axă bazele de la punctele a) și b): ce e la dreapta lui $0$ este admis pentru orice exponent rațional, punctul $0$ numai pentru exponenți pozitivi, iar ce e la stânga lui $0$ nu este admis.

Exemplul 5 — Descompunerea acetaldehidei, reacție de ordinul $\frac{3}{2}$

Pentru descompunerea acetaldehidei, la temperatură constantă, $v=k\cdot c^{\frac{3}{2}}$. La concentrația $c=0,04$ mol/L viteza măsurată este $6\cdot 10^{-5}$ mol/(L·s). a) Calculați constanta $k$. b) Ce viteză are reacția la $0,25$ mol/L? c) De câte ori se schimbă viteza când concentrația scade de la $0,04$ la $0,0225$ mol/L?

Rezolvare. a) $0,04=\frac{1}{25}$, deci $0,04^{\frac{3}{2}}={\left(\frac{1}{5}\right)}^3=0,008$. Atunci $k=\frac{6\cdot 10^{-5}}{0,008}=7,5\cdot 10^{-3}$, în $(\text{L/mol}{)}^{\frac{1}{2}}\cdot {\text{s}}^{-1}$.

b) $0,25^{\frac{3}{2}}={\left(\sqrt{0,25}\right)}^3=0,5^3=0,125$, deci $v=7,5\cdot 10^{-3}\cdot 0,125=9,375\cdot 10^{-4}$ mol/(L·s). Același rezultat vine din raport: concentrația crește de $\frac{0,25}{0,04}=6,25$ ori, iar $6,25^{\frac{3}{2}}=2,5^3=15,625$, deci viteza crește de $15,625$ ori.

c) Raportul concentrațiilor este $\frac{0,0225}{0,04}=\frac{9}{16}$, iar ${\left(\frac{9}{16}\right)}^{\frac{3}{2}}={\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{27}{64}$. Viteza se înmulțește cu $\frac{27}{64}$, adică scade la mai puțin de jumătate: devine $2,53125\cdot 10^{-5}$ mol/(L·s). Rezultatele sunt pozitive, cum trebuie să fie o viteză, și sunt valabile în intervalul de concentrații în care s-a măsurat ordinul de reacție.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Pentru numărul $a=216^{\frac{2}{3}}-1296^{\frac{1}{4}}$, arătați că $a=30$.

Rezolvare. $216=6^3$, deci $216^{\frac{2}{3}}={\left(\sqrt[3]{216}\right)}^2=6^2=36$. Apoi $1296=6^4$, deci $1296^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{1296}=6$. Prin urmare $a=36-6=30$. Cerința e scrisă de noi după forma cerințelor scurte de calcul și nu provine dintr-un subiect oficial; la redactare se scrie descompunerea fiecărei baze înainte de rezultat.

Să exersăm

Scrie de fiecare dată descompunerea bazei și rezultatul exact. La exercițiile cu litere, baza este strict pozitivă.

1. Calculează $15625^{\frac{1}{6}}$, $2187^{\frac{1}{7}}$ și $10000^{\frac{1}{4}}$.

2. Calculează $512^{\frac{2}{3}}$, $3125^{\frac{3}{5}}$ și $729^{\frac{5}{6}}$.

3. Calculează $16807^{-\frac{3}{5}}$, ${\left(\frac{1}{2187}\right)}^{-\frac{2}{7}}$ și $256^{-\frac{5}{4}}$.

4. Scrie ca putere cu exponent rațional, pentru $a>0$: $\sqrt[6]{a^5}$, $\frac{1}{\sqrt[7]{a^4}}$ și ${\left(\sqrt[5]{a}\right)}^8$.

5. Scrie cu radicali numerele $3^{0,4}$, $7^{1,25}$ și $10^{-0,75}$, iar la al doilea scoate un factor în fața radicalului.

6. Calculează ${\left(\frac{32}{243}\right)}^{\frac{3}{5}}$ și ${\left(\frac{49}{81}\right)}^{-\frac{3}{2}}$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) Numărul ${\left(\sqrt{10}-3\right)}^{-\frac{1}{2}}$ are sens și este mai mare decât $1$.

8. Calculează $0,00032^{\frac{1}{5}}$ și $0,0256^{\frac{3}{4}}$, scriind întâi fiecare zecimală ca produs dintre o putere și o putere a lui $10$.

9. Verifică fără calculator, prin ridicare la putere, care dintre egalitățile următoare sunt adevărate: „$2,197^{\frac{2}{3}}=1,69$”, „$1,44^{1,5}=1,728$”, „$3,24^{1,5}=5,823$”.

