Acasă · Lecții · clasa a X-a · Recapitulare mate-info: polinoame și ecuații algebrice

Recapitulare mate-info: polinoame și ecuații algebrice

Timp de peste trei sute de ani, matematicienii au căutat o formulă care să rezolve orice ecuație de gradul al cincilea, așa cum formula cu discriminant rezolvă gradul al doilea. Căutarea s-a încheiat în secolul al XIX-lea cu un rezultat surprinzător: o astfel de formulă nu există. Și totuși, capitolul pe care tocmai l-ai terminat rezolvă, practic, o mulțime de ecuații de grad mare. Cum? Nu printr-o formulă universală, ci printr-o strategie: cobori gradul.

Toate instrumentele capitolului slujesc aceleiași idei. Teorema lui Bézout spune că o rădăcină înseamnă un factor. Schema lui Horner face împărțirea la acel factor într-un singur rând de calcule. Teorema rădăcinilor raționale îți spune unde să cauți prima rădăcină. Teorema rădăcinilor conjugate îți dăruiește a doua rădăcină pe gratis, din prima. Iar relațiile lui Viète îți dau informații despre rădăcini fără să le calculezi deloc. Recapitularea de față adună aceste instrumente într-o singură trusă și îți arată, pentru fiecare tip de ecuație, care unealtă se scoate prima.

Ce vei învăța

Vei ști să refaci teorema împărțirii cu rest pentru polinoame și să verifici orice împărțire prin înmulțire înapoi.
Vei ști când folosești algoritmul clasic, când teorema restului și când schema lui Horner — și de ce Horner merge numai la împărțitori de forma $X - a$ .
Vei ști să determini ordinul de multiplicitate al unei rădăcini și să controlezi o descompunere prin suma ordinelor.
Vei ști să scrii relațiile lui Viète pentru gradul al doilea, al treilea și pentru grad $n$ , și să calculezi expresii simetrice fără a rezolva ecuația.
Vei ști să descompui în factori ireductibili peste $C$ și peste $R$ , folosind perechile de rădăcini conjugate.
Vei ști să alegi metoda potrivită pentru orice ecuație algebrică: divizori ai termenului liber, rădăcini conjugate, substituție bipătrată sau tehnica ecuațiilor reciproce.

Hai să descoperim împreună

1. Harta capitolului: de la calcul la rezolvare

Etapa	Ce conține	Lecțiile de sprijin
Obiectul	forma algebrică, grad, egalitate, operații	Ce este un polinom, Egalitatea a două polinoame
Împărțirea	teorema împărțirii cu rest, algoritmul, $X - a$ , Horner	Teorema împărțirii cu rest, Schema lui Horner
Divizibilitatea	$g ∣ f$ , teorema lui Bézout, rădăcini multiple	Teorema lui Bézout, Rădăcini multiple
Structura	teorema fundamentală, descompunere canonică, ireductibilitate	Teorema fundamentală a algebrei, Descompunerea în factori ireductibili
Relațiile	Viète pentru grad $2$ , $3$ și $n$ ; expresii simetrice	Viète pentru gradul al treilea, Viète pentru grad n
Ecuațiile	coeficienți întregi, rădăcini conjugate, bipătrate, reciproce	Ecuații algebrice cu coeficienți întregi, Ecuații reciproce

Firul roșu care leagă toate etapele este echivalența dintre rădăcină și factor. Ea se enunță în teorema lui Bézout, se calculează cu schema lui Horner și se aplică în fiecare rezolvare de ecuație. Odată ce ai găsit o rădăcină, gradul scade cu unu; repeți procedeul până ajungi la un trinom, pe care îl rezolvi cu formula cunoscută.

✏️Ilustrație: o scară cu patru trepte care coboară de la eticheta „grad 4" la „grad 1"; pe fiecare treaptă e scris „rădăcină găsită → împart cu Horner → gradul scade cu 1", iar lângă scară, o cutie de unelte cu patru instrumente etichetate „divizorii lui a₀", „rădăcini conjugate", „substituție", „Viète"

2. Obiectul: polinom, grad, egalitate

Un polinom din $C [X]$ este $f = a_{n} X^{n} + \dots + a_{1} X + a_{0}$ , cu coeficienți complecși și exponenți naturali; el este determinat complet de lista coeficienților. Nedeterminata $X$ nu este un număr, ci simbolul care marchează poziția în listă — numerele se pun în locul ei abia la evaluare.

Gradul este cel mai mare rang cu coeficient nenul; coeficientul de acel rang este coeficientul dominant, iar $a_{0}$ este termenul liber. Polinomul nul nu are grad.
Egalitatea înseamnă coeficienți egali rang cu rang (cei care lipsesc se consideră $0$ ), nu coincidența câtorva valori. De aici metoda identificării coeficienților.
Grade: $grad (f g) = grad f + grad g$ (egalitate sigură, pentru că produsul coeficienților dominanți nu se anulează în $C$ ), dar $grad (f + g) \leq max (grad f, grad g)$ , cu egalitate garantată numai dacă gradele sunt diferite.

Trei valori se citesc gratuit din coeficienți și rezolvă multe cerințe: $f (0) = a_{0}$ (termenul liber), $f (1) =$ suma coeficienților, $f (- 1) =$ suma alternată. Sunt cele mai rapide teste de rădăcină de la examen.

