Recapitulare: aplicații ale trigonometriei în geometrie

Un topograf care trebuie să afle lățimea unui râu nu traversează apa cu ruleta. Măsoară pe malul lui o distanță pe care o poate parcurge, îndreaptă aparatul spre un copac de pe malul celălalt, citește două unghiuri și scrie trei rânduri de calcul. Tot capitolul pe care îl închei acum este exact rețeta acelor trei rânduri: două teoreme care leagă laturile de unghiuri, câteva formule de arie și o schemă limpede care îți spune, în funcție de ce ți se dă, cu care dintre ele pornești.

Recapitularea de față adună într-un singur loc harta capitolului, toate formulele în tabele, criteriile după care recunoști tipul problemei și greșelile care s-au adunat pe parcurs. Nu apare nimic nou: fiecare secțiune trimite la lecția din care provine, dacă vrei să reiei un desen sau o justificare. Ce se schimbă e perspectiva — de aici capitolul se vede întreg, ca un singur instrument, nu ca zece lecții separate.

Ce vei învăța

• Vei ști să alegi, în câteva secunde, ce teoremă se potrivește datelor pe care le ai: cosinusului sau sinusurilor.
• Vei ști să rezolvi complet un triunghi în toate cele patru situații din programă (LLL, LUL, ULU sau LUU, LLU) și să discuți cazul ambiguu.
• Vei ști să calculezi aria cu formula sinusului, cu formula lui Heron sau prin descompunere în triunghiuri, alegând varianta potrivită datelor.
• Vei ști să determini raza cercului circumscris dintr-o singură pereche latură–unghi opus.
• Vei ști să stabilești natura unui triunghi doar din lungimile laturilor și să verifici mai întâi că triunghiul există.
• Vei ști să transformi o măsurătoare pe teren într-o problemă de triunghi și să-ți verifici singur rezultatul.

Hai să descoperim împreună

1. Harta capitolului

Capitolul are patru blocuri, iar ele se citesc în ordinea în care apar într-o problemă reală: întâi valorile trigonometrice, apoi cele două teoreme, apoi rezolvarea triunghiului, apoi ariile.

Ideea care ține totul laolaltă: un triunghi are șase elemente — trei laturi și trei unghiuri — iar trei dintre ele, alese potrivit, le determină pe celelalte trei. Teorema cosinusului și teorema sinusurilor sunt cele două unelte cu care faci trecerea; restul e alegerea uneltei și disciplina calculului.

2. Valorile de care ai nevoie

Notațiile sunt fixe și se folosesc peste tot: în triunghiul $ABC$, laturile se notează $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$, adică fiecare latură poartă litera mică a unghiului din fața ei. Aria se notează $\mathcal{S}$, iar raza cercului circumscris, $R$.

Într-un triunghi, unghiurile sunt cuprinse între $0^{\circ }$ și $180^{\circ }$, deci ai nevoie de valori și pentru unghiuri obtuze. Ele se obțin din regula suplementului:

$$\sin (180^{\circ }-x)=\sin x,\cos (180^{\circ }-x)=-\cos x,\mathrm{tg}(180^{\circ }-x)=-\mathrm{tg}x.$$

Pentru unghiurile care nu sunt cele de mai sus, valorile se iau din tabelele trigonometrice sau cu un instrument digital — chiar așa cere programa. Convenția de lucru a capitolului: valori trigonometrice cu patru zecimale, lungimi finale cu două zecimale, unghiuri obținute prin citire inversă rotunjite la grade întregi, toate scrise cu semnul $\approx$. Pe calculator, verifică întotdeauna că lucrezi în modul DEG: testul rapid este $\sin 30^{\circ }=0,5$.

Reține și diferența care decide multe exerciții: cosinusul determină unghiul, sinusul nu. Pe intervalul $(0^{\circ },180^{\circ })$ o valoare a cosinusului corespunde unui singur unghi, în timp ce o valoare a sinusului corespunde la două unghiuri suplementare.

3. Cele două teoreme, față în față

Amândouă sunt date de programă fără demonstrație: le folosim ca instrumente. Merită totuși recunoscute cele două verificări gratuite pe care ți le oferă. Teorema cosinusului conține teorema lui Pitagora ca simplu caz particular: la $A=90^{\circ }$ avem $\cos A=0$, corecția $-2bc\cos A$ dispare și rămâne $a^2=b^2+c^2$. Iar teorema sinusurilor spune, în cuvinte, că laturile sunt proporționale cu sinusurile unghiurilor opuse, deci ordinea laturilor coincide cu ordinea unghiurilor.

