Polinoame și ecuații algebrice: sinteza: pe scurt

Toate instrumentele capitolului slujesc unei singure idei: rădăcina înseamnă factor. Teorema lui Bézout, $(X-a)\mid f⟺f(a)=0$, se aplică prin schema lui Horner, care dă într-un singur rând câtul și restul unei împărțiri la $X-a$; teorema restului spune că restul la $X-a$ este chiar $f(a)$. Ordinul de multiplicitate al unei rădăcini se citește din resturile nule consecutive obținute prin Horner, iar suma tuturor ordinelor este mereu egală cu gradul polinomului.

Relațiile lui Viète, $S_k=(-1{)}^k\frac{a_{n-k}}{a_n}$, dau informații despre rădăcini fără să le calculezi — de exemplu $\sum x_i^2=S_1^2-2S_2$. Peste $\mathbb{C}$ polinoamele ireductibile sunt exact cele de gradul întâi; peste $\mathbb{R}$, li se adaugă cele de gradul al doilea cu $\Delta <0$, iar puntea dintre cele două este teorema rădăcinilor conjugate: dacă $f$ are coeficienți reali și $z$ e rădăcină, atunci și $\bar{z}$ este rădăcină, iar perechea dă factorul real $X^2-2aX+(a^2+b^2)$.

Pentru ecuațiile algebrice, alegerea metodei depinde de indiciile din enunț: coeficienți întregi $\to$ divizorii termenului liber; doar puteri pare $\to$ substituția $x^2=y$, cu întoarcere completă în $\mathbb{C}$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Determinați restul împărțirii polinomului $f=X^3-2X^2+X+4$ la $X+1$.

   • a) $4$
   • b) $0$
   • c) $2$
   • d) $6$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $0$

   Prin teorema restului, restul la $X-(-1)$ este $f(-1)=(-1{)}^3-2(-1{)}^2+(-1)+4=-1-2-1+4=0$. Restul fiind $0$, prin teorema lui Bézout rezultă că $X+1$ divide polinomul $f$. Varianta a) este $f(0)$, calculată greșit în locul lui $f(-1)$.

2. Fie $x_1,x_2,x_3$ rădăcinile ecuației $x^3-6x^2+11x-6=0$. Calculați $x_1^2+x_2^2+x_3^2$.

   • a) $36$
   • b) $22$
   • c) $25$
   • d) $14$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $14$

   Din Viète: $S_1=6$, $S_2=11$. Atunci $\sum x_i^2=S_1^2-2S_2=36-22=14$. Control: rădăcinile sunt $1,2,3$, iar $1+4+9=14$ ✓. Varianta a) este $S_1^2$ neconvertit, iar varianta b) este $2S_2$.

3. Ecuația $x^4-5x^2+4=0$ are, în $\mathbb{R}$:

   • a) $2$ soluții reale
   • b) $0$ soluții reale
   • c) $4$ soluții reale distincte
   • d) $4$ soluții, dintre care $2$ sunt complexe
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $4$ soluții reale distincte

   Cu $y=x^2$: $y^2-5y+4=0$, cu soluțiile $y=1$ și $y=4$, ambele strict pozitive. Fiecare dă două valori reale ale lui $x$: $y=1\Rightarrow x=\pm 1$, $y=4\Rightarrow x=\pm 2$. Ecuația are deci $4$ soluții reale distincte. Dacă vreo valoare a lui $y$ ar fi ieșit negativă, acele soluții ar fi fost pur imaginare, nu s-ar fi respins.