Recunoașterea modelului PA (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Un tabel poate conține câteva valori potrivite unei reguli, fără să spună ce s-a întâmplat între observații sau ce va urma. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), recunoașterea progresiei aritmetice înseamnă și verificarea condițiilor care justifică modelul. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține condiția ca cel puțin trei numere să fie în progresie aritmetică. Vom deosebi o regulă demonstrată, o listă completă verificată și date doar compatibile cu o progresie.

Instrumentele de calcul sunt deja disponibile: rația PA, termenul general și suma termenilor. Aici alegem dacă avem dreptul să le folosim și ce concluzie susțin. Nu reluăm calculul dobânzii simple și nu comparăm sistematic PA cu progresia geometrică; ținta este validarea modelului aritmetic propus.

Ce vei învăța

Vei defini mărimea urmărită, unitatea și etapele înainte de a construi o formulă.
Vei distinge diferența constantă garantată prin enunț de o regularitate observată în câteva date.
Vei verifica toate condițiile unui model, inclusiv informațiile care nu au fost folosite la reconstruirea lui.
Vei aplica relația dintre trei termeni consecutivi, păstrând ordinea numerelor.
Vei recunoaște datele insuficiente, datele incompatibile și limitele unui model finit.
Vei formula un răspuns condiționat atunci când observațiile nu justifică o afirmație despre toate etapele.

Hai să descoperim împreună

1. Ce trebuie definit înaintea formulei?

Modelul aritmetic este descrierea unei evoluții printr-un șir cu diferență constantă. Construirea lui începe cu o propoziție: „notăm cu $a_{n}$ ...”. Completează propoziția cu mărimea, momentul și unitatea. „Cantitatea din lotul $n$ ” și „cantitatea cumulată după $n$ loturi” nu sunt același șir. Ele pot avea reguli diferite chiar dacă provin din același proces.

Precizează și ce numără indicele: operații efectuate, poziții consecutive sau observații la intervale egale. Starea înaintea oricărei operații poate avea indice zero. Prima cantitate pregătită poate avea indice unu. Formula trebuie să reproducă exact cazul de început din enunț.

Abia acum cauți o modificare constantă. O regulă care spune că la fiecare etapă se adaugă aceeași cantitate oferă direct relația $a_{n + 1} - a_{n} = r$ . O afirmație precum „valorile cresc” nu o oferă: creșterile pot fi toate pozitive și totuși diferite.

Unitățile ajută la controlul traducerii. Dacă termenul măsoară o lungime în centimetri, rația pe o etapă are aceeași unitate de lungime. Numărul de etape rămâne un număr fără unitate. Nu identifica rația cu durata dintre observații: una măsoară schimbarea valorii, cealaltă măsoară timpul.

2. Când este o regulă garantată și când este doar posibilă?

Există trei situații care trebuie exprimate diferit. Dacă enunțul impune aceeași diferență la fiecare pas, ai o PA pe domeniul dat. Dacă enunțul oferă întreaga listă finită, verifici toate diferențele acelei liste. Dacă oferă numai câteva observații dintr-un proces mai lung, verificarea lor arată compatibilitatea, nu neapărat regula întregului proces.

O formulă propusă se validează prin toate datele cunoscute. Ea poate coincide cu primele observații și poate eșua la una ulterioară. Nu este suficient să spui că „pare potrivită” după două substituții, dacă mai există o condiție neverificată.

Pentru a arăta că datele nu determină un răspuns, construiește două posibilități care respectă aceleași informații, dar produc răspunsuri diferite. Este o justificare concretă a insuficienței datelor. Nu înseamnă că datele sunt greșite, ci că nu aleg singure o singură evoluție.

La un proces real, o PA poate fi un model aproximativ folositor. Asta cere însă un criteriu de aproximare și un interval de utilizare. Într-o problemă cu numere exacte, nu modificăm observațiile pentru a le potrivi formulei. Diferența dintre exact și aproximativ trebuie scrisă, nu lăsată ascunsă în calcule.

3. Ce se întâmplă dacă observațiile nu sunt la intervale egale?

O modificare constantă pe minut nu produce neapărat diferențe egale între observații făcute la momente neregulate. Dacă o pauză durează de două ori mai mult, schimbarea totală poate fi de două ori mai mare, deși regula pe minut s-a păstrat.