Din forma completă a teoremei sinusurilor se citește și legătura cu cercul circumscris: raportul comun este diametrul, nu raza. De aici $R=\frac{a}{2\sin A}$ și $a=2R\sin A$; în particular, în triunghiul dreptunghic ipotenuza este diametrul, iar în cel echilateral de latură $\ell$ avem $R=\frac{\ell \sqrt{3}}{3}$.

4. Schema de triaj: cu ce pornesc?

Aceasta este singura schemă pe care merită s-o știi pe de rost. Citește datele problemei, identifică tiparul și pornește.

Regula de aur a triajului, într-o singură propoziție: dacă ai o latură împreună cu unghiul din fața ei, pornești cu teorema sinusurilor; dacă nu, pornești cu teorema cosinusului. La LLL începi cu unghiul cel mai mare (opus laturii celei mai lungi), pentru că el este singurul care poate fi obtuz — odată aflat, celelalte două sunt sigur ascuțite și pot fi calculate fără riscuri.

Cazul ambiguu, pe scurt: se calculează $h=b\sin A$, unde $A$ este unghiul cunoscut, iar $b$ latura alăturată lui. Pentru $A$ ascuțit: dacă $a<h$ nu există niciun triunghi; dacă $a=h$ există unul, dreptunghic; dacă $h<a<b$ există două; dacă $a\ge b$ există unul singur. Pentru $A$ drept sau obtuz există un triunghi dacă $a>b$ și niciunul altfel. Detaliile și desenele sunt în Cazurile ULU și LLU.

5. Natura triunghiului, din laturi

Înainte de orice discuție, pasul zero este inegalitatea triunghiului: cea mai lungă latură trebuie să fie mai mică decât suma celorlalte două. Dacă nu e, triunghiul nu există și problema se oprește aici.

Apoi, cu $a$ latura cea mai lungă (deci $A$ unghiul cel mai mare):

$$a^2<b^2+c^2\Rightarrow \text{ascuțitunghic},a^2=b^2+c^2\Rightarrow \text{dreptunghic},a^2>b^2+c^2\Rightarrow \text{obtuzunghic}.$$

Criteriul nu e o regulă memorată, ci o consecință directă a teoremei cosinusului: în $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ numitorul este mereu pozitiv, deci semnul cosinusului este semnul numărătorului. Cazul de egalitate este chiar reciproca teoremei lui Pitagora.

6. Ariile: trei formule și o strategie

Formula sinusului merge la fel pentru unghiuri obtuze, pentru că $\sin (180^{\circ }-C)=\sin C$; la $C=90^{\circ }$ ea se reduce chiar la semiprodusul catetelor. Citită invers, ea dă $h_a=\frac{2\mathcal{S}}{a}$ (orice înălțime, dacă știi aria) și $\sin C=\frac{2\mathcal{S}}{ab}$ (dar cu două unghiuri posibile).

Formula lui Heron are un avantaj rar: își testează singură datele. Dacă produsul de sub radical iese negativ, triunghiul pur și simplu nu există. Verificarea gratuită a diferențelor: $(p-a)+(p-b)+(p-c)=p$.

Strategia pentru suprafețe poligonale este întotdeauna aceeași: taie figura în triunghiuri care nu se suprapun, calculează fiecare bucată cu formula potrivită datelor ei și adună. Un patrulater se taie cu o diagonală, iar un poligon convex cu $n$ laturi se taie, cu diagonalele dintr-un vârf, în $n-2$ triunghiuri. Un poligon regulat cu $n$ laturi înscris într-un cerc de rază $R$ are aria $n\cdot \frac{1}{2}{R}^2\sin \frac{360^{\circ }}{n}$.

7. Verificările obligatorii

O soluție nu e gata până nu trece controalele. Sunt patru, se fac în zece secunde și prind aproape orice greșeală:

1. Inegalitatea triunghiului pentru orice latură calculată: să fie mai mică decât suma celorlalte două și mai mare decât diferența lor.
2. Suma unghiurilor $=180^{\circ }$. Din cauza rotunjirilor poate ieși $179^{\circ }$ sau $181^{\circ }$ — asta se semnalează, nu se „corectează".
3. Ordinea: laturii celei mai lungi i se opune unghiul cel mai mare.
4. Plauzibilitatea: o clădire nu are $3$ metri dacă umbra ei are $40$; un râu nu are $2000$ de metri lățime într-un sat.