10. Scrie ca putere a unui număr prim: $\sqrt[8]{81}$, $\sqrt[4]{\frac{1}{32}}$ și $\sqrt[10]{32}$. Ce observi despre ordinul radicalului după simplificare?

11. Stabilește care scrieri au sens: $(\pi -3{)}^{-\frac{1}{2}}$, ${\left(1-\sqrt{2}\right)}^{\frac{2}{5}}$, $0^{\frac{5}{6}}$, ${\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^{-\frac{4}{3}}$.

12. O mărime urmează legea $y=5x^{0,4}$. Calculează $y$ pentru $x=1024$ și pentru $x=\frac{1}{59049}$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $0,0081^{-0,75}=\frac{1000}{27}$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că ${\left(\frac{16}{625}\right)}^{-\frac{3}{4}}=\frac{125}{8}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că ${\left(9^{-\frac{1}{2}}+27^{-\frac{1}{3}}+81^{-\frac{1}{4}}\right)}^{-1}=1$.

16. Scrie numerele $5^{-1,5}$ și $2^{-2,5}$ ca fracții cu un singur radical la numărător și numitor natural.

17. (Problemă aplicată.) Heliul dintr-un jet de gaz se destinde fără schimb de căldură, iar volumul lui crește de $1000$ de ori. Pentru un gaz monoatomic ideal, temperatura absolută se înmulțește cu $1000^{-\frac{2}{3}}$, iar presiunea cu $1000^{-\frac{5}{3}}$. Pornind de la $300$ K și $10^5$ Pa, calculează temperatura și presiunea finale.

18. (Provocare.) Pentru ce numere naturale $n\ge 2$ este $64^{\frac{1}{n}}$ un număr natural? Justifică.

Răspunsuri și explicații

1. $15625=5^6$, deci $15625^{\frac{1}{6}}=5$; $2187=3^7$, deci $2187^{\frac{1}{7}}=3$; $10000=10^4$, deci $10000^{\frac{1}{4}}=10$. Fiecare rezultat se controlează ridicându-l la puterea cerută de ordin.

2. $\sqrt[3]{512}=8$, deci $512^{\frac{2}{3}}=64$; $\sqrt[5]{3125}=5$, deci $3125^{\frac{3}{5}}=125$; $\sqrt[6]{729}=3$, deci $729^{\frac{5}{6}}=3^5=243$. În toate trei cazurile, drumul „întâi radicalul” a cerut doar puteri mici, pe care le poți calcula în minte.

3. $\sqrt[5]{16807}=7$, deci $16807^{-\frac{3}{5}}=\frac{1}{7^3}=\frac{1}{343}$. Apoi ${\left(\frac{1}{2187}\right)}^{-\frac{2}{7}}=2187^{\frac{2}{7}}=3^2=9$. În fine, $\sqrt[4]{256}=4$, deci $256^{-\frac{5}{4}}=\frac{1}{4^5}=\frac{1}{1024}$. La al doilea număr, exponentul negativ a răsturnat fracția și rezultatul a devenit natural.

4. Pentru $a>0$: $\sqrt[6]{a^5}=a^{\frac{5}{6}}$; $\frac{1}{\sqrt[7]{a^4}}=a^{-\frac{4}{7}}$; ${\left(\sqrt[5]{a}\right)}^8=a^{\frac{8}{5}}$. Ordinul radicalului ajunge la numitor, puterea la numărător, iar fracția cu radical la numitor dă un exponent negativ.

5. $3^{0,4}=3^{\frac{2}{5}}=\sqrt[5]{9}$; $7^{1,25}=7^{\frac{5}{4}}=\sqrt[4]{7^5}=7\sqrt[4]{7}$; $10^{-0,75}=10^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{\sqrt[4]{1000}}$. La al doilea, $7^5=7^4\cdot 7$, iar $\sqrt[4]{7^4}=7$ iese în fața radicalului.

6. ${\left(\frac{32}{243}\right)}^{\frac{3}{5}}$: radicalul de ordinul cinci este $\frac{2}{3}$, iar cubul lui este $\frac{8}{27}$. Apoi ${\left(\frac{49}{81}\right)}^{-\frac{3}{2}}={\left(\frac{81}{49}\right)}^{\frac{3}{2}}={\left(\frac{9}{7}\right)}^3=\frac{729}{343}$.

