Recapitulare mate-info: puteri, exponențiale, logaritmi și numere complexe

Un an de matematică-informatică seamănă cu o expediție lungă: la plecare ți se pare că fiecare zi aduce alt peisaj, fără nicio legătură cu ziua dinainte. Abia la întoarcere, când desfaci harta pe masă și tragi cu degetul traseul parcurs, vezi că totul a fost un singur drum. Ai plecat de la o întrebare aparent banală — ce înseamnă $2^{\sqrt{2}}$? — și ai ajuns, peste câteva luni, să extragi rădăcina de ordinul al treilea dintr-un număr negativ și să obții trei răspunsuri, așezate în vârfurile unui triunghi echilateral.

Recapitularea de față desfășoară harta pentru prima jumătate a drumului: puterile cu exponent real, funcția exponențială, logaritmii și numerele complexe. Nu înlocuiește lecțiile — le leagă. Vei găsi aici formulele adunate în tabele pe care le poți duce la lucrare, strategiile de recunoaștere („ce văd în enunț" $\to$ „ce metodă aplic") și lista greșelilor care costă cele mai multe puncte la Bacalaureat M1. Dacă undeva simți o fisură, urmează linkul spre lecția respectivă și revino.

Ce vei învăța

• Vei ști să refaci din memorie tabelul proprietăților puterilor și pe cel al proprietăților logaritmilor, cu condițiile lor de valabilitate.
• Vei ști să dai domeniul maxim al unei funcții putere $x^{\alpha }$, după tipul exponentului, și să nu confunzi $x^{1/3}$ cu $\sqrt[3]{x}$.
• Vei ști să alegi metoda la orice ecuație sau inecuație exponențială ori logaritmică: aceeași bază, factor comun, substituție, omogenizare.
• Vei ști să scrii condițiile de existență întâi, să respingi motivat soluțiile străine și să verifici în ecuația inițială.
• Vei ști să treci fără ezitare între forma algebrică și forma trigonometrică a unui număr complex și să aplici formula lui Moivre și formula rădăcinilor de ordinul $n$.
• Vei ști să traduci o cerință de geometrie în limbajul afixelor: distanțe, mijloc, raport dat, centru de greutate, coliniaritate, perpendicularitate.

Hai să descoperim împreună

1. Harta celor două teritorii

Materia acestei recapitulări se așază pe două blocuri mari, legate printr-o idee comună: o operație grea devine ușoară dacă schimbi limbajul în care o scrii.

Ideea comună se vede cel mai bine în două locuri. Logaritmul transformă înmulțirea în adunare, deci un produs greu devine o sumă ușoară. Forma trigonometrică transformă înmulțirea numerelor complexe în adunarea unghiurilor, deci o putere greu de calculat devine o înmulțire de unghiuri. De fiecare dată câștigi nu prin calcul mai rapid, ci prin alegerea limbajului potrivit.

2. Puterile cu exponent real: cinci reguli și un tabel de domenii

Pentru baze strict pozitive, toate regulile cunoscute rămân valabile, oricât de urât ar fi exponentul:

$$a^x{a}^y=a^{x+y},\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y},{\left(a^x\right)}^y=a^{xy},(ab{)}^x=a^x{b}^x,{\left(\frac{a}{b}\right)}^x=\frac{a^x}{b^x}.$$

La ele se adaugă legătura cu radicalii, $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$, și faptul esențial că $a^x>0$ întotdeauna. Condiția „baza strict pozitivă" nu este o toană: pentru baze negative, egalitatea $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$ ar da simultan două valori diferite lui $(-8{)}^{1/3}$.

Domeniul maxim al funcției putere $f(x)=x^{\alpha }$ depinde numai de tipul exponentului:

Distincția care împacă totul: domeniul se citește din tabel, dar monotonia, injectivitatea și inversa se enunță pe $(0,+\infty )$, unde comportamentul este unitar — crescătoare pentru $\alpha >0$, descrescătoare pentru $\alpha <0$, cu graficul trecând mereu prin $(1,1)$. Reține și deosebirea care apare an de an în subiecte: $x^{1/3}$ și $\sqrt[3]{x}$ sunt funcții diferite, care coincid doar pe $[0,+\infty )$.

