Acasă · Lecții · clasa a X-a · Recapitulare: metode de numărare și probabilități

Recapitulare: metode de numărare și probabilități

Cele două capitole pe care le închei acum par, la prima vedere, diferite: unul numără posibilități, celălalt măsoară șanse. În realitate sunt același capitol, citit de două ori. Definiția clasică a probabilității spune că $P (A)$ este numărul cazurilor favorabile împărțit la numărul cazurilor posibile — adică o probabilitate este o fracție ale cărei două etaje se calculează cu metodele de numărare. Cine știe să numere corect a rezolvat deja nouă zecimi din orice problemă de probabilități.

Recapitularea de față adună harta celor două capitole, toate formulele în tabele, testele prin care recunoști tipul unei probleme și greșelile care s-au strâns pe drum. Nu apare nimic nou; fiecare secțiune trimite la lecția de proveniență, dacă vrei să reiei o demonstrație sau un desen. Ce câștigi este vederea de sus: patru metode de numărare, cinci formule de probabilitate și o punte între ele.

Ce vei învăța

Vei ști să răspunzi, în trei întrebări, ce metodă de numărare se potrivește unei probleme: regula produsului, $P_{n}$ , $A_{n}^{k}$ sau $C_{n}^{k}$ .
Vei ști să folosești proprietățile combinărilor — complementaritatea, recurența, triunghiul lui Pascal — pentru a scurta calculele.
Vei ști să scrii dezvoltarea binomului lui Newton și să găsești un termen cerut, fără să scrii toată dezvoltarea.
Vei ști să construiești corect mulțimea cazurilor posibile și să calculezi o probabilitate cu definiția clasică.
Vei ști să folosești formulele reuniunii, intersecției, evenimentului contrar și probabilitatea condiționată.
Vei ști să deosebești evenimente independente de evenimente disjuncte și să testezi numeric independența.

Hai să descoperim împreună

1. Harta celor două capitole

Blocul	Ce conține	Lecțiile de bază
Numărare de bază	arbori, regula produsului, regula sumei	Diagrame arborescente, Regula produsului, Regula sumei
Cele trei formule	factorial, permutări, aranjamente, combinări	Factorialul, Permutări, Aranjamente, Combinări
Proprietăți	complementare, recurență, Pascal, alegerea metodei	Combinări complementare, Formula de recurență, Triunghiul lui Pascal, Contează ordinea?
Binomul	dezvoltarea, termenul general, identități	Binomul lui Newton, Termenul general, Identități cu coeficienți binomiali
Evenimente	experiment aleator, tipuri de evenimente, Venn	Experiment aleator și evenimente, Eveniment sigur, imposibil, elementar, Evenimente disjuncte și diagrame Venn
Probabilități	definiția clasică, numărarea cazurilor, contrar	Definiția clasică, Cazuri favorabile și posibile, Evenimentul contrar
Operații	reuniune, intersecție, condiționare, independență	Probabilitatea reuniunii, Probabilitatea intersecției, Probabilități condiționate, Evenimente independente

✏️Ilustrație: o schemă în două coloane; în stânga, cele patru metode de numărare cu formulele lor; în dreapta, o fracție mare P(A) = card(A) / card(Ω), cu săgeți care pornesc din coloana stângă spre numărător și spre numitor

2. Cele trei întrebări care aleg metoda

Înainte de orice calcul, pune-ți în ordine următoarele trei întrebări:

Se pot repeta elementele?
Contează ordinea?
Le folosesc pe toate sau doar o parte?

Răspunsurile te duc, fără excepție, la una dintre cele patru metode:

Situația	Formula	Exemplu tipic
repetiție permisă, $k$ poziții din $n$ variante	$n^{k}$ (regula produsului)	coduri PIN, aruncări repetate
toate cele $n$ elemente, ordonate	$P_{n} = n!$	așezări în rând, anagrame cu litere distincte
$k$ din $n$ , distincte, ordinea contează	$A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}$	podium, funcții pe posturi diferite
$k$ din $n$ , distincte, ordinea nu contează	$C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$	echipe, comisii, submulțimi

Testul schimbului, cel mai sigur criteriu practic: ia o soluție concretă și schimbă între ele două dintre elementele alese. Dacă obții altceva, ordinea contează (aranjamente sau permutări); dacă obții același lucru, ordinea nu contează (combinări).

Puntea dintre ultimele două: $A_{n}^{k} = k! \cdot C_{n}^{k}$ — întâi alegi cele $k$ elemente, apoi le ordonezi. De aceea aranjamentele sunt întotdeauna de $k!$ ori mai multe decât combinările.