8. Rețetele de examen, pe scurt

• Se dau două laturi și unghiul dintre ele: teorema cosinusului pentru a treia latură, apoi $\mathcal{S}=\frac{1}{2}bc\sin A$ pentru arie, apoi $R=\frac{a}{2\sin A}$ dacă se cere raza. Este cel mai frecvent lanț de la examen.
• Se dau trei laturi: natura triunghiului din pătrate, unghiul cel mai mare din cosinus, aria din Heron.
• Se dă o latură și unghiul opus: ai imediat $R$, iar de acolo orice altă latură prin $x=2R\sin X$.
• Problemă de teren: desenează triunghiul, notează ce ai măsurat, aplică schema de triaj, verifică.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Lanțul complet pe cazul LUL

În triunghiul $ABC$ se știe că $AB=8$, $AC=5$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$. Calculați $BC$, aria triunghiului și raza cercului circumscris.

Rezolvare. Cu notațiile obișnuite, $c=AB=8$, $b=AC=5$, iar unghiul dintre ele este $A$. Suntem în cazul LUL, deci pornim cu teorema cosinusului:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=89-40=49\Rightarrow BC=7.$$

Control: laturile $7$, $5$, $8$ verifică inegalitatea triunghiului ($5+7=12>8$). ✓

Aria, cu formula sinusului aplicată chiar unghiului dat:

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\approx 17,32.$$

Raza cercului circumscris, din perechea completă $a=7$ și $A=60^{\circ }$:

$$R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{7}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}\approx 4,04.$$

Control: $R\approx 4,04$, iar cea mai lungă latură este $8$; într-adevăr $8<2R\approx 8,08$. ✓ Verificarea ariei prin Heron dă același rezultat: $p=10$ și $\sqrt{10\cdot 3\cdot 5\cdot 2}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}$.

Exemplul 2 — Cazul LLL și natura triunghiului

Un triunghi are laturile $3$, $5$ și $7$. Stabiliți natura lui, calculați unghiul cel mai mare și aria.

Rezolvare. Pasul zero: $3+5=8>7$, deci triunghiul există.

Cea mai lungă latură este $7$; comparăm $7^2=49$ cu $3^2+5^2=34$. Cum $49>34$, triunghiul este obtuzunghic.

Unghiul cel mai mare, opus laturii $7$:

$$\cos A=\frac{5^2+3^2-7^2}{2\cdot 5\cdot 3}=\frac{25+9-49}{30}=\frac{-15}{30}=-\frac{1}{2}\Rightarrow m(\angle A)=120^{\circ }.$$

Semnul negativ confirmă independent concluzia despre natură. Aria, cu formula sinusului, folosind unghiul tocmai aflat și laturile care îl formează:

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 3\cdot \sin 120^{\circ }=\frac{15}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{15\sqrt{3}}{4}\approx 6,50.$$

Control cu Heron: $p=\frac{15}{2}=7,5$ și $\mathcal{S}=\sqrt{7,5\cdot 4,5\cdot 2,5\cdot 0,5}=\sqrt{42,1875}\approx 6,50$. ✓ Cele două drumuri se întâlnesc, deci calculul e bun.

Exemplul 3 — Cazul ULU, cu raza pe drum

În triunghiul $ABC$, $BC=12$, $m(\angle A)=30^{\circ }$ și $m(\angle B)=45^{\circ }$. Rezolvați triunghiul și aflați raza cercului circumscris.

Rezolvare. Avem perechea completă $a=BC=12$ cu unghiul opus $A=30^{\circ }$, deci teorema sinusurilor pornește imediat. Al treilea unghi:

$$m(\angle C)=180^{\circ }-30^{\circ }-45^{\circ }=105^{\circ }.$$

Raza se obține dintr-un singur raport:

$$R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{12}{2\cdot \frac{1}{2}}=12.$$

De aici celelalte laturi ies direct, cu $x=2R\sin X$:

$$b=2R\sin B=24\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=12\sqrt{2}\approx 16,97,c=2R\sin C=24\cdot \sin 105^{\circ }\approx 24\cdot 0,9659\approx 23,18.$$

Valoarea $\sin 105^{\circ }\approx 0,9659$ s-a citit din tabel, așa cum prevede programa.

Control: cel mai mare unghi este $C=105^{\circ }$ și, într-adevăr, cea mai lungă latură este $c\approx 23,18$; suma unghiurilor dă exact $180^{\circ }$. ✓

Exemplul 4 — Aria unui patrulater prin descompunere

În patrulaterul $ABCD$ se cunosc $AB=7$, $BC=8$, $m(\angle B)=120^{\circ }$, $AD=12$ și $CD=5$. Calculați aria patrulaterului.

Rezolvare. Trasăm diagonala $AC$; ea taie patrulaterul în triunghiurile $ABC$ și $ACD$, care nu se suprapun.