3. Exponențială și logaritm: două fețe ale aceleiași monede

Funcția exponențială $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=a^x$ (cu $a>0$, $a\ne 1$), și funcția logaritmică $g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)={\log }_{a}x$, sunt inverse una alteia. De aici vin toate identitățile:

$${\log }_{a}b=c⟺a^c=b,a^{{\log }_{a}b}=b,{\log }_a{a}^x=x,{\log }_{a}1=0,{\log }_{a}a=1.$$

Nu există nicio formulă pentru ${\log }_a(x+y)$: suma din interiorul logaritmului nu se desface niciodată. Notațiile consacrate sunt $\lg x={\log }_{10}x$ și $\ln x={\log }_{e}x$; „log" fără bază nu se folosește.

Cel mai important tabel pentru examen este însă cel al monotoniei, pentru că el decide sensul inegalităților:

4. Ecuații și inecuații: cum recunoști metoda din prima privire

Două discipline se punctează separat în barem și de aceea merită scrise întotdeauna.

Prima: condițiile de existență se scriu ÎNTÂI. La orice logaritm, argumentul trebuie să fie strict pozitiv, iar baza pozitivă și diferită de $1$. Motivul practic: restrângerea logaritmilor lărgește domeniul, deci fabrică soluții străine. La ecuația ${\log }_2(x-1)+{\log }_2(x+1)=3$ condiția este $x>1$; restrângerea dă $x^2-1=8$, cu rădăcinile $x=3$ și $x=-3$, iar a doua se respinge explicit, pentru că nu respectă condiția. Aceeași disciplină se aplică ecuațiilor cu radicali și celor cu numitori.

A doua: la substituția $t=a^x$ se pune $t>0$. Funcția exponențială ia numai valori strict pozitive, deci o rădăcină negativă a ecuației în $t$ nu provine de la niciun $x$ real. La $4^x-2^x-2=0$ obții $t^2-t-2=0$, cu $t=2$ și $t=-1$; a doua se respinge motivat, iar din prima rezultă $x=1$.

5. Numerele complexe în formă algebrică

Un număr complex se scrie unic $z=a+bi$, cu $a,b\in \mathbb{R}$ și $i^2=-1$. Partea reală este $a$, partea imaginară este $b$ (numărul $b$, nu $bi$), iar egalitatea $a+bi=c+di$ înseamnă simultan $a=c$ și $b=d$ — de aici sistemele din problemele cu necunoscute reale.

Pentru $z_1=3+2i$ și $z_2=1-4i$ obții $z_1{z}_2=11-10i$ și $\frac{z_1}{z_2}=-\frac{5}{17}+\frac{14}{17}i$. Proprietățile $|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|$ și $|z^n|=|z{|}^n$ scurtează calcule lungi; la adunare, în schimb, avem doar inegalitatea triunghiului $|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$.

Ecuația de gradul al doilea se rezolvă acum întotdeauna. Dacă $a,b,c$ sunt reale și $\Delta <0$, rădăcinile sunt conjugate: $z_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta }}{2a}$. Astfel $z^2-4z+13=0$ are rădăcinile $2\pm 3i$, cu $S=4$ și $P=13=|z_1{|}^2$. Relațiile lui Viète rămân valabile pentru orice coeficienți complecși; doar concluzia „rădăcinile sunt conjugate" cere coeficienți reali.

6. Forma trigonometrică, Moivre și rădăcinile de ordinul $n$

Orice $z\ne 0$ se scrie unic $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$, cu $r=|z|>0$ și argumentul redus $\phi \in [0,2\pi )$. Numărul $0$ are modul, dar nu are argument.

Algoritmul de trecere, în cinci pași: calculezi $r=\sqrt{a^2+b^2}$; stabilești cadranul din semnele lui $a$ și $b$; scrii $\cos \phi =\frac{a}{r}$ și $\sin \phi =\frac{b}{r}$; identifici $\phi$ în intervalul cadranului; verifici. Cadranul se stabilește înaintea argumentului. Tangenta singură nu ajunge: $\mathrm{tg}\phi =\frac{b}{a}$ are, în $[0,2\pi )$, două soluții, aflate în cadrane diagonal opuse.

Exemplu de referință. Pentru $z=2-2i$: $r=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$; semnele $(+,-)$ dau cadranul IV; $\cos \phi =\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\sin \phi =-\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $\phi =\frac{7\pi }{4}$.