3. Formulele și proprietățile, adunate

$P_{n} = n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n, P_{0} = 0! = 1;$

$A_{n}^{k} = n (n - 1) \dots (n - k + 1) (k factori), C_{n}^{k} = \frac{A _{n}^{k}}{k !} .$

Valorile mici merită știute pe de rost: $1$ , $2$ , $6$ , $24$ , $120$ , $720$ , $5040$ , $40320$ pentru $1!$ până la $8!$ .

Proprietatea	Formula	La ce folosește
combinări complementare	$C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$	scurtezi calculul când $k > \frac{n}{2}$
formula de recurență	$C_{n}^{k} = C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k}$	construiești triunghiul lui Pascal, restrângi sume
cazuri particulare	$C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1$ , $C_{n}^{1} = n$ , $C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$	rezolvi ecuații rapid
suma unei linii	$C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{n}$	numeri toate submulțimile
suma alternantă	$C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} - \dots = 0$ , pentru $n \geq 1$	separi rangurile pare de cele impare

Triunghiul lui Pascal este exact formula de recurență pusă în tabel: fiecare linie începe și se termină cu $1$ , iar fiecare număr din interior este suma celor două de deasupra lui. Linia $n$ conține $C_{n}^{0}, C_{n}^{1}, \dots, C_{n}^{n}$ și are suma $2^{n}$ .

linia	numerele
$n = 0$	$1$
$n = 1$	$11$
$n = 2$	$121$
$n = 3$	$1331$
$n = 4$	$14641$
$n = 5$	$15101051$

Binomul lui Newton folosește chiar aceste linii:

$(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + \dots + C_{n}^{n} b^{n}, T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k} .$

Dezvoltarea are $n + 1$ termeni, în fiecare termen suma exponenților este $n$ , iar rangul termenului este $k + 1$ , nu $k$ : pentru al treilea termen iei $k = 2$ . La $(a - b)^{n}$ apare factorul $(- 1)^{k}$ , deci semnele alternează. La trunchiul comun, exponenții cu care se lucrează sunt mici, cel mult $5$ .

4. Evenimente: limbajul de bază

Un experiment aleator se poate repeta în aceleași condiții, are rezultat imprevizibil, dar lista rezultatelor posibile e cunoscută dinainte. Mulțimea acestor rezultate se notează $Ω$ , iar un eveniment este o submulțime $A \subseteq Ω$ .

Termenul	Ce înseamnă
eveniment sigur	$Ω$ însuși; se produce mereu
eveniment imposibil	$\emptyset$ ; are zero cazuri favorabile
eveniment elementar	conține un singur rezultat
evenimente disjuncte	$A \cap B = \emptyset$ : nu se pot produce simultan
eveniment contrar	$\overline{A}$ : se produce exact când $A$ nu se produce

Reuniunea $A \cup B$ traduce „cel puțin unul", intersecția $A \cap B$ traduce „amândouă", iar în matematică „sau" este întotdeauna neexclusiv. Numărarea în diagrama Venn se face cu

$card (A \cup B) = card (A) + card (B) - card (A \cap B) .$

Atenție la o distincție care se cere des: contrar înseamnă disjunct plus acoperă tot $Ω$ . Două evenimente disjuncte nu sunt neapărat contrare.

5. Probabilitatea: aceeași numărare, împărțită

$P (A) = \frac{card ( A )}{card ( Ω )} = \frac{cazuri favorabile}{cazuri posibile} .$

Formula se aplică numai dacă rezultatele elementare sunt egal posibile (zar echilibrat, monedă corectă, extragere „la întâmplare"). Proprietățile de control: $0 \leq P (A) \leq 1$ , $P (\emptyset) = 0$ , $P (Ω) = 1$ , iar din $A \subseteq B$ rezultă $P (A) \leq P (B)$ .

Regula de aur a numărării: cazurile favorabile și cele posibile se numără în același model — ori amândouă cu ordine, ori amândouă fără. Amestecul dă rezultate false, uneori chiar mai mari decât $1$ .

Formula	Enunțul pe care îl traduce
$P (\overline{A}) = 1 - P (A)$	„cel puțin unul" $\to$ „niciunul"
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$	„cel puțin unul dintre $A$ și $B$ "
$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$	„amândouă", cu etape succesive
$P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ , cu $P (A) > 0$	„știind că $A$ s-a produs"
$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$	definiția independenței

Prima întrebare la orice problemă cu urne este: cu revenire, fără revenire sau simultan? Pentru o urnă cu $5$ bile din care se iau două, cazurile posibile sunt $5 \cdot 5 = 25$ , $5 \cdot 4 = 20$ , respectiv $C_{5}^{2} = 10$ . Răspunsul schimbă tot restul problemei.

