Unde se caută rădăcinile întregi ale unui polinom cu coeficienți întregi?

printre divizorii termenului liber, luați cu ambele semne

printre divizorii coeficientului dominant

printre numerele prime mai mici decât gradul

Cum se rezolvă corect ecuația $$x^4+5x^3+6x^2=0$$?

se dă factor comun $$x^2$$ și se egalează fiecare factor cu zero

se împarte toată ecuația prin $$x^2$$

Cum descompun prin grupare polinomul x³-x²-4x+4?

Grupezi primii doi și ultimii doi termeni: x²(x-1)-4(x-1)=(x-1)(x²-4)=(x-1)(x-2)(x+2). Ecuația x³-x²-4x+4=0 are atunci soluțiile 1, 2 și -2. Gruparea funcționează când parantezele obținute coincid, fără să mai cauți divizori.

Câte rădăcini reale poate avea un polinom?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Ecuații polinomiale

Un polinom nenul de gradul $n$ are cel mult $n$ rădăcini reale distincte, dar poate avea mai puține sau chiar niciuna. Exemple: $X^{3} - 4 X = X (X - 2) (X + 2)$ are trei rădăcini, $0$ și $\pm 2$ ; $X^{3} + X = X (X^{2} + 1)$ are doar rădăcina $0$ , pentru că $x^{2} + 1$ nu se anulează; $X^{4} + 1$ nu are niciuna, fiind mereu cel puțin $1$ . Gradul dă doar plafonul, numărul exact se află rezolvând ecuația.

A rezolva în $R$ ecuația $f (x) = 0$ înseamnă a aduna toate soluțiile reale; ele coincid cu rădăcinile reale ale polinomului.

De unde pornește căutarea. La un polinom cu coeficienți întregi, orice rădăcină întreagă se ascunde printre divizorii termenului liber, luați și cu plus, și cu minus. Lista este scurtă și ține locul încercărilor la nimereală, însă trebuie parcursă toată: pentru termenul liber $12$ ai doisprezece candidați, nu șase, iar ecuațiile declarate „fără soluții” ascund nu o dată o rădăcină negativă neîncercată.

Gradul al treilea cere trei mișcări: pornești de la o rădăcină întreagă, folosești tabelul lui Horner ca să scazi gradul, apoi ataci trinomul rămas cu discriminantul. Prima rădăcină nu este răspunsul, ci unealta care îl deschide.

Gradul al patrulea cere să recunoști forma dinainte: factor comun dacă termenul liber lipsește, substituția $x^{2} = t$ dacă apar numai puteri pare. Nu împărți niciodată prin $x$ — ai pierde soluția $x = 0$ , tocmai cea cu sens fizic. Iar după substituție te întorci la $x$ , fiindcă valorile lui $t$ nu sunt ele soluțiile.

Numărul de rădăcini are o limită: un polinom nenul de grad $n$ nu ajunge la mai mult de $n$ rădăcini reale distincte, dar poate avea și mai puține.

De reținut

un polinom nenul de gradul $n$ are cel mult $n$ rădăcini reale distincte
la coeficienți întregi, o rădăcină întreagă este divizor al termenului liber
nu se împarte ecuația prin $x$ : se dă factor comun

Greșeala tipică

Se crede că un polinom de gradul $3$ are mereu trei soluții reale distincte; $X^{3} + X$ are una singură, iar $X^{3} - 3 X + 2$ are două.

Exerciții din această mini-lecție

Unde se caută rădăcinile întregi ale unui polinom cu coeficienți întregi?
- a) printre divizorii coeficientului dominant
- b) printre divizorii termenului liber, luați cu ambele semne
- c) printre numerele prime mai mici decât gradul
- d) printre pătratele perfecte
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) printre divizorii termenului liber, luați cu ambele semne

Dacă $k$ întreg anulează polinomul, atunci termenul liber se scrie ca un multiplu al lui $k$ , deci $k$ îl divide. Lista candidaților e scurtă și completă — dar poate să nu conțină nicio rădăcină, dacă ecuația nu are rădăcini întregi.
Câți candidați la rădăcini întregi are o ecuație polinomială cu coeficienți întregi și termenul liber $12$ ?
- a) $6$
- b) $4$
- c) $3$
- d) $12$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $12$