După fiecare aplicare a formulei lui Moivre, argumentul obținut se reduce la $[0,2\pi )$, scăzând sau adunând multipli de $2\pi$. Pentru $z=2-2i$ și $n=6$: modulul devine ${\left(2\sqrt{2}\right)}^6=2^6\cdot 2^3=512$, argumentul devine $6\cdot \frac{7\pi }{4}=\frac{21\pi }{2}$, iar reducerea dă $\frac{21\pi }{2}-10\pi =\frac{\pi }{2}$. Deci $(2-2i{)}^6=512i$. Control pe altă cale: $(2-2i{)}^2=-8i$, iar $(-8i{)}^3=-512i^3=512i$ ✓.

Rădăcinile de ordinul $n$ au toate același modul $\sqrt[n]{r}$, iar argumentele lor cresc din $\frac{2\pi }{n}$ în $\frac{2\pi }{n}$: imaginile lor sunt vârfurile unui poligon regulat cu $n$ laturi, iar suma lor este $0$ pentru $n\ge 2$. Pentru $z^3=-8$ ai $r=8$, $\phi =\pi$, deci modulul rădăcinilor este $2$, iar argumentele sunt $\frac{\pi }{3}$, $\pi$, $\frac{5\pi }{3}$:

$$w_0=1+i\sqrt{3},w_1=-2,w_2=1-i\sqrt{3}.$$

Verificarea obligatorie este dus-întors: $(1+i\sqrt{3}{)}^2=-2+2i\sqrt{3}$, iar $(-2+2i\sqrt{3})(1+i\sqrt{3})=-2-6=-8$ ✓. Observă și controlul de sumă: $w_0+w_1+w_2=0$.

7. Numerele complexe ca instrument de geometrie

Ultimul bloc traduce enunțuri geometrice în calcule cu afixe. Regula de citire este una singură: diferența $z_B-z_A$ poartă două informații — modulul ei este distanța $AB$, iar argumentul ei este direcția de la $A$ către $B$.

Exemplu de referință. Fie $A(1+2i)$ și $B(7+8i)$. Mijlocul lui $[AB]$ are afixul $4+5i$. Punctul $M$ cu $\frac{AM}{MB}=2$ are afixul $\frac{(1+2i)+2(7+8i)}{3}=\frac{15+18i}{3}=5+6i$; controlul: $A{M}^2=32$ și $M{B}^2=8$, deci $A{M}^2=4M{B}^2$ ✓. Dacă adaugi $C(4+2i)$, centrul de greutate are afixul $\frac{12+12i}{3}=4+4i$.

Iar pentru $A(1+i)$, $B(4+2i)$, $C(-1+7i)$: $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\frac{-2+6i}{3+i}=2i$, număr pur imaginar. Concluzie dublă dintr-un singur calcul: $AB\perp AC$ (raportul este pur imaginar) și $\frac{AC}{AB}=|2i|=2$ (din modul).

8. Trusa de control

Patru verificări de câte treizeci de secunde, care prind aproape orice greșeală:

1. Ecuații: înlocuiește soluția în ecuația inițială, nu în cea transformată.
2. Împărțiri: înmulțește câtul cu împărțitorul și compară cu deîmpărțitul.
3. Rădăcini de ordinul $n$: ridică-le la puterea $n$; suma lor trebuie să fie $0$.
4. Argumente: sunt în $[0,2\pi )$ și se potrivesc cu cadranul citit din semne?

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Puteri și radicali

Calculați $E=8^{2/3}+32^{-2/5}$ și comparați $\sqrt[3]{3}$ cu $\sqrt{2}$.

Rezolvare. Descompunem bazele în factori primi: $8^{2/3}={\left(2^3\right)}^{2/3}=2^2=4$ și $32^{-2/5}={\left(2^5\right)}^{-2/5}=2^{-2}=\frac{1}{4}$. Deci $E=4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$.

Pentru comparare, aducem radicalii la același ordin. Exponenții sunt $\frac{1}{3}$ și $\frac{1}{2}$, cu numitorul comun $6$: $\sqrt[3]{3}=3^{2/6}=\sqrt[6]{9}$ și $\sqrt{2}=2^{3/6}=\sqrt[6]{8}$. Cum $9>8$, rezultă $\sqrt[3]{3}>\sqrt{2}$.

Exemplul 2 — Ecuație exponențială prin substituție

Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $2^{2x}-5\cdot 2^{x+1}+16=0$.

Rezolvare. Descompunem exponenții compuși înainte de substituție: $2^{2x}={\left(2^x\right)}^2$ și $2^{x+1}=2\cdot 2^x$. Ecuația devine ${\left(2^x\right)}^2-10\cdot 2^x+16=0$.