3. Împărțirea: trei unelte pentru trei situații

Teorema împărțirii cu rest. Pentru orice $f$ și orice $g \neq = 0$ există și sunt unice polinoamele $q$ și $r$ cu

$f = g \cdot q + r, r = 0 sau grad r < grad g .$

Condiția asupra restului este cea care asigură unicitatea; fără ea, scrierea ar fi posibilă în infinit de multe feluri. Gradele se controlează imediat: $grad q = grad f - grad g$ .

Situația	Unealta	Ce obții
împărțitor de grad $\geq 2$	algoritmul clasic	câtul și restul
împărțitor $X - a$ , se cere doar restul	teorema restului: $r = f (a)$	restul, într-un singur calcul
împărțitor $X - a$ , se cere și câtul	schema lui Horner	câtul și restul, într-un rând
împărțitor $(X - a) (X - b)$ , $a \neq = b$	restul are forma $m X + n$	sistemul $f (a) = ma + n$ , $f (b) = mb + n$

Teorema restului se demonstrează într-un rând: în $f = (X - a) q + r$ înlocuiești $X = a$ și factorul $(X - a)$ se anulează, rămânând $r = f (a)$ . Atenție la semne: la $X + a$ restul este $f (- a)$ , iar la $a X + b$ restul este $f (- \frac{b}{a})$ — rescrie mereu împărțitorul sub forma $X - (\dots)$ .

Schema lui Horner coboară primul coeficient, apoi fiecare număr următor este „coeficientul de deasupra $+ a \times$ numărul din stânga". Ultimul număr este restul, adică $f (a)$ ; celelalte sunt coeficienții câtului. Coeficienții lipsă se scriu cu $0$ : în rândul de sus trebuie să fie exact $grad f + 1$ numere.

Verificarea prin înmulțire înapoi — $g \cdot q + r = f$ — costă mai puțin de un minut și prinde orice eroare de calcul. Este pasul care nu se sare niciodată.

4. Divizibilitate, Bézout, rădăcini multiple

$g ∣ f$ înseamnă că există $q$ cu $f = g \cdot q$ , adică restul împărțirii este polinomul nul. Divizibilitatea și factorizarea sunt același lucru.

Teorema lui Bézout leagă cele două lumi:

$(X - a) ∣ f ⟺ f (a) = 0.$

Consecința practică este metoda de descompunere: cauți o rădăcină mică, aplici schema lui Horner ca să cobori gradul cu unu, repeți pe cât. Pentru rădăcini distincte $a \neq = b$ are loc și $(X - a) (X - b) ∣ f ⟺ f (a) = f (b) = 0$ ; ipoteza „distincte" este esențială.

Numărul $a$ este rădăcină de ordinul $m$ dacă $(X - a)^{m} ∣ f$ , dar $(X - a)^{m + 1} ∤ f$ . Determinarea se face aplicând Horner cu $a$ de mai multe ori la rând: ordinul este numărul de resturi nule consecutive, iar oprirea o dă primul rest nenul. Controlul obligatoriu al oricărei descompuneri: suma ordinelor tuturor rădăcinilor este egală cu gradul.

La problemele cu parametri, cerința „ $f$ se divide cu $g$ " se traduce prin „toți coeficienții restului sunt nuli" — un divizor de gradul al doilea dă exact două ecuații. Iar cerința „ $a$ este rădăcină dublă" înseamnă două condiții, nu una; de aceea astfel de probleme vin, tipic, cu doi parametri.

5. Structura: teorema fundamentală și descompunerile

Teorema fundamentală a algebrei (admisă fără demonstrație): orice polinom cu coeficienți complecși, de grad cel puțin $1$ , are cel puțin o rădăcină complexă. Aplicând-o repetat, împreună cu teorema lui Bézout, obții descompunerea canonică:

$f = a_{n} (X - x_{1})^{m_{1}} (X - x_{2})^{m_{2}} \dots (X - x_{k})^{m_{k}}, m_{1} + m_{2} + \dots + m_{k} = n .$

Un polinom de gradul $n$ are astfel exact $n$ rădăcini socotite cu multiplicități și cel mult $n$ rădăcini distincte.

Ce înseamnă „ireductibil" depinde însă de mulțimea coeficienților:

Peste	Polinoamele ireductibile	Consecință
$C$	exact cele de gradul întâi	orice polinom se rupe complet în factori liniari
$R$	gradul întâi și gradul al doilea cu $Δ < 0$	nu există factori ireductibili de grad mai mare decât $2$

Puntea dintre cele două coloane este teorema rădăcinilor conjugate: dacă $f$ are coeficienți reali și $z$ este rădăcină, atunci și $\overset{z}{ˉ}$ este rădăcină, cu același ordin de multiplicitate. Demonstrația se sprijină pe identitatea $f (\overset{z}{ˉ}) = \overline{f (z)}$ . Perechea $a \pm bi$ (cu $b \neq = 0$ ) dă factorul real

$(X - (a + bi)) (X - (a - bi)) = X^{2} - 2 a X + (a^{2} + b^{2}), Δ = - 4 b^{2} < 0.$

De aici două consecințe utile: rădăcinile nereale ale unui polinom real sunt în număr par, deci orice polinom real de grad impar are cel puțin o rădăcină reală; și, în plus, peste $Q$ funcționează analogul cu radicali — dacă $f$ are coeficienți raționali și $a + b d$ este rădăcină (cu $d$ irațional), atunci și $a - b d$ este.

