Regula sumei și combinarea regulilor (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Hidrogenul are trei izotopi, iar oxigenul are trei izotopi stabili. Câte molecule de apă diferite ca și compoziție izotopică pot exista? O singură înmulțire nu ajunge, iar răspunsul îl vei găsi singur la finalul lecției. Așa arată cele mai multe probleme reale de numărare: se împart în cazuri, în fiecare caz se înmulțește, iar între cazuri se adună. Lecția de față, din programa de clasa a 10-a la profilul științe ale naturii (M2), fixează regula sumei și felul în care o combini cu regula produsului. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”, unde programa numește explicit regula sumei. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține capitolul „Metode de numărare”, în care multe probleme se rezolvă pe cazuri; modelul oficial publicat are, la Subiectul I, o cerință de numărare urmată de o probabilitate.

Din lecția despre regula produsului știi să numeri alegerile făcute pas cu pas. Acum înveți ce faci când situațiile se exclud una pe alta și cum pui cele două reguli să lucreze împreună.

Ce vei învăța

Vei ști să enunți regula sumei în limbajul mulțimilor disjuncte și să o aplici la alternative care se exclud.
Vei ști să verifici că o împărțire în cazuri e corectă: cazurile nu se ating și nu lasă nimic pe dinafară.
Vei ști să combini regulile: produs în interiorul fiecărui caz, sumă între cazuri.
Vei ști să alegi criteriul de împărțire după poziția care poartă restricția.
Vei ști să numeri prin complementară când enunțul spune „cel puțin un”.
Vei ști să reîmparți cazurile care se ating în cazuri disjuncte, înainte de a aduna.

Hai să descoperim împreună

1. Ce spune regula sumei?

Regula sumei este principiul de numărare pentru situațiile care se exclud: dacă mulțimile finite $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{k}$ sunt disjuncte două câte două, adică oricare două dintre ele nu au niciun element comun, atunci numărul elementelor reuniunii lor este suma numerelor lor de elemente:

$n (A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{k}) = n (A_{1}) + n (A_{2}) + \dots + n (A_{k}),$

unde $n (A)$ notează numărul de elemente al mulțimii finite $A$ .

În limbaj de problemă: dacă un obiect se alege fie dintr-o categorie, fie din alta, iar categoriile nu au nimic în comun, numărul variantelor este suma. Pe masa de la ora de fizică sunt șase lentile convergente și patru lentile divergente; un elev ia o singură lentilă. Nicio lentilă nu e în ambele categorii, deci are $6 + 4 = 10$ variante.

2. Ce este o împărțire corectă în cazuri?

Regula sumei se folosește aproape mereu invers: nu primești categoriile gata făcute, ci le alegi tu, ca să împarți o numărare grea în numărări ușoare. Împărțirea e corectă dacă îndeplinește două condiții: cazurile sunt disjuncte (niciun obiect nu intră în două) și acoperă tot (fiecare obiect intră într-unul). O astfel de împărțire se numește partiție.

Un exemplu curat: numerele de la $1$ la $50$ se împart după restul împărțirii la $3$ . Un număr are un singur rest, deci cazurile sunt disjuncte, iar restul e mereu $0$ , $1$ sau $2$ , deci ele acoperă tot. Rest $1$ dau $17$ numere, rest $2$ tot $17$ , rest $0$ dau $16$ , iar $17 + 17 + 16 = 50$ . Controlul „suma cazurilor dă totalul” e cea mai ieftină verificare a unei partiții.

Un contraexemplu arată de ce contează ambele condiții. Dacă împarți numerele de două cifre în „cu zecile $1$ ” și „cu unitățile $1$ ”, numărul $11$ intră în ambele cazuri, iar numărul $22$ în niciunul. O astfel de împărțire nu e o partiție, iar suma cazurilor nu mai are legătură cu totalul.

3. „Sau” între situații, „și” între etape

Într-o seră cresc cinci soiuri de roșii și opt soiuri de ardei. Dacă un elev alege o plantă pentru experiment, ea este fie o roșie, fie un ardei: $5 + 8 = 13$ variante. Dacă alege câte o plantă din fiecare specie, face două etape: $5 \cdot 8 = 40$ de variante.