Notăm $t=2^x$, cu condiția $t>0$. Obținem $t^2-10t+16=0$, cu $\Delta =100-64=36$, deci $t_{1,2}=\frac{10\pm 6}{2}$, adică $t_1=2$ și $t_2=8$. Ambele sunt strict pozitive, deci ambele se păstrează.

Revenim: $2^x=2\Rightarrow x=1$ și $2^x=8=2^3\Rightarrow x=3$. Verificare: pentru $x=1$, $4-20+16=0$ ✓; pentru $x=3$, $64-80+16=0$ ✓. Soluțiile sunt $x\in \{1,3\}$.

Exemplul 3 — Ecuație logaritmică, cu respingere motivată

Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația ${\log }_2(x-1)+{\log }_2(x+1)=3$.

Rezolvare. Condiții de existență: $x-1>0$ și $x+1>0$, deci $x>1$.

Rezolvare: restrângem, ${\log }_2[(x-1)(x+1)]=3$, de unde $x^2-1=2^3=8$, adică $x^2=9$ și $x\in \{-3,3\}$.

Confruntarea cu condițiile: $x=-3$ nu verifică $x>1$, deci se respinge; $x=3$ verifică.

Verificare în ecuația inițială: ${\log }_{2}2+{\log }_{2}4=1+2=3$ ✓. Soluția este $x=3$.

Exemplul 4 — Inecuație logaritmică cu bază subunitară

Rezolvați inecuația ${\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)>2$.

Rezolvare. Condiții de existență: $x-1>0$, deci $x>1$.

Baza este $\frac{1}{2}\in (0,1)$, deci funcția logaritmică este strict descrescătoare și sensul inegalității se schimbă la trecerea la argumente. Scriem $2={\log }_{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^2={\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$, deci inecuația devine $x-1<\frac{1}{4}$, adică $x<\frac{5}{4}$.

Intersectăm cu condiția: $x\in \left(1;\frac{5}{4}\right)$. Probă: pentru $x=1,2$ avem $x-1=0,2<0,25$ ✓; pentru $x=2$ avem ${\log }_{1/2}1=0<2$, deci nu convine ✓.

Exemplul 5 — De la forma algebrică la putere

Se consideră $z=2-2i$. Scrieți $z$ sub formă trigonometrică și calculați $z^6$.

Rezolvare. $r=\sqrt{2^2+(-2{)}^2}=2\sqrt{2}$. Semnele $(+,-)$ dau cadranul IV, deci $\phi \in \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$. Din $\cos \phi =\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\sin \phi =-\frac{\sqrt{2}}{2}$ rezultă $\phi =\frac{7\pi }{4}$, deci

$$z=2\sqrt{2}\left(\cos \frac{7\pi }{4}+i\sin \frac{7\pi }{4}\right).$$

Aplicăm formula lui Moivre: modulul devine ${\left(2\sqrt{2}\right)}^6=2^6\cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^6=64\cdot 8=512$, iar argumentul devine $6\cdot \frac{7\pi }{4}=\frac{21\pi }{2}$. Reducem scăzând $10\pi$: $\frac{21\pi }{2}-\frac{20\pi }{2}=\frac{\pi }{2}$. Prin urmare

$$z^6=512\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)=512i.$$

Verificare pe altă cale: $(2-2i{)}^2=4-8i+4i^2=-8i$, iar $(-8i{)}^3=-512i^3=512i$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră numerele complexe $z_1=3+2i$ și $z_2=1-4i$. a) Arătați că $z_1\cdot z_2=11-10i$. b) Calculați $\frac{z_1}{z_2}$. c) Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $x{z}_1+y{z}_2=7+14i$.

Rezolvare. a) $z_1{z}_2=(3+2i)(1-4i)=3-12i+2i-8i^2=3-10i+8=11-10i$ ✓.

b) Amplificăm cu conjugatul numitorului, $\overline{z_2}=1+4i$:

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{(3+2i)(1+4i)}{(1-4i)(1+4i)}=\frac{3+12i+2i-8}{1+16}=\frac{-5+14i}{17}=-\frac{5}{17}+\frac{14}{17}i.$$

Verificare prin înmulțire înapoi: $\left(-\frac{5}{17}+\frac{14}{17}i\right)(1-4i)=\frac{-5+20i+14i+56}{17}=\frac{51+34i}{17}=3+2i$ ✓.

c) $x(3+2i)+y(1-4i)=(3x+y)+(2x-4y)i$. Cum $x$ și $y$ sunt reale, identificăm părțile reală și imaginară:

$$\{\begin{array}{l}3x+y=7\\ 2x-4y=14\end{array}$$

Din prima, $y=7-3x$; înlocuim în a doua: $2x-28+12x=14$, deci $14x=42$ și $x=3$, apoi $y=-2$. Verificare: $3(3+2i)-2(1-4i)=9+6i-2+8i=7+14i$ ✓.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu redactare completă. La ecuațiile logaritmice scrie întâi condițiile de existență, iar la substituții notează condiția asupra necunoscutei auxiliare. La numerele complexe, verifică fiecare împărțire prin înmulțire înapoi.

1. Calculează $16^{3/4}-27^{-2/3}$.

2. Compară numerele $\sqrt[4]{5}$ și $\sqrt[3]{3}$, aducându-le la același ordin.

3. Determină domeniul maxim de definiție al funcțiilor $f(x)=x^{5/2}$ și $g(x)=x^{-3/4}$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcțiile $f(x)=x^{1/3}$ și $g(x)=\sqrt[3]{x}$ au același domeniu maxim de definiție."

5. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $3^{x+1}+3^x=36$.

6. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $4^x-3\cdot 2^x+2=0$.

7. Rezolvă inecuația ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x>9$.

8. Calculează $\lg 20+\lg 5$ și ${\log }_{2}24-{\log }_{2}3$.

9. Calculează ${\log }_{4}8$ și ${\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}8$.

10. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația ${\lg }^{2}x-3\lg x+2=0$.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Ecuația ${\log }_3{x}^2=4$ are o singură soluție reală."

12. Rezolvă inecuația ${\log }_{\frac{1}{2}}(x-3)\ge -2$.

13. (Problemă aplicată.) O sumă depusă la bancă crește cu $5\%$ în fiecare an. După câți ani întregi se dublează? (Folosește $\lg 2\approx 0,3010$ și $\lg 1,05\approx 0,0212$.)

14. Pentru $z=3+2i$, calculează $\bar{z}$, $z\bar{z}$, $|z|$ și $\frac{1}{z}$.

15. Calculează $i^{2026}$ și $\frac{1+i}{1-i}$.

16. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $z^2-4z+13=0$ și verifică relațiile lui Viète.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $z=2-2i$. a) Scrieți $z$ sub formă trigonometrică. b) Calculați $z^8$. c) Determinați cel mai mic număr natural nenul $n$ pentru care $z^n$ este real pozitiv.

18. (Provocare.) Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $z^3=-8$, reprezintă soluțiile în planul complex și arată că imaginile lor sunt vârfurile unui triunghi echilateral cu centrul în origine.

Răspunsuri și explicații

1. $16^{3/4}={\left(2^4\right)}^{3/4}=2^3=8$, iar $27^{-2/3}={\left(3^3\right)}^{-2/3}=3^{-2}=\frac{1}{9}$. Rezultat: $8-\frac{1}{9}=\frac{71}{9}$.

2. Exponenții sunt $\frac{1}{4}$ și $\frac{1}{3}$, cu numitorul comun $12$: $\sqrt[4]{5}=5^{3/12}=\sqrt[12]{125}$ și $\sqrt[3]{3}=3^{4/12}=\sqrt[12]{81}$. Cum $125>81$, avem $\sqrt[4]{5}>\sqrt[3]{3}$.

3. Exponentul $\frac{5}{2}$ este neîntreg și pozitiv, deci domeniul lui $f$ este $[0,+\infty )$. Exponentul $-\frac{3}{4}$ este neîntreg și negativ, deci domeniul lui $g$ este $(0,+\infty )$.

4. Fals. Funcția putere $x^{1/3}$ are exponent neîntreg pozitiv, deci domeniul maxim $[0,+\infty )$, în timp ce funcția radical de ordin impar $\sqrt[3]{x}$ este definită pe tot $\mathbb{R}$ (de exemplu, $\sqrt[3]{-8}=-2$). Cele două funcții coincid numai pe $[0,+\infty )$.

5. Dăm factor comun: $3^x(3+1)=36$, deci $3^x=9=3^2$ și, prin injectivitate, $x=2$. Verificare: $27+9=36$ ✓.

6. Cu $t=2^x$, $t>0$: $t^2-3t+2=0$, deci $t_1=1$ și $t_2=2$, ambele pozitive. Revenim: $2^x=1\Rightarrow x=0$ și $2^x=2\Rightarrow x=1$. Soluțiile sunt $x\in \{0,1\}$.

7. Aducem la aceeași bază: $3^{-x}>3^2$. Baza $3$ este supraunitară, deci sensul se păstrează: $-x>2$, adică $x<-2$. Soluția este $(-\infty ,-2)$. Probă: pentru $x=-3$ obținem $27>9$ ✓, iar pentru $x=-2$ obținem $9>9$, fals — capătul nu intră.

8. $\lg 20+\lg 5=\lg 100=2$ (proprietatea produsului). ${\log }_{2}24-{\log }_{2}3={\log }_{2}8=3$ (proprietatea câtului).

9. ${\log }_{4}8=\frac{{\log }_{2}8}{{\log }_{2}4}=\frac{3}{2}$ (schimbarea bazei). ${\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}8={\log }_{2}8=3$ (regula lanțului: „veriga din mijloc se simplifică").

10. Condiție: $x>0$. Cu $t=\lg x$ obținem $t^2-3t+2=0$, deci $t\in \{1,2\}$. Revenim: $\lg x=1\Rightarrow x=10$; $\lg x=2\Rightarrow x=100$. Ambele respectă condiția, deci $x\in \{10,100\}$.

11. Fals. Condiția de existență este $x^2>0$, adică $x\ne 0$, iar ecuația dă $x^2=3^4=81$, deci $x\in \{-9,9\}$ — două soluții. Greșeala tipică este scrierea ${\log }_3{x}^2=2{\log }_{3}x$, valabilă numai pentru $x>0$; forma corectă este $2{\log }_3|x|$.

12. Condiție: $x-3>0$, deci $x>3$. Baza $\frac{1}{2}$ este subunitară, deci sensul se schimbă: din $-2={\log }_{\frac{1}{2}}4$ obținem $x-3\le 4$, adică $x\le 7$. Intersectând, soluția este $(3;7]$.

13. Din $1,05^n\ge 2$ obținem $n\ge \frac{\lg 2}{\lg 1,05}\approx \frac{0,3010}{0,0212}\approx 14,2$, deci sunt necesari $15$ ani. Control: $1,05^{14}\approx 1,98<2$, iar $1,05^{15}\approx 2,08>2$ ✓.

14. $\bar{z}=3-2i$; $z\bar{z}=9+4=13$; $|z|=\sqrt{13}$; $\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}=\frac{3-2i}{13}=\frac{3}{13}-\frac{2}{13}i$. Verificare: $\left(\frac{3-2i}{13}\right)(3+2i)=\frac{9+4}{13}=1$ ✓.

15. $2026=4\cdot 506+2$, deci $i^{2026}=i^2=-1$. Apoi $\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i{)}^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{2i}{2}=i$.

16. $\Delta =16-52=-36<0$, deci $z_{1,2}=\frac{4\pm i\sqrt{36}}{2}=2\pm 3i$ — rădăcini conjugate, așa cum cere teoria pentru coeficienți reali. Viète: $z_1+z_2=4=-\frac{b}{a}$ ✓ și $z_1{z}_2=4+9=13=\frac{c}{a}$ ✓; observă că $P=|z_1{|}^2>0$.

17. a) $r=2\sqrt{2}$, cadranul IV, $\cos \phi =\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin \phi =-\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $z=2\sqrt{2}\left(\cos \frac{7\pi }{4}+i\sin \frac{7\pi }{4}\right)$. b) Modulul: ${\left(2\sqrt{2}\right)}^8=2^8\cdot 2^4=4096$; argumentul: $8\cdot \frac{7\pi }{4}=14\pi$, multiplu de $2\pi$, deci se reduce la $0$; prin urmare $z^8=4096$. Control: $(2-2i{)}^2=-8i$, iar $(-8i{)}^4=4096i^4=4096$ ✓. c) $z^n$ este real pozitiv exact când $n\cdot \frac{7\pi }{4}$ este multiplu de $2\pi$, adică $\frac{7n}{4}=2k$, deci $7n=8k$. Cum $7$ și $8$ sunt prime între ele, $n$ trebuie să fie multiplu de $8$; cel mai mic este $n=8$, iar valoarea corespunzătoare, calculată la b), este $4096>0$ ✓.