6. Relațiile lui Viète: informații fără rezolvare

Relațiile se obțin identificând coeficienții între forma dezvoltată și descompunerea $f = a_{n} (X - x_{1}) \dots (X - x_{n})$ .

Gradul	Relațiile
$2$ : $a X^{2} + b X + c$	$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ , $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$
$3$ : $a X^{3} + b X^{2} + c X + d$	$S_{1} = - \frac{b}{a}$ , $S_{2} = \frac{c}{a}$ , $S_{3} = - \frac{d}{a}$
$n$	$S_{k} = (- 1)^{k} \frac{a _{n - k}}{a _{n}}$ , unde $S_{k}$ are $C_{n}^{k}$ termeni

Semnele alternează, iar la numitor stă mereu coeficientul dominant. Rădăcinile se numără cu multiplicități: o rădăcină dublă intră de două ori în toate sumele și produsele.

Expresiile simetrice se calculează apoi fără a rezolva ecuația:

$\sum x_{i}^{2} = S_{1}^{2} - 2 S_{2}, \sum \frac{1}{x _{i}} = \frac{S _{n - 1}}{S _{n}} (a_{0} \neq = 0), x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = S_{1}^{3} - 3 S_{1} S_{2} (la gradul 2) .$

Pentru puteri mai mari există un procedeu care merge întotdeauna: fiecare rădăcină verifică ecuația. Din $x^{3} = 4 x^{2} - x - 6$ scrisă pentru $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ și adunată obții $\sum x_{i}^{3} = 4 \sum x_{i}^{2} - \sum x_{i} - 18$ .

Relațiile sunt și cheia problemelor cu legături între rădăcini: dacă $x_{1} + x_{2} = x_{3}$ , atunci $x_{3} = \frac{S _{1}}{2}$ ; dacă rădăcinile sunt în progresie aritmetică, cea din mijloc este $\frac{S _{1}}{3}$ . Afli astfel o rădăcină din relații, apoi impui că ea anulează polinomul.

7. Ecuațiile algebrice: care unealtă se scoate prima

Ce vezi în enunț	Unealta	Ce faci concret
coeficienți întregi	divizorii termenului liber	testezi candidații, apoi cobori cu Horner
coeficienți întregi, nemonică	$\frac{p}{q}$ cu $p ∣ a_{0}$ , $q ∣ a_{n}$	lista candidaților, cu ambele semne
se dă o rădăcină nereală, coeficienți reali	rădăcini conjugate	împarți la $X^{2} - 2 a X + (a^{2} + b^{2})$
se dă o rădăcină de forma $a + b d$ , coeficienți raționali	conjugata pătratică	împarți la $X^{2} - 2 a X + (a^{2} - b^{2} d)$
doar puteri pare	substituția $x^{2} = y$	fiecare $y_{k}$ dă două valori ale lui $x$
coeficienți palindromici	ecuație reciprocă	grad impar: rădăcina $- 1$ ; grad par: $y = x + \frac{1}{x}$
se cer relații între rădăcini	Viète	nu rezolvi ecuația, o interoghezi

Ecuațiile bipătrate $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ se opresc cel mai des prea devreme. După ce afli $y_{1}$ și $y_{2}$ , întoarcerea are trei cazuri: $y_{k} > 0$ dă $x = \pm y_{k}$ , $y_{k} = 0$ dă $x = 0$ (dublă), iar $y_{k} < 0$ dă $x = \pm i - y_{k}$ . În $C$ nicio valoare a lui $y$ nu se respinge, deci ecuația are întotdeauna patru rădăcini, cu suma $0$ .

Ecuațiile reciproce au coeficienți care formează un palindrom ( $a_{k} = a_{n - k}$ , speța întâi). Numărul $0$ nu este niciodată rădăcină, iar rădăcinile vin în perechi de numere inverse. La gradul al patrulea împarți cu $x^{2}$ , notezi $y = x + \frac{1}{x}$ și folosești $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = y^{2} - 2$ ; pentru fiecare $y_{k}$ rezolvi apoi $x^{2} - y_{k} x + 1 = 0$ .

8. Trusa de control

Patru verificări scurte, care prind aproape orice greșeală:

Orice împărțire: $g \cdot q + r = f$ , iar $grad r < grad g$ .
Orice descompunere: suma ordinelor de multiplicitate este egală cu gradul.
Orice set de rădăcini găsite: verifică-le prin relațiile lui Viète, nu doar prin înlocuire.
Orice rezultat cu Horner: ultimul număr al liniei trebuie să fie $f (a)$ , calculat și direct.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Împărțire cu rest, verificată înapoi

Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f = X^{4} - 2 X^{3} + 3 X^{2} - 4 X + 5$ la $g = X^{2} + 1$ .

Rezolvare. Ordonăm descrescător și completăm cu $0$ termenii lipsă: $g = X^{2} + 0 \cdot X + 1$ .

$X^{4} : X^{2} = X^{2}$ ; scădem $X^{2} (X^{2} + 1)$ și rămâne $- 2 X^{3} + 2 X^{2} - 4 X + 5$ .
$- 2 X^{3} : X^{2} = - 2 X$ ; scădem $- 2 X (X^{2} + 1)$ și rămâne $2 X^{2} - 2 X + 5$ .
$2 X^{2} : X^{2} = 2$ ; scădem $2 (X^{2} + 1)$ și rămâne $- 2 X + 3$ .

