Care dintre situațiile de mai jos nu se descrie printr-o progresie aritmetică?

O cultură de bacterii se dublează la fiecare oră.

Un abonament costă $$40$$ de lei pe lună; urmărim totalul plătit după fiecare lună.

Un turn se zidește din rânduri de cărămizi, fiecare rând cu două cărămizi mai puțin.

Temperatura scade cu $$0{,}6$$ grade la fiecare $$100$$ de metri de altitudine.

Cum recunosc o progresie aritmetică în probleme?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Recunoști progresia aritmetică

Cauți în enunț o cantitate fixă care se adaugă la fiecare pas: „cu $3$ mai mult în fiecare lună”, „câte $20$ de lei pe săptămână”, „fiecare raft primește cu patru cărți în plus”. Dacă mărimea se înmulțește, se dublează sau crește cu un procent din valoarea curentă, atunci nu este progresie aritmetică. Apoi stabilești primul termen, rația cu semn și dacă ți se cere un termen sau un total.

În probleme, progresia aritmetică nu se anunță niciodată pe nume. Se ascunde după formulări ca «cu $3$ mai mult în fiecare lună», «crește constant cu», «adaugă de fiecare dată aceeași sumă», «fiecare rând are cu două locuri mai multe».

Semnalul decisiv este unul singur: se adună mereu același număr. Dacă în enunț scrie că mărimea se înmulțește cu același număr (se dublează, crește cu $5%$ ), atunci nu e aritmetică, ci geometrică.

Rețeta de transpunere are trei pași. Unu: care este $a_{1}$ ? Doi: care este $r$ (cu semn — o scădere înseamnă rație negativă)? Trei: ce cere problema, un termen ( $a_{n}$ ) sau un total ( $S_{n}$ )?

Cea mai frecventă greșeală este la ranguri. «După $6$ luni» înseamnă $a_{7}$ dacă $a_{1}$ este valoarea de la start, dar $a_{6}$ dacă $a_{1}$ este valoarea după prima lună. Scrie primii doi-trei termeni pe hârtie și numără — te costă zece secunde și îți salvează problema.

Un exemplu: «Ana are $50$ de lei în pușculiță și adaugă $20$ de lei în fiecare săptămână.» Aici $a_{1} = 50$ este suma de la start, $r = 20$ , iar după $8$ săptămâni are $50 + 8 \cdot 20 = 210$ lei — adică termenul de rang $9$ .

De reținut

se adună aceeași cantitate: aritmetică; se înmulțește: geometrică
scrie explicit ce numără rangul, înainte de orice calcul
„în total” cere suma, „în luna a n-a” cere termenul

Greșeala tipică

„După $6$ luni” este citit ca termenul de rang $6$ , deși primul termen era valoarea de la start, deci se cere rangul $7$ . Notează primii termeni pe ciornă și numără-i înainte de a intra în formulă.

Exerciții din această mini-lecție

Un bazin conține $300$ de litri de apă, iar din el se scurg $12$ litri pe oră. Care este rația progresiei aritmetice care descrie cantitatea de apă din oră în oră?
- a) $12$
- b) $- 12$
- c) $300$
- d) $288$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 12$

Cantitatea scade, deci rația este negativă: $r = - 12$ . Valoarea $300$ este $a_{1}$ (cantitatea de la start), iar $288$ este $a_{2}$ , cantitatea de după prima oră.
Un elev citește $8$ pagini în prima zi și, în fiecare zi următoare, cu $3$ pagini mai mult decât în ziua dinainte. Câte pagini citește în a zecea zi?
- a) $30$
- b) $32$
- c) $35$
- d) $38$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $35$

Avem $a_{1} = 8$ și $r = 3$ , deci $a_{10} = 8 + 9 \cdot 3 = 8 + 27 = 35$ . Cine înmulțește cu $10$ obține $38$ — dar de la ziua $1$ la ziua $10$ sunt $9$ creșteri. Întrebarea cere pagini într-o zi, nu totalul.
Care dintre situațiile de mai jos nu se descrie printr-o progresie aritmetică?
- a) Un abonament costă $40$ de lei pe lună; urmărim totalul plătit după fiecare lună.
- b) O cultură de bacterii se dublează la fiecare oră.
- c) Un turn se zidește din rânduri de cărămizi, fiecare rând cu două cărămizi mai puțin.
- d) Temperatura scade cu $0, 6$ grade la fiecare $100$ de metri de altitudine.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) O cultură de bacterii se dublează la fiecare oră.

«Se dublează» înseamnă înmulțire cu $2$ , deci progresie geometrică. Celelalte trei adaugă (sau scad) mereu aceeași cantitate: $+ 40$ , $- 2$ , $- 0, 6$ .

Întrebări conexe

Ce înseamnă că Ana pune 50 de lei și adaugă 20 pe săptămână?

Că suma din pușculiță formează o progresie cu $a_{1} = 50$ , valoarea de la start, și rația $20$ . După $8$ săptămâni ea are $50 + 8 \cdot 20 = 210$ lei, adică termenul de rang $9$ . Numerotarea începe de la momentul zero, nu de la prima săptămână.

Cum notez datele înainte de a scrie formula?

Scrii o propoziție care spune ce mărime urmărești și ce numără rangul, de exemplu „ $a_{n}$ este suma strânsă după $n - 1$ săptămâni”. Apoi treci $a_{1}$ și rația, cu semn. Propoziția aceasta costă zece secunde și taie majoritatea greșelilor de decalaj.

Ce fac dacă enunțul dă doi termeni, dar nu primul?

Folosești legătura dintre ei: diferența valorilor împărțită la diferența rangurilor dă rația. Din $a_{4} = 13$ și $a_{9} = 33$ obții $5 r = 20$ , deci $r = 4$ , iar de aici cobori la $a_{1}$ . Nu este nevoie să scrii toți termenii dinainte.

Cum verific răspunsul la o problemă cu progresii?

Pui rangul $1$ în formula obținută și compari cu datele din enunț. Apoi verifici și al doilea caz, ca să fii sigur că rația este bună. La final te uiți dacă răspunsul are sens practic: un număr de scaune nu poate fi fracționar.

Ce cuvinte din enunț arată o rație negativă?

„Scade cu”, „se micșorează cu”, „cheltuiește în fiecare zi”, „pierde câte”. Toate descriu o cantitate fixă luată la fiecare pas, deci rația se scrie cu minus. Uitarea semnului duce la un rezultat care crește, deși în realitate mărimea coboară.

Cum răspund la întrebarea «în ce lună se atinge o valoare»?

Scrii ecuația în care termenul general este egal cu valoarea cerută și afli rangul. Apoi traduci rangul înapoi în luni, după convenția aleasă la început. Dacă soluția nu este număr natural, valoarea nu se atinge exact, ci se depășește la rangul următor.

Oamenii mai întreabă și: cum recunosc o progresie aritmetică · probleme cu progresii aritmetice · progresie aritmetică într-un enunț · termen sau sumă la progresii · modelare cu progresii aritmetice