În triunghiul $ABC$ avem cazul LUL, deci aflăm diagonala cu teorema cosinusului:

$$A{C}^2=7^2+8^2-2\cdot 7\cdot 8\cdot \cos 120^{\circ }=49+64-112\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=113+56=169\Rightarrow AC=13.$$

Aria lui: ${\mathcal{S}}_1=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 8\cdot \sin 120^{\circ }=28\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=14\sqrt{3}\approx 24,25$.

În triunghiul $ACD$ cunoaștem acum toate trei laturile: $13$, $12$, $5$. Inegalitatea triunghiului se verifică ($5+12=17>13$), deci aplicăm Heron cu $p=\frac{13+12+5}{2}=15$:

$${\mathcal{S}}_2=\sqrt{15\cdot 2\cdot 3\cdot 10}=\sqrt{900}=30.$$

Control gratuit: $5^2+12^2=25+144=169=13^2$, deci triunghiul $ACD$ este dreptunghic în $D$ și aria lui se poate calcula și ca semiprodus al catetelor: $\frac{12\cdot 5}{2}=30$ ✓. Cele două metode se întâlnesc.

Aria patrulaterului: $\mathcal{S}={\mathcal{S}}_1+{\mathcal{S}}_2=14\sqrt{3}+30\approx 54,25$.

Observă structura, care se repetă la orice suprafață poligonală: diagonala e puntea — o calculezi într-un triunghi și o folosești ca dată în celălalt.

Exemplul 5 — O măsurătoare pe teren

Pentru a afla lățimea unui râu, un topograf măsoară pe mal segmentul $AB=40$ m și vizează un copac $C$ de pe malul opus. Obține $m(\angle A)=60^{\circ }$ și $m(\angle B)=45^{\circ }$. La ce distanță de punctul $A$ se află copacul și cât de lat este râul, dacă malurile sunt paralele și $AB$ este așezat de-a lungul malului?

Rezolvare. Suntem în cazul ULU, tiparul clasic al triangulației. Al treilea unghi:

$$m(\angle C)=180^{\circ }-60^{\circ }-45^{\circ }=75^{\circ }.$$

Cu teorema sinusurilor, folosind perechea completă $AB=40$ și $\angle C$:

$$AC=\frac{AB\cdot \sin B}{\sin C}=\frac{40\cdot 0,7071}{0,9659}\approx 29,28\text{ m}.$$

Lățimea râului este distanța de la $C$ la dreapta $AB$, adică înălțimea din $C$ a triunghiului:

$$h=AC\cdot \sin A\approx 29,28\cdot 0,8660\approx 25,36\text{ m}.$$

Control pe a doua cale: calculăm și $BC=\frac{40\cdot \sin 60^{\circ }}{\sin 75^{\circ }}\approx 35,86$ m, apoi $h=BC\cdot \sin 45^{\circ }\approx 35,86\cdot 0,7071\approx 25,36$ m. ✓ Aceeași valoare, obținută pe alt drum — exact controlul pe care îl cere orice măsurătoare serioasă.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=6$, $AC=10$ și $m(\angle A)=120^{\circ }$. a) Calculați aria triunghiului $ABC$. b) Calculați lungimea laturii $BC$. c) Calculați raza cercului circumscris triunghiului $ABC$.

Rezolvare. a) Unghiul dat este chiar unghiul dintre laturile date, deci formula sinusului se aplică direct:

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}\approx 25,98.$$

b) Teorema cosinusului, cu grijă la semnul lui $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$, care se scrie obligatoriu în paranteză:

$$B{C}^2=36+100-2\cdot 6\cdot 10\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=136+60=196\Rightarrow BC=14.$$

c) Avem acum perechea completă $BC=14$ cu unghiul opus $A=120^{\circ }$:

$$R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{14}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{14}{\sqrt{3}}=\frac{14\sqrt{3}}{3}\approx 8,08.$$

Control: $6+10=16>14$, deci triunghiul există; unghiul obtuz a mărit latura opusă peste valoarea pitagoreică $\sqrt{136}\approx 11,66$, exact cum era de așteptat. ✓ Observă ordinea în care s-au dat cerințele: aria întâi, pentru că nu depinde de nimic altceva. La examen, punctele se iau pe subpuncte, deci rezolvă mai întâi ce poți rezolva independent.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu desenul alături. La fiecare problemă, scrie mai întâi în ce caz te afli (LLL, LUL, ULU, LUU sau LLU) și ce teoremă pornește — abia apoi calculează. Valorile trigonometrice care nu sunt în tabelul de la punctul 2 se citesc din tabele sau de la un instrument digital, cu patru zecimale.

1. În triunghiul $ABC$ cu $m(\angle A)=90^{\circ }$ se cunosc $AB=6$ și $AC=8$. Calculați $BC$, $\sin B$, $\cos B$ și $\mathrm{tg}B$.