Gradul restului, $1$ , este mai mic decât $2$ , deci ne oprim: $q = X^{2} - 2 X + 2$ și $r = - 2 X + 3$ .

Verificare prin înmulțire înapoi: $(X^{2} + 1) (X^{2} - 2 X + 2) = X^{4} - 2 X^{3} + 3 X^{2} - 2 X + 2$ , iar adăugând restul $- 2 X + 3$ obținem exact $f$ ✓.

Exemplul 2 — Horner și descompunerea completă

Descompuneți în factori polinomul $f = X^{3} - 4 X^{2} + X + 6$ .

Rezolvare. Coeficienții sunt întregi, deci căutăm rădăcini întregi printre divizorii termenului liber $6$ : $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ . Testăm rapid: $f (1) = 4 \neq = 0$ , dar $f (2) = 8 - 16 + 2 + 6 = 0$ ✓. Aplicăm schema lui Horner:

$a = 2$	$1$	$- 4$	$1$	$6$
	$1$	$- 2$	$- 3$	$0$

Restul este $0$ (confirmă că $2$ este rădăcină), iar câtul este $X^{2} - 2 X - 3 = (X - 3) (X + 1)$ . Prin urmare

$f = (X - 2) (X - 3) (X + 1),$

cu rădăcinile $2$ , $3$ și $- 1$ . Control prin Viète: $2 + 3 - 1 = 4 = - \frac{b}{a}$ ✓; $2 \cdot 3 + 2 \cdot (- 1) + 3 \cdot (- 1) = 1 = \frac{c}{a}$ ✓; $2 \cdot 3 \cdot (- 1) = - 6 = - \frac{d}{a}$ ✓.

Exemplul 3 — Restul la un împărțitor de gradul al doilea, fără împărțire

Determinați restul împărțirii polinomului $f = 2 X^{3} - X + 3$ la $(X - 1) (X + 2)$ .

Rezolvare. Împărțitorul are gradul $2$ , deci restul are gradul cel mult $1$ : îl scriem $r = m X + n$ . Din teorema împărțirii cu rest,

$f = (X - 1) (X + 2) q + m X + n .$

Înlocuim $X = 1$ și $X = - 2$ , valori care anulează împărțitorul:

$f (1) = m + n ș i f (- 2) = - 2 m + n .$

Calculăm: $f (1) = 2 - 1 + 3 = 4$ și $f (- 2) = - 16 + 2 + 3 = - 11$ . Sistemul $m + n = 4$ , $- 2 m + n = - 11$ dă, prin scădere, $3 m = 15$ , deci $m = 5$ și $n = - 1$ .

Restul este $r = 5 X - 1$ . Verificare: pentru $X = 1$ avem $5 - 1 = 4 = f (1)$ ✓, iar pentru $X = - 2$ avem $- 10 - 1 = - 11 = f (- 2)$ ✓.

Exemplul 4 — Ordinul de multiplicitate

Determinați ordinul de multiplicitate al rădăcinii $x = 2$ pentru $f = X^{3} - X^{2} - 8 X + 12$ .

Rezolvare. Aplicăm schema lui Horner cu $a = 2$ , de mai multe ori la rând:

$a = 2$	$1$	$- 1$	$- 8$	$12$
prima trecere	$1$	$1$	$- 6$	$0$
a doua trecere	$1$	$3$	$0$
a treia trecere	$1$	$5$

Primele două resturi sunt nule, al treilea este $5 \neq = 0$ , deci $2$ este rădăcină de ordinul al doilea. Din a doua linie citim că $f = (X - 2)^{2} (X + 3)$ .

Control: suma ordinelor este $2 + 1 = 3 = grad f$ ✓. Dezvoltând, $(X - 2)^{2} (X + 3) = (X^{2} - 4 X + 4) (X + 3) = X^{3} - X^{2} - 8 X + 12$ ✓.

Exemplul 5 — Viète, fără a rezolva ecuația

Fie $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ rădăcinile ecuației $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6 = 0$ . Calculați $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}$ , $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} + \frac{1}{x _{3}}$ și $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3}$ .

Rezolvare. Din Viète: $S_{1} = 4$ , $S_{2} = 1$ , $S_{3} = - 6$ .

Suma pătratelor: $\sum x_{i}^{2} = S_{1}^{2} - 2 S_{2} = 16 - 2 = 14$ .

Suma inverselor: aducând la același numitor, $\frac{x _{2} x _{3} + x _{1} x _{3} + x _{1} x _{2}}{x _{1} x _{2} x _{3}} = \frac{S _{2}}{S _{3}} = \frac{1}{- 6} = - \frac{1}{6}$ .

Suma cuburilor: fiecare rădăcină verifică ecuația, deci $x_{i}^{3} = 4 x_{i}^{2} - x_{i} - 6$ . Adunând cele trei relații:

$\sum x_{i}^{3} = 4 \sum x_{i}^{2} - \sum x_{i} - 18 = 4 \cdot 14 - 4 - 18 = 34.$

Control: rădăcinile sunt $2$ , $3$ , $- 1$ (Exemplul 2), iar $4 + 9 + 1 = 14$ ✓, $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - 1 = - \frac{1}{6}$ ✓ și $8 + 27 - 1 = 34$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră ecuația $x^{4} - 5 x^{3} + 6 x^{2} - 5 x + 1 = 0$ . a) Arătați că ecuația este reciprocă și că $x = 0$ nu este soluție. b) Rezolvați ecuația în $R$ . c) Rezolvați ecuația în $C$ .

