Rădăcini reale și ecuații polinomiale (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

La laborator măsori, la ora de fizică calculezi, iar din când în când ajungi la o întrebare care nu se rezolvă cu o formulă gata făcută: în ce moment se golește vasul, pentru ce lungime cutia are exact volumul cerut, la ce concentrație bilanțul reacției devine zero. Toate se scriu la fel — o expresie polinomială egalată cu zero — și toate se rezolvă la fel. Lecția aceasta, din programa de clasa a IX-a de la profilul științe ale naturii (M2), adună într-o singură metodă tot ce ai învățat despre polinoame: căutarea rădăcinilor reale, coborârea gradului și rezolvarea ecuațiilor de gradul al treilea și al patrulea. La bacalaureatul M2 2027–2029 polinoamele apar la Subiectul al II-lea, ca materie de clasa a XII-a; la proba MAT_P2 din 2030 ele intră în domeniul Algebră, chiar la capitolul de clasa a IX-a pe care îl parcurgi acum.

Piesele sunt deja pe masă. Din lecția despre divizibilitatea polinoamelor și teorema lui Bézout știi că un număr care anulează polinomul dă un factor de gradul întâi, iar din cea despre schema lui Horner știi să scoți acel factor într-un singur rând de calcule. Ce urmează este metoda care le pune cap la cap — și limita ei cinstită: la profilul științe ale naturii rămânem în mulțimea numerelor reale, deci întrebarea este întotdeauna „ce numere reale rezolvă ecuația", nu mai mult.

Ce vei învăța

Vei ști ce este o ecuație polinomială și ce înseamnă, exact, să o rezolvi în mulțimea numerelor reale.
Vei ști unde să cauți rădăcinile întregi ale unui polinom cu coeficienți întregi, în loc să încerci numere la întâmplare.
Vei ști să cobori gradul unei ecuații după ce ai găsit o soluție și să continui cu polinomul rămas.
Vei ști să rezolvi ecuații de gradul al treilea cu o rădăcină întreagă și ecuații de gradul al patrulea reductibile.
Vei ști câte rădăcini reale poate avea, cel mult, un polinom — și de ce poate avea și mai puține.
Vei ști să respingi soluțiile fără sens într-o problemă din fizică, chimie sau biologie.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o ecuație polinomială?

O ecuație polinomială este o egalitate de forma $f (x) = 0$ , în care $f$ este un polinom nenul cu coeficienți reali; gradul ecuației este chiar gradul polinomului. A o rezolva în $R$ înseamnă a găsi toate numerele reale care, puse în locul lui $x$ , fac egalitatea adevărată — nici unul în plus, niciunul lipsă.

Numerele acestea sunt exact rădăcinile reale ale polinomului $f$ , noțiune pe care ai întâlnit-o în lecția despre funcția polinomială și valorile ei: un număr $a$ este rădăcină a lui $f$ dacă $f (a) = 0$ . Cele două formulări — „rădăcină a polinomului" și „soluție a ecuației" — numesc același lucru, așa că le vei vedea folosite una în locul celeilalte.

O ecuație de gradul al doilea, $a x^{2} + b x + c = 0$ , se rezolvă cu discriminantul $Δ = b^{2} - 4 a c$ : două soluții reale când $Δ > 0$ , una când $Δ = 0$ , niciuna când $Δ < 0$ . Din gimnaziu ai și cealaltă unealtă de care vei avea nevoie la fiecare pas, principiul produsului nul, de la ecuația completă rezolvată prin descompunere în factori: un produs este zero exact când unul dintre factorii lui este zero. De aici încolo, întreaga strategie pentru gradele mai mari este să coborâm la cazul gradului al doilea, pe care îl stăpânim.

2. Unde caut rădăcinile întregi ale unui polinom?

Nu la întâmplare, ci într-o listă scurtă, pe care o citești din termenul liber.

Fie $f$ un polinom cu coeficienți întregi și fie $a$ un număr întreg cu $f (a) = 0$ . Scriind egalitatea și trecând termenul liber singur în stânga, fiecare dintre ceilalți termeni are în el cel puțin un $a$ , care se dă factor comun: termenul liber iese egal cu $a$ înmulțit cu un număr întreg. Prin urmare orice rădăcină întreagă a unui polinom cu coeficienți întregi este un divizor al termenului liber.

Pentru $f = X^{3} + 2 X^{2} - 11 X - 12$ , termenul liber este $- 12$ , iar divizorii lui sunt $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 3$ , $\pm 4$ , $\pm 6$ , $\pm 12$ — doisprezece candidați, în loc de o infinitate. Îi încercăm începând cu cei mici: $f (1) = 1 + 2 - 11 - 12 = - 20$ , deci $1$ nu convine; $f (- 1) = - 1 + 2 + 11 - 12 = 0$ , deci $- 1$ este rădăcină — prima dintr-o listă pe care o vom încheia în secțiunea următoare, coborând gradul.