Divizorii pozitivi ai lui $12$ sunt $1, 2, 3, 4, 6, 12$ — șase numere —, iar fiecare intră în listă și cu minus, deci $12$ candidați. Jumătatea negativă a listei e cea uitată cel mai des.
Cum se rezolvă corect ecuația $x^{4} + 5 x^{3} + 6 x^{2} = 0$ ?
- a) se împarte toată ecuația prin $x^{2}$
- b) se dă factor comun $x^{2}$ și se egalează fiecare factor cu zero
- c) se face substituția $x^{2} = t$
- d) ecuația nu are soluții reale
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) se dă factor comun $x^{2}$ și se egalează fiecare factor cu zero

$x^{2} (x^{2} + 5 x + 6) = 0$ dă $x = 0$ (dublu), $x = - 2$ și $x = - 3$ . Împărțind prin $x^{2}$ , ca la a), pierzi soluția $x = 0$ — adesea chiar momentul de pornire sau poziția inițială dintr-o problemă de fizică. Substituția de la c) nu se potrivește: ecuația are și puteri impare.

Întrebări conexe

Cum descompun prin grupare polinomul $x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$ ?

Grupezi primii doi și ultimii doi termeni: $x^{2} (x - 1) - 4 (x - 1) = (x - 1) (x^{2} - 4) = (x - 1) (x - 2) (x + 2)$ . Ecuația $x^{3} - x^{2} - 4 x + 4 = 0$ are atunci soluțiile $1$ , $2$ și $- 2$ . Gruparea funcționează când parantezele obținute coincid, fără să mai cauți divizori.

De ce nu am voie să împart ecuația $x^{3} = 4 x$ prin $x$ ?

Împărțind prin $x$ presupui tacit că $x \neq = 0$ și pierzi soluția $x = 0$ . Corect aduci totul într-un membru și dai factor comun: $x (x^{2} - 4) = 0$ , deci $x = 0$ , $x = 2$ sau $x = - 2$ . Ecuația are trei soluții, nu două.

Ce este o rădăcină dublă a unui polinom?

Este o rădăcină pentru care factorul $X - a$ apare de două ori în descompunere. De exemplu, $X^{3} - 3 X + 2 = (X - 1)^{2} (X + 2)$ , deci $1$ este rădăcină dublă, iar $- 2$ simplă. Ecuația $x^{3} - 3 x + 2 = 0$ are astfel doar două soluții distincte, deși gradul este $3$ .

Cum verific soluțiile găsite pentru o ecuație polinomială?

Înlocuiești fiecare soluție în ecuația inițială, nu în cea descompusă, ca să prinzi și greșelile de factorizare. Pentru $x^{3} - 7 x - 6 = 0$ cu soluțiile $- 1$ , $- 2$ și $3$ : $- 1 + 7 - 6 = 0$ , $- 8 + 14 - 6 = 0$ și $27 - 21 - 6 = 0$ .

Cum scriu o ecuație de gradul al treilea cu soluțiile $1$ , $2$ și $- 3$ ?

Înmulțești factorii corespunzători: $(x - 1) (x - 2) (x + 3) = 0$ . Desfăcând, $(x^{2} - 3 x + 2) (x + 3) = x^{3} - 7 x + 6$ , deci ecuația este $x^{3} - 7 x + 6 = 0$ . Proba se face cu o valoare care nu e rădăcină: la $x = - 1$ , produsul dă $(- 2) \cdot (- 3) \cdot 2 = 12$ , iar forma desfăcută dă $- 1 + 7 + 6 = 12$ . Orice altă ordine a factorilor duce la aceeași ecuație.

Oamenii mai întreabă și: numărul rădăcinilor reale ale unui polinom · câte rădăcini are un polinom de gradul n · câte soluții are o ecuație polinomială · câte rădăcini reale are un polinom de gradul 3