✏️Ilustrație: o diagramă Venn cu dreptunghiul Ω și două cercuri A și B care se intersectează; cele patru regiuni sunt hașurate diferit și etichetate „doar A", „A ∩ B", „doar B", „nici A, nici B", iar dedesubt este scrisă formula P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

La extrageri simultane dintr-o urnă cu $a$ obiecte de un fel și $b$ de altul, tiparul standard este

$P (exact k de primul fel) = \frac{C _{a}^{k} \cdot C _{b}^{n - k}}{C _{a + b}^{n}} .$

6. Independent nu înseamnă disjunct

Este confuzia cea mai costisitoare a capitolului, pentru că cele două cuvinte sună la fel de „fără legătură".

Disjuncte înseamnă $P (A \cap B) = 0$ : nu se pot produce împreună.
Independente înseamnă $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ : faptul că unul s-a produs nu schimbă probabilitatea celuilalt.

Două evenimente disjuncte cu probabilități nenule sunt obligatoriu dependente: dacă $A$ s-a produs, $B$ e imposibil, deci informația a schimbat totul. Independența nu se ghicește din enunț, se testează numeric: calculezi $P (A) \cdot P (B)$ și compari cu $P (A \cap B)$ .

Situații tipic independente: aruncări repetate, extrageri cu revenire, dispozitive necorelate. Situații tipic dependente: extrageri fără revenire, selecții dintr-un grup fix, date reale dintr-un tabel.

7. Rețetele de examen, pe scurt

„Câte numere de $k$ cifre distincte…" — ocupă întâi poziția restricționată (prima cifră nu poate fi $0$ , ultima decide paritatea), apoi aplică aranjamente pe restul.
„Câte echipe / comisii / submulțimi…" — combinări; dacă apar categorii, alegi separat din fiecare și înmulțești.
„Cel puțin unul" — treci la evenimentul contrar: $P = 1 - P (niciunul)$ .
„Care este probabilitatea ca…" pe o mulțime dată — numeri favorabilele și posibilele cu aceeași metodă, apoi împarți și simplifici fracția.
Termen dintr-o dezvoltare — folosește $T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ , pune condiția pe exponent, rezolvă în $k$ și verifică $0 \leq k \leq n$ .

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aceleași opt elemente, patru întrebări diferite

Într-un club sunt $8$ membri. În câte moduri se poate: a) alcătui o listă de prezență cu toți membrii, în ordine? b) forma un podium (locurile I, II, III)? c) alege o echipă de $3$ membri? d) forma un cod de $3$ litere, alese dintr-un alfabet de $8$ litere date, dacă literele se pot repeta?

Rezolvare. Punem de fiecare dată cele trei întrebări.

a) Toate elementele, ordinea contează, fără repetiție $\Rightarrow$ permutări: $P_{8} = 8! = 40320$ .

b) $3$ din $8$ , ordinea contează (locul I nu e totuna cu locul II), fără repetiție $\Rightarrow$ aranjamente: $A_{8}^{3} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$ .

c) $3$ din $8$ , ordinea nu contează (echipa nu se schimbă dacă îi rescrii membrii), fără repetiție $\Rightarrow$ combinări: $C_{8}^{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 56$ .

d) $3$ poziții, $8$ variante la fiecare, cu repetiție $\Rightarrow$ regula produsului: $8^{3} = 512$ .

Verifică puntea: $A_{8}^{3} = 3! \cdot C_{8}^{3} = 6 \cdot 56 = 336$ . ✓ Aceeași problemă, patru răspunsuri, o singură diferență — felul în care citești enunțul.

Exemplul 2 — Numere cu cifre distincte

Câte numere de trei cifre distincte se pot forma cu cifrele $0, 1, 2, 3, 4, 5$ ?

Rezolvare. Restricția stă la prima poziție: cifra sutelor nu poate fi $0$ . Deci ocupăm întâi poziția restricționată.

sutele: $5$ variante (orice cifră în afară de $0$ );
restul: două poziții completate cu cifre distincte, alese dintre cele $5$ rămase, deci $A_{5}^{2} = 5 \cdot 4 = 20$ moduri.

Prin regula produsului, $5 \cdot 20 = 100$ numere.

