Regula sumei și combinarea regulilor: pe scurt

Regula sumei: dacă situațiile posibile se împart în cazuri care se exclud reciproc (nu au niciun element comun), numărul total de posibilități este suma numerelor din fiecare caz: $|A\cup B|=|A|+|B|$, dacă $A\cap B=\varnothing$. O împărțire corectă în cazuri trebuie să treacă două teste: cazurile nu se suprapun și acoperă tot.

Când cazurile se suprapun, se scade partea comună: $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$. Cele mai multe probleme reale combină regulile: împarți în cazuri disjuncte, înmulțești în interiorul fiecărui caz, aduni la final — de pildă, la numerele pare cu cifre distincte se separă cazul «ultima cifră $0$» de cazul «ultima cifră $2,4,6,8$», pentru că altfel numărul de variante pentru prima cifră depinde de alegerea de la ultima.

La enunțurile cu «cel puțin», numărarea directă e adesea greoaie; e mult mai rapid să numeri prin complement: cazuri favorabile $=$ total $-$ cazuri nefavorabile. Atenție: contrariul lui «cel puțin unul» este «niciunul», dar contrariul lui «cel puțin doi» este «cel mult unul» (niciunul sau exact unul), nu «niciunul».

Exerciții din această mini-lecție

1. O agenție oferă $5$ trasee la munte sau $3$ trasee la mare (liste disjuncte). Câte variante de vacanță (un singur traseu) există?

   • a) $8$
   • b) $15$
   • c) $5$
   • d) $3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $8$

   Cazurile se exclud reciproc (un traseu nu e simultan la munte și la mare), deci se aplică regula sumei: $5+3=8$.

2. Într-o clasă, $20$ de elevi joacă fotbal, $15$ joacă baschet, iar $8$ joacă ambele sporturi. Câți elevi practică cel puțin unul dintre cele două sporturi?

   • a) $35$
   • b) $27$
   • c) $12$
   • d) $43$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $27$

   Cazurile se suprapun: $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=20+15-8=27$. Adunarea directă, $35$, ar număra de două ori cei $8$ elevi din intersecție.

3. Un meniu începe fie cu una din $3$ supe, fie cu una din $2$ salate, apoi se alege unul din $4$ feluri principale. Câte meniuri complete există?

   • a) $9$
   • b) $24$
   • c) $20$
   • d) $11$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $20$

   Primul curs: $3+2=5$ variante (supele și salatele sunt liste disjuncte). Felul principal: $4$ variante, indiferent de primul curs. Total: $(3+2)\cdot 4=20$.