Două avertismente, la fel de importante ca regula. Întâi, lista trebuie scrisă cu ambele semne: jumătate dintre rădăcinile întregi ratate se pierd pentru că elevul a încercat doar numerele pozitive. Apoi, lista se poate epuiza fără niciun rezultat: polinomul $X^{3} - 2$ are termenul liber $- 2$ , iar niciunul dintre numerele $\pm 1$ , $\pm 2$ nu îl anulează. Asta nu înseamnă că nu are rădăcini reale — are una, cuprinsă între $1$ și $2$ , dar ea nu este un număr întreg, deci metoda aceasta nu o vede.

3. Cum cobor gradul după ce am găsit o rădăcină?

Cu teorema lui Bézout și cu schema lui Horner, în această ordine: Bézout îți spune că există factorul $X - a$ , iar Horner îți dă celălalt factor dintr-un rând de calcule.

Fie $f = X^{3} - 6 X^{2} + 5 X + 12$ . Termenul liber este $12$ ; încercăm $- 1$ și obținem $f (- 1) = - 1 - 6 - 5 + 12 = 0$ , deci $X + 1$ este un factor. Schema lui Horner cu $a = - 1$ , pe coeficienții $1, - 6, 5, 12$ , dă rândul $1, - 7, 12, 0$ : câtul este $X^{2} - 7 X + 12$ , iar ultimul zero confirmă alegerea. Așadar

$f = (X + 1) (X^{2} - 7 X + 12) = (X + 1) (X - 3) (X - 4),$

ultima descompunere venind din rezolvarea trinomului: $Δ = 49 - 48 = 1$ , cu rădăcinile $3$ și $4$ . Rădăcinile reale ale lui $f$ sunt, deci, $- 1$ , $3$ și $4$ .

Observă câștigul: o singură încercare reușită a transformat un polinom de gradul al treilea într-unul de gradul al doilea, pe care îl rezolvi cu formula cunoscută. Restul rădăcinilor nu se mai caută, se calculează.

4. Cum rezolv o ecuație de gradul al treilea?

Rețeta are trei pași și se aplică de fiecare dată la fel: cauți o rădăcină întreagă printre divizorii termenului liber, cobori gradul cu schema lui Horner, rezolvi trinomul rămas.

Rezolvăm $x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 8 = 0$ . Divizorii lui $8$ sunt $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 4$ , $\pm 8$ . Încercăm: valoarea în $1$ este $1 - 5 + 2 + 8 = 6$ , iar valoarea în $2$ este $8 - 20 + 4 + 8 = 0$ , deci $2$ este soluție. Horner cu $a = 2$ pe coeficienții $1, - 5, 2, 8$ dă $1, - 3, - 4, 0$ , deci ecuația devine

$(x - 2) (x^{2} - 3 x - 4) = 0.$

Un produs este zero când unul dintre factori este zero, așa că fie $x = 2$ , fie $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ . Trinomul are $Δ = 9 + 16 = 25$ și rădăcinile $4$ și $- 1$ . Mulțimea soluțiilor este $S = {- 1, 2, 4}$ .

Verificarea finală se face în ecuația de la început, nu în cea coborâtă: $(- 1)^{3} - 5 \cdot 1 - 2 + 8 = - 1 - 5 - 2 + 8 = 0$ , iar $64 - 80 + 8 + 8 = 0$ . Două înlocuiri de zece secunde care confirmă toată rezolvarea.

5. Cum rezolv o ecuație de gradul al patrulea?

Nu prin forță, ci recunoscând forma. Trei situații acoperă aproape tot ce ți se cere la clasa a IX-a.

Cu factor comun. Dacă termenul liber lipsește, dai factor comun puterea lui $x$ : din $x^{4} - 3 x^{3} - 4 x^{2} = 0$ scoatem $x^{2} (x^{2} - 3 x - 4) = 0$ , deci $x = 0$ sau $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ , cu soluțiile $4$ și $- 1$ . Mulțimea soluțiilor este $S = {- 1, 0, 4}$ . Atenție: factorul $x^{2}$ nu se simplifică, pentru că simplificarea ar șterge soluția $x = 0$ .

Bipătrată. Dacă apar doar puteri pare, notezi $x^{2} = t$ , cu condiția $t \geq 0$ . Ecuația $x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$ devine $t^{2} - 10 t + 9 = 0$ , cu $Δ = 100 - 36 = 64$ și soluțiile $t = 1$ și $t = 9$ . Revenind: din $x^{2} = 1$ obținem $x = \pm 1$ , iar din $x^{2} = 9$ obținem $x = \pm 3$ , deci $S = {- 3, - 1, 1, 3}$ . Dacă o valoare a lui $t$ iese negativă, ea se aruncă — nu dă niciun $x$ real.

Cu două rădăcini întregi. Dacă nici factor comun nu ai, nici puteri pare, cauți o rădăcină întreagă, cobori gradul cu Horner și repeți procedeul pe câtul de gradul al treilea, până ajungi la un trinom.