2. Calculați $\sin 135^{\circ }$, $\cos 150^{\circ }$ și $\mathrm{tg}120^{\circ }$.

3. Într-un triunghi, două laturi au lungimile $4$ și $6$, iar unghiul dintre ele are măsura $60^{\circ }$. Calculați lungimea celei de-a treia laturi.

4. Stabiliți natura triunghiului cu laturile $4$, $5$, $6$ și calculați cosinusul celui mai mare unghi al său.

5. Stabiliți natura fiecăruia dintre triunghiurile cu laturile: a) $5$, $12$, $13$; b) $6$, $7$, $8$; c) $7$, $8$, $12$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-un triunghi cu laturile $2$, $3$ și $6$, unghiul cel mai mare este obtuz."

7. În triunghiul $ABC$ se cunosc $BC=10$, $m(\angle A)=30^{\circ }$ și $m(\angle B)=45^{\circ }$. Calculați lungimea laturii $AC$.

8. Într-un triunghi, o latură are lungimea $6$, iar unghiul opus ei are măsura $30^{\circ }$. Calculați raza cercului circumscris triunghiului.

9. Calculați aria unui triunghi care are două laturi de lungimi $7$ și $10$, iar unghiul dintre ele de $30^{\circ }$.

10. Calculați aria triunghiului cu laturile $9$, $10$ și $17$.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un triunghi cu laturile $7$ și $9$ și unghiul dintre ele de $150^{\circ }$ are aria mai mare decât unul cu aceleași laturi și unghiul dintre ele de $30^{\circ }$."

12. Rezolvați triunghiul $ABC$ în care $m(\angle A)=45^{\circ }$, $m(\angle B)=60^{\circ }$ și $AB=10$.

13. În triunghiul $ABC$ se cunosc $m(\angle A)=30^{\circ }$, $AC=10$ și $BC=6$. Arătați că problema are două soluții și determinați măsurile posibile ale unghiului $B$.

14. (Problemă aplicată.) Doi observatori se află în punctele $A$ și $B$, la $60$ de metri unul de altul, pe malul unui lac. Amândoi vizează o geamandură $C$ de pe lac și măsoară $m(\angle A)=50^{\circ }$ și $m(\angle B)=70^{\circ }$. Calculați distanțele $AC$ și $BC$.

15. (Problemă aplicată.) Un teren are forma patrulaterului $ABCD$, în care triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $B$, cu $AB=30$ m și $BC=40$ m, iar în triunghiul $ACD$ se cunosc $CD=40$ m și $m(\angle ACD)=30^{\circ }$. Calculați aria terenului.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=8$, $AC=3$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$. a) Calculați lungimea laturii $BC$. b) Calculați aria triunghiului $ABC$. c) Calculați raza cercului circumscris triunghiului $ABC$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat.) În triunghiul $ABC$ se cunosc $BC=10$, $AB=8$ și $m(\angle A)=30^{\circ }$. a) Calculați raza cercului circumscris triunghiului. b) Calculați $\sin C$. c) Arătați că unghiul $C$ este ascuțit.

18. (Provocare.) Un triunghi are laturile $13$, $14$ și $15$. a) Calculați aria lui. b) Calculați sinusul unghiului opus laturii de lungime $13$. c) Calculați raza cercului circumscris și lungimea înălțimii duse pe latura de lungime $13$.

Răspunsuri și explicații

1. $B{C}^2=36+64=100$, deci $BC=10$. În triunghiul dreptunghic, $\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$, $\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$ și $\mathrm{tg}B=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$. Verificare: ${\left(\frac{4}{5}\right)}^2+{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=1$. ✓

2. Cu regula suplementului: $\sin 135^{\circ }=\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$; $\cos 150^{\circ }=-\cos 30^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\mathrm{tg}120^{\circ }=-\mathrm{tg}60^{\circ }=-\sqrt{3}$.

3. Caz LUL: $a^2=16+36-2\cdot 4\cdot 6\cdot \frac{1}{2}=52-24=28$, deci $a=2\sqrt{7}\approx 5,29$. Verificare: $4+6=10>5,29>6-4=2$. ✓

4. Inegalitatea se verifică ($4+5=9>6$). Cel mai mare unghi este opus laturii $6$: $6^2=36<16+25=41$, deci triunghiul este ascuțitunghic. Cosinusul: $\cos A=\frac{16+25-36}{2\cdot 4\cdot 5}=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}$, pozitiv — coerent cu concluzia.