De aceea citim și coloana cu momentele, nu numai valorile. Pentru două momente distincte, raportul dintre schimbarea valorii și durata intervalului indică schimbarea medie pe unitatea de timp. Dacă aceste rapoarte coincid, datele sunt compatibile cu un model uniform pe unitatea de timp.

Coincidența mediilor pe intervale nu dovedește ce s-a întâmplat la fiecare moment din interior. Procesul poate avea fluctuații care se compensează până la observația următoare. Pentru a vorbi despre o variație uniformă continuă este nevoie de o ipoteză explicită sau de informații suplimentare.

Într-o PA indexată prin observații, rația privește o trecere la observația următoare. Într-un model indexat prin minute întregi, rația privește un minut. Cele două șiruri au indici diferiți. Nu transferăm un verdict dintr-unul în celălalt fără să controlăm corespondența dintre indicii lor.

4. Ce condiție verifică trei termeni consecutivi?

Trei numere reale $a, b, c$ , în această ordine, sunt termeni consecutivi ai unei PA exact când diferențele sunt egale:

$b - a = c - b ⟺ 2 b = a + c .$

Termenul din mijloc este media aritmetică a extremelor. Relația permite orice rație, inclusiv zero și o valoare negativă. Nu presupune că $b$ este pozitiv, că termenii sunt distincți sau că lista este crescătoare.

Cuvântul „consecutivi” este esențial. Pentru trei termeni aleși la întâmplare dintr-o PA, rangurile pot fi la distanțe diferite, iar relația de medie nu mai este obligatorie. Ea rămâne valabilă și la ranguri egal distanțate, deoarece fiecare salt conține același număr de treceri, dar distanțele trebuie verificate.

La o listă mai lungă, o singură relație între primele trei valori nu controlează toate celelalte. Trebuie să verifici fiecare diferență consecutivă sau condiția de medie la fiecare poziție interioară. O schimbare a ultimei valori poate strica PA fără să afecteze prima triplă.

Această condiție este explicită în programa Bacalaureatului M2 2027–2029 pentru cel puțin trei numere. Aici o folosim ca instrument simplu de validare și completare, în legătură cu diferența constantă din unitatea IX.4, fără a introduce proprietăți avansate ale șirurilor.

5. Cum verificăm numere care conțin o necunoscută?

Când trei valori consecutive conțin o necunoscută, scriem egalitatea diferențelor sau condiția de medie. Rezolvăm ecuația, apoi înlocuim soluția în toate cele trei expresii. Verificarea finală arată efectiv numerele și rația, nu numai faptul că am manipulat o ecuație.

Răspunsul poate fi o singură valoare, nicio valoare sau toate valorile admise. Dacă ajungem la o contradicție numerică, nu există soluții. Dacă ajungem la o identitate, orice valoare din domeniul inițial satisface condiția. Nu inventăm o restricție de nenulitate a rației atunci când enunțul nu o cere.

De exemplu, pentru tripla $x, x + 2, x + 4$ , diferențele sunt ambele doi pentru orice $x$ real. Necunoscuta deplasează toate valorile la fel. În schimb, pentru $x, x + 2, x + 5$ , diferențele sunt doi și trei pentru orice $x$ , deci nu există soluție. Niciuna dintre situații nu cere o ecuație de grad superior.

Pentru patru valori sau mai multe, condițiile se cer simultan. O valoare a necunoscutei care repară prima triplă poate să nu repare următoarea. Substituția în lista completă este obligatorie. Verificăm toate ipotezele și nu ne oprim la prima ecuație rezolvată.

6. Cum alegem calculul după ce modelul a trecut verificarea?

Odată stabilită PA, întrebarea decide operația. O valoare la o poziție dată cere termenul general. Un număr de poziții cere o ecuație sau o inegalitate pentru indice. Adunarea unor cantități separate cere suma. Alegerea nu trebuie făcută înainte de definirea termenului.

O formulă poate calcula corect și totuși să răspundă la altă întrebare. Dacă $a_{n}$ este deja totalul acumulat după $n$ operații, totalul final este acel termen. Dacă $a_{n}$ este cantitatea nouă din operația $n$ , totalul final este suma. În ambele descrieri poate apărea cuvântul „total”, dar locul lui în definiție schimbă obiectul cerut.

Verifică și unitățile ori caracterul întreg al rezultatului. O medie fracționară poate fi admisă pentru temperaturi sau lungimi. Un număr de cutii ori un rang trebuie să respecte cerințele de numărare. Dacă datele exacte și regulile impun o cantitate imposibilă, trebuie raportată incompatibilitatea, nu rotunjită fără motiv.

