Când o rădăcină se repetă: pe scurt

Un polinom de gradul $n$ poate avea mai puțin de $n$ rădăcini distincte, dacă unele coincid. Rădăcina $a$ are ordinul de multiplicitate $m$ dacă $(X-a{)}^m$ divide $f$, dar $(X-a{)}^{m+1}$ nu — echivalent, $f=(X-a{)}^{m}q$ cu $q(a)\ne 0$. O rădăcină de ordin $1$ e simplă, de ordin $2$ e dublă, de ordin $3$ triplă.

Ordinul se determină aplicând schema lui Horner de mai multe ori la rând, cu aceeași valoare $a$: ordinul este numărul de resturi nule consecutive, iar oprirea o confirmă primul rest nenul. Din descompunerea canonică rezultă regula de control: suma ordinelor tuturor rădăcinilor este egală cu gradul lui $f$. O rădăcină dublă cere, la determinarea parametrilor, două condiții (două resturi nule); o rădăcină triplă, trei.

Pe graficul funcției polinomiale, distincția se vede direct: la o rădăcină de ordin par, graficul atinge axa $Ox$ și se întoarce, fără să schimbe semnul; la ordin impar, graficul traversează axa. Fenomenul nu e nou — „soluția dublă" de la ecuația de gradul al doilea cu $\Delta =0$ este exact o rădăcină de ordinul $2$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Determină ordinul de multiplicitate al rădăcinii $3$ pentru $f=X^3-4X^2-3X+18$.

   • a) $2$
   • b) $1$
   • c) $3$
   • d) $4$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $2$

   Schema lui Horner cu $a=3$ pe $1,-4,-3,18$ dă câtul $X^2-X-6$ și rest $0$; aplicată din nou pe $1,-1,-6$ dă câtul $X+2$ și rest $0$. Cum $\mathrm{grad}f=3$ și mai rămâne un factor $X+2$ (rădăcina $-2$, simplă), ordinul lui $3$ este exact $2$: $f=(X-3{)}^2(X+2)$.

2. Determină ordinele de multiplicitate ale rădăcinilor $-1$ și $3$ pentru $f=X^4-6X^2-8X-3$.

   • a) $-1$ are ordinul $1$, iar $3$ are ordinul $3$
   • b) $-1$ are ordinul $3$, iar $3$ are ordinul $1$
   • c) ambele au ordinul $2$
   • d) $-1$ are ordinul $2$, iar $3$ are ordinul $2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $-1$ are ordinul $3$, iar $3$ are ordinul $1$

   Schema lui Horner cu $a=-1$ aplicată de trei ori dă resturile $0,0,0$, iar a patra aplicare ar da rest nenul (câtul rămas, $X-3$, nu se anulează în $-1$). Deci $f=(X+1{)}^3(X-3)$: $-1$ are ordinul $3$, iar $3$ ordinul $1$.

3. Determinați $a,b\in \mathbb{R}$ astfel încât $x=-3$ să fie rădăcină dublă pentru $f=X^3+a{X}^2+bX-18$.

   • a) $a=4,b=3$
   • b) $a=-4,b=3$
   • c) $a=4,b=-3$
   • d) $a=-4,b=-3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $a=4,b=-3$

   Impunând cele două resturi nule ale schemei lui Horner cu $a_0=-3$ se obține $a=4$, $b=-3$, adică $f=X^3+4X^2-3X-18=(X+3{)}^2(X-2)$. Al treilea rest (aplicând Horner încă o dată) este $-5\ne 0$, deci ordinul este exact $2$.