Rădăcinile de ordinul n: pe scurt

Un număr complex $w$ este rădăcină de ordinul $n$ a lui $z$ dacă $w^n=z$. Nu se folosește notația $\sqrt[n]{z}$, pentru că orice $z\ne 0$ are exact $n$ astfel de numere, niciunul „mai natural” decât celelalte. Pentru $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$, ele sunt

$$w_k=\sqrt[n]{r}\left(\cos \frac{\phi +2k\pi }{n}+i\sin \frac{\phi +2k\pi }{n}\right),k=0,1,\dots ,n-1.$$

Toate au același modul $\sqrt[n]{r}$ (radicalul real, obișnuit, dintr-un număr pozitiv), iar argumentele cresc din $\frac{2\pi }{n}$ în $\frac{2\pi }{n}$. Geometric, imaginile sunt vârfurile unui poligon regulat cu $n$ laturi, înscris în cercul de rază $\sqrt[n]{r}$; pentru $n=2$ figura degenerează în două puncte opuse.

O consecință elegantă: suma celor $n$ rădăcini este $0$, pentru orice $n\ge 2$ — centrul de greutate al poligonului regulat coincide cu centrul cercului.

Verificarea este obligatorie: ridici fiecare rădăcină la puterea $n$ (cu Moivre) și trebuie să obții exact $z$.

Algoritmul are patru pași: scrii $z$ trigonometric, extragi modulul comun $\sqrt[n]{r}$, calculezi primul argument $\frac{\phi }{n}$ și adaugi, din $n-1$ ori, rația $\frac{2\pi }{n}$, apoi verifici. Nu se ia niciodată $k=n$ — acesta ar reproduce exact prima rădăcină, pentru că argumentul crește atunci cu un multiplu întreg de $2\pi$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Câte rădăcini de ordinul $5$ are numărul $32$ în $\mathbb{C}$?

   • a) $5$
   • b) $1$
   • c) $2$
   • d) $10$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $5$

   Orice număr complex nenul are exact $n$ rădăcini de ordinul $n$; aici $n=5$.

2. Care este modulul comun al rădăcinilor de ordinul $3$ ale unui număr $z$ cu $|z|=125$?

   • a) $125$
   • b) $5$
   • c) $25$
   • d) $\approx 41,67$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $5$

   Modulul comun este $\sqrt[3]{125}=5$.

3. Rădăcinile de ordinul $4$ ale unui număr real pozitiv formează, în planul complex, vârfurile unui:

   • a) hexagon regulat
   • b) triunghi echilateral
   • c) pătrat
   • d) pentagon regulat
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) pătrat

   Pentru $n=4$ rădăcinile sunt vârfurile unui poligon regulat cu $4$ laturi, adică un pătrat, înscris în cercul de rază $\sqrt[4]{r}$.