Formularea finală se potrivește nivelului de certitudine: „lista este PA”, „modelul propus reproduce observațiile” sau „dacă regula continuă, rezultă...”. Precizarea unei condiții nu slăbește rezolvarea; arată exact pe ce se sprijină concluzia.

7. Până unde rămâne valabil modelul?

Un model poate fi corect pe un interval finit și nepotrivit în afara lui. Dacă un experiment are un număr limitat de etape sau un stoc permite numai un anumit număr de operații complete, domeniul se restrânge. Prelungirea algebrică nu autorizează continuarea procesului.

La un stoc care se consumă în porții fixe, verifică stocul înainte de următoarea operație. Dacă rămâne mai puțin decât o porție, procesul declarat se oprește. Nu înseamnă neapărat că stocul ajunge exact la zero. O formulă poate sări de la o cantitate pozitivă la una negativă, iar ultima operație nu este atunci permisă.

O schimbare explicită a regulii rupe folosirea unei singure rații pe întregul traseu. Poți descrie separat etapele de dinainte și de după schimbare, dar nu pretinde că întreaga listă are aceeași diferență dacă aceasta nu se păstrează și la trecerea dintre porțiuni.

La final, controlează trei lucruri diferite: formula reproduce datele, indicele este admis și rezultatul răspunde întrebării. Un control nu îl înlocuiește pe celălalt. Faptul că un număr este plauzibil nu dovedește toate calculele, iar un calcul corect nu repară ipotezele lipsă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Regula impusă pe un program finit

Un program de irigare durează șapte zile. În prima zi o parcelă primește $33$ L de apă, iar în fiecare zi următoare cu $4$ L mai puțin. Construiește modelul și verifică dacă toate dozele sunt pozitive.

Rezolvare. Notăm cu $a_{n}$ doza din ziua $n$ , în litri, pentru $n \in {1, \dots, 7}$ . Regula impune $a_{n + 1} - a_{n} = - 4$ , deci avem PA pe acest domeniu. Formula este $a_{n} = 33 - 4 (n - 1)$ .

Ultima doză este $a_{7} = 9 > 0$ , adică nouă litri. Deoarece progresia este descrescătoare, aceasta este cea mai mică valoare din listă, deci toate sunt pozitive. Nu am dedus regula din câteva observații; ea era specificată pentru fiecare trecere. Nu afirmăm nimic despre o a opta zi, absentă din program.

Exemplul 2 — Momente neregulate

La momentele $0, 2, 5$ minute se consemnează valorile exacte $7, 13, 22$ . Este lista observațiilor PA? Este ea compatibilă cu o creștere uniformă pe minut?

Rezolvare. Diferențele listei sunt șase și nouă, deci observațiile consecutive nu formează PA. Intervalele de timp sunt însă două și trei minute. Schimbările medii sunt $6/2 = 3$ și $9/3 = 3$ unități pe minut.

Datele sunt compatibile cu modelul $v_{k} = 7 + 3 k$ la minute întregi: reproduce toate cele trei observații. Ele nu dovedesc că procesul a fost uniform între momentele măsurate. Cele două verdicte se referă la șiruri diferite: observațiile succesive și valorile la minute succesive.

Exemplul 3 — Ce adaugă ipoteza de progresie?

Se cunosc numai $a_{2} = 9$ și $a_{5} = 24$ . Poate fi aflat $a_{4}$ ? Cum se schimbă răspunsul dacă se precizează că șirul este PA?

Rezolvare. Fără o regulă, valoarea de la rangul patru nu este fixată. Putem alege acolo nouăsprezece sau douăzeci, păstrând neschimbate cele două informații date. Datele nu sunt contradictorii, ci insuficiente.

Cu ipoteza de PA, cele trei treceri dau $r = (24 - 9) /3 = 5$ . Atunci $a_{4} = 9 + 2 \cdot 5 = 19$ , iar $a_{1} = 4$ . Ipoteza suplimentară este exact informația care leagă rangurile necunoscute de cele cunoscute; nu poate fi introdusă tacit.

Exemplul 4 — O condiție care respinge modelul

Un raport susține că valorile formează PA și dă $a_{1} = 6$ , $a_{4} = 18$ , $a_{7} = 29$ . Verifică dacă există o PA cu toate aceste date.