Control: numărând brutal toate aranjamentele de $6$ luate câte $3$ obținem $A_{6}^{3} = 120$ ; dintre ele, cele care încep cu $0$ sunt $A_{5}^{2} = 20$ , iar $120 - 20 = 100$ . ✓ Cele două drumuri — restricția tratată direct și scăderea cazurilor nefavorabile — dau același rezultat, cum trebuie.

Exemplul 3 — Binomul lui Newton

a) Dezvoltați $(x + 2)^{4}$ . b) Determinați termenul care îl conține pe $x^{3}$ în dezvoltarea lui $(x + 2)^{5}$ .

Rezolvare. a) Coeficienții sunt linia $4$ a triunghiului lui Pascal: $1, 4, 6, 4, 1$ . Cu $a = x$ și $b = 2$ :

$(x + 2)^{4} = x^{4} + 4 x^{3} \cdot 2 + 6 x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot 8 + 16 = x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16.$

Control: pentru $x = 1$ membrul stâng dă $3^{4} = 81$ , iar suma coeficienților este $1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81$ . ✓

b) Folosim termenul general, cu $n = 5$ , $a = x$ , $b = 2$ :

$T_{k + 1} = C_{5}^{k} x^{5 - k} \cdot 2^{k} .$

Condiția pusă de enunț este $5 - k = 3$ , adică $k = 2$ , valoare acceptabilă ( $0 \leq 2 \leq 5$ ). Atunci

$T_{3} = C_{5}^{2} \cdot x^{3} \cdot 2^{2} = 10 \cdot 4 \cdot x^{3} = 40 x^{3} .$

Observă că termenul cerut este al treilea, nu al doilea: rangul este $k + 1$ .

Exemplul 4 — Urnă, extragere simultană

O urnă conține $5$ bile albe și $3$ bile negre. Se extrag simultan două bile. Calculați probabilitatea ca: a) ambele să fie albe; b) cel puțin una să fie albă.

Rezolvare. Extragerea simultană înseamnă că ordinea nu contează, deci numărăm cu combinări:

$card (Ω) = C_{8}^{2} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28.$

a) Cazurile favorabile sunt perechile formate doar din bile albe: $C_{5}^{2} = 10$ . Deci

$P (ambele albe) = \frac{10}{28} = \frac{5}{14} \approx 0, 36.$

b) Aici merge evenimentul contrar. Contrariul lui „cel puțin una albă" este „niciuna albă", adică ambele negre: $C_{3}^{2} = 3$ cazuri. Deci

$P (cel pu ț in una alb \overset{a}{˘}) = 1 - \frac{3}{28} = \frac{25}{28} \approx 0, 89.$

Control: cele trei situații disjuncte — două albe, una din fiecare, două negre — au $10 + 15 + 3 = 28$ cazuri, exact $card (Ω)$ . ✓

Exemplul 5 — Reuniune, condiționare, independență

Într-o clasă de $30$ de elevi, $18$ joacă fotbal, $12$ joacă volei, iar $5$ joacă amândouă sporturile. Se alege la întâmplare un elev. Notăm cu $F$ evenimentul „elevul joacă fotbal" și cu $V$ evenimentul „elevul joacă volei". a) Calculați $P (F \cup V)$ . b) Calculați $P (V ∣ F)$ . c) Sunt $F$ și $V$ independente?

Rezolvare. Din enunț: $P (F) = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$ , $P (V) = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}$ , $P (F \cap V) = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$ .

a) $P (F \cup V) = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} - \frac{1}{6} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ .

Deci $\frac{1}{6}$ dintre elevi, adică $5$ elevi, nu joacă niciunul dintre cele două sporturi. Numărul se verifică direct: $18 + 12 - 5 = 25$ elevi joacă cel puțin un sport, deci $30 - 25 = 5$ nu joacă niciunul. ✓

b) Condiția restrânge mulțimea cazurilor posibile la cei $18$ fotbaliști:

$P (V ∣ F) = \frac{P ( F \cap V )}{P ( F )} = \frac{1/6}{3/5} = \frac{5}{18} .$

c) Testul numeric: $P (F) \cdot P (V) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{25} = 0, 24$ , în timp ce $P (F \cap V) = \frac{1}{6} \approx 0, 17$ . Cele două numere diferă, deci evenimentele nu sunt independente. Concret: printre fotbaliști proporția celor care joacă și volei este $\frac{5}{18} \approx 0, 28$ , mai mică decât $P (V) = 0, 4$ pe toată clasa.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră mulțimea $M = {1, 2, 3, \dots, 10}$ . a) Determinați numărul submulțimilor cu trei elemente ale mulțimii $M$ . b) Determinați câte dintre aceste submulțimi îl conțin pe $1$ . c) Se alege la întâmplare o submulțime cu trei elemente a lui $M$ . Calculați probabilitatea ca toate elementele ei să fie numere pare.