6. Câte rădăcini reale poate avea un polinom?

Gradul pune o limită numărului de rădăcini: un polinom nenul de grad $n$ nu poate avea mai mult de $n$ rădăcini reale diferite între ele. Motivul se vede din descompunere: fiecare rădăcină nouă scoate un factor de gradul întâi, iar gradul unui produs este suma gradelor, deci nu pot exista mai mulți astfel de factori decât unități are gradul.

Cuvântul „cel mult" nu e o precauție de stil. Un polinom poate avea mai puține rădăcini reale decât îi spune gradul, iar asta se întâmplă des: $X^{2} + 1$ nu are niciuna, fiindcă un pătrat de număr real nu poate fi negativ; $X^{3} + X = X (X^{2} + 1)$ are exact una, pe $0$ ; iar $X^{4} + 4$ nu are niciuna, fiindcă suma dintre un pătrat și $4$ este cel puțin $4$ . La profilul științe ale naturii ne oprim aici: când trinomul rămas are $Δ < 0$ , scriem că nu are rădăcini reale și încheiem. Ce se întâmplă dincolo de numerele reale se studiază la matematică-informatică, în clasa a X-a.

O consecință practică, de folosit la examen: dacă ai găsit trei soluții distincte pentru o ecuație de gradul al treilea, ai terminat — nu mai există altele. Dacă ai găsit doar una și trinomul rămas are discriminantul negativ, la fel: răspunsul e complet.

7. Ce spun rădăcinile într-un model din științe?

Într-un model, ecuația $f (x) = 0$ marchează momentele sau valorile în care mărimea descrisă trece prin zero: vasul e gol, bilanțul se echilibrează, cutia se turtește. Dar modelul vine mereu cu un domeniu al lui, iar matematica nu îl cunoaște — tu îl cunoști.

De aceea rezolvarea unei probleme aplicate are un pas în plus față de un exercițiu: după ce ai găsit toate soluțiile reale, le treci prin filtrul contextului. Un timp negativ, o lungime negativă, o concentrație mai mare decât maximul posibil sau o valoare din afara intervalului măsurat se resping — motivat, într-o propoziție, nu tăcut. Vei vedea metoda la lucru în exemplul 5 și, pe mai multe modele, în lecția despre polinoame în fizică, chimie și biologie.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — De la o rădăcină la descompunerea completă

Arătați că $2$ este rădăcină a polinomului $f = X^{3} + 6 X^{2} - X - 30$ și scrieți descompunerea lui în factori de gradul întâi.

Rezolvare. Calculăm valoarea în $2$ : $8 + 24 - 2 - 30 = 0$ , deci $2$ este rădăcină și, prin teorema lui Bézout, $X - 2$ este un factor.

Schema lui Horner cu $a = 2$ , pe coeficienții $1, 6, - 1, - 30$ , dă rândul $1, 8, 15, 0$ , deci câtul este $X^{2} + 8 X + 15$ . Trinomul are $Δ = 64 - 60 = 4$ și rădăcinile $- 3$ și $- 5$ , deci $f = (X - 2) (X + 3) (X + 5)$ , iar rădăcinile reale ale lui $f$ sunt $2$ , $- 3$ și $- 5$ .

Exemplul 2 — Lista candidaților, folosită până la capăt

Determinați toate rădăcinile reale ale polinomului $f = X^{3} - X^{2} - 14 X + 24$ .

Rezolvare. Termenul liber este $24$ , deci rădăcinile întregi se caută printre $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 3$ , $\pm 4$ , $\pm 6$ , $\pm 8$ , $\pm 12$ , $\pm 24$ . Încercăm în ordine: valoarea în $1$ este $1 - 1 - 14 + 24 = 10$ , iar valoarea în $2$ este $8 - 4 - 28 + 24 = 0$ , deci $2$ este rădăcină.

Horner cu $a = 2$ pe $1, - 1, - 14, 24$ dă $1, 1, - 12, 0$ , deci $f = (X - 2) (X^{2} + X - 12)$ . Trinomul are $Δ = 1 + 48 = 49$ și rădăcinile $3$ și $- 4$ . Rădăcinile reale sunt $2$ , $3$ și $- 4$ , iar $f = (X - 2) (X - 3) (X + 4)$ .

Exemplul 3 — O ecuație cu o singură soluție reală

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 6 = 0$ .

Rezolvare. Divizorii termenului liber $- 6$ sunt $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 3$ , $\pm 6$ . Valoarea în $1$ este $1 - 2 + 3 - 6 = - 4$ , iar valoarea în $2$ este $8 - 8 + 6 - 6 = 0$ , deci $2$ este soluție.

Horner cu $a = 2$ pe $1, - 2, 3, - 6$ dă $1, 0, 3, 0$ , deci ecuația se scrie $(x - 2) (x^{2} + 3) = 0$ . Al doilea factor nu se anulează niciodată pentru $x$ real, fiindcă $x^{2} + 3 \geq 3$ , deci singura soluție este $x = 2$ și $S = {2}$ .