Rezolvare. Primele două condiții impun $3 r = 12$ , deci $r = 4$ . Această candidată ar avea $a_{7} = 6 + 6 \cdot 4 = 30$ , în contradicție cu valoarea douăzeci și nouă.

Nu există PA care să respecte toate cele trei condiții. Nu știm numai din matematică dacă raportul a greșit o observație sau dacă modelul PA este nepotrivit. Putem localiza incompatibilitatea, dar nu avem dreptul să corectăm o valoare măsurată fără alte informații.

Exemplul 5 — Condiția pentru trei numere consecutive

Determină $x \in R$ astfel încât $x - 2$ , $2 x + 1$ , $5 x - 1$ , în această ordine, să fie termeni consecutivi ai unei PA.

Rezolvare. Egalăm diferențele: $x + 3 = 3 x - 2$ . Rezultă $2 x = 5$ , deci $x = 5/2$ . Valorile devin $1/2, 6, 23/2$ .

Verificăm ambele diferențe: $6 - 1/2 = 11/2$ și $23/2 - 6 = 11/2$ . Soluția este admisă, fiind reală, iar rația este $11/2$ . Nu am cerut numere întregi, deci fracțiile nu constituie un motiv de respingere.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Șase loturi au cantități în PA. Se cunosc $a_{2} = 14$ , $a_{6} = 30$ , iar un raport anunță totalul $132$ . Pot fi simultan corecte toate datele?

Rezolvare. Rația este $(30 - 14) / (6 - 2) = 4$ , iar primul lot are $a_{1} = 10$ . Suma celor șase loturi ar trebui să fie $S_{6} = 6 (10 + 30) /2 = 120$ .

Totalul anunțat nu coincide cu cel impus de model și de cele două cantități. Datele nu sunt simultan compatibile. Dacă cele două cantități și ipoteza PA sunt cele confirmate, totalul corect este o sută douăzeci. Această concluzie condiționată precizează ce informații păstrăm.

Este un antrenament de verificare, nu un enunț preluat dintr-un examen. Calculul sumei este folosit pentru a testa o condiție, după ce modelul candidat a fost construit.

Să exersăm

Înainte de calcule, spune ce informație garantează progresia sau de ce încă trebuie verificată. Când datele sunt insuficiente, justifică prin posibilități distincte. Când sunt incompatibile, indică relația precisă care nu poate fi satisfăcută. Nu înlocui aceste două verdicte cu aceeași formulare vagă.

1. Într-un puț de observație, nivelul apei față de un reper fix este $- 6$ cm. După o ploaie, infiltrarea îl ridică cu $2$ cm pe oră, iar modelul este declarat pentru cel mult șase ore. Definește termenul după $k$ ore, domeniul și formula.

2. La minutele $0, 3, 6$ sunt observate valorile $5, 11, 17$ . Care este rația listei observațiilor? Care este creșterea medie pe minut pe fiecare interval?

3. La minutele $0, 1, 4$ sunt date valorile $10, 12, 20$ . Lista observațiilor este PA? Verifică separat compatibilitatea cu o schimbare uniformă pe minut.

4. Dintr-un șir necunoscut se cunosc numai $a_{3} = - 5$ și $a_{7} = 7$ . Un elev scrie imediat $r = 3$ . Ce ipoteză lipsește? Oferă o completare care respectă datele, dar nu formează PA.

5. Un șir este definit prin $a_{1} = 1$ și $a_{n + 1} = a_{n} + n + 1$ , pentru $n \geq 1$ . Formularea „la fiecare pas se adaugă ceva” garantează PA? Verifică primele treceri.

6. (Problemă aplicată.) Dintr-un stoc de $53$ piese se scot câte șapte la fiecare operație completă, fără aprovizionare. Scrie stocul după $k$ operații, numărul maxim de operații și restul final. Este atins exact zero?

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Află $x$ astfel încât $- 4, x, 10$ să fie termeni consecutivi ai unei PA, în ordinea scrisă.

8. Numerele $2, 11, 20$ formează PA în ordine crescătoare. Mai formează PA în ordinea $2, 20, 11$ ? Justifică prin diferențe.

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină $x \in R$ pentru care $x + 1, 3 x - 2, 4 x + 4$ sunt termeni consecutivi ai unei PA. Verifică valorile obținute.

10. Un elev verifică $3, 7, 11$ și declară întreaga listă $3, 7, 11, 16$ PA. Identifică exact verificarea omisă.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) Lista completă $- 3, - 3, - 3, - 3$ este PA, dar aceste patru observații singure nu garantează că un al cincilea termen necunoscut va fi tot $- 3$ .

