Se cunosc numai $$a_1=8$$ și $$a_3=18$$. Ce informație suplimentară ar justifica obligatoriu $$a_2=13$$?

Cei trei termeni consecutivi formează o PA.

Șirul are cel puțin trei termeni.

Primul termen este mai mic decât al treilea.

La minutele $$0,2,6$$ sunt înregistrate valorile $$9,17,33$$. Care verdict este corect?

Lista observațiilor nu este PA, dar datele sunt compatibile cu un plus uniform de patru unități pe minut.

Lista observațiilor este PA cu rația opt.

Lista observațiilor este PA cu rația șaisprezece.

Datele exclud orice model uniform pe minut.

Cum verific o creștere uniformă din măsurători?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Validarea modelului PA

Împarți fiecare creștere la durata intervalului ei și compari rezultatele. La citiri egal distanțate, de exemplu $14$ , $19$ , $24$ , $29$ cm la fiecare $2$ minute, diferențele constante de $5$ cm arată o progresie aritmetică. La momentele $0$ , $3$ și $5$ minute, valorile $12$ , $21$ și $27$ au creșterile $9$ în $3$ minute și $6$ în $2$ minute, adică tot $3$ pe minut. Ambele serii sunt compatibile cu o creștere uniformă.

Un model aritmetic trebuie legat de o mărime, o unitate și un domeniu al etapelor. Precizează ce reprezintă termenul înainte să alegi formula. O cantitate nouă la fiecare etapă și un total deja acumulat sunt șiruri diferite, chiar dacă apar în același tabel.

Diferența constantă poate fi impusă prin enunț, demonstrată dintr-o regulă sau doar observată pe câteva date. Verificarea unei liste complete stabilește proprietatea acelei liste. Datele parțiale pot fi compatibile cu mai multe continuări; două completări distincte arată concret de ce informația nu este suficientă.

Trei numere $a, b, c$ , în ordinea scrisă, sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice exact când $2 b = a + c$ . Pentru o listă mai lungă, verifică toate diferențele. La necunoscute, rezolvă condițiile simultan și substituie rezultatul în lista completă.

Momentele observațiilor trebuie citite împreună cu valorile. Intervalele inegale pot produce diferențe diferite într-un proces cu schimbare uniformă pe minut. Datele care susțin un model nu demonstrează automat comportamentul neobservat. După construirea candidatului, controlează toate condițiile, domeniul și sensul rezultatului. Datele insuficiente permit mai multe modele, iar datele incompatibile nu pot fi satisfăcute împreună. Nu modifica observațiile doar pentru a păstra o formulă preferată.

De reținut

$a$ , $b$ , $c$ sunt în progresie aritmetică exact când $2 b = a + c$
trei termeni consecutivi se scriu comod $a - r$ , $a$ , $a + r$
la liste mai lungi se verifică toate diferențele consecutive
la intervale inegale se compară creșterea pe unitatea de timp

Greșeala tipică

Se compară direct diferențele unor citiri făcute la intervale inegale și se respinge creșterea uniformă; diferențele trebuie întâi împărțite la duratele intervalelor.

Exerciții din această mini-lecție

Se cunosc numai $a_{1} = 8$ și $a_{3} = 18$ . Ce informație suplimentară ar justifica obligatoriu $a_{2} = 13$ ?
- a) Toți termenii sunt pozitivi.
- b) Cei trei termeni consecutivi formează o PA.
- c) Șirul are cel puțin trei termeni.
- d) Primul termen este mai mic decât al treilea.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Cei trei termeni consecutivi formează o PA.

Ipoteza de PA impune $2 a_{2} = a_{1} + a_{3} = 26$ . Celelalte informații permit și alte valori intermediare.
Numerele $3, x, 19$ trebuie să fie termeni consecutivi ai unei PA, în această ordine. Care valoare a lui $x$ verifică cerința?
- a) $8$
- b) $16$
- c) $11$
- d) $22$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $11$

Condiția este $2 x = 3 + 19 = 22$ , deci $x = 11$ . Diferențele sunt ambele opt.
La minutele $0, 2, 6$ sunt înregistrate valorile $9, 17, 33$ . Care verdict este corect?
- a) Lista observațiilor nu este PA, dar datele sunt compatibile cu un plus uniform de patru unități pe minut.
- b) Lista observațiilor este PA cu rația opt.
- c) Lista observațiilor este PA cu rația șaisprezece.
- d) Datele exclud orice model uniform pe minut.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Lista observațiilor nu este PA, dar datele sunt compatibile cu un plus uniform de patru unități pe minut.

Diferențele sunt 8 și 16, iar duratele sunt 2 și 4 minute. Schimbarea medie este patru în ambele intervale; compatibilitatea nu dovedește evoluția intermediară.

Întrebări conexe

Pentru ce $x$ sunt $x - 1$ , $2 x$ și $x + 9$ termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice?

Termenul din mijloc trebuie să fie media celorlalți doi: $2 \cdot 2 x = (x - 1) + (x + 9)$ , adică $4 x = 2 x + 8$ și $x = 4$ . Numerele devin $3$ , $8$ , $13$ , cu diferențele egale, $5$ și $5$ . Ordinea scrisă contează.

Sunt numerele $2 - 1$ , $1$ și $2 + 1$ în progresie aritmetică?

Verifici condiția $2 b = a + c$ : în stânga $2 \cdot 1 = 2$ , în dreapta $(2 - 1) + (2 + 1) = 22$ . Cum $2 \neq = 22$ , numerele nu sunt în progresie aritmetică, deși par simetrice în jurul lui $1$ . Diferențele confirmă: $2 - 2$ și $2$ nu sunt egale.

Cum aflu trei termeni în progresie aritmetică știind suma și produsul lor?

Îi scrii $a - r$ , $a$ , $a + r$ . Pentru suma $15$ obții $3 a = 15$ , deci $a = 5$ . Pentru produsul $80$ : $5 (25 - r^{2}) = 80$ , deci $r^{2} = 9$ și $r = \pm 3$ . Termenii sunt $2$ , $5$ , $8$ , în ordine crescătoare sau descrescătoare.

De ce totalurile cumulate nu formează aceeași progresie ca adaosurile?

Dacă adaosurile sunt $2$ , $4$ , $6$ , o progresie aritmetică, totalurile cumulate sunt $2$ , $6$ , $12$ , cu diferențele $4$ și $6$ . Totalurile nu mai sunt în progresie aritmetică. Înainte de a alege formula, stabilește dacă termenii sunt adaosuri sau totaluri.

Cum arată pe grafic valorile unei progresii aritmetice?

Reprezinți punctele $(n, a_{n})$ : la o progresie aritmetică ele stau pe o dreaptă, iar panta este rația. Dacă punctele $(1, 4)$ , $(2, 7)$ , $(3, 10)$ sunt coliniare, cu urcarea de $3$ la fiecare pas, rația este $3$ . Punctele care se curbează indică alt model.

Oamenii mai întreabă și: verificarea unei creșteri uniforme · creștere constantă pe minut din date · validarea unui model cu diferență constantă · creștere cu aceeași cantitate la fiecare pas