Rezolvare. a) O submulțime nu are ordine, deci numărăm cu combinări:

$C_{10}^{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 120.$

b) Dacă elementul $1$ este fixat în submulțime, mai avem de ales două elemente dintre cele $9$ rămase:

$C_{9}^{2} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36.$

Control: submulțimile care nu îl conțin pe $1$ sunt $C_{9}^{3} = 84$ , iar $36 + 84 = 120$ . ✓

c) În $M$ există cinci numere pare: $2, 4, 6, 8, 10$ . Cazurile favorabile sunt submulțimile cu trei elemente formate numai din ele, adică $C_{5}^{3} = 10$ . Cazurile posibile sunt cele $120$ de la punctul a). Prin urmare

$P = \frac{C _{5}^{3}}{C _{10}^{3}} = \frac{10}{120} = \frac{1}{12} .$

Observă disciplina de redactare cerută de barem: se scrie explicit ce sunt cazurile favorabile, ce sunt cele posibile, apoi se face raportul și se simplifică fracția. Fiecare dintre acești pași are punctajul lui.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare problemă de numărare, notează mai întâi răspunsurile la cele trei întrebări (repetiție? ordine? toate sau o parte?), iar la fiecare problemă de probabilitate scrie separat cazurile favorabile și cazurile posibile, înainte de a împărți.

1. Calculați $P_{4}$ , $A_{6}^{2}$ , $C_{6}^{2}$ și $C_{7}^{3}$ .

2. Câte numere de patru cifre distincte se pot forma cu cifrele $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ ?

3. Câte șiruri de trei litere se pot forma cu literele $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , dacă literele se pot repeta?

4. Rezolvați în mulțimea numerelor naturale ecuația $C_{n}^{2} = 15$ .

5. Dezvoltați $(x - 1)^{5}$ .

6. Determinați termenul care îl conține pe $x^{2}$ în dezvoltarea lui $(x + 3)^{4}$ .

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „ $C_{10}^{7} = C_{10}^{3}$ ."

8. Calculați suma $C_{5}^{0} + C_{5}^{1} + C_{5}^{2} + C_{5}^{3} + C_{5}^{4} + C_{5}^{5}$ .

9. Se aruncă un zar echilibrat. Calculați probabilitatea de a obține: a) un număr par; b) un număr prim; c) un număr mai mare decât $4$ .

10. Se aruncă simultan două zaruri echilibrate. Calculați probabilitatea ca suma punctelor obținute să fie egală cu $7$ .

11. O urnă conține $4$ bile roșii și $6$ bile albastre. Calculați probabilitatea ca, extrăgând simultan două bile, ambele să fie roșii.

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $P (A) = 0, 6$ și $P (B) = 0, 5$ , atunci evenimentele $A$ și $B$ nu pot fi disjuncte."

13. Se știe că $P (A) = 0, 4$ , $P (B) = 0, 3$ și $P (A \cap B) = 0, 1$ . Calculați $P (A \cup B)$ și $P (A ∣ B)$ , apoi stabiliți dacă $A$ și $B$ sunt independente.

14. (Problemă aplicată.) Un cod de acces are patru cifre. a) Câte coduri există? b) Calculați probabilitatea ca un cod ales la întâmplare să aibă toate cifrele distincte.

15. (Problemă aplicată.) Dintr-un grup format din $5$ fete și $4$ băieți se alege la întâmplare o comisie de trei persoane. Calculați probabilitatea ca în comisie să fie exact două fete.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră mulțimea $M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ . a) Determinați numărul submulțimilor cu două elemente ale lui $M$ . b) Determinați câte numere de trei cifre distincte se pot forma cu elementele lui $M$ . c) Calculați probabilitatea ca un astfel de număr, ales la întâmplare, să fie par.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se aruncă simultan două zaruri echilibrate. a) Determinați numărul cazurilor posibile. b) Calculați probabilitatea ca produsul punctelor obținute să fie egal cu $6$ . c) Calculați probabilitatea ca suma punctelor obținute să fie număr prim.

18. (Provocare.) Câte numere de cinci cifre distincte, formate cu cifrele $0, 1, 2, \dots, 9$ , sunt divizibile cu $5$ ?

Răspunsuri și explicații

1. $P_{4} = 4! = 24$ ; $A_{6}^{2} = 6 \cdot 5 = 30$ ; $C_{6}^{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$ ; $C_{7}^{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 35$ .