7. Adevărat. Din $9<10<16$ rezultă $3<\sqrt{10}<4$, deci baza $\sqrt{10}-3$ este pozitivă și mai mică decât $1$; scrierea are sens. Radicalul de ordin 2 al unui număr din intervalul $(0,1)$ este tot în $(0,1)$, iar inversul unui număr din $(0,1)$ este mai mare decât $1$. Altfel scris, ${\left(\sqrt{10}-3\right)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{\sqrt{10}-3}}$, iar cu calculatorul numărul este aproximativ $2,48$.

8. $0,00032=32\cdot 10^{-5}=2^5\cdot 10^{-5}$, deci $0,00032^{\frac{1}{5}}=2\cdot 10^{-1}=0,2$. Apoi $0,0256=256\cdot 10^{-4}=4^4\cdot 10^{-4}$, deci $\sqrt[4]{0,0256}=0,4$ și $0,0256^{\frac{3}{4}}=0,4^3=0,064$.

9. $2,197^{\frac{2}{3}}=1,69$ este adevărată: $2,197^2=4,826809$ și $1,69^3=4,826809$. $1,44^{1,5}=1,728$ este adevărată: $1,44=1,2^2$, iar $1,2^3=1,728$. „$3,24^{1,5}=5,823$” este falsă: $3,24=1,8^2$, deci valoarea corectă este $1,8^3=5,832$; cifrele au fost inversate.

10. $\sqrt[8]{81}=3^{\frac{4}{8}}=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$; $\sqrt[4]{\frac{1}{32}}=2^{-\frac{5}{4}}$; $\sqrt[10]{32}=2^{\frac{5}{10}}=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$. La primul și la al treilea, fracția exponentului se simplifică, iar radicalul de ordin mare devine un radical de ordinul doi.

11. $\pi >3$, deci $(\pi -3{)}^{-\frac{1}{2}}$ are sens. $\sqrt{2}>1$, deci $1-\sqrt{2}<0$ și ${\left(1-\sqrt{2}\right)}^{\frac{2}{5}}$ nu are sens. $0^{\frac{5}{6}}=0$ are sens, pentru că exponentul este pozitiv. $\sqrt{3}>\sqrt{2}$, deci ${\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^{-\frac{4}{3}}$ are sens.

12. $1024^{0,4}=1024^{\frac{2}{5}}=4^2=16$, deci $y=5\cdot 16=80$. Apoi $59049=3^{10}$, deci ${\left(\frac{1}{59049}\right)}^{0,4}=\frac{1}{3^4}=\frac{1}{81}$ și $y=\frac{5}{81}$.

13. $0,0081=\frac{81}{10000}$ și $0,75=\frac{3}{4}$, iar exponentul negativ răstoarnă fracția: $0,0081^{-0,75}={\left(\frac{10000}{81}\right)}^{\frac{3}{4}}={\left(\sqrt[4]{\frac{10000}{81}}\right)}^3={\left(\frac{10}{3}\right)}^3=\frac{1000}{27}$, pentru că $10^4=10000$ și $3^4=81$.

14. ${\left(\frac{16}{625}\right)}^{-\frac{3}{4}}={\left(\frac{625}{16}\right)}^{\frac{3}{4}}$. Radicalul de ordinul patru al fracției este $\frac{5}{2}$, pentru că $5^4=625$ și $2^4=16$, iar cubul lui este $\frac{125}{8}$. Redactarea bună scrie întâi răsturnarea fracției, apoi descompunerea numărătorului și a numitorului.

15. $9^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{9}}=\frac{1}{3}$, $27^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{27}}=\frac{1}{3}$ și $81^{-\frac{1}{4}}=\frac{1}{\sqrt[4]{81}}=\frac{1}{3}$, deci suma din paranteză este $1$, iar $1^{-1}=1$. Fiecare termen folosește altă bază, dar toate sunt puteri ale lui $3$.

16. $5^{-1,5}=\frac{1}{5^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{5\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{25}$. Apoi $2^{-2,5}=\frac{1}{2^{\frac{5}{2}}}=\frac{1}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}$. La ultimul pas am amplificat cu radicalul, ca numitorul să devină natural.

17. $1000^{\frac{1}{3}}=10$, deci $1000^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{100}$ și $1000^{-\frac{5}{3}}=\frac{1}{10^5}$. Temperatura finală este $300\cdot \frac{1}{100}=3$ K, iar presiunea finală este $10^5\cdot 10^{-5}=1$ Pa. Rezultatele sunt pozitive, cum trebuie. Modelul gazului ideal fără schimb de căldură este o aproximare; în jeturile supersonice de heliu se obțin într-adevăr temperaturi de câțiva kelvini.