Rezolvare. a) Coeficienții sunt $1, - 5, 6, - 5, 1$ și se citesc la fel de la stânga la dreapta ca de la dreapta la stânga, deci $a_{k} = a_{4 - k}$ : ecuația este reciprocă de speța întâi. Pentru $x = 0$ membrul stâng devine $1 \neq = 0$ , deci $0$ nu este soluție.

b) Împărțim cu $x^{2}$ (permis, pentru că $x \neq = 0$ ) și grupăm termenii simetrici:

$x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} - 5 (x + \frac{1}{x}) + 6 = 0.$

Notăm $y = x + \frac{1}{x}$ ; atunci $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = y^{2} - 2$ , iar ecuația devine $y^{2} - 5 y + 4 = 0$ , cu $y_{1} = 1$ și $y_{2} = 4$ .

Pentru $y = 4$ : $x + \frac{1}{x} = 4$ , adică $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ , cu $Δ = 12$ , deci $x = 2 \pm 3$ . Verificare: produsul lor este $4 - 3 = 1$ , așa cum cere teoria (rădăcinile unei ecuații reciproce vin în perechi de inverse) ✓.

Pentru $y = 1$ : $x^{2} - x + 1 = 0$ , cu $Δ = - 3 < 0$ , deci nicio soluție reală.

Soluțiile reale sunt $x \in {2 - 3, 2 + 3}$ .

c) În $C$ se adaugă rădăcinile trinomului $x^{2} - x + 1$ , adică $x_{3, 4} = \frac{1 \pm i 3}{2}$ — conjugate, cum cere teorema pentru coeficienți reali. Cum $x^{4} - 5 x^{3} + 6 x^{2} - 5 x + 1 = (x^{2} - 4 x + 1) (x^{2} - x + 1)$ , ecuația are în $C$ cele patru soluții $2 \pm 3$ și $\frac{1 \pm i 3}{2}$ .

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu redactare completă. Verifică fiecare împărțire prin înmulțire înapoi și fiecare set de rădăcini prin relațiile lui Viète.

1. Precizează gradul, coeficientul dominant și termenul liber ale polinomului $f = 5 X^{4} - X^{2} + 7$ .

2. Determină numerele reale $a$ și $b$ pentru care $X^{3} - 2 X^{2} + a X + b = (X - 1) (X^{2} - X - 2)$ .

3. Fie $f$ de gradul $3$ și $g$ de gradul $5$ . Ce grad are $f \cdot g$ ? Dar $f + g$ ?

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f$ și $g$ au ambele gradul $4$ , atunci $f + g$ are gradul $4$ ."

5. Determină câtul și restul împărțirii lui $f = X^{4} - 2 X^{3} + 3 X^{2} - 4 X + 5$ la $g = X^{2} + 1$ .

6. Determină restul împărțirii lui $f = X^{4} - 3 X^{2} + 2 X - 5$ la $X - 2$ , fără a efectua împărțirea.

7. Folosind schema lui Horner, determină câtul și restul împărțirii lui $f = 2 X^{4} - 3 X^{3} + X - 5$ la $X - 2$ .

8. Pentru $f = X^{3} - 4 X^{2} + X + 6$ , calculează $f (1)$ și $f (- 1)$ și spune ce concluzie tragi.

9. Determină restul împărțirii lui $f = 2 X^{3} - X + 3$ la $(X - 1) (X + 2)$ .

10. Determină numărul real $m$ pentru care polinomul $f = X^{3} + m X^{2} - 4 X + 6$ este divizibil cu $X - 1$ .

11. Determină ordinul de multiplicitate al rădăcinii $x = 2$ pentru $f = X^{3} - X^{2} - 8 X + 12$ .

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice polinom cu coeficienți reali de gradul $4$ se descompune peste $R$ în produs de patru factori de gradul întâi."

13. Fie $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ rădăcinile ecuației $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6 = 0$ . Calculează $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}$ și $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} + \frac{1}{x _{3}}$ .

14. Rezolvă în $R$ ecuația $2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2 = 0$ , căutând întâi rădăcinile raționale.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se știe că polinomul $f = X^{3} - 5 X^{2} + 11 X - 15$ , cu coeficienți reali, are rădăcina $1 + 2 i$ . a) Determină celelalte două rădăcini. b) Descompune $f$ în factori ireductibili peste $R$ .

16. Rezolvă în $C$ ecuația $x^{4} + 3 x^{2} - 4 = 0$ și descompune $x^{4} + 3 x^{2} - 4$ în factori ireductibili peste $R$ .

17. (Problemă aplicată.) O cutie paralelipipedică are dimensiunile $x$ , $x + 1$ și $x + 3$ centimetri, iar volumul ei este $72 cm^{3}$ . Află $x$ și arată că soluția este unică.

18. (Provocare.) Se consideră ecuația $x^{4} - 5 x^{3} + 6 x^{2} - 5 x + 1 = 0$ . a) Arată că $x = 0$ nu este soluție. b) Rezolvă ecuația în $R$ . c) Descompune membrul stâng în factori ireductibili peste $R$ .