(Se putea și prin grupare: $x^{2} (x - 2) + 3 (x - 2) = (x - 2) (x^{2} + 3)$ — un ochi antrenat vede factorul comun direct în enunț.)

Exemplul 4 — Ecuație bipătrată

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$ .

Rezolvare. Notăm $x^{2} = t$ , cu $t \geq 0$ , și obținem $t^{2} - 13 t + 36 = 0$ , cu $Δ = 169 - 144 = 25$ și soluțiile

$t_{1, 2} = \frac{13 \pm 5}{2}, adic \overset{a}{˘} t_{1} = 9 ș i t_{2} = 4.$

Amândouă sunt pozitive, deci amândouă dau valori pentru $x$ : din $x^{2} = 9$ obținem $x = \pm 3$ , iar din $x^{2} = 4$ obținem $x = \pm 2$ . Așadar $S = {- 3, - 2, 2, 3}$ — patru soluții, numărul maxim pentru o ecuație de gradul al patrulea. Verificare pentru $x = 3$ : $81 - 117 + 36 = 0$ .

Exemplul 5 — Momentele în care un bilanț se anulează

Într-o reacție urmărită timp de cinci ore, diferența dintre masa substanței produse și masa celei consumate este $D (t) = t^{3} - 7 t^{2} + 14 t - 8$ grame, unde $t$ este timpul în ore, $t \in [0, 5]$ . Determinați momentele în care cele două mase sunt egale.

Rezolvare. Cele două mase sunt egale când diferența lor este nulă, adică atunci când $D (t) = 0$ . Divizorii termenului liber $- 8$ sunt $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 4$ , $\pm 8$ ; valoarea în $1$ este $1 - 7 + 14 - 8 = 0$ , deci $t = 1$ este o soluție.

Horner cu $a = 1$ pe $1, - 7, 14, - 8$ dă $1, - 6, 8, 0$ , deci $D (t) = (t - 1) (t^{2} - 6 t + 8)$ . Trinomul are $Δ = 36 - 32 = 4$ și rădăcinile $2$ și $4$ .

Cele trei soluții sunt $1$ , $2$ și $4$ , toate în intervalul $[0, 5]$ în care modelul are sens, deci toate se păstrează: masele sunt egale după $1$ oră, după $2$ ore și după $4$ ore. Dacă intervalul măsurat ar fi fost $[0, 3]$ , valoarea $t = 4$ ar fi trebuit respinsă, cu mențiunea că ea cade în afara duratei experimentului.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră polinomul $f = X^{3} + m X^{2} - 4 X + 12$ , unde $m$ este număr real. a) Arătați că $f (0) = 12$ , pentru orice număr real $m$ . b) Determinați $m$ știind că $3$ este rădăcină a polinomului $f$ . c) Pentru valoarea lui $m$ găsită la punctul b), rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $f (x) = 0$ .

Rezolvare. a) Valoarea unui polinom în $0$ este chiar termenul lui liber, pentru că orice alt termen are cel puțin un factor $X$ ; parametrul $m$ stă la $X^{2}$ , deci nici el nu ajunge în rezultat. Așadar $f (0) = 12$ pentru orice număr real $m$ .

b) Condiția ca $3$ să fie rădăcină se scrie $f (3) = 0$ :

$27 + 9 m - 12 + 12 = 9 m + 27 = 0,$

de unde $m = - 3$ .

c) Pentru $m = - 3$ ecuația devine $x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12 = 0$ . Știm deja o soluție, $x = 3$ ; schema lui Horner cu $a = 3$ pe coeficienții $1, - 3, - 4, 12$ dă rândul $1, 0, - 4, 0$ , deci ecuația se scrie $(x - 3) (x^{2} - 4) = 0$ . Din al doilea factor obținem $x = 2$ și $x = - 2$ , așadar $S = {- 2, 2, 3}$ . Verificare pentru $x = - 2$ : $- 8 - 12 + 8 + 12 = 0$ .

Să exersăm

Ordinea de lucru, la orice ecuație: privește dacă se poate da factor comun sau dacă apar numai puteri pare; dacă nu, scrie lista divizorilor termenului liber, cu ambele semne, și încearcă-i pe cei mici. După ce ai coborât gradul, nu uita trinomul — acolo stau, de obicei, celelalte soluții.

1. Verifică dacă numerele $2$ și $- 2$ sunt rădăcini ale polinomului $X^{3} - X^{2} - 8 X + 12$ .

2. Determină toate rădăcinile întregi ale polinomului $X^{3} + X^{2} - 17 X + 15$ .

3. Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30 = 0$ .

4. Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $x^{4} - 29 x^{2} + 100 = 0$ .

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice ecuație polinomială de gradul al treilea cu coeficienți reali are trei soluții reale."

6. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră polinomul $f = X^{3} + m X^{2} + 4 X + 8$ , unde $m$ este număr real. a) Determină $m$ știind că $- 2$ este rădăcină a lui $f$ . b) Pentru valoarea găsită, rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $f (x) = 0$ .

7. Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{2} = 0$ .

8. Descompune în factori de gradul întâi polinomul $X^{3} - 2 X^{2} - 13 X - 10$ .

9. Câte rădăcini reale are polinomul $X^{4} + X^{2}$ ? Justifică răspunsul fără să folosești formule de grad mai mare decât doi.

10. (Problemă aplicată.) Poziția unui mobil față de un reper este $s (t) = t^{3} - 7 t^{2} + 10 t$ metri, unde $t$ este timpul în secunde, $t \in [0, 6]$ . Rezolvă ecuația $s (t) = 0$ și spune ce înseamnă fiecare soluție; precizează care dintre ele este momentul de pornire.

11. Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $2 x^{3} - 6 x^{2} - 8 x = 0$ .

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră polinomul $f = X^{3} + m X^{2} - 10 X + 8$ , unde $m$ este număr real. a) Determină $m$ știind că $1$ este rădăcină a lui $f$ . b) Pentru valoarea găsită, rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $f (x) = 0$ .

13. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă un polinom cu coeficienți întregi are o rădăcină întreagă, atunci aceasta este un divizor al termenului liber."

14. Arată că polinomul $X^{3} - 3$ nu are rădăcini întregi, deși are o rădăcină reală.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră polinomul $f = X^{3} - 5 X^{2} + m X + 20$ , unde $m$ este număr real. a) Determină $m$ știind că $f$ este divizibil cu $X - 2$ . b) Pentru valoarea găsită, rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $f (x) = 0$ .

16. Arată că ecuația $x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 10 = 0$ are o singură soluție reală și determin-o.

17. Scrie un polinom de gradul al treilea, cu coeficientul dominant $1$ , care are rădăcinile $1$ , $- 3$ și $5$ , apoi verifică prin adunarea coeficienților că $1$ este într-adevăr rădăcină.

18. (Provocare.) Determină numerele reale $m$ și $n$ știind că ecuația $x^{4} + m x^{3} - 7 x^{2} + n x + 12 = 0$ are soluțiile $1$ și $- 2$ , apoi rezolv-o complet.

Răspunsuri și explicații

1. Valoarea în $2$ este $8 - 4 - 16 + 12 = 0$ , deci $2$ este rădăcină. Valoarea în $- 2$ este $- 8 - 4 + 16 + 12 = 16 \neq = 0$ , deci $- 2$ nu este rădăcină. (Cealaltă rădăcină întreagă a polinomului este $- 3$ .)

2. Termenul liber este $15$ , deci candidații sunt $\pm 1$ , $\pm 3$ , $\pm 5$ , $\pm 15$ . Valoarea în $1$ este $1 + 1 - 17 + 15 = 0$ , deci $1$ este rădăcină; Horner cu $a = 1$ pe $1, 1, - 17, 15$ dă $1, 2, - 15, 0$ , iar trinomul $X^{2} + 2 X - 15$ are $Δ = 4 + 60 = 64$ și rădăcinile $3$ și $- 5$ . Rădăcinile întregi sunt $1$ , $3$ și $- 5$ .

3. Divizorii lui $30$ : $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 3$ , $\pm 5$ , $\pm 6$ , $\pm 10$ , $\pm 15$ , $\pm 30$ . Valoarea în $2$ este $8 - 16 - 22 + 30 = 0$ , deci $2$ este soluție. Horner dă câtul $x^{2} - 2 x - 15$ , cu $Δ = 4 + 60 = 64$ și rădăcinile $5$ și $- 3$ . Așadar $S = {- 3, 2, 5}$ .

4. Cu $x^{2} = t \geq 0$ : $t^{2} - 29 t + 100 = 0$ , $Δ = 841 - 400 = 441$ , iar $441 = 21$ , deci $t_{1} = 25$ și $t_{2} = 4$ . Din $x^{2} = 25$ obținem $x = \pm 5$ , din $x^{2} = 4$ obținem $x = \pm 2$ , deci $S = {- 5, - 2, 2, 5}$ .

5. Fals. Corect este „cel mult trei soluții reale". Contraexemplu: ecuația $x^{3} - x^{2} + 4 x - 4 = 0$ se scrie $(x - 1) (x^{2} + 4) = 0$ , iar al doilea factor nu se anulează pentru niciun număr real, deci ecuația are o singură soluție, $x = 1$ .

6. a) Condiția $f (- 2) = 0$ se scrie $- 8 + 4 m - 8 + 8 = 4 m - 8 = 0$ , deci $m = 2$ . b) Pentru $f = X^{3} + 2 X^{2} + 4 X + 8$ , schema lui Horner cu $a = - 2$ dă câtul $x^{2} + 4$ , deci ecuația devine $(x + 2) (x^{2} + 4) = 0$ . Cum $x^{2} + 4 \geq 4$ , singura soluție este $x = - 2$ și $S = {- 2}$ .

