Trigonometrie în geometrie: sinteza capitolului: pe scurt

Capitolul leagă valorile trigonometrice de geometria triunghiului prin două teoreme date fără demonstrație. Teorema cosinusului, $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, pornește atunci când ai trei laturi (cazul LLL) sau două laturi cu unghiul dintre ele (LUL); teorema sinusurilor, $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, pornește când ai o pereche completă latură–unghi opus (ULU, LUU sau cazul ambiguu LLU). Regula de triaj ține de o singură diferență: cosinusul determină unghiul fără ambiguitate, pe când sinusul lasă două variante suplementare — de aceea la LLL calculezi întâi unghiul cel mai mare, iar la LLU discuți cazul ambiguu cu $h=b\sin A$.

Din lungimile laturilor, natura triunghiului se stabilește comparând $a^2$ cu $b^2+c^2$, unde $a$ e latura cea mai lungă. Aria se calculează cu $\mathcal{S}=\frac{1}{2}ab\sin C$ atunci când cunoști unghiul dintre două laturi, sau cu formula lui Heron, $\mathcal{S}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, când ai doar cele trei laturi — cele două drumuri se verifică reciproc. Pentru poligoane, strategia e mereu aceeași: descompunere în triunghiuri printr-o diagonală. Niciun rezultat nu e gata fără cele trei controale: inegalitatea triunghiului, suma unghiurilor $180^{\circ }$ și ordinea latură mare – unghi mare.

Exerciții din această mini-lecție

1. În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=6$, $AC=9$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$. Calculați lungimea laturii $BC$.

   • a) $3\sqrt{10}$
   • b) $3\sqrt{7}$
   • c) $\sqrt{117}$
   • d) $9$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $3\sqrt{7}$

   Suntem în cazul LUL, cu unghiul dat între laturile date, deci pornim direct cu teorema cosinusului: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=81+36-2\cdot 9\cdot 6\cdot \frac{1}{2}=117-54=63$, deci $BC=\sqrt{63}=3\sqrt{7}$. Varianta a) apare dacă uiți factorul $2$ din formulă; varianta c) apare dacă uiți complet termenul $-2bc\cos A$, adunând doar pătratele laturilor.

2. Un triunghi are laturile $5$, $6$ și $7$. Ce natură are acest triunghi?

   • a) dreptunghic
   • b) obtuzunghic
   • c) ascuțitunghic
   • d) nu există un asemenea triunghi
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) ascuțitunghic

   Inegalitatea triunghiului se verifică ($5+6=11>7$), deci varianta d) e greșită. Cea mai lungă latură este $7$; comparăm $7^2=49$ cu $5^2+6^2=61$. Cum $49<61$, triunghiul este **ascuțitunghic**. Dacă ar fi ieșit $49=61$ ar fi fost dreptunghic (varianta a), iar dacă $49>61$, obtuzunghic (varianta b).

3. Într-un triunghi, o latură are lungimea $10$, iar unghiul opus ei are măsura $45^{\circ }$. Calculați raza cercului circumscris triunghiului.

   • a) $10\sqrt{2}$
   • b) $5$
   • c) $5\sqrt{2}$
   • d) $10$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $5\sqrt{2}$

   Din teorema sinusurilor, $R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{10}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}\approx 7,07$. Varianta a) este chiar raportul $\frac{a}{\sin A}=2R=10\sqrt{2}$, confundat cu raza — greșeala „confundarea razei cu diametrul"; variantele b) și d) apar din calcule greșite ale lui $\sin 45^{\circ }$.