Exponențiale, logaritmi și numere complexe: sinteza: pe scurt

Puterile cu exponent real păstrează toate regulile cunoscute pentru baze strict pozitive, iar exponențiala $a^x$ ia doar valori strict pozitive — de aceea orice substituție $t=a^x$ cere condiția $t>0$. Logaritmul este inversul exponențialei, ${\log }_{a}b=c⟺a^c=b$, cu proprietățile produsului, câtului și puterii; suma din interiorul logaritmului nu se desface niciodată. La ecuații și inecuații, baza decide sensul: pentru $a>1$ inegalitățile se păstrează, pentru $0<a<1$ se răstoarnă, iar la orice logaritm condițiile de existență se scriu întâi, cu respingerea motivată a soluțiilor care nu le respectă.

Numerele complexe se scriu $z=a+bi$ (formă algebrică, cu $i^2=-1$) sau $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$ (formă trigonometrică, cu $r=|z|$ și $\phi \in [0,2\pi )$). Modulul și conjugatul controlează împărțirea: $\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}$. Forma trigonometrică transformă puterile în înmulțiri de unghiuri prin formula lui Moivre, $z^n=r^n(\cos n\phi +i\sin n\phi )$, cu argumentul redus mereu la $[0,2\pi )$, iar rădăcinile de ordinul $n$ sunt $n$ numere de același modul, așezate în vârfurile unui poligon regulat. Diferența $z_B-z_A$ codează atât distanța $AB$, cât și direcția, folosindu-se la mijloc, centru de greutate, coliniaritate și perpendicularitate.

Exerciții din această mini-lecție

1. Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $9^x-4\cdot 3^x+3=0$.

   • a) $x\in \{1,3\}$
   • b) $x\in \{0,1\}$
   • c) $x\in \{-1,1\}$
   • d) $x\in \{0,3\}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $x\in \{0,1\}$

   Notăm $t=3^x$, cu $t>0$. Ecuația devine $t^2-4t+3=0$, cu soluțiile $t=1$ și $t=3$, ambele strict pozitive. Revenim: $3^x=1\Rightarrow x=0$ și $3^x=3\Rightarrow x=1$. Varianta a) confundă valorile lui $t$ cu cele ale lui $x$, uitând să revină la exponent.

2. Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația ${\log }_{2}x+{\log }_2(x-2)=3$.

   • a) $x=-2$
   • b) $x=8$
   • c) $x=2$
   • d) $x=4$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $x=4$

   Condiții de existență: $x>0$ și $x-2>0$, deci $x>2$. Restrângem: ${\log }_2[x(x-2)]=3$, adică $x^2-2x-8=0$, cu soluțiile $x=4$ și $x=-2$. Valoarea $x=-2$ (varianta a) nu respectă $x>2$ și se respinge motivat. Rămâne $x=4$. Verificare: ${\log }_{2}4+{\log }_{2}2=2+1=3$ ✓.

3. Se consideră $z_1=2+3i$ și $z_2=1-2i$. Calculați $z_1\cdot z_2$.

   • a) $8+i$
   • b) $2-6i$
   • c) $8-i$
   • d) $-4+7i$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $8-i$

   $z_1{z}_2=(2+3i)(1-2i)=2-4i+3i-6i^2=2-4i+3i+6=8-i$. Varianta b) uită complet termenii încrucișați $-4i+3i$, iar varianta a) greșește semnul părții imaginare.