Aceleași numere, două întrebări, două operații. „Sau” între situații care se exclud cheamă adunarea; „și” între etape succesive cheamă înmulțirea. Cuvintele din enunț ajută, dar nu decid singure: decide structura alegerii, pe care o poți verifica desenând arborele.

4. Cum se combină regulile?

Codul Morse scrie fiecare literă ca un șir de semnale, fiecare semnal fiind un punct sau o linie. Câte simboluri diferite se pot scrie cu cel mult patru semnale? Împărțim după lungime — cazuri evident disjuncte — și aplicăm regula produsului în fiecare caz:

$2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} = 2 + 4 + 8 + 16 = 30.$

Treizeci de simboluri ajung pentru cele $26$ de litere ale alfabetului latin de bază; cu cel mult trei semnale ar fi fost doar $14$ . Structura rezolvării e tiparul întregii lecții: împart în cazuri disjuncte, înmulțesc în interiorul fiecărui caz, adun rezultatele cazurilor.

5. Când e mai ușor să numeri ce nu vrei?

Un test are șase întrebări cu răspuns „adevărat” sau „fals”. În câte moduri poate fi completat astfel încât să apară cel puțin un „adevărat”? Direct ar trebui șase cazuri, după câte răspunsuri „adevărat” apar. Contrariul, însă, e un singur caz: niciun „adevărat”, adică toate „fals” — o singură completare.

Dacă $E$ este mulțimea situațiilor care ne interesează, iar $\overline{E}$ complementara ei într-o mulțime totală cu $N$ elemente, atunci $E$ și $\overline{E}$ sunt disjuncte și împreună dau totul; regula sumei dă $N = n (E) + n (\overline{E})$ , deci

$n (E) = N - n (\overline{E}) .$

Pentru test: $2^{6} - 1 = 64 - 1 = 63$ de completări. Complementara nu e o regulă nouă, ci regula sumei citită invers.

6. După ce criteriu împarți?

Câte numere de două cifre, cu cifre distincte, au cifra unităților mai mică decât $3$ ? Restricția stă pe cifra unităților, deci împărțim după ea. Dacă unitățile sunt $0$ , zecile pot fi orice cifră de la $1$ la $9$ : $9$ variante. Dacă unitățile sunt $1$ sau $2$ , zecile nu pot fi nici $0$ , nici cifra folosită: câte $8$ variante. În total $9 + 8 + 8 = 25$ .

De ce nu am înmulțit direct? Pentru că numărul variantelor pentru zeci depinde de ce stă la unități: $9$ într-un caz, $8$ în celelalte. Tocmai această dependență spune după ce criteriu se împarte: după alegerea care schimbă numărul variantelor celorlalte poziții.

7. Ce se întâmplă când cazurile se ating?

Cu cifrele $1$ , $2$ , $3$ scriem coduri de două cifre, cu repetiție. Câte coduri încep cu $1$ sau se termină cu $1$ ? Cele care încep cu $1$ sunt $11$ , $12$ , $13$ ; cele care se termină cu $1$ sunt $11$ , $21$ , $31$ . Adunarea $3 + 3 = 6$ e greșită: codul $11$ a fost numărat de două ori, iar lista reală are $5$ coduri.

Regula sumei cere cazuri disjuncte, deci o reparăm refăcând cazurile: „începe cu $1$ ” ( $3$ coduri) și „nu începe cu $1$ , dar se termină cu $1$ ” ( $2$ coduri), în total $5$ . Formula generală pentru reuniunea a două sau trei mulțimi care se ating, cu diagramele Venn, este tema lecției următoare, principiul includerii și al excluderii.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Semnalele licuricilor

Într-un model simplificat, masculii unei specii de licurici se recunosc după o serie de $2$ sau de $3$ sclipiri, iar fiecare sclipire poate fi scurtă, medie sau lungă; ordinea sclipirilor contează. Câte semnale diferite pot exista în acest model?