18. $64=2^6$, deci $64^{\frac{1}{n}}=2^{\frac{6}{n}}$. Numărul este natural exact când $\frac{6}{n}$ este natural, adică atunci când $n$ divide $6$. Cu $n\ge 2$, rămân $n=2$, $n=3$ și $n=6$, cu valorile $8$, $4$ și $2$. Pentru orice alt $n$, de exemplu $n=4$, obținem $2^{\frac{3}{2}}=2\sqrt{2}$, care nu este natural.

De reținut

• Pentru $a>0$, $m\in \mathbb{Z}$ și $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 2$: $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m$; numitorul dă ordinul radicalului, numărătorul dă puterea.
• Baza trebuie să fie strict pozitivă; baza $0$ se admite numai cu exponent pozitiv, iar rezultatul este atunci $0$.
• Când baza e pozitivă, rezultatul este mereu strict pozitiv, oricare ar fi exponentul rațional; exponentul negativ înseamnă inversul.
• Valoarea nu depinde de scrierea exponentului: un exponent zecimal se transformă în fracție ireductibilă înainte de a citi ordinul radicalului.
• Drumul scurt de calcul este întâi radicalul, apoi puterea; o egalitate $a^{\frac{m}{n}}=b$ se verifică prin $a^m=b^n$.

Greșeli frecvente

• Înmulțești baza cu exponentul. A scrie „$3375^{\frac{2}{3}}=2250$” înseamnă a confunda ridicarea la putere cu înmulțirea. Corect: $3375=15^3$, deci $\sqrt[3]{3375}=15$, apoi $15^2=225$.
• Citești exponentul fracționar ca un cât de puteri. Scrierea „$121^{\frac{3}{2}}=\frac{121^3}{121^2}=121$” este greșită: fracția din exponent nu înseamnă o împărțire de puteri. Corect: $121^{\frac{3}{2}}={\left(\sqrt{121}\right)}^3=11^3=1331$.
• Numeri greșit zecimalele sub radical. $\sqrt[4]{0,0081}$ nu este $0,03$, ci $0,3$: la ordinul patru, numărul de zecimale al rezultatului este un sfert din cel al numărului de sub radical. Control: $0,3^4=0,0081$.
• Crezi că un exponent fracționar micșorează mereu numărul. Nu e așa: $0,1296^{0,25}=0,6$ este mai mare decât $0,1296$, iar $27^{\frac{4}{3}}=81$ este mai mare decât $27$. Rezultatul depinde și de bază, și de exponent, deci se calculează, nu se ghicește.
• Schimbi unitatea mărimii fără să schimbi constanta. Într-o lege $v=k\cdot c^{\frac{3}{2}}$, constanta $k$ e dată pentru o anumită unitate a lui $c$. Dacă treci de la moli pe litru la milimoli pe litru, numărul care îl înlocuiește pe $c$ devine de o mie de ori mai mare, iar cu vechea constantă viteza calculată iese de peste treizeci de mii de ori prea mare.

Aplică acasă

1. Într-o foaie de calcul, scrie în coloana A exponenții $0,1$; $0,2$; …; $2$, iar în coloana B formula care ridică $32$ la exponentul din coloana A. Marchează celulele în care apare un număr natural și explică, cu definiția, de ce apar exact la exponenții multipli de $0,2$. Repetă cu baza $81$ și spune la ce exponenți apar acum numere naturale.
2. Joacă-te „verificarea în doi” cu un coleg. Fiecare scrie trei egalități de forma $a^{\frac{m}{n}}=b$, unele adevărate, altele cu o greșeală ascunsă, și le dă celuilalt. Controlul se face numai prin ridicare la putere, fără calculator, după regula de la secțiunea 7. Notează ce greșeli ați prins mai greu.
3. Alege un număr natural $b$ între $2$ și $9$ și calculează, în aplicația de calcul a telefonului, $b^x$ pentru $x=0,5$, $0,25$, $0,2$ și $0,125$. Scrie fiecare exponent ca fracție și fiecare rezultat ca radical, apoi ridică valoarea afișată la puterea potrivită: trebuie să regăsești aproape $b$. Notează câte zecimale ai pierdut prin rotunjire.

Pentru părinți și profesori

Lecția generalizează ce au fixat lecțiile de bază ale clasei a X-a: acolo, exponenții $\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{3}$ și radicalii de ordin 2 și 3; aici, orice numitor, cu condiția $a>0$ și cu independența de scrierea fracției. Pentru elevul de științe, partea cea mai folositoare este trecerea de la exponentul zecimal, care apare în formulele din fizică și chimie, la fracția ireductibilă și la radical. Proprietățile de calcul (produs, cât, putere a unei puteri) nu sunt predate aici; ele urmează în lecția următoare.