12. Valorile măsurate sunt $2, 00; 2, 19; 2, 41$ . Sunt exact în PA? Modelul propus $2, 00; 2, 20; 2, 40$ se încadrează într-o abatere admisă de cel mult $0, 02$ la fiecare observație?

13. Un model PA trebuie să respecte $a_{3} = 14$ , $a_{8} = 34$ , $a_{11} = 46$ . Verifică toate cele trei condiții și dă formula, dacă există.

14. Există $x \in R$ pentru care cele patru numere $x, x + 3, 2 x + 1, 3 x - 2$ , în această ordine, formează PA? Folosește toate diferențele.

15. (Problemă aplicată.) Rezervorul unei culturi hidroponice conține $20$ L de soluție nutritivă la pornire. O pompă adaugă $3$ L pe minut până la minutul $4$ , apoi, după ce un senzor reduce debitul, $2$ L pe minut până la minutul $7$ . Un elev folosește pentru tot intervalul formula primei porțiuni. Ce volum prezice el la minutul $7$ , ce volum dă instalația și cu cât diferă?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pentru ce valoare reală a lui $x$ sunt $x - 3, 2 x, 5 x - 3$ termeni consecutivi ai unei PA? Care este rația? Ce valoare ar urma dacă regula continuă?

17. (Problemă aplicată.) O seringă gradată de $10$ mL conține $1, 2$ mL de soluție. La fiecare pas se mai aspiră $0, 6$ mL, cel mult zece pași. Un raport prezice că seringa va ajunge să conțină $8$ mL. Verifică atât rangul cerut de egalitate, cât și domeniul.

18. (Provocare.) Se cunosc numai $a_{1} = 1$ , $a_{3} = 7$ , $a_{5} = 13$ . Completează pozițiile doi și patru într-un mod care produce PA și într-un mod care nu produce PA. Ce garantează și ce nu garantează regularitatea valorilor observate?

Răspunsuri și explicații

1. $u_{k}$ reprezintă nivelul, în centimetri, după $k$ ore, cu $k \in {0, 1, \dots, 6}$ . Regula impune $u_{k} = - 6 + 2 k$ . Rația este $2$ cm pe oră; valoarea negativă inițială arată doar că apa este sub reper și nu contrazice creșterea.

2. Diferențele observațiilor sunt șase și șase, deci rația listei este șase. Fiecare interval durează trei minute, iar schimbarea medie este două unități pe minut. Uniformitatea în interiorul intervalelor nu rezultă numai din capete.

3. Diferențele listei sunt doi și opt, deci lista nu este PA. Duratele sunt unu și trei minute, iar schimbările medii sunt $2/1 = 2$ și $8/3$ unități pe minut. Mediile diferă, deci datele nu sunt compatibile nici cu o schimbare uniformă pe minut.

4. Lipsește ipoteza că șirul este PA. Pozițiile de la trei la șapte pot fi completate cu $- 5, 0, 0, 0, 7$ , care păstrează datele și au diferențe inegale. Dacă ipoteza PA ar fi dată, rația trei ar fi justificată prin cele patru treceri: $(7 - (- 5)) /4 = 3$ .

5. Nu. Primii termeni sunt $1, 3, 6$ , iar adaosurile sunt doi și trei. Expresia adăugată depinde de indice și ia valori diferite. Definiția PA cere aceeași cantitate, nu doar existența unei adunări.

6. $s_{k} = 53 - 7 k$ . Sunt permise cel mult șapte operații complete, după care rămân patru piese. A opta ar cere șapte piese și nu este posibilă. Zero nu este atins, deoarece $53/7$ nu este întreg.

7. $2 x = - 4 + 10 = 6$ , deci $x = 3$ . Lista $- 4, 3, 10$ are rația șapte. Ordinea dată este păstrată, iar valoarea din mijloc este media celor două capete.

8. Nu: diferențele noii ordini sunt optsprezece și minus nouă. Aceeași mulțime de valori poate avea ordonări care nu formează PA. Cerința privește lista ordonată, nu doar apartenența numerelor la o mulțime.

9. Egalitatea diferențelor este $2 x - 3 = x + 6$ , deci $x = 9$ . Termenii sunt $10, 25, 40$ , cu rația cincisprezece. Substituția verifică întreaga triplă, nu numai ecuația intermediară.