Rezolvare. Împărțim după lungimea seriei: un semnal are fie două, fie trei sclipiri, deci cazurile sunt disjuncte. În fiecare caz aplicăm regula produsului, cu $3$ variante pentru fiecare sclipire:

serii de două sclipiri: $3 \cdot 3 = 9$ ;
serii de trei sclipiri: $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ .

Prin regula sumei, $9 + 27 = 36$ de semnale. Ordinea contează, pentru că „scurtă, apoi lungă” și „lungă, apoi scurtă” sunt semnale diferite; dacă n-ar conta, am număra altceva, cu metodele din lecțiile următoare.

Exemplul 2 — Unde stă cifra zero?

Câte numere de trei cifre, cu cifre distincte, conțin cifra $0$ ?

Rezolvare. Cifra $0$ nu poate sta la sute, deci stă fie la zeci, fie la unități; cum cifrele sunt distincte, nu poate sta în ambele locuri, așa că cele două cazuri sunt disjuncte.

$0$ la zeci: sutele au $9$ variante ( $1$ – $9$ ), unitățile au $8$ (nici $0$ , nici cifra sutelor): $9 \cdot 8 = 72$ .
$0$ la unități: sutele au $9$ variante, zecile $8$ : $9 \cdot 8 = 72$ .

Numărul cerut este $72 + 72 = 144$ . Criteriul de împărțire a fost poziția cifrei cerute de enunț, pentru că de ea depinde ce se mai poate pune în rest.

Exemplul 3 — Secvențe de ADN cu cel puțin o guanină

O secvență de ADN are $4$ nucleotide, fiecare dintre $A$ , $C$ , $G$ , $T$ . Câte secvențe conțin cel puțin o guanină ( $G$ )?

Rezolvare. Numărarea directă ar cere cazuri după numărul de guanine, cu subcazuri după pozițiile lor. Contrariul lui „cel puțin o guanină” este „nicio guanină”, adică fiecare poziție ia una dintre celelalte trei nucleotide.

Toate secvențele: $4^{4} = 256$ .
Secvențele fără guanină: $3^{4} = 81$ .
Secvențele cu cel puțin o guanină: $256 - 81 = 175$ .

Control de bun-simț: secvențele fără guanină sunt $81$ din $256$ , adică mai puțin de o treime, așa că e firesc ca majoritatea secvențelor să conțină măcar o guanină.

Exemplul 4 — Găsește greșeala: cazuri care se ating

Un elev răspunde la întrebarea „Câte numere de patru cifre încep cu $7$ sau sunt pare?” astfel: „Încep cu $7$ numerele de la $7000$ la $7999$ , adică $1000$ ; pare sunt numerele cu $9$ variante la mii, câte $10$ la sute și la zeci și $5$ la unități, adică $4500$ . Deci $1000 + 4500 = 5500$ .” Găsiți greșeala și corectați rezultatul.

Rezolvare. Ambele numărări parțiale sunt corecte, dar cazurile nu sunt disjuncte: numere ca $7004$ sau $7390$ încep cu $7$ și sunt pare, deci au fost numărate de două ori. Regula sumei nu se putea aplica acestor cazuri.

Reîmpărțim în cazuri disjuncte: „începe cu $7$ ” ( $1000$ de numere) și „nu începe cu $7$ , dar este par”. În al doilea caz, miile au $8$ variante (de la $1$ la $9$ , fără $7$ ), sutele și zecile câte $10$ , unitățile $5$ (cifrele pare): $8 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 5 = 4000$ . Rezultatul corect este $1000 + 4000 = 5000$ ; diferența de $500$ este exact numărul numerelor pare de la $7000$ la $7998$ , numărate dublu de elev.

