Rădăcinile unității: pe scurt

Mulțimea $U_n=\{\epsilon \in \mathbb{C}\mid {\epsilon }^n=1\}$ are exact $n$ elemente, toate de modul $1$: ${\epsilon }_k=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}$, $k=0,\dots ,n-1$, cu ${\epsilon }_0=1$ mereu în mulțime. Notând $\epsilon ={\epsilon }_1$, toate sunt puterile lui: $U_n=\{1,\epsilon ,{\epsilon }^2,\dots ,{\epsilon }^{n-1}\}$, iar puterile lui $\epsilon$ se repetă din $n$ în $n$ (${\epsilon }^m={\epsilon }^{m\mathrm{mod}n}$).

Suma elementelor lui $U_n$ este $0$, pentru orice $n\ge 2$ (demonstrație: $\epsilon S=S$ dă $(\epsilon -1)S=0$, iar $\epsilon \ne 1$). Cazul $n=3$ apare des: pentru $\epsilon \in U_3$, $\epsilon \ne 1$, avem ${\epsilon }^3=1$ și $1+\epsilon +{\epsilon }^2=0$, de unde $1+\epsilon =-{\epsilon }^2$.

Geometric, imaginile elementelor lui $U_n$ sunt vârfurile poligonului regulat cu $n$ laturi înscris în cercul unitate, cu un vârf întotdeauna în punctul de afix $1$. Latura poligonului este $2\sin \frac{\pi }{n}$: hexagonul are proprietatea specială că latura egalează raza.

Legătura cu rădăcinile oricărui alt număr: dacă $w_0^n=z$, atunci toate rădăcinile lui $z$ sunt $w_0{\epsilon }^k$ — găsești una singură și rotești restul.

Cazurile mici merită reținute: $U_2=\{1,-1\}$, $U_3=\left\{1,-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right\}$, $U_4=\{1,i,-1,-i\}$ — exact puterile lui $i$ — și $U_6$, cu argumentele multipli de $\frac{\pi }{3}$. Un exponent mare aplicat unui element din $U_n$ se reduce mereu modulo $n$, exact ca la puterile lui $i$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Care dintre următoarele numere aparține mulțimii $U_6$?

   • a) $-1$
   • b) $i$
   • c) $2$
   • d) $-i$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $-1$

   $(-1{)}^6=1$, deci $-1\in U_6$. În schimb $i^6=i^4\cdot i^2=1\cdot (-1)=-1\ne 1$, deci $i\notin U_6$.

2. Fie $\epsilon =i$, element din $U_4$. Calculați ${\epsilon }^{2027}$.

   • a) $i$
   • b) $-i$
   • c) $1$
   • d) $-1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $-i$

   Cum $2027=4\cdot 506+3$, avem $i^{2027}=i^3=-i$.

3. Care este suma elementelor mulțimii $U_7$?

   • a) $1$
   • b) $7$
   • c) $0$
   • d) $-1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $0$

   Suma tuturor rădăcinilor de ordinul $n$ ale unității este $0$, pentru orice $n\ge 2$.