De urmărit în caiet: scrie elevul condiția asupra bazei înainte de calcul? Descompune baza în factori primi? Folosește drumul scurt? Verifică rezultatul prin ridicare la putere? O întrebare bună de control este „ce ordin are radicalul pentru exponentul $0,6$?”: răspunsul corect, $5$, arată că elevul a transformat zecimala în fracție ireductibilă. Merită lucrat o dată, la clasă, cu calculatorul pe masă: mulți elevi tastează exponentul fracționar fără paranteze și nu observă rezultatul absurd, pentru că nu au estimat înainte ordinul de mărime. Semnul că tema a fost înțeleasă este că elevul spune singur, înainte de orice calcul, dacă scrierea are sens.

Programa și examenul. Tema aparține programei de examen pentru bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014), care cere, la materia clasei a X-a, „proprietăți ale puterilor cu exponent rațional, irațional și real ale unui număr pozitiv nenul” și „radical de ordin $n$ dintr-un număr, proprietăți ale radicalilor”. De aceea exercițiile marcate aici sunt „tip Bacalaureat M2”. Programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, Anexa 28), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028, nu mai conține puterile cu exponent rațional: la clasa a X-a păstrează radicalii de ordin 2 și 3, iar la clasa a IX-a funcția putere cu exponent întreg. Programa probei MAT_P2 din 2030 nu conține această temă. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026 nu are nicio cerință cu puteri cu exponent fracționar; exercițiile marcate sunt antrenamente proprii, în limitele programei. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a X-a în programa de examen din 2014.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: puterile cu exponent rațional la mate-info. Regulile de calcul continuă în proprietățile puterilor cu exponent rațional la M2. Lecțiile de bază care folosesc deja exponenți fracționari sunt compararea puterilor cu aceeași bază la M2 și ecuațiile exponențiale elementare la M2. Recapitularea unității se face cu testul suplimentului despre puteri reale și bijectivitate.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre puterile cu exponent rațional?

Varianta M1 construiește definiția ca prim pas al unui capitol lung și demonstrează în detaliu independența de scrierea fracției. Varianta M2 pornește de la exponenții $\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{3}$ din lecția de bază despre exponențială, pune accent pe exponenții zecimali din formulele de fizică și chimie, pe decizia „are sens sau nu” și pe controlul prin ridicare la putere.

La ce subiect al Bacalaureatului M2 pot apărea puterile cu exponent rațional?

În programa M_șt-nat valabilă în 2027–2029, proprietățile puterilor cu exponent rațional stau la materia clasei a X-a; documentul nu spune la ce subiect al lucrării se evaluează. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință cu asemenea puteri. Pentru proba MAT_P2 din 2030, tema nu mai face parte din programă.

Ce aduce lecția față de exponenții $\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{3}$ din lecția despre funcția exponențială?

Acolo ai folosit doar jumătăți și treimi, ca să obții puncte exacte pe grafic. Aici exponentul poate avea orice numitor natural cel puțin egal cu doi și orice numărător întreg, iar scrierea cu radicali de ordin mare devine posibilă. Apar în plus exponentul zecimal, condiția asupra bazei și verificarea prin ridicare la putere.

De ce în formulele din științe exponenții apar ca zecimale?

Pentru că exponenții sunt stabiliți din măsurători și sunt raportați ca numere zecimale, iar calculatoarele lucrează direct cu ele. Pentru calcul exact, zecimala se transformă în fracție ireductibilă: $1,5=\frac{3}{2}$, $0,4=\frac{2}{5}$. Numitorul fracției spune ce radical trebuie extras, iar numărătorul spune la ce putere ridici rezultatul.

Pot calcula fără calculator un radical de ordinul cinci sau șapte?

Da, atunci când baza este o putere exactă: descompui baza în factori primi și împarți exponenții la ordin, ca la $2187=3^7$. Dacă baza nu este o putere exactă, rezultatul este irațional și rămâne scris cu radical sau se aproximează. Un control rapid este ridicarea valorii aproximate la puterea egală cu ordinul.

Unde întâlnesc legi de putere cu exponent fracționar în afara matematicii?

În chimie, la reacțiile al căror ordin se măsoară și iese fracționar, cum este descompunerea acetaldehidei. În fizică, la transformarea unui gaz fără schimb de căldură, unde apar exponenți ca $\frac{5}{3}$ pentru heliu sau $1,4$ pentru aer. Toate asemenea legi se citesc la fel: prin raportul valorilor, nu prin valorile însele, iar constanta dispare din calcul.