10. Ultima diferență este $16 - 11 = 5$ , în timp ce primele sunt patru. Verificarea primei triple nu include ultimul termen. Lista completă nu este PA.

11. Adevărat. Toate diferențele listei finite sunt zero. Pentru un termen ulterior neprecizat nu există însă o regulă garantată. El ar fi forțat să fie minus trei numai dacă șirul întreg ar fi declarat PA.

12. Diferențele măsurate sunt $0, 19$ și $0, 22$ , deci nu avem PA exactă. Abaterile față de model sunt $0; 0, 01; 0, 01$ , toate cel mult $0, 02$ . Modelul trece criteriul aproximativ declarat, fără a transforma măsurătorile în egalități exacte.

13. Primele două condiții dau $r = (34 - 14) /5 = 4$ și $a_{1} = 6$ . Formula $a_{n} = 6 + 4 (n - 1)$ produce $a_{11} = 46$ , deci verifică și a treia condiție. Modelul este compatibil cu toate datele.

14. Diferențele sunt $3, x - 2, x - 3$ . Egalitatea primelor două cere $x = 5$ , iar egalitatea primei cu ultima cere $x = 6$ . Nu există valoare care să îndeplinească simultan condițiile; lista nu poate deveni PA.

15. Formula primei porțiuni este $Q_{k} = 20 + 3 k$ , deci elevul prezice $Q_{7} = 41$ L. Instalația dă $32$ L la minutul patru, apoi $32 + 2 \cdot 3 = 38$ L la minutul șapte. Diferența este $3$ L: după schimbarea regulii, lista nu mai are o singură rație, iar fiecare porțiune se descrie separat.

16. Condiția este $x + 3 = 3 x - 3$ , de unde $x = 3$ . Termenii sunt $0, 6, 12$ , cu rația șase. Dacă regula continuă, următorul termen este optsprezece; această continuare este explicit condiționată.

17. Volumul după $k$ pași este $V_{k} = 1, 2 + 0, 6 k$ mL, pentru $k = 0, \dots, 10$ . Egalitatea cu opt dă $k = 34/3$ , care nu este întreg și depășește și limita zece. Ultimul volum admis este $7, 2$ mL, deci predicția nu este realizabilă în pașii dați.

18. Completarea $1, 4, 7, 10, 13$ este PA cu rația trei. Completarea $1, 0, 7, 0, 13$ respectă aceleași observații, dar are diferențe inegale. Valorile de la ranguri egal distanțate sunt compatibile cu PA; ele nu obligă singure termenii intermediari să urmeze acea regulă.

De reținut

Validarea modelului începe cu definiția termenului, domeniul indicilor și regula schimbării. Unitatea și durata unei treceri fac parte din interpretare.
O PA impusă prin enunț, o listă finită verificată și câteva observații compatibile sunt situații distincte. Concluzia trebuie să spună ce a fost stabilit.
Trei numere consecutive, în ordinea scrisă, satisfac $2 b = a + c$ exact când au diferențe egale. Pentru liste mai lungi verifici toate trecerile.
Datele suplimentare controlează modelul; nu pot fi ignorate după obținerea unei formule. Un răspuns complet reproduce datele, respectă domeniul și interpretează mărimea cerută.
Dacă regula sau datele sunt insuficiente, formulează o concluzie condiționată. Dacă sunt contradictorii, arată relația care eșuează și nu schimba tacit observațiile.

Greșeli frecvente

Creșterea considerată suficientă. O evoluție poate crește prin adaosuri diferite. Verifică egalitatea modificărilor, nu numai semnul lor.
Momentele observațiilor ignorate. Diferențele valorilor trebuie puse lângă duratele ori pașii corespunzători. Observațiile neregulate nu sunt minute consecutive.
O singură triplă verificată. Condiția locală trebuie controlată la toate pozițiile interioare ale listei pe care o declari PA.
Datele lipsă completate fără ipoteză. Separă completarea posibilă de completarea impusă. Două exemple distincte pot dovedi insuficiența informațiilor.
Datele incompatibile numite date insuficiente. Dacă două condiții obligatorii se contrazic, nu există un model care să le respecte împreună. Dacă lipsesc informații, pot exista mai multe modele; verdictele cer justificări diferite.