7. Dăm factor comun $x^{2}$ : $x^{2} (x^{2} + 2 x - 8) = 0$ . Primul factor dă $x = 0$ , iar trinomul are $Δ = 4 + 32 = 36$ și rădăcinile $2$ și $- 4$ . Deci $S = {- 4, 0, 2}$ . Dacă am fi simplificat prin $x^{2}$ , am fi pierdut soluția $x = 0$ .

8. Termenul liber este $- 10$ ; valoarea în $- 1$ este $- 1 - 2 + 13 - 10 = 0$ , deci $- 1$ este rădăcină. Horner cu $a = - 1$ pe $1, - 2, - 13, - 10$ dă $1, - 3, - 10, 0$ , iar $X^{2} - 3 X - 10 = (X - 5) (X + 2)$ . Așadar $X^{3} - 2 X^{2} - 13 X - 10 = (X + 1) (X - 5) (X + 2)$ .

9. Una singură, anume $0$ . Dând factor comun, $X^{4} + X^{2} = X^{2} (X^{2} + 1)$ ; primul factor se anulează numai pentru $x = 0$ , iar al doilea niciodată, pentru că $x^{2} + 1 \geq 1$ oricare ar fi numărul real $x$ .

10. Dăm factor comun $t$ : $t (t^{2} - 7 t + 10) = 0$ . Trinomul are $Δ = 49 - 40 = 9$ și rădăcinile $\frac{7 \pm 3}{2}$ , adică $5$ și $2$ . Soluțiile sunt $0$ , $2$ și $5$ , toate în intervalul $[0, 6]$ : mobilul se află în dreptul reperului chiar la pornire ( $t = 0$ , momentul de pornire), se întoarce la el după $2$ secunde și trece din nou prin el după $5$ secunde. Control pentru $t = 2$ : $8 - 28 + 20 = 0$ .

11. Factor comun $2 x$ : $2 x (x^{2} - 3 x - 4) = 0$ . Trinomul are $Δ = 9 + 16 = 25$ și rădăcinile $4$ și $- 1$ , deci $S = {- 1, 0, 4}$ .

12. a) Condiția $f (1) = 0$ se scrie $1 + m - 10 + 8 = m - 1 = 0$ , deci $m = 1$ . b) Pentru $f = X^{3} + X^{2} - 10 X + 8$ , Horner cu $a = 1$ dă câtul $x^{2} + 2 x - 8$ , cu $Δ = 4 + 32 = 36$ și rădăcinile $2$ și $- 4$ . Deci $S = {- 4, 1, 2}$ .

13. Adevărat. Dacă $a$ este întreg și anulează polinomul, atunci, trecând termenul liber în stânga, ceilalți termeni au toți factorul $a$ : termenul liber este $a$ înmulțit cu un număr întreg, deci $a$ îl divide. Este exact regula din secțiunea 2, iar ipoteza „coeficienți întregi" este esențială.

14. Termenul liber este $- 3$ , deci singurele rădăcini întregi posibile sunt $\pm 1$ și $\pm 3$ . Valorile sunt $- 2$ , $- 4$ , $24$ și $- 30$ , niciuna nulă, deci polinomul nu are rădăcini întregi. Are totuși o rădăcină reală: valoarea în $1$ este $- 2$ , iar valoarea în $2$ este $5$ , deci undeva între $1$ și $2$ polinomul trece prin zero — la un număr care nu este întreg.

15. a) Divizibilitatea cu $X - 2$ înseamnă $f (2) = 0$ : $8 - 20 + 2 m + 20 = 2 m + 8 = 0$ , deci $m = - 4$ . b) Pentru $f = X^{3} - 5 X^{2} - 4 X + 20$ , Horner cu $a = 2$ dă câtul $x^{2} - 3 x - 10$ , cu $Δ = 9 + 40 = 49$ și rădăcinile $5$ și $- 2$ . Deci $S = {- 2, 2, 5}$ .

16. Divizorii lui $10$ sunt $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 5$ , $\pm 10$ . Valoarea în $- 2$ este $- 8 + 8 - 10 + 10 = 0$ , deci $- 2$ este soluție. Horner cu $a = - 2$ pe $1, 2, 5, 10$ dă $1, 0, 5, 0$ , deci ecuația se scrie $(x + 2) (x^{2} + 5) = 0$ . Cum $x^{2} + 5 \geq 5$ , singura soluție este $x = - 2$ .

17. Polinomul este $(X - 1) (X + 3) (X - 5)$ . Desfăcând, $(X + 3) (X - 5) = X^{2} - 2 X - 15$ , iar $(X - 1) (X^{2} - 2 X - 15) = X^{3} - 3 X^{2} - 13 X + 15$ . Suma coeficienților, $1 - 3 - 13 + 15$ , este $0$ — adică exact valoarea polinomului în $1$ , deci $1$ este rădăcină.

