Rădăcinile unui polinom: pe scurt

Un număr $a\in \mathbb{C}$ este rădăcină a polinomului $f$ dacă $f(a)=0$ — aceleași numere sunt zerourile funcției polinomiale și soluțiile ecuației asociate. Verificarea este mereu un calcul direct: ori valoarea iese exact $0$, ori nu; rădăcinile se caută în $\mathbb{C}$, nu doar în $\mathbb{R}$.

Trei teste rapide, citite direct din coeficienți: $0$ e rădăcină exact când termenul liber e $0$ ($f(0)=a_0$); $1$ e rădăcină exact când suma coeficienților e $0$ ($f(1)$); $-1$ e rădăcină exact când suma alternată e $0$ ($f(-1)$).

Legătura cu factorizarea, sensul ușor: dacă $f=(X-a)\cdot g$, atunci $a$ este rădăcină, pentru că $f(a)=(a-a)g(a)=0$. Reciproca (orice rădăcină dă un factor) cere teorema lui Bézout, studiată mai târziu.

Un polinom nenul de gradul $n$ are cel mult $n$ rădăcini distincte în $\mathbb{C}$; polinomul nul face excepție, fiind anulat de orice număr. Cea mai frecventă formă de exercițiu la examen: din condiția $f(a)=0$ pentru un $a$ dat se obține o ecuație (sau, cu doi parametri, un sistem) — se rezolvă și se verifică obligatoriu prin înlocuire.

Exerciții din această mini-lecție

1. Este $3$ rădăcină a polinomului $f=X^3-5X^2+2X+12$?

   • a) da, pentru că $f(3)=0$
   • b) nu, pentru că $f(3)=6$
   • c) nu se poate ști fără descompunere
   • d) da, dar doar dacă este singura rădăcină reală
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) da, pentru că $f(3)=0$

   $f(3)=27-45+6+12=0$, deci $3$ este rădăcină.

2. Pentru $f=2X^3-X^2+3X-4$, care este $f(0)$?

   • a) $0$
   • b) $-4$
   • c) $4$
   • d) $2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $-4$

   $f(0)$ este termenul liber, $-4$; cum e nenul, $0$ nu este rădăcină a lui $f$.

3. Câte rădăcini distincte poate avea, cel mult, un polinom nenul de gradul $5$?

   • a) o infinitate
   • b) $4$
   • c) $5$
   • d) $1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $5$

   Un polinom nenul de gradul $n$ are cel mult $n$ rădăcini distincte în $\mathbb{C}$; aici $n=5$.