Numărare și probabilități: sinteza capitolului: pe scurt

Metodele de numărare și probabilitățile sunt, de fapt, un singur capitol: orice probabilitate este o fracție ale cărei două etaje se numără cu aceleași patru instrumente. Trei întrebări aleg metoda: se repetă elementele? contează ordinea? iei toate elementele sau doar o parte? Răspunsurile duc la $n^k$ (regula produsului), $P_n=n!$ (permutări), $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$ (aranjamente) sau $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ (combinări), legate prin $A_n^k=k!\cdot C_n^k$. Testul schimbului decide rapid între aranjamente și combinări: dacă schimbarea a două elemente alese schimbă situația, ordinea contează. Combinările au proprietăți utile — $C_n^k=C_n^{n-k}$, recurența lui Pascal, suma $2^n$ — iar binomul lui Newton, $(a+b{)}^n=\sum C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$, cu termenul general $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$, reutilizează exact acești coeficienți.

Probabilitatea clasică, $P(A)=\frac{\mathrm{card}(A)}{\mathrm{card}(\Omega )}$, cere ca cele două etaje să fie numărate în același model. Din ea decurg evenimentul contrar $P(\overline{A})=1-P(A)$, reuniunea $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$, condiționarea $P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ și independența, $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ — care nu trebuie confundată cu evenimentele disjuncte (două evenimente disjuncte, cu probabilități nenule, sunt de fapt cele mai dependente cu putință). Prima întrebare la orice problemă cu urne este dacă extragerea e cu revenire, fără revenire sau simultană — răspunsul decide toată numărarea de mai departe, la fel cum alegerea combinărilor sau a aranjamentelor decide un exercițiu de numărare.

Exerciții din această mini-lecție

1. Dintr-un grup de $12$ elevi se aleg $3$ pentru a forma o echipă la un concurs, fără roluri diferite între ei. Ce metodă de numărare se folosește și de ce?

   • a) aranjamente, pentru că ordinea alegerii contează
   • b) permutări, pentru că se folosesc toți cei $12$ elevi
   • c) combinări, pentru că schimbarea ordinii celor $3$ elevi aleși nu modifică echipa
   • d) regula produsului, pentru că elevii se pot repeta
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) combinări, pentru că schimbarea ordinii celor $3$ elevi aleși nu modifică echipa

   Testul schimbului decide: dacă schimbi între ei doi dintre cei trei elevi aleși, echipa rămâne aceeași — deci ordinea nu contează și se folosesc combinări. Varianta a) s-ar aplica dacă locurile ar fi diferite (de exemplu un podium), varianta b) dacă s-ar ordona toți cei $12$ elevi, iar varianta d) dacă elementele s-ar putea repeta, ceea ce nu e cazul la alegerea unor persoane distincte.

2. Un grup de $9$ elevi trebuie să aleagă o comisie de $3$ elevi, fără roluri distincte. Câte comisii diferite se pot forma?

   • a) $504$
   • b) $84$
   • c) $729$
   • d) $6$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $84$

   Ordinea nu contează, deci numărăm cu combinări: $C_9^3=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{1\cdot 2\cdot 3}=84$. Varianta a) este $A_9^3=504$ (numărare cu ordine, greșită aici), varianta c) este $9^3$ (ca și cum elevii s-ar repeta), iar varianta d) este $P_3=3!=6$, numărul de ordonări posibile ale unei comisii deja alese.

3. Determinați termenul care îl conține pe $x^3$ în dezvoltarea $(x+3{)}^5$.

   • a) $30x^3$
   • b) $270x^3$
   • c) $90x^3$
   • d) $15x^3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $90x^3$

   Termenul general este $T_{k+1}=C_5^k{x}^{5-k}{3}^k$. Condiția $5-k=3$ dă $k=2$, deci $T_3=C_5^2\cdot 3^2\cdot x^3=10\cdot 9\cdot x^3=90x^3$. Varianta a) apare dacă folosiți doar $3^1$ în loc de $3^2$, varianta b) dintr-un calcul greșit al lui $3^2$, iar varianta d) uită complet factorul $3^2$.