2. Se folosesc $4$ cifre dintre $5$ , distincte, iar ordinea contează (numerele $1234$ și $4321$ sunt diferite): $A_{5}^{4} = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120$ .

3. Trei poziții, câte $4$ variante fiecare, cu repetiție: $4^{3} = 64$ (regula produsului).

4. $C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2} = 15$ , deci $n^{2} - n - 30 = 0$ , cu soluțiile $n = 6$ și $n = - 5$ . Cum $n$ trebuie să fie număr natural cu $n \geq 2$ , rămâne $n = 6$ .

5. Coeficienții liniei $5$ sunt $1, 5, 10, 10, 5, 1$ , iar semnele alternează, pentru că $(- 1)^{k}$ apare în fiecare termen: $(x - 1)^{5} = x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{3} - 10 x^{2} + 5 x - 1.$ Control: pentru $x = 1$ ambii membri dau $0$ ; suma coeficienților este $1 - 5 + 10 - 10 + 5 - 1 = 0$ . ✓

6. $T_{k + 1} = C_{4}^{k} x^{4 - k} \cdot 3^{k}$ . Condiția $4 - k = 2$ dă $k = 2$ , deci $T_{3} = C_{4}^{2} \cdot 3^{2} \cdot x^{2} = 6 \cdot 9 \cdot x^{2} = 54 x^{2}$ .

7. Adevărat, prin formula combinărilor complementare: $C_{10}^{7} = C_{10}^{10 - 7} = C_{10}^{3} = 120$ . Practic, a alege $7$ elemente dintre $10$ înseamnă a alege cele $3$ care rămân afară.

8. Suma unei linii întregi din triunghiul lui Pascal este $2^{n}$ , deci suma cerută este $2^{5} = 32$ . (Verificare directă: $1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32$ .)

9. $card (Ω) = 6$ . a) Numerele pare sunt $2, 4, 6$ , deci $P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ . b) Numerele prime sunt $2, 3, 5$ , deci $P = \frac{1}{2}$ . c) Numerele mai mari decât $4$ sunt $5$ și $6$ , deci $P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ .

10. Zarurile se deosebesc între ele, deci $card (Ω) = 6 \cdot 6 = 36$ . Suma $7$ se obține în $6$ moduri: $(1, 6)$ , $(2, 5)$ , $(3, 4)$ , $(4, 3)$ , $(5, 2)$ , $(6, 1)$ . Deci $P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ .

11. Extragere simultană, deci combinări: $card (Ω) = C_{10}^{2} = 45$ , cazuri favorabile $C_{4}^{2} = 6$ . Prin urmare $P = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}$ .

12. Adevărat. Dacă ar fi disjuncte, am avea $P (A \cup B) = 0, 6 + 0, 5 = 1, 1 > 1$ , ceea ce e imposibil. Deci intersecția lor are, obligatoriu, probabilitate cel puțin $0, 1$ .

13. $P (A \cup B) = 0, 4 + 0, 3 - 0, 1 = 0, 6$ . Apoi $P (A ∣ B) = \frac{0 , 1}{0 , 3} = \frac{1}{3}$ . Testul de independență: $P (A) \cdot P (B) = 0, 12 \neq = 0, 1 = P (A \cap B)$ , deci evenimentele nu sunt independente.

14. a) Patru poziții, câte $10$ cifre fiecare, cu repetiție: $1 0^{4} = 10000$ coduri. b) Codurile cu cifre distincte sunt $A_{10}^{4} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$ , deci $P = \frac{5040}{10 000} = 0, 504$ . (Un cod poate începe cu $0$ — nu e număr, e cod.)

15. $card (Ω) = C_{9}^{3} = 84$ . Cazurile favorabile: alegem $2$ fete din $5$ și $1$ băiat din $4$ , deci $C_{5}^{2} \cdot C_{4}^{1} = 10 \cdot 4 = 40$ . Prin urmare $P = \frac{40}{84} = \frac{10}{21} \approx 0, 48$ .

16. a) $C_{6}^{2} = 15$ . b) Toate cifrele sunt nenule, deci nu apare restricția obișnuită: $A_{6}^{3} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ . c) Numărul este par dacă ultima cifră este $2$ , $4$ sau $6$ : $3$ variante pentru unități, apoi $A_{5}^{2} = 20$ pentru celelalte două poziții, deci $3 \cdot 20 = 60$ cazuri favorabile. Prin urmare $P = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$ .

17. a) $card (Ω) = 36$ . b) Produsul este $6$ în patru cazuri: $(1, 6)$ , $(6, 1)$ , $(2, 3)$ , $(3, 2)$ , deci $P = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ . c) Sumele prime posibile sunt $2$ , $3$ , $5$ , $7$ și $11$ , obținute în $1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$ cazuri, deci $P = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ .

18. Un număr e divizibil cu $5$ dacă se termină în $0$ sau în $5$ ; tratăm cele două cazuri separat, pentru că nu se suprapun. Cazul „se termină în $0$ ": prima cifră are $9$ variante, iar celelalte trei poziții se completează cu cifre distincte din cele $8$ rămase: $9 \cdot A_{8}^{3} = 9 \cdot 336 = 3024$ . Cazul „se termină în $5$ ": prima cifră nu poate fi nici $0$ , nici $5$ , deci are $8$ variante, iar restul $A_{8}^{3} = 336$ : în total $8 \cdot 336 = 2688$ . Prin regula sumei, $3024 + 2688 = 5712$ numere.

De reținut

Cele trei întrebări decid metoda: se repetă elementele? contează ordinea? le iau pe toate sau o parte? De aici: $n^{k}$ , $P_{n} = n!$ , $A_{n}^{k}$ sau $C_{n}^{k}$ .
Puntea dintre formule: $A_{n}^{k} = k! \cdot C_{n}^{k}$ . Iar proprietățile de scurtătură sunt $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ , $C_{n}^{k} = C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k}$ și $C_{n}^{0} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{n}$ .
Binomul: $(a + b)^{n} = \sum C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ , cu termenul general $T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ ; rangul este $k + 1$ , iar suma exponenților din orice termen este $n$ .
Probabilitatea este o numărare împărțită: $P (A) = \frac{card ( A )}{card ( Ω )}$ , cu condiția ca rezultatele elementare să fie egal posibile și ca ambele etaje să fie numărate în același model.
Cele cinci formule de lucru: $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$ ; $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ ; $P (A \cap B) = P (A) P (B ∣ A)$ ; $P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ ; independență $⟺ P (A \cap B) = P (A) P (B)$ .

Greșeli frecvente

Confundarea aranjamentelor cu combinările. „Echipă", „comisie", „submulțime" înseamnă combinări; „podium", „ordine de intrare", „funcții diferite" înseamnă aranjamente. Testul schimbului decide în două secunde: schimbă două elemente între ele și vezi dacă situația s-a modificat.
Numărarea favorabilelor și a posibilelor în modele diferite. Dacă numeri cazurile posibile cu combinări (extragere simultană), numeri și favorabilele tot cu combinări. Amestecul poate da chiar și probabilități mai mari decât $1$ .
Uitarea restricției primei cifre. Un număr de patru cifre nu poate începe cu $0$ ; un cod PIN poate. Citește ce anume se formează înainte de a aplica formula.
„Independent" folosit în loc de „disjunct". Disjunct înseamnă $P (A \cap B) = 0$ ; independent înseamnă $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ . Două evenimente disjuncte cu probabilități nenule sunt dependente, nu independente.
Rangul termenului confundat cu indicele $k$ . În $T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ , pentru al patrulea termen se ia $k = 3$ . Cine ia $k = 4$ obține al cincilea termen și pierde tot exercițiul.

Aplică acasă

Tabelul de decizie. Scrie pe o fișă cele trei întrebări și cele patru formule, apoi caută în manual sau pe internet zece enunțuri de probleme de numărare și, fără să le rezolvi, notează doar ce metodă cere fiecare. Verifică-te apoi cu răspunsurile. Este cel mai bun antrenament pentru primul minut al oricărei probleme.
Experimentul cu zarurile. Aruncă două zaruri de $60$ de ori și notează de fiecare dată suma. Compară frecvențele relative obținute cu probabilitățile teoretice ( $\frac{1}{36}$ pentru suma $2$ , $\frac{6}{36}$ pentru suma $7$ și așa mai departe). Vei vedea cu ochii tăi ce înseamnă „proporție pe termen lung" și de ce $60$ de aruncări sunt încă puține.
Câte parole ai de fapt? Calculează câte parole de $6$ caractere se pot forma folosind doar cifre, apoi cifre și litere mici, apoi cifre, litere mici și litere mari. Compară numerele. Vei înțelege, prin regula produsului, de ce fiecare caracter în plus contează mai mult decât ai crede.

Pentru părinți și profesori

Lecția reunește două capitole care în programă sunt separate, dar care se sprijină unul pe celălalt: metodele de numărare (diagrame arborescente, regula produsului și a sumei, permutări, aranjamente, combinări, triunghiul lui Pascal, binomul lui Newton) și probabilitățile (evenimente, definiția clasică, reuniune, intersecție, eveniment contrar, probabilități condiționate, independență). Ideea structurantă este că o probabilitate este o fracție ale cărei două etaje se calculează cu metode de numărare, iar regula de aur este ca ambele să fie numărate în același model.

Puncte de verificat: (1) alege metoda punându-și cele trei întrebări, nu după cuvinte-cheie memorate; (2) tratează corect restricția „prima cifră nu poate fi zero"; (3) știe că rangul termenului binomial este $k + 1$ ; (4) numără cazurile favorabile și cele posibile coerent; (5) folosește evenimentul contrar la enunțurile cu „cel puțin unul"; (6) nu confundă independența cu disjuncția. Întrebări bune de control: „Dacă schimb doi membri între ei, echipa se schimbă?", „De ce $C_{10}^{7}$ și $C_{10}^{3}$ sunt egale?", „Pot fi două evenimente disjuncte și independente în același timp?".

La Bacalaureat, capitolul apare aproape în fiecare variantă, în forme foarte stabile: numărul de submulțimi cu un anumit număr de elemente, numere formate cu cifre date, un termen dintr-o dezvoltare binomială și o probabilitate calculată pe o mulțime finită. Redactarea cere explicit numirea cazurilor favorabile și a celor posibile și simplificarea fracției finale — pași care se punctează separat. Semne că elevul a înțeles: își scrie mulțimea $Ω$ înainte de a calcula și își verifică rezultatul comparând cu $1$ .

Întrebări frecvente

Când folosesc combinări și când aranjamente? Aplică testul schimbului: ia o soluție concretă și schimbă între ele două dintre elementele alese. Dacă obții altă situație, ordinea contează și folosești aranjamente; dacă obții aceeași situație, folosești combinări. „Echipă", „comisie" și „submulțime" duc la combinări; „podium", „ordine" și „funcții diferite" duc la aranjamente.

Ce înseamnă că $0! = 1$ ? Este o convenție care păstrează valabilitatea recurenței $n! = n \cdot (n - 1)!$ și corespunde faptului că există exact un mod de a aranja zero obiecte: să nu aranjezi nimic. Fără ea, formula $C_{n}^{n} = \frac{n !}{n ! 0 !} = 1$ nu ar mai funcționa.

Cum găsesc un anumit termen dintr-o dezvoltare fără să o scriu toată? Cu formula termenului general $T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ . Pui condiția cerută de enunț asupra exponentului, rezolvi ecuația în $k$ , verifici că $k$ este număr natural cu $0 \leq k \leq n$ și înlocuiești. Ține minte că rangul termenului este $k + 1$ .

Cum calculez o probabilitate atunci când enunțul spune „cel puțin unul"? Prin evenimentul contrar: $P (cel pu ț in unul) = 1 - P (niciunul)$ . „Niciunul" are, aproape întotdeauna, un singur caz de numărat, în timp ce „cel puțin unul" ar cere însumarea mai multor situații.

Care e diferența dintre extragere cu revenire, fără revenire și simultană? Cu revenire, bila se pune înapoi, deci la fiecare pas ai aceleași variante și probabilitățile nu se schimbă. Fără revenire, oferta scade la fiecare pas. Simultan înseamnă că ordinea nu contează, deci se numără cu combinări. Este prima întrebare de pus la orice problemă cu urne.

Pot fi două evenimente disjuncte și independente în același timp? Doar dacă unul dintre ele are probabilitatea zero. Dacă $A$ și $B$ sunt disjuncte, $P (A \cap B) = 0$ , iar independența ar cere $P (A) \cdot P (B) = 0$ . Cu probabilități nenule, evenimentele disjuncte sunt cele mai dependente cu putință: dacă unul se produce, celălalt devine imposibil.

Ce înseamnă $P (B ∣ A)$ și de ce nu e totuna cu $P (A ∣ B)$ ? $P (B ∣ A)$ este probabilitatea lui $B$ calculată după ce am aflat că $A$ s-a produs; condiția restrânge cazurile posibile la cele din $A$ . Cele două expresii au același numărător, $P (A \cap B)$ , dar numitori diferiți, deci în general diferă.

Ce fel de probleme de numărare și probabilități se dau la Bacalaureat? Cel mai frecvent: numărul submulțimilor cu un număr dat de elemente, numere formate cu cifre distincte dintr-o mulțime dată, un termen sau un coeficient dintr-o dezvoltare binomială și probabilitatea unui eveniment definit pe o mulțime finită. Toate se rezolvă în câteva rânduri, dacă scrii clar cazurile favorabile și cele posibile.