Răspunsuri și explicații

1. Gradul este $4$ (cel mai mare rang cu coeficient nenul), coeficientul dominant este $5$ , termenul liber este $7$ . Coeficienții lui $X^{3}$ și $X$ sunt $0$ .

2. Dezvoltăm membrul drept: $(X - 1) (X^{2} - X - 2) = X^{3} - X^{2} - 2 X - X^{2} + X + 2 = X^{3} - 2 X^{2} - X + 2$ . Identificând rang cu rang: $a = - 1$ și $b = 2$ .

3. $grad (f g) = 3 + 5 = 8$ (egalitate sigură, pentru că produsul coeficienților dominanți nu se anulează). $grad (f + g) = 5$ , pentru că gradele sunt diferite, deci termenul de rang $5$ nu are cu ce să se reducă.

4. Fals. La grade egale, coeficienții dominanți se pot anula reciproc. Contraexemplu: $f = X^{4} + X$ și $g = - X^{4} + 1$ dau $f + g = X + 1$ , de gradul $1$ . Corect este doar $grad (f + g) \leq 4$ .

5. $q = X^{2} - 2 X + 2$ și $r = - 2 X + 3$ (calculul complet este în Exemplul 1). Verificare: $(X^{2} + 1) (X^{2} - 2 X + 2) + (- 2 X + 3) = X^{4} - 2 X^{3} + 3 X^{2} - 4 X + 5$ ✓.

6. Prin teorema restului, restul este $f (2) = 16 - 12 + 4 - 5 = 3$ .

7. Coeficienții, cu golurile completate: $2, - 3, 0, 1, - 5$ . Schema lui Horner cu $a = 2$ dă linia $2, 1, 2, 5, 5$ . Deci câtul este $2 X^{3} + X^{2} + 2 X + 5$ , iar restul este $5$ . Control: $f (2) = 32 - 24 + 2 - 5 = 5$ ✓.

8. $f (1) = 1 - 4 + 1 + 6 = 4$ (suma coeficienților) și $f (- 1) = - 1 - 4 - 1 + 6 = 0$ (suma alternată). Concluzia: $- 1$ este rădăcină a lui $f$ , deci $(X + 1) ∣ f$ .

9. Restul este $5 X - 1$ (calculul este în Exemplul 3): din $f (1) = 4$ și $f (- 2) = - 11$ rezultă sistemul $m + n = 4$ , $- 2 m + n = - 11$ , cu $m = 5$ și $n = - 1$ .

10. $(X - 1) ∣ f ⟺ f (1) = 0$ . Cum $f (1) = 1 + m - 4 + 6 = m + 3$ , obținem $m = - 3$ . Verificare: pentru $m = - 3$ , împărțind cu $X - 1$ obținem câtul $X^{2} - 2 X - 6$ și restul $0$ ✓.

11. Ordinul este $2$ : schema lui Horner cu $a = 2$ dă două resturi nule consecutive, iar al treilea este $5 \neq = 0$ (Exemplul 4). Descompunerea este $f = (X - 2)^{2} (X + 3)$ , iar suma ordinelor, $2 + 1 = 3$ , este egală cu gradul ✓.

12. Fals. Peste $R$ pot rămâne factori de gradul al doilea cu $Δ < 0$ . Contraexemplu: $X^{4} + 1$ nu are nicio rădăcină reală (fiind mereu $\geq 1$ ) și se descompune $(X^{2} + 1)^{2} - 2 X^{2} = (X^{2} - X 2 + 1) (X^{2} + X 2 + 1)$ , ambii factori având $Δ = - 2 < 0$ . Afirmația ar fi adevărată peste $C$ .

13. Viète dă $S_{1} = 4$ , $S_{2} = 1$ , $S_{3} = - 6$ . Atunci $\sum x_{i}^{2} = S_{1}^{2} - 2 S_{2} = 16 - 2 = 14$ , iar $\sum \frac{1}{x _{i}} = \frac{S _{2}}{S _{3}} = - \frac{1}{6}$ . Control: rădăcinile sunt $2$ , $3$ , $- 1$ , iar $4 + 9 + 1 = 14$ ✓.

14. Coeficienții sunt întregi, iar ecuația nu este monică, deci candidații sunt fracțiile $\frac{p}{q}$ cu $p ∣ 2$ și $q ∣ 2$ : $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm \frac{1}{2}$ . Găsim $f (- 1) = - 2 - 3 + 3 + 2 = 0$ , deci $- 1$ este rădăcină. Horner cu $a = - 1$ dă linia $2, - 5, 2, 0$ , adică $2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ , cu $Δ = 9$ și rădăcinile $2$ și $\frac{1}{2}$ . Soluțiile sunt $x \in {- 1, \frac{1}{2}, 2}$ . (Observație: ecuația este reciprocă, iar $2$ și $\frac{1}{2}$ sunt, într-adevăr, inverse.)

15. a) Coeficienții sunt reali, deci și $\overline{1 + 2 i} = 1 - 2 i$ este rădăcină. Perechea dă factorul real $X^{2} - 2 X + (1^{2} + 2^{2}) = X^{2} - 2 X + 5$ . Împărțind, $X^{3} - 5 X^{2} + 11 X - 15 = (X^{2} - 2 X + 5) (X - 3)$ , deci a treia rădăcină este $3$ . Verificare prin Viète: $(1 + 2 i) + (1 - 2 i) + 3 = 5$ ✓ și $(1 + 2 i) (1 - 2 i) \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15$ ✓. b) Factorul $X^{2} - 2 X + 5$ are $Δ = 4 - 20 = - 16 < 0$ , deci este ireductibil peste $R$ ; descompunerea cerută este $f = (X^{2} - 2 X + 5) (X - 3)$ .

