Câte numere pare de trei cifre distincte există?
Lecția pe scurt · clasa a X-a · Regula sumei
Sunt . Împarți în cazuri după ultima cifră, fiindcă de ea depinde câte variante are prima. Dacă ultima cifră e , prima are variante și cea din mijloc : de numere. Dacă ultima e , , sau , prima are variante, fără și fără cifra folosită, iar mijlocul tot : . Cazurile se exclud, deci .
Situațiile care se exclud una pe alta se numără separat și se adună: pentru mulțimi fără elemente comune, luate oricare două, reuniunea are atâtea elemente câte au ele la un loc.
Împărțirea în cazuri. De cele mai multe ori cazurile le alegi tu. O împărțire bună îndeplinește două condiții: niciun obiect nu cade în două cazuri și niciun obiect nu rămâne în afara lor; controlul simplu este că suma cazurilor dă totalul. Criteriul potrivit e acea alegere de care depinde câte variante rămân în rest, de pildă locul cifrei zero într-un număr.
Combinarea. În interiorul fiecărui caz se aplică regula produsului, iar rezultatele cazurilor se adună; așa se numără semnalele de lungimi diferite sau drumurile care trec prin puncte intermediare diferite.
Complementara. Când enunțul spune „cel puțin un”, e mai scurt să numeri contrariul și să îl scazi din total, cu grijă ca totalul să numere același fel de obiecte. Dacă descoperi două cazuri care se suprapun, le refaci astfel încât să devină disjuncte; formula pentru mulțimile care se ating vine în lecția despre includere și excludere.
De reținut
- cazurile disjuncte care acoperă tot se adună
- în fiecare caz se aplică regula produsului, apoi se adună rezultatele
- „cel puțin un” se numără ca total minus contrariu, din același total
Greșeala tipică
Se calculează de numere pare, ca și cum prima cifră ar avea mereu variante; când ultima cifră e nenulă, prima pierde și cifra , de aceea se împarte în cazuri.
Exerciții din această mini-lecție
În ce situație se adună direct numerele de variante ale mai multor cazuri?
- a) când cazurile sunt disjuncte două câte două și le acoperă pe toate
- b) când cazurile au același număr de elemente
- c) când alegerile se fac una după alta
- d) în orice situație
Vezi răspunsul
Răspuns corect: a) când cazurile sunt disjuncte două câte două și le acoperă pe toate
Regula sumei cere ca niciun obiect să nu intre în două cazuri; dacă, în plus, cazurile acoperă tot, suma lor dă totalul.
Un cod este fie un șir de litere din mulțimea , fie un șir de cifre din mulțimea ; literele și cifrele se pot repeta. Câte coduri există?
- a)
- b)
- c)
- d)
Vezi răspunsul
Răspuns corect: a)
Cazurile se exclud: coduri de litere și coduri de cifre, deci .
Câte numere de trei cifre au cel puțin o cifră impară?
- a)
- b)
- c)
- d)
Vezi răspunsul
Răspuns corect: c)
Prin complementară: numerele cu toate cifrele pare sunt , deci .
Întrebări conexe
Câte numere naturale mai mici decât au cifre distincte?
Împarți după numărul de cifre, cazuri care se exclud. Cu o cifră, de la la : numere. Cu două cifre: . Cu trei cifre: . Numerele nenule cerute sunt ; dacă se numără și , devin .
Câte numere de trei cifre conțin cel puțin o cifră ?
Numeri contrariul: numerele de trei cifre fără cifra au prima cifră din variante și celelalte din câte , deci . Din totalul de rămân de numere cu cel puțin un .
Cum reîmpart două cazuri care se suprapun ca să pot aduna?
Faci ca al doilea caz să excludă primul. Pentru numerele de trei cifre care încep sau se termină cu : întâi cele care încep cu , adică ; apoi cele care se termină cu , dar nu încep cu : . Total .
Câte drumuri duc de la la , direct sau prin ?
Drumurile directe și cele prin formează cazuri disjuncte. Dacă între și sunt drumuri directe, iar prin sunt drumuri până la și de la la , totalul este .
Câte rezultate ale aruncării a două zaruri au suma sau ?
Suma nu poate fi simultan și , deci cazurile se adună. Pentru sunt perechi ordonate, de la la ; pentru sunt și . Rezultă rezultate din .
Oamenii mai întreabă și: numere pare cu cifre distincte de trei cifre · câte numere pare de 3 cifre diferite · numărare pe cazuri cifra 0 · regula sumei și a produsului exemplu