18. Scriem $-8=8(\cos \pi +i\sin \pi )$. Modulul rădăcinilor este $\sqrt[3]{8}=2$, iar argumentele sunt $\frac{\pi +2k\pi }{3}$ pentru $k\in \{0,1,2\}$, adică $\frac{\pi }{3}$, $\pi$, $\frac{5\pi }{3}$. Obținem $w_0=2\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=1+i\sqrt{3}$, $w_1=-2$ și $w_2=1-i\sqrt{3}$. Verificare dus-întors: $(1+i\sqrt{3}{)}^2=-2+2i\sqrt{3}$, iar $(-2+2i\sqrt{3})(1+i\sqrt{3})=-2-2i\sqrt{3}+2i\sqrt{3}-6=-8$ ✓. Toate trei au modulul $2$, deci imaginile sunt pe cercul de centru $O$ și rază $2$; argumentele lor diferă prin $\frac{2\pi }{3}$, deci arcele determinate sunt egale și triunghiul este echilateral. Suma $w_0+w_1+w_2=0$ arată că centrul de greutate al triunghiului este originea.

De reținut

• Toate regulile puterilor rămân valabile pentru exponenți reali, cu baze strict pozitive, iar $a^x>0$ întotdeauna — de aici condiția $t>0$ la orice substituție $t=a^x$.
• Exponențiala și logaritmul sunt funcții inverse: ${\log }_{a}b=c⟺a^c=b$. Logaritmul transformă produsul în sumă, dar suma din interiorul logaritmului nu se desface niciodată.
• Baza decide sensul: pentru $a>1$ inegalitățile se păstrează, pentru $0<a<1$ se răstoarnă. Propoziția se scrie explicit în rezolvare.
• Condițiile de existență se scriu ÎNTÂI, iar la final fiecare soluție se confruntă cu ele și se respinge motivat dacă nu convine.
• Forma trigonometrică rezolvă puterile și rădăcinile: $z^n=r^n(\cos n\phi +i\sin n\phi )$, iar rădăcinile de ordinul $n$ sunt $n$ numere de același modul $\sqrt[n]{r}$, așezate în vârfurile unui poligon regulat. Argumentul se reduce mereu la $[0,2\pi )$.

Greșeli frecvente

• Se uită condiția $t>0$ la substituție. Din $t^2-t-2=0$ ies $t=2$ și $t=-1$; a doua nu dă niciun $x$ real, pentru că $2^x$ nu poate fi negativ. Respingerea se scrie explicit — baremul o punctează.
• Se scrie ${\log }_a{x}^2=2{\log }_{a}x$ fără modul. Forma corectă, când semnul lui $x$ nu este cunoscut, este $2{\log }_a|x|$; altfel se pierde jumătate din soluții, ca la ecuația ${\log }_3{x}^2=4$.
• Se uită schimbarea sensului la bază subunitară. La ${\log }_{1/2}u>2$ inegalitatea dintre argumente devine $u<\frac{1}{4}$, nu $u>\frac{1}{4}$. Aceeași capcană la inecuațiile exponențiale cu $0<a<1$.
• Se determină argumentul din tangentă. Relația $\mathrm{tg}\phi =\frac{b}{a}$ nu distinge cadranele I și III, nici II și IV. Stabilește cadranul din semnele lui $a$ și $b$, apoi folosește perechea $(\cos \phi ,\sin \phi )$.
• Se lasă argumentul neredus sau se uită ridicarea modulului la putere. Valori ca $\frac{21\pi }{2}$ sunt corecte, dar nu sunt reduse; iar din $z=2\sqrt{2}(\dots )$ și $n=6$ modulul nu rămâne $2\sqrt{2}$, ci devine ${\left(2\sqrt{2}\right)}^6=512$.

Aplică acasă

1. Fișa de o pagină. Scrie pe o singură foaie, din memorie, cele cinci reguli ale puterilor, cele patru proprietăți ale logaritmilor și cele patru formule ale numerelor complexe în formă trigonometrică. Apoi compară cu tabelele din lecție și notează ce ai omis — lista aceea este exact ce trebuie să repeți.

2. Cronometrul de recunoaștere. Alege douăzeci de ecuații din caiet, amestecate, și, fără să le rezolvi, notează în zece secunde metoda pentru fiecare. Verifică apoi cu tabelul din secțiunea 4. Ținta este $18$ din $20$: la Bacalaureat M1, recunoașterea rapidă îți lasă timp pentru problemele grele.

3. Poligonul din caiet. Desenează pe hârtie milimetrică rădăcinile de ordinul $4$ ale lui $16$, apoi pe cele ale lui $-16$. Explică în două rânduri de ce cele două pătrate sunt rotite unul față de celălalt cu $45^{\circ }$.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei deprinderi care se punctează separat în baremele de la Bacalaureat M1. Prima este disciplina condițiilor de existență: elevul care scrie condițiile abia la sfârșit, ca formalitate, pierde punctele chiar dacă rezultatul final este corect. A doua este discuția după bază la inecuații: propoziția „baza este subunitară, deci sensul se schimbă" trebuie să apară scrisă, nu doar aplicată. A treia este reducerea argumentului la intervalul $[0,2\pi )$ după orice aplicare a formulei lui Moivre.

Puncte de verificat într-o lucrare: (1) la substituții apare condiția $t>0$ și rădăcinile negative sunt respinse motivat; (2) soluțiile sunt verificate în ecuația inițială; (3) la numerele complexe, cadranul este stabilit înaintea argumentului; (4) fiecare împărțire este controlată prin înmulțire înapoi. Întrebări bune de control: „De ce nu se desface ${\log }_a(x+y)$?"; „Ce se schimbă în rezolvare dacă baza devine $\frac{1}{3}$ în loc de $3$?"; „Cum arăți, fără să calculezi, că $(2-2i{)}^8$ este real?".

La Bacalaureat M1, aceste conținuturi apar constant în prima parte a subiectului: un calcul cu logaritmi, o ecuație exponențială rezolvată prin substituție, o operație cu numere complexe, o putere calculată cu formula lui Moivre. Sunt cerințe care se rezolvă în două–trei minute fiecare, cu condiția ca automatismele să fie așezate; de aceea recapitularea insistă pe recunoaștere și pe control, nu pe probleme spectaculoase.

Întrebări frecvente

Ce trebuie să știu pe de rost din acest capitol pentru Bacalaureat M1? Cele cinci reguli ale puterilor, definiția logaritmului cu cele patru identități-cheie, cele patru proprietăți ale logaritmilor (produs, cât, putere, schimbarea bazei), formulele modulului și conjugatului, formula lui Moivre și formula rădăcinilor de ordinul $n$. Restul se deduce din ele.

Cum îmi dau seama dacă o ecuație exponențială se rezolvă prin substituție? Dacă în ecuație apar $a^{2x}$ (sau $a^{2x+k}$) și $a^x$, substituția $t=a^x$ transformă totul într-o ecuație de gradul al doilea. Semnalul este că un exponent este dublul altuia. Nu uita condiția $t>0$.

De ce apar soluții străine la ecuațiile logaritmice? Pentru că restrângerea logaritmilor lărgește domeniul: expresia ${\log }_2(x-1)+{\log }_2(x+1)$ are sens doar pentru $x>1$, dar ${\log }_2\left(x^2-1\right)$ are sens și pentru $x<-1$. Transformarea introduce astfel valori care nu erau admise inițial; ele se elimină prin confruntarea cu condițiile de existență.

Când se schimbă sensul unei inecuații logaritmice? Exact când baza este subunitară, adică $0<a<1$. Atunci funcția logaritmică este strict descrescătoare, deci ordinea logaritmilor este inversă ordinii argumentelor. Pentru $a>1$ sensul se păstrează.

Cum trec repede de la forma algebrică la cea trigonometrică? Calculezi modulul, stabilești cadranul din semnele părților reală și imaginară, apoi identifici argumentul din perechea $\left(\frac{a}{r},\frac{b}{r}\right)$. Cadranul înainte de argument — este cel mai bun control al răspunsului și te scutește de greșeala clasică a tangentei.

Câte rădăcini de ordinul $n$ are un număr complex nenul? Exact $n$, toate distincte, toate de același modul $\sqrt[n]{r}$, cu argumentele care cresc din $\frac{2\pi }{n}$ în $\frac{2\pi }{n}$. Imaginile lor sunt vârfurile unui poligon regulat cu $n$ laturi, iar suma lor este $0$ pentru $n\ge 2$.

Cum verific singur un rezultat cu numere complexe? Prin operația inversă: câtul se verifică înmulțind înapoi, rădăcina de ordinul $n$ se verifică ridicând la puterea $n$, iar rădăcinile unei ecuații de gradul al doilea se verifică prin relațiile lui Viète. Sunt controale de treizeci de secunde care prind aproape orice greșeală de semn.

Cum îmi amintesc dacă la schimbarea bazei argumentul stă sus sau jos? Testează pe un caz cunoscut: ${\log }_{4}8$ trebuie să dea $\frac{3}{2}$. Formula $\frac{{\log }_{2}8}{{\log }_{2}4}=\frac{3}{2}$ confirmă, iar varianta răsturnată ar da $\frac{2}{3}$, adică greșit.