Exemplul 5 — Citește arborele: drumul spre stația din deltă

O echipă de biologi ajunge de la Galați la o stație de cercetare din Delta Dunării pe unul dintre drumurile din figură: fie cu nava până la Tulcea (cursele de la ora $7$ sau de la ora $15$ ) și de acolo cu nava rapidă, cu vaporul sau cu șalupa, fie cu autocarul până la Murighiol (cursele de la ora $9$ sau de la ora $12$ ) și de acolo cu barca sau cu caiacul. a) Câte drumuri diferite există? b) De ce nu se poate scrie rezultatul ca un singur produs? c) Câte drumuri încep cu o cursă de dinainte de ora $10$ ?

Drumurile spre stația din deltă: 2 · 3 pe ramura navei și 2 · 2 pe ramura autocarului.

Rezolvare. a) Împărțim după primul mijloc de transport, criteriul de pe primul nivel al arborelui. Pe ramura navei sunt $2$ curse și câte $3$ ambarcațiuni: $2 \cdot 3 = 6$ drumuri. Pe ramura autocarului sunt $2$ curse și câte $2$ ambarcațiuni: $2 \cdot 2 = 4$ drumuri. În total

$2 \cdot 3 + 2 \cdot 2 = 6 + 4 = 10.$

b) Un singur produs ar cere ca, pe al treilea nivel, din toate nodurile să plece același număr de ramuri. Din cursele navei pleacă trei, din cele ale autocarului două, deci arborele e neuniform și se tratează pe cazuri.

c) Înainte de ora $10$ pleacă nava de la ora $7$ (cu $3$ continuări) și autocarul de la ora $9$ (cu $2$ continuări): $3 + 2 = 5$ drumuri.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

a) Determinați câte numere naturale de trei cifre au suma cifrelor egală cu $4$ . b) Determinați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr natural de trei cifre, suma cifrelor lui să fie egală cu $4$ .

Rezolvare. a) Împărțim după cifra sutelor, care poate fi $1$ , $2$ , $3$ sau $4$ (nu $0$ , iar peste $4$ suma ar depăși $4$ ). În fiecare caz, zecile și unitățile trebuie să aibă suma rămasă:

sute $1$ : suma rămasă $3$ , perechile $(0, 3)$ , $(1, 2)$ , $(2, 1)$ , $(3, 0)$ , deci $4$ numere;
sute $2$ : suma rămasă $2$ , deci $3$ numere; sute $3$ : suma rămasă $1$ , deci $2$ numere; sute $4$ : doar $400$ , deci $1$ număr.

Prin regula sumei, $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ numere.

b) Numerele de trei cifre sunt $900$ , deci

$P = \frac{10}{900} = \frac{1}{90} .$

Cerința urmează forma cerinței de numărare și probabilitate de la Subiectul I din modelul oficial M_șt-nat publicat pentru 2026; pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

Să exersăm

Înainte de a aduna, scrie cazurile în cuvinte și verifică două lucruri: că niciun obiect nu intră în două cazuri și că niciun obiect nu rămâne pe dinafară. În fiecare caz, scrie etapele și numărul lor de variante.

1. Pe masa de laborator sunt $7$ pipete gradate și $4$ pipete Pasteur. În câte moduri poate alege un elev o singură pipetă?

2. La un concurs, un elev alege fie trei dintre cele $5$ probleme de algebră, pe care le rezolvă într-o ordine aleasă de el, fie una singură dintre cele $7$ probleme de geometrie. Câte variante de lucru are?

3. Câte numere de trei cifre, cu cifre distincte, sunt impare și mai mari decât $500$ ?

4. Determină câte numere de patru cifre conțin măcar o cifră pară.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Există exact $36$ de numere de două cifre la care cifra unităților este mai mare decât cifra zecilor.”

6. Câte șiruri de $5$ cifre binare ( $0$ sau $1$ ) conțin cel puțin un $0$ și cel puțin un $1$ ?

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați câte numere naturale de trei cifre au toate cifrele de aceeași paritate.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați câte numere naturale de trei cifre au exact două cifre egale cu $5$ .

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați câte numere naturale de trei cifre au cifra zecilor egală cu suma celorlalte două cifre.