5. Toate trei verifică inegalitatea triunghiului. a) $13^2=169=25+144$, deci dreptunghic. b) $8^2=64<36+49=85$, deci ascuțitunghic; cosinusul celui mai mare unghi este $\frac{85-64}{2\cdot 6\cdot 7}=\frac{21}{84}=\frac{1}{4}>0$, ceea ce confirmă concluzia. c) $12^2=144>49+64=113$, deci obtuzunghic; cosinusul celui mai mare unghi este $\frac{113-144}{112}=-\frac{31}{112}\approx -0,28$, adică $m(\angle )\approx 106^{\circ }$.

6. Fals, dar nu din motivul la care te-ai fi așteptat: triunghiul nu există. $2+3=5<6$, deci inegalitatea triunghiului nu e satisfăcută și discuția despre unghiuri nu are obiect. Pasul zero se face întotdeauna primul.

7. Perechea completă este $BC=10$ cu $\angle A=30^{\circ }$, iar $AC$ este opusă lui $\angle B$: $AC=\frac{BC\cdot \sin B}{\sin A}=\frac{10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=10\sqrt{2}\approx 14,14$.

8. $R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{6}{2\cdot \frac{1}{2}}=6$. (Raportul din teorema sinusurilor este $2R=12$, adică diametrul.)

9. $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 10\cdot \sin 30^{\circ }=35\cdot \frac{1}{2}=17,5$.

10. Inegalitatea se verifică ($9+10=19>17$). Semiperimetrul: $p=\frac{9+10+17}{2}=18$, iar diferențele $9$, $8$, $1$ însumează $18$. ✓ Atunci $\mathcal{S}=\sqrt{18\cdot 9\cdot 8\cdot 1}=\sqrt{1296}=36$.

11. Fals. Ariile sunt egale: $\sin 150^{\circ }=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, deci ambele triunghiuri au $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 9\cdot \frac{1}{2}=15,75$. Unghiurile suplementare au același sinus — de aceea formula ariei nu face diferență între ele.

12. Caz ULU. Al treilea unghi: $m(\angle C)=180^{\circ }-45^{\circ }-60^{\circ }=75^{\circ }$, iar $AB=c=10$ este opusă lui. Cu $\sin 75^{\circ }\approx 0,9659$: $a=\frac{10\cdot \sin 45^{\circ }}{\sin 75^{\circ }}\approx \frac{7,0711}{0,9659}\approx 7,32$ și $b=\frac{10\cdot \sin 60^{\circ }}{\sin 75^{\circ }}\approx \frac{8,6603}{0,9659}\approx 8,97$. Control: cel mai mic unghi ($45^{\circ }$) are în față cea mai mică latură. ✓

13. Caz LLU, cu $A=30^{\circ }$ ascuțit, $b=AC=10$ și $a=BC=6$. Calculăm $h=b\sin A=10\cdot \frac{1}{2}=5$. Cum $5<6<10$, adică $h<a<b$, există două triunghiuri. Din $\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{5}{6}\approx 0,8333$ obținem $m(\angle B)\approx 56^{\circ }$ sau $m(\angle B)\approx 124^{\circ }$; ambele sunt acceptabile, pentru că $30^{\circ }+124^{\circ }<180^{\circ }$.

14. Caz ULU: $m(\angle C)=180^{\circ }-50^{\circ }-70^{\circ }=60^{\circ }$, iar $AB=60$ este opusă lui $\angle C$. Atunci $BC=\frac{60\cdot \sin 50^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}\approx \frac{60\cdot 0,7660}{0,8660}\approx 53,07$ m și $AC=\frac{60\cdot \sin 70^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}\approx \frac{60\cdot 0,9397}{0,8660}\approx 65,10$ m. Control: cel mai mare unghi ($70^{\circ }$) are în față cea mai lungă latură. ✓

15. Diagonala $AC$ se află din triunghiul dreptunghic $ABC$: $AC=\sqrt{30^2+40^2}=50$ m, iar ${\mathcal{S}}_1=\frac{30\cdot 40}{2}=600$ m². În triunghiul $ACD$ cunoaștem $AC=50$, $CD=40$ și unghiul dintre ele, deci ${\mathcal{S}}_2=\frac{1}{2}\cdot 50\cdot 40\cdot \sin 30^{\circ }=1000\cdot \frac{1}{2}=500$ m². Aria terenului: $600+500=1100$ m².

16. a) $B{C}^2=9+64-2\cdot 3\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=73-24=49$, deci $BC=7$. (Control: $3+7=10>8$ ✓.) b) $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\approx 10,39$. c) $R=\frac{7}{2\sin 60^{\circ }}=\frac{7\sqrt{3}}{3}\approx 4,04$.

17. a) $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{10}{2\cdot \frac{1}{2}}=10$. b) Latura $AB=c=8$ este opusă lui $\angle C$, deci din $c=2R\sin C$ rezultă $\sin C=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}=0,4$. c) Din $\sin C=0,4$ ar rezulta $m(\angle C)\approx 24^{\circ }$ sau $m(\angle C)\approx 156^{\circ }$. A doua variantă se respinge, pentru că $30^{\circ }+156^{\circ }>180^{\circ }$. Rămâne $m(\angle C)\approx 24^{\circ }$, unghi ascuțit.

18. a) $p=21$, iar $\mathcal{S}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7056}=84$. b) Unghiul $A$, opus laturii $13$, e cuprins între laturile $14$ și $15$, deci din $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 14\cdot 15\cdot \sin A$ rezultă $\sin A=\frac{2\cdot 84}{210}=\frac{4}{5}=0,8$. (Verificare independentă: $\cos A=\frac{196+225-169}{420}=\frac{3}{5}$, iar $0,6^2+0,8^2=1$. ✓) c) $R=\frac{13}{2\cdot 0,8}=8,125$ și $h=\frac{2\mathcal{S}}{13}=\frac{168}{13}\approx 12,92$.

De reținut

• Regula de triaj: dacă ai o latură împreună cu unghiul din fața ei, pornești cu teorema sinusurilor; dacă nu (LLL sau LUL), pornești cu teorema cosinusului.
• Cele două teoreme: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ și $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$. În ambele, latura și unghiul care apar împreună sunt opuse.
• Cosinusul determină unghiul, sinusul lasă două variante. De aceea la cazul LLL se pornește cu cosinusul, iar cazul LLU cere discuție.
• Ariile: $\mathcal{S}=\frac{1}{2}ab\sin C$ când ai unghiul dintre două laturi, $\mathcal{S}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ când ai doar laturile, descompunere în triunghiuri pentru orice poligon.
• Nicio soluție nu e gata fără controale: inegalitatea triunghiului, suma unghiurilor de $180^{\circ }$, ordinea latură mare – unghi mare și plauzibilitatea rezultatului.

Greșeli frecvente

• Aplicarea teoremei sinusurilor pe o pereche incompletă. Raportul $\frac{a}{\sin B}$ nu are nicio valoare: latura și unghiul dintr-un raport trebuie să fie opuse. Fără o pereche completă, teorema sinusurilor nu pornește.
• Uitarea semnului la unghiuri obtuze. În $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, la $A=120^{\circ }$ avem $\cos A=-\frac{1}{2}$, deci termenul devine plus. Scrie valoarea negativă în paranteză și latura opusă va ieși, corect, mai lungă.
• Sărirea peste inegalitatea triunghiului. Datele $2$, $3$, $6$ nu descriu niciun triunghi, oricât de frumos ar arăta calculele care urmează. Pasul zero se face primul, întotdeauna.
• Cazul ambiguu tratat ca fiind unic. Când se dau două laturi și un unghi care nu e între ele, $\sin B=k$ are, în general, două soluții. Se calculează $h=b\sin A$ și se face discuția; a răspunde cu un singur triunghi fără verificare înseamnă a pierde jumătate din problemă.
• Confundarea razei cu diametrul. Raportul din teorema sinusurilor este $2R$, nu $R$. Din $\frac{a}{\sin A}=12$ rezultă $R=6$, nu $R=12$.

Aplică acasă

1. Fișa de o pagină. Scrie pe o singură foaie: tabelul valorilor (inclusiv unghiurile obtuze), cele două teoreme cu formele lor inverse, schema de triaj în cinci rânduri și cele trei formule de arie. E tot ce ai nevoie la lucrare; dacă intră pe o pagină, înseamnă că ai înțeles structura capitolului.

2. Măsoară ceva ce nu poți atinge. Alege un copac, un stâlp sau o clădire din cartier. Măsoară cu pasul o bază de câțiva metri, apoi, cu un raportor improvizat dintr-un carton și un fir cu greutate, măsoară unghiurile de la cele două capete. Calculează înălțimea prin triangulație și compară cu o estimare făcută cu ochiul.

3. Aria curții. Desenează la scară curtea casei, a școlii sau un teren de joacă din cartier. Taie-l în triunghiuri, măsoară ce e nevoie și calculează aria totală. Compară rezultatul cu cel obținut pe o hartă digitală — diferența îți arată cât de precise au fost măsurătorile tale.

Pentru părinți și profesori

Lecția reunește tot capitolul de aplicații ale trigonometriei în geometrie: valorile trigonometrice (inclusiv pentru unghiuri obtuze, prin regula suplementului), teorema cosinusului și teorema sinusurilor, rezolvarea triunghiurilor în cele patru situații din programă, natura unui triunghi din lungimile laturilor și cele trei căi de calcul al ariei. Ideea structurantă, pe care merită insistat, este schema de triaj: elevul care recunoaște din prima citire cazul (LLL, LUL, ULU, LUU sau LLU) nu se mai blochează niciodată la început de problemă. Programa prevede explicit ambele teoreme fără demonstrație și acceptă valorile citite din tabele sau obținute cu instrumente digitale, deci exercițiile pot avea unghiuri „urâte".

Puncte de verificat: (1) știe că într-un raport din teorema sinusurilor latura și unghiul sunt opuse; (2) tratează corect semnul cosinusului la unghiuri obtuze; (3) verifică inegalitatea triunghiului înainte de orice; (4) discută cazul ambiguu în loc să dea un singur răspuns; (5) nu confundă $2R$ cu $R$; (6) alege între formula sinusului și Heron după datele problemei, nu la întâmplare. Întrebări bune de control: „Cu ce teoremă pornești dacă ți se dau trei laturi și de ce?", „De ce la $120^{\circ }$ latura opusă iese mai lungă decât la $90^{\circ }$?", „Când poate o problemă de triunghi să aibă două răspunsuri?".

La Bacalaureat, acest capitol apare în forme foarte previzibile, aproape întotdeauna cu trei subpuncte legate: aria dintr-un unghi dat, apoi a treia latură, apoi raza cercului circumscris. Sunt exerciții scurte, cu punctaj sigur, în care se pierde mai mult din grabă decât din necunoaștere. Semne că elevul a înțeles: își desenează triunghiul înainte de a scrie prima formulă, își anunță cazul cu voce tare și își verifică rezultatul cu inegalitatea triunghiului și cu suma unghiurilor.

Întrebări frecvente

Cum îmi dau seama ce teoremă să folosesc într-o problemă de triunghi? Caută o pereche completă: o latură împreună cu unghiul din fața ei. Dacă există, pornești cu teorema sinusurilor. Dacă nu există — adică ai trei laturi (LLL) sau două laturi și unghiul dintre ele (LUL) — pornești cu teorema cosinusului. Această singură întrebare rezolvă alegerea în toate cazurile din programă.

De ce la cazul LLL se calculează întâi unghiul cel mai mare? Pentru că el este singurul care poate fi obtuz, iar cosinusul îl determină fără ambiguitate: dacă iese negativ, unghiul e obtuz. Odată aflat, celelalte două unghiuri sunt sigur ascuțite și pot fi calculate liniștit, cu orice metodă.

Ce înseamnă că teorema sinusurilor dă $2R$ și nu $R$? Înseamnă că raportul comun $\frac{a}{\sin A}$ este egal cu diametrul cercului circumscris. Prin urmare $R=\frac{a}{2\sin A}$. Este cea mai frecventă greșeală de neatenție a capitolului: dacă raportul iese $12$, raza este $6$.

Când are o problemă de triunghi două soluții? Numai în cazul LLU: se dau două laturi și un unghi care nu este cuprins între ele. Atunci $\sin B$ are două valori posibile pentru unghi, suplementare. Discuția se face cu $h=b\sin A$: dacă $h<a<b$ și $A$ este ascuțit, există exact două triunghiuri.

Când folosesc formula lui Heron și când formula cu sinus? Formula cu sinus cere două laturi și unghiul dintre ele; Heron cere doar cele trei laturi. Alegerea o dictează exclusiv ce îți dă enunțul. Dacă ai și una, și alta, folosește-le pe amândouă: a doua devine verificare gratuită a primei.

Cum aflu aria unei suprafețe care nu e triunghi? O tai în triunghiuri care nu se suprapun — la un patrulater, cu o diagonală — calculezi fiecare bucată cu formula potrivită datelor ei și aduni. Diagonala se calculează într-un triunghi și se folosește ca dată cunoscută în celălalt.

Pot să calculez un unghi din sinusul lui? Poți, dar cu grijă: pe intervalul $(0^{\circ },180^{\circ })$ un sinus corespunde la două unghiuri suplementare. Dacă enunțul nu îți permite să elimini una dintre variante, ambele trebuie discutate. Cosinusul nu are această problemă — el determină unghiul în mod unic.

Ce fel de probleme cu triunghiuri se dau la Bacalaureat? Cel mai des: aria unui triunghi din două laturi și unghiul dintre ele, a treia latură cu teorema cosinusului și raza cercului circumscris cu teorema sinusurilor — de obicei ca trei subpuncte ale aceleiași probleme. Apar și exerciții de recunoaștere a naturii triunghiului din lungimile laturilor.