Aplică acasă

Pregătește o fișă cu cinci poziții și ascunde două valori intermediare. Dă colegului numai celelalte trei valori, apoi cere două completări diferite. Adaugă ulterior ipoteza de PA și observați care completare devine obligatorie. Scrieți explicit informația care a schimbat răspunsul.
Construiește un tabel cu momente de observație inegale, folosind un model cu schimbare constantă pe minut. Compară diferențele valorilor cu schimbările medii pe minut. Activitatea nu cere măsurarea unui fenomen real; datele inventate trebuie etichetate ca model, iar concluziile trebuie raportate la regula folosită.
Scrie un tabel complet cu o singură observație care strică diferența constantă. Cere colegului să localizeze incompatibilitatea, fără să presupună că știe care informație a fost copiată greșit. Discutați ce dovedește calculul și ce ar necesita informații suplimentare.

Pentru părinți și profesori

Aceasta este o lecție despre justificarea și verificarea unui model, după însușirea formulelor. Sarcinile centrale sunt identificarea ipotezei lipsă, găsirea unei incompatibilități și folosirea tuturor condițiilor. Ele separă această pagină de definiția progresiei și a rației, de calculele cu dobândă simplă și de alegerea între PA și PG.

Un răspuns „nu avem suficiente date” trebuie susținut, de preferat prin două completări. Un răspuns „datele nu sunt compatibile” trebuie să arate relația încălcată. Aceste justificări sunt diferite și merită evaluate separat. Recapitularea mediei aritmetice poate sprijini relația dintre trei termeni, dar verificarea se face în ordinea dată.

Programa și examenul. Modelarea și analiza situațiilor descrise prin progresii apar în competențele IX.CS.4.4–IX.CS.6.4 ale programei noi pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027. Pentru elevii care încep liceul în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 (programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) progresiile aparțin domeniului „Algebră”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) menționează și condiția ca cel puțin trei numere să fie în progresie. Modelul oficial 2026 nu are o cerință despre progresii. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: recunoașterea PA în probleme rămâne separată; această adaptare nu importă probleme avansate cu produse de termeni.

Întrebări frecvente

Ce deosebește datele insuficiente de cele incompatibile? Datele insuficiente permit mai multe răspunsuri, iar cele incompatibile nu pot fi satisfăcute simultan. Pentru primul verdict poți construi două posibilități; pentru al doilea arăți o condiție care contrazice celelalte. Un calcul care produce o contradicție nu identifică singur observația greșită; pentru corectarea datelor reale ai nevoie de informații suplimentare.

Trei observații egal distanțate care respectă PA dovedesc toate valorile intermediare? Nu. Ele sunt compatibile cu modelul, dar termenii neobservați pot avea alte valori. O regulă explicită pentru fiecare pas permite completarea obligatorie a intervalelor. Fără această regulă, poți construi două completări ale pozițiilor lipsă, una aritmetică și alta nearitmetică, păstrând neschimbate toate observațiile date.

De ce contează ordinea celor trei numere? Condiția de medie folosește numărul aflat în mijlocul listei. Schimbarea ordinii poate schimba acel număr și diferențele consecutive. Nu rearanjezi datele decât dacă problema permite acest lucru. La mai mult de trei valori, controlează și trecerile următoare: prima triplă corectă nu dovedește proprietatea întregii liste.

Pot accepta o progresie aproximativă din măsurători? Da, ca model aproximativ, dacă precizezi abaterea admisă și verifici fiecare observație. Nu o numești egalitate exactă și nu extinzi automat modelul la perioade neobservate. Compară abaterea fiecărei valori, nu numai media abaterilor; o medie mică poate ascunde o observație care depășește toleranța.

Cum se deosebește acest antrenament M2 de cel M1 și de celelalte lecții PA? Accentul este pe alegerea ipotezelor, verificarea datelor și limitele modelului, folosind calcule simple. Definiția, formulele și dobânda au pagini proprii. Nu se adaugă aici sisteme avansate cu sume și produse de termeni. Datele parțiale și momentele neregulate cer justificări proprii, nu doar înlocuirea numerelor într-o formulă deja aleasă.

Ce folosesc din această lecție la bacalaureatul M2? Traducerea condițiilor, relația dintre termeni consecutivi și verificarea tuturor datelor. Programa indică materia, iar cerințele concrete se citesc în subiectul oficial al sesiunii. Poți verifica aceste deprinderi în testul M2 de progresii aritmetice și geometrice. Încheie fiecare răspuns spunând dacă datele sunt suficiente, compatibile sau contradictorii.