10. (Problemă aplicată.) Hidrogenul are trei izotopi — protiu, deuteriu și tritiu —, iar oxigenul are trei izotopi stabili, cu numerele de masă $16$ , $17$ și $18$ . a) Câte molecule diatomice de hidrogen diferite ca și compoziție izotopică există? b) Câte molecule de apă diferite ca și compoziție izotopică există? (Cei doi atomi de hidrogen ai moleculei de apă sunt echivalenți: contează doar ce izotopi sunt, nu în ce ordine îi scriem.)

11. Un cod de acces are patru cifre, iar prima poate fi și $0$ . Câte coduri nu au toate cifrele egale?

12. Pentru a testa o soluție, un elev alege un singur indicator de pH, unul dintre cei $6$ indicatori în soluție sau dintre cele $9$ tipuri de hârtie indicatoare, apoi una dintre cele $7$ soluții de pe masă. Câte variante de lucru are?

13. Câte perechi ordonate $(a, b)$ de cifre nenule au produsul $ab < 10$ ?

14. Un cont se deblochează fie cu un cod de patru cifre, fie cu o parolă de trei litere mici din alfabetul englez ( $26$ de litere), cifrele și literele putându-se repeta. Câte chei de deblocare diferite există?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați câte numere naturale de două cifre conțin cifra $3$ .

16. Câte numere de trei cifre, cu cifre distincte, se pot scrie cu cifrele $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , astfel încât numărul să fie mai mare decât $300$ ?

17. Câte numere de trei cifre au cifra sutelor mai mare decât cifra unităților?

18. (Provocare.) În câte moduri se poate plăti exact suma de $2$ lei folosind monede de $10$ , $20$ și $50$ de bani, dacă nu contează ordinea monedelor, ci doar câte monede de fiecare fel se folosesc?

Răspunsuri și explicații

1. Cele două categorii nu au pipete comune: $7 + 4 = 11$ moduri.

2. Cazul algebrei: prima problemă în $5$ moduri, a doua în $4$ , a treia în $3$ , deci $5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ ; cazul geometriei: $7$ . Cazurile se exclud, deci $60 + 7 = 67$ de variante.

3. Împărțim după cifra sutelor. Sute impare ( $5$ , $7$ , $9$ ): unitățile sunt impare și diferite de sute, $4$ variante, zecile $8$ : $3 \cdot 4 \cdot 8 = 96$ . Sute pare ( $6$ , $8$ ): unitățile au $5$ variante impare, zecile $8$ : $2 \cdot 5 \cdot 8 = 80$ . Total $96 + 80 = 176$ .

4. Prin complementară: numere de patru cifre sunt $9000$ , iar cele cu toate cifrele impare sunt $5^{4} = 625$ . Rezultă $9000 - 625 = 8375$ .

5. Adevărat. Împărțim după cifra zecilor $z$ , de la $1$ la $8$ : unitățile pot fi $z + 1, \dots, 9$ , adică $9 - z$ variante. Suma este $8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36$ .

6. Toate șirurile sunt $2^{5} = 32$ . Contrariul lui „cel puțin un $0$ și cel puțin un $1$ ” este „toate cifrele sunt egale”, adică $00000$ sau $11111$ . Rezultă $32 - 2 = 30$ .

7. Două cazuri disjuncte. Toate cifrele impare: $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$ . Toate cifrele pare: sutele au $4$ variante (fără $0$ ), celelalte câte $5$ : $4 \cdot 5 \cdot 5 = 100$ . Total $125 + 100 = 225$ .

8. Împărțim după poziția cifrei diferite de $5$ . La sute: $8$ variante (nici $0$ , nici $5$ ). La zeci: $9$ variante (orice în afară de $5$ ). La unități: tot $9$ . Total $8 + 9 + 9 = 26$ .

9. Dacă cifra sutelor este $s$ și a unităților $u$ , cifra zecilor $s + u$ trebuie să fie cel mult $9$ , deci $u$ ia valorile de la $0$ la $9 - s$ , adică $10 - s$ variante. Împărțind după $s$ de la $1$ la $9$ : $9 + 8 + \dots + 1 = 45$ de numere.