16. Cu $y = x^{2}$ : $y^{2} + 3 y - 4 = 0$ , cu $y_{1} = 1$ și $y_{2} = - 4$ . Întoarcerea: din $x^{2} = 1$ obținem $x = \pm 1$ , iar din $x^{2} = - 4$ obținem $x = \pm 2 i$ . Cele patru soluții sunt $1$ , $- 1$ , $2 i$ , $- 2 i$ (suma lor este $0$ , cum cere simetria). Peste $R$ : $x^{4} + 3 x^{2} - 4 = (x^{2} - 1) (x^{2} + 4) = (x - 1) (x + 1) (x^{2} + 4)$ , ultimul factor fiind ireductibil, pentru că $Δ = - 16 < 0$ .

17. Condiția este $x (x + 1) (x + 3) = 72$ , adică $x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 72 = 0$ . Printre divizorii lui $72$ găsim $x = 3$ : $27 + 36 + 9 - 72 = 0$ ✓. Horner cu $a = 3$ dă linia $1, 7, 24, 0$ , deci $(x - 3) (x^{2} + 7 x + 24) = 0$ . Trinomul are $Δ = - 47 < 0$ , deci nu mai există alte rădăcini reale: soluția este unică, $x = 3$ , iar dimensiunile sunt $3$ , $4$ și $6$ centimetri.

18. a) Pentru $x = 0$ membrul stâng devine $1 \neq = 0$ , deci $0$ nu este soluție și avem voie să împărțim cu $x^{2}$ . b) Notând $y = x + \frac{1}{x}$ (cu $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = y^{2} - 2$ ), obținem $y^{2} - 5 y + 4 = 0$ , deci $y \in {1, 4}$ . Din $y = 4$ : $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ , cu $x = 2 \pm 3$ . Din $y = 1$ : $x^{2} - x + 1 = 0$ , cu $Δ = - 3 < 0$ , fără soluții reale. c) $x^{4} - 5 x^{3} + 6 x^{2} - 5 x + 1 = (x^{2} - 4 x + 1) (x^{2} - x + 1)$ ; primul factor are $Δ = 12 > 0$ , deci se rupe peste $R$ , al doilea rămâne ireductibil. Descompunerea este $(x - 2 + 3) (x - 2 - 3) (x^{2} - x + 1)$ .

De reținut

Teorema împărțirii cu rest: $f = g q + r$ cu $r = 0$ sau $grad r < grad g$ ; $q$ și $r$ sunt unice, iar rezultatul se verifică întotdeauna prin înmulțire înapoi.
Bézout leagă rădăcinile de factori: $(X - a) ∣ f ⟺ f (a) = 0$ . Schema lui Horner face împărțirea la $X - a$ într-un singur rând și dă, ca ultim număr, chiar $f (a)$ .
Teorema fundamentală garantează $n$ rădăcini cu multiplicități; suma ordinelor este egală cu gradul — controlul obligatoriu al oricărei descompuneri.
Peste $C$ ireductibile sunt doar polinoamele de gradul întâi; peste $R$ , cele de gradul întâi și cele de gradul al doilea cu $Δ < 0$ . Puntea este teorema rădăcinilor conjugate.
Relațiile lui Viète: $S_{k} = (- 1)^{k} \frac{a _{n - k}}{a _{n}}$ . Ele dau expresiile simetrice fără a rezolva ecuația, iar pentru puteri mari folosești faptul că fiecare rădăcină verifică ecuația.

Greșeli frecvente

Nu se completează cu $0$ termenii lipsă înainte de împărțire sau înainte de schema lui Horner. Din $2 X^{4} - 3 X^{3} + X - 5$ trebuie scris rândul $2, - 3, 0, 1, - 5$ — cinci numere pentru un polinom de gradul $4$ .
Se aplică Horner la un împărțitor care nu este $X - a$ . Schema funcționează numai pentru împărțitori de gradul întâi, monici. Pentru $2 X - 1$ rescrii întâi $X - \frac{1}{2}$ și ții cont de factorul $2$ ; pentru grad mai mare, folosești algoritmul clasic.
Se confundă „rădăcină dublă" cu „două rădăcini". O rădăcină de ordinul $2$ este o singură valoare, dar intră de două ori în descompunere și în toate relațiile lui Viète.
Se oprește rezolvarea bipătratei la valorile lui $y$ . După $y_{1}$ și $y_{2}$ mai urmează întoarcerea: fiecare $y_{k}$ dă două valori ale lui $x$ , iar valorile negative ale lui $y$ dau soluții pur imaginare, care în $C$ nu se resping.
Se descompune peste $R$ ca și cum am fi peste $C$ . Un factor de gradul al doilea cu $Δ < 0$ este ireductibil peste $R$ și trebuie lăsat așa; el se rupe abia peste $C$ , în doi factori conjugați.