18. Condițiile sunt că valorile în $1$ și în $- 2$ sunt nule: $1 + m - 7 + n + 12 = m + n + 6$ și $16 - 8 m - 28 - 2 n + 12 = - 8 m - 2 n$ . Din $m + n = - 6$ și $4 m + n = 0$ obținem $3 m = 6$ , deci $m = 2$ și $n = - 8$ . Ecuația devine $x^{4} + 2 x^{3} - 7 x^{2} - 8 x + 12 = 0$ , iar împărțind polinomul la $(x - 1) (x + 2) = x^{2} + x - 2$ obținem câtul $x^{2} + x - 6$ , cu $Δ = 1 + 24 = 25$ și rădăcinile $2$ și $- 3$ . Așadar $S = {- 3, - 2, 1, 2}$ .

De reținut

O ecuație polinomială este o egalitate de forma $f (x) = 0$ , iar a o rezolva în $R$ înseamnă a-i găsi toate soluțiile reale; ele sunt exact rădăcinile reale ale polinomului $f$ .
Rădăcinile întregi ale unui polinom cu coeficienți întregi se află printre divizorii termenului liber, luați cu ambele semne — o listă scurtă, care înlocuiește încercările la întâmplare, dar care se poate epuiza fără nicio potrivire.
Rețeta pentru gradul al treilea, în trei pași: cauți o rădăcină întreagă, cobori gradul cu schema lui Horner, rezolvi trinomul rămas cu discriminantul.
La gradul al patrulea recunoști întâi forma: factor comun când lipsește termenul liber, substituția $x^{2} = t$ când apar numai puteri pare, altfel două coborâri succesive de grad.
Gradul mărginește numărul de rădăcini: un polinom nenul de grad $n$ nu poate avea mai mult de $n$ rădăcini reale diferite, dar poate avea și mai puține; când trinomul rămas are $Δ < 0$ , el nu mai aduce nicio soluție reală.

Greșeli frecvente

Lista divizorilor scrisă pe jumătate. Dacă termenul liber este $12$ , candidații sunt doisprezece, nu șase: fiecare divizor intră și cu minus. Multe ecuații „fără soluții" sunt ecuații cu o rădăcină negativă care n-a fost încercată niciodată.
Oprirea la prima soluție găsită. O rădăcină întreagă nu este răspunsul, ci uneltele pentru el: după ce ai coborât gradul, trinomul rămas trebuie rezolvat, fiindcă acolo stau, de regulă, celelalte soluții. Cerința „rezolvați ecuația" cere mulțimea completă a soluțiilor.
Simplificarea prin $x$ . Din $x^{4} + 5 x^{3} + 6 x^{2} = 0$ nu se „taie" $x^{2}$ : împărțind prin el pierzi soluția $x = 0$ , care este adesea chiar cea cu sens fizic (momentul de pornire, poziția inițială). Se dă factor comun și se egalează fiecare factor cu zero.
Substituția lăsată neîntoarsă. La ecuațiile bipătrate, valorile lui $t$ nu sunt soluții ale ecuației: după ce ai găsit $t$ , rezolvi $x^{2} = t$ și abia atunci scrii răspunsul. Și verifică semnul: un $t$ negativ nu dă niciun $x$ real.
Soluțiile unui model păstrate fără filtrul contextului. Într-o problemă cu timp, lungimi sau concentrații, o soluție negativă ori una în afara intervalului măsurat se respinge — explicit, cu o propoziție de motivare. Răspunsul matematic complet și răspunsul fizic corect nu sunt același lucru.

Aplică acasă

Pariul dinaintea calculului. Ia din manualul de fizică, de chimie sau de biologie trei mărimi descrise prin polinoame de gradul al treilea cu coeficienți întregi. Pentru fiecare, scrie mai întâi lista divizorilor termenului liber și pariază, doar uitându-te la ea, dacă ecuația care anulează mărimea are sau nu soluții întregi. Abia apoi calculează. Notează de câte ori pariul a fost corect: vei vedea că termenul liber spune despre o ecuație mai mult decât pare.
Ecuația din laborator. Ia din manualul de fizică, de chimie sau de biologie o mărime descrisă printr-o formulă de gradul al treilea și rezolvă ecuația care o anulează. Scrie apoi, pentru fiecare soluție, o propoziție: ce înseamnă în context sau de ce trebuie respinsă. Este exercițiul care apropie cel mai mult o rezolvare de un raport de laborator.
Ecuația care nu are soluții întregi. Ia ecuația $x^{3} - 2 = 0$ și verifică, pe rând, cei patru candidați întregi. Caută apoi soluția cu un calculator de buzunar, încercând valori între $1$ și $2$ până obții două zecimale stabile, și scrie în două rânduri de ce metoda din lecție nu putea să o găsească.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide unitatea despre polinoame și este singura în care elevul folosește, într-un singur exercițiu, tot ce a învățat înainte: valorile unui polinom, împărțirea cu rest, tabelul lui Horner și criteriul lui Bézout. Dificultatea nu stă în vreo formulă nouă — nu există niciuna — ci în organizarea rezolvării: de unde încep, când mă opresc, ce scriu la final. La profilul științe ale naturii, unde matematica se face în trei ore pe săptămână, accentul cade pe rețeta sigură pentru gradul al treilea și pe cele două forme reductibile de gradul al patrulea, nu pe artificii de calcul.

De urmărit în caiet: lista divizorilor termenului liber a fost scrisă cu ambele semne, înainte de încercări; după coborârea gradului apare trinomul rezolvat, nu doar prima soluție; mulțimea soluțiilor e scrisă la sfârșit, cu acolade; la problemele aplicate, soluțiile respinse au o motivare scrisă. Întrebări de control: „Unde cauți prima soluție și de ce acolo?"; „Ce faci după ce ai găsit o rădăcină?"; „Ce înseamnă că trinomul rămas are discriminantul negativ?"; „De ce nu ai voie să simplifici prin $x$ ?". Semn că elevul a înțeles: verifică soluțiile în ecuația inițială și nu mai confundă valorile lui $t$ cu soluțiile unei ecuații bipătrate.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la capitolul „Polinoame cu coeficienți reali", care cere rădăcinile reale ale polinoamelor și teorema lui Bézout. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde rădăcinile polinoamelor apar la Subiectul al II-lea, ca materie de clasa a XII-a; acolo se adaugă și relațiile dintre rădăcini și coeficienți, care nu fac parte din programa clasei a IX-a. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a IX-a în programa de examen din 2014.

Întrebări frecvente

Se rezolvă ecuațiile polinomiale la fel la M1 și la M2? Ce diferă? Metoda de bază este aceeași; diferă mulțimea în care se caută soluțiile. La științe ale naturii, în clasa a IX-a, rămânem în $R$ : dacă trinomul rămas are discriminantul negativ, nu mai există soluții și încheiem. La matematică-informatică, în clasa a X-a, se lucrează în $C$ , cu rădăcini multiple și cu relațiile lui Viète. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: rădăcinile unui polinom la clasa a 10-a.

La ce subiect apar ecuațiile polinomiale la bacalaureatul M2? La Subiectul al II-lea, unde una dintre cele două probleme este de structuri algebrice și polinoame. În sesiunile 2027–2029 tema este trecută la materia clasei a XII-a, iar cerințele tipice pornesc de la un polinom cu un parametru real, cer o valoare sau o condiție de divizibilitate și, la ultimul punct, rezolvarea ecuației. Din 2030, la proba MAT_P2, polinoamele intră în domeniul Algebră.

Unde caut rădăcinile întregi ale unui polinom? Printre divizorii termenului liber, luați cu ambele semne, dacă polinomul are coeficienți întregi. Pentru termenul liber $8$ , de pildă, candidații sunt $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 4$ și $\pm 8$ . Încearcă întâi numerele mici: la exercițiile de clasa a IX-a rădăcina este aproape întotdeauna printre ele.

Cum rezolv o ecuație de gradul al treilea? În trei pași: cauți o soluție întreagă printre divizorii termenului liber, cobori gradul cu schema lui Horner și rezolvi trinomul rămas cu discriminantul. Scrii apoi mulțimea tuturor soluțiilor reale găsite și verifici măcar una dintre ele în ecuația inițială, nu în cea coborâtă. Dacă trinomul rămas are discriminantul negativ, ecuația are o singură soluție reală, iar răspunsul e deja complet.

Ce fac dacă niciun divizor al termenului liber nu este rădăcină? Înseamnă că polinomul nu are rădăcini întregi, deși poate avea rădăcini reale iraționale, ca $X^{3} - 2$ . La clasa a IX-a, la profilul științe ale naturii, o astfel de ecuație nu se cere rezolvată exact; important este să recunoști situația și să o spui, în loc să cauți la nesfârșit.

Cum rezolv o ecuație bipătrată? Notezi $x^{2} = t$ , cu condiția $t \geq 0$ , rezolvi ecuația de gradul al doilea obținută în $t$ și apoi te întorci la $x$ , rezolvând $x^{2} = t$ pentru fiecare valoare pozitivă găsită. O valoare negativă a lui $t$ se aruncă, fiindcă niciun pătrat de număr real nu este negativ.

Ce fac cu soluțiile care nu au sens într-o problemă practică? Le respingi, dar motivat: scrii soluția găsită și, lângă ea, de ce nu poate fi acceptată — un timp nu poate fi negativ, o latură decupată nu poate depăși jumătate din latura foii. Rezolvarea rămâne completă matematic, iar răspunsul final conține doar valorile cu sens în contextul dat.