10. a) Doi atomi de același izotop: $3$ molecule; doi izotopi diferiți: perechile protiu–deuteriu, protiu–tritiu, deuteriu–tritiu, adică $3$ molecule. În total $3 + 3 = 6$ . b) Perechea de atomi de hidrogen se alege în $6$ moduri, ca la punctul a), iar atomul de oxigen în $3$ : $6 \cdot 3 = 18$ molecule de apă diferite.

11. Toate codurile sunt $1 0^{4} = 10000$ ; cele cu toate cifrele egale sunt $10$ ( $0000$ , $1111$ , …, $9999$ ). Rezultă $10000 - 10 = 9990$ de coduri.

12. Indicatorul se alege în $6 + 9 = 15$ moduri, fiindcă cele două categorii nu au nimic comun, apoi soluția în $7$ : $(6 + 9) \cdot 7 = 105$ variante.

13. Împărțim după $a$ . Pentru $a = 1$ , $b$ poate fi orice cifră nenulă: $9$ perechi; pentru $a = 2$ , $b \leq 4$ : $4$ perechi; pentru $a = 3$ , $b \leq 3$ : $3$ ; pentru $a = 4$ , $b \leq 2$ : $2$ ; pentru fiecare $a$ de la $5$ la $9$ , doar $b = 1$ : încă $5$ perechi. Total $9 + 4 + 3 + 2 + 5 = 23$ .

14. Coduri: $1 0^{4} = 10000$ . Parole: $2 6^{3} = 17576$ . O cheie e fie cod, fie parolă, deci $10000 + 17576 = 27576$ .

15. Numere de două cifre sunt $90$ ; cele fără cifra $3$ au $8$ variante la zeci și $9$ la unități, adică $8 \cdot 9 = 72$ . Rezultă $90 - 72 = 18$ .

16. Cifra sutelor este $3$ sau $4$ : $2$ variante. Zecile se aleg din cele $4$ cifre rămase, unitățile din $3$ : $2 \cdot 4 \cdot 3 = 24$ de numere.

17. Împărțim după cifra sutelor $s$ : unitățile pot fi $0, 1, \dots, s - 1$ , adică $s$ variante, iar zecile $10$ . Suma este $10 \cdot (1 + 2 + \dots + 9) = 10 \cdot 45 = 450$ .

18. Împărțim după numărul monedelor de $50$ de bani, de la $0$ la $4$ . Rămân de plătit $200$ , $150$ , $100$ , $50$ , respectiv $0$ bani cu monede de $10$ și $20$ , iar numărul monedelor de $20$ poate fi orice valoare de la $0$ până la cât încape: $11$ , $8$ , $6$ , $3$ , respectiv $1$ moduri. Total $11 + 8 + 6 + 3 + 1 = 29$ .

De reținut

Regula sumei: pentru mulțimi finite disjuncte două câte două, $n (A_{1} \cup \dots \cup A_{k}) = n (A_{1}) + \dots + n (A_{k})$ ; alternativele care se exclud se adună.
O împărțire în cazuri e corectă când cazurile sunt disjuncte și acoperă tot; proba ieftină este că suma cazurilor dă totalul.
Tiparul general: împarți în cazuri disjuncte, în fiecare caz aplici regula produsului, apoi aduni rezultatele cazurilor.
Criteriul de împărțire este alegerea care schimbă numărul variantelor celorlalte poziții, de obicei poziția care poartă restricția.
„Cel puțin un” se numără prin complementară, $n (E) = N - n (\overline{E})$ ; când cazurile se ating, le reîmparți în cazuri disjuncte înainte de a aduna.