Aplică acasă

Fabrica de polinoame. Alege trei numere întregi mici, construiește polinomul care le are drept rădăcini înmulțind $(X - x_{1}) (X - x_{2}) (X - x_{3})$ , apoi dă forma dezvoltată unui coleg și cere-i să găsească rădăcinile. Compară cele două durate — vei înțelege de ce descompunerea este mai grea decât înmulțirea.
Duelul metodelor. Pentru același polinom de gradul $4$ și același împărțitor $X - 3$ , calculează restul în trei feluri: prin algoritmul clasic, prin teorema restului și prin schema lui Horner. Cronometrează fiecare metodă și notează care îți dă și câtul.
Vânătoarea de rădăcini conjugate. Ia trei ecuații de la Bacalaureat M1 din anii trecuți în care se dă o rădăcină nereală și scrie, pentru fiecare, factorul real corespunzător perechii conjugate. Primul pas este întotdeauna același, indiferent de gradul ecuației.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică patru deprinderi. Prima este igiena calculului: ordonarea descrescătoare, completarea golurilor cu $0$ și verificarea prin înmulțire înapoi. A doua este alegerea uneltei: elevul trebuie să știe, din prima privire, dacă problema cere algoritmul clasic, teorema restului sau schema lui Horner. A treia este disciplina descompunerii, cu controlul obligatoriu al sumei ordinelor de multiplicitate. A patra este folosirea relațiilor lui Viète ca instrument de interogare, nu doar ca formulă de reprodus.

Puncte de verificat într-o lucrare: (1) rândul de la Horner are exact $grad f + 1$ numere; (2) rezolvarea ecuației bipătrate nu se oprește la $y$ ; (3) descompunerea peste $R$ păstrează factorii de gradul al doilea cu $Δ < 0$ ; (4) când se dă o rădăcină nereală, elevul scrie imediat conjugata și factorul real corespunzător. Întrebări bune de control: „De ce este esențială condiția asupra gradului restului?"; „Cum arăți că un polinom real de grad impar are cel puțin o rădăcină reală?".

La Bacalaureat M1, polinoamele apar an de an, cel mai des sub forma unui exercițiu cu trei subpuncte gradate: un calcul direct, o determinare de parametru sau de rădăcină și, la final, o cerință care leagă capitolul de numerele complexe. Elevul care stăpânește schema lui Horner și relațiile lui Viète rezolvă primele două subpuncte aproape mecanic.

Întrebări frecvente

Când folosesc schema lui Horner și când algoritmul clasic al împărțirii? Schema lui Horner funcționează numai pentru împărțitori de forma $X - a$ , dar îți dă și câtul, și restul, într-un singur rând. Pentru împărțitori de grad cel puțin $2$ folosești algoritmul clasic. Dacă ai nevoie doar de rest la $X - a$ , cel mai rapid este teorema restului: $r = f (a)$ .

Cum aflu ordinul de multiplicitate al unei rădăcini? Aplici schema lui Horner cu acea valoare, de mai multe ori la rând. Ordinul este numărul de resturi nule consecutive; te oprești la primul rest nenul. Controlul final: suma ordinelor tuturor rădăcinilor trebuie să dea gradul polinomului.

De ce un polinom cu coeficienți reali are rădăcinile nereale în perechi? Pentru că, la coeficienți reali, are loc identitatea $f (\overset{z}{ˉ}) = \overline{f (z)}$ . Dacă $f (z) = 0$ , atunci $f (\overset{z}{ˉ}) = \overset{ˉ}{0} = 0$ , deci și conjugatul este rădăcină, cu același ordin de multiplicitate. Consecință: rădăcinile nereale sunt în număr par, deci orice polinom real de grad impar are cel puțin o rădăcină reală.

Cum caut rădăcinile raționale ale unei ecuații cu coeficienți întregi? Scrii lista candidaților $\frac{p}{q}$ cu $p ∣ a_{0}$ și $q ∣ a_{n}$ , cu ambele semne, apoi îi testezi. Dacă ecuația este monică, orice rădăcină rațională este întreagă, deci cauți doar printre divizorii termenului liber. Teorema spune unde pot fi rădăcinile, nu că ele există.

Cum recunosc o ecuație reciprocă și de ce se împarte cu $x^{2}$ ? Coeficienții formează un palindrom ( $1, - 5, 6, - 5, 1$ ). Împărțirea cu $x^{2}$ este permisă pentru că $0$ nu este niciodată rădăcină, iar ea grupează termenii simetrici în $x + \frac{1}{x}$ și $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ , adică exact în $y$ și $y^{2} - 2$ . Ecuația de gradul al patrulea devine astfel una de gradul al doilea.

Ce înseamnă că un polinom este ireductibil? Că nu poate fi scris ca produs de două polinoame de grad mai mic cu coeficienți în mulțimea dată. Răspunsul depinde de mulțime: $X^{2} + 1$ este ireductibil peste $R$ , dar peste $C$ se descompune în $(X - i) (X + i)$ . De aceea întrebarea „este ireductibil?" nu are sens fără precizarea mulțimii.

La ce folosesc relațiile lui Viète dacă tot pot rezolva ecuația? La ecuațiile de grad mare, rezolvarea poate fi imposibilă, dar expresiile simetrice ale rădăcinilor se calculează oricum, direct din coeficienți. În plus, relațiile transformă o informație suplimentară („două rădăcini sunt egale", „rădăcinile sunt în progresie aritmetică") într-o ecuație care îți dă rădăcina căutată fără căutări.