Greșeli frecvente

Complementara luată din alt total. La „numere de cinci cifre cu cel puțin o cifră $8$ ”, totalul este $90000$ , nu $100000$ : șirurile care încep cu $0$ nu sunt numere de cinci cifre. Totalul și complementara trebuie să numere același fel de obiecte.
Împărțirea după un criteriu care nu atinge restricția. Dacă restricția e pe cifra unităților, iar tu împarți după cifra zecilor, dependența rămâne în interiorul cazurilor și produsul lor tot nu se poate scrie. Împarte după alegerea de care depind celelalte.
Contrariul unei condiții duble scris pe jumătate. Într-o grupă de răsaduri, contrariul lui „cel puțin o roșie și cel puțin un ardei” nu este doar „nicio roșie”: grupele fără niciun ardei încalcă și ele condiția. Scrie contrariul în cuvinte, cu „sau” între situații, înainte de a scădea ceva.
Frontiera unui caz citită greșit. „Mai mare decât $500$ ” nu îl conține pe $500$ , iar „cel mult patru semnale” conține și șirurile de un singur semnal. Scrie explicit primul și ultimul element al fiecărui caz.
Restricția unui caz copiată în altul. Când unitățile sunt $0$ , cifra sutelor are $9$ variante; cine păstrează și aici excluderea lui $0$ de la unități scrie $8$ și pierde numere. Fiecare caz se numără cu restricțiile lui.

Aplică acasă

Numele tău în Morse. Caută tabelul codului Morse, scrie-ți numele complet și numără câte litere folosesc un semnal, două, trei și patru. Verifică apoi că, dacă alfabetul ar avea $31$ de litere, cele $30$ de simboluri cu cel mult patru semnale n-ar mai ajunge.
Drumul spre bunici. Notează toate variantele de transport spre o localitate în care mergi des, cu schimbările de pe traseu. Desenează arborele, scrie numărul de drumuri ca sumă de produse și verifică numărând frunzele.
Moleculele de pe masă. Cu plastilină de trei culori pentru izotopii hidrogenului și trei pentru ai oxigenului, modelează toate moleculele de apă diferite. Grupează-le după perechea de hidrogeni și compară numărul lor cu răspunsul tău de la exercițiul $10$ .

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie perechea de reguli de bază ale numărării și, mai ales, îl învață pe elev să aleagă singur cazurile. Accentul cade pe cele două verificări ale unei partiții (fără suprapuneri, fără goluri), pe alegerea criteriului de împărțire după alegerea care schimbă numărul variantelor și pe complementară ca formă a regulii sumei. Cazurile care se ating sunt tratate aici doar prin reîmpărțire; formula lor generală este lecția următoare din traseu, principiul includerii și al excluderii.

Întrebări bune de control: „Poate un obiect să intre în două cazuri?”; „Ai lăsat vreun obiect pe dinafară?”; „De ce ai împărțit după această poziție?”; „Ce total folosești pentru complementară?”. Semn că elevul a înțeles: își scrie cazurile în cuvinte înainte de calcul și verifică la final că suma lor dă totalul. Legătura cu clasa a IX-a este disjuncția, cu deosebirea dintre „sau” inclusiv și cazurile care se exclud, din lecția despre disjuncția propozițiilor legate prin „sau”. Pentru recapitulare, vezi testul de metode de numărare M2. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: regula sumei, mate-info (M1).

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la clasa a X-a, capitolul „Metode de numărare” numește explicit „regula sumei”, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029; programa de examen (OMEN 4430/2014) conține capitolul „Metode de numărare”, fără să numească regula sumei, deși multe dintre problemele lui de numărare se rezolvă pe cazuri. De aceea exercițiile de numărare marcate aici sunt „tip Bacalaureat M2”. În modelul oficial publicat pentru 2026, Subiectul I are o cerință în care numărarea pregătește calculul unei probabilități; exercițiile de aici sunt antrenament pe tema din programă, nu o prezicere a subiectelor.

Întrebări frecvente

Ce diferență este între regula sumei la M2 și la mate-info (M1)? Regula e aceeași, dar la științe ale naturii lecția se oprește la cazurile disjuncte și la reîmpărțirea celor care se ating; formula pentru mulțimi care se suprapun are, la M2, o lecție proprie, principiul includerii și al excluderii. Exemplele vin din chimie, biologie și fizică: semnalele licuricilor, secvențe de ADN, izotopi, codul Morse.

La ce subiect apare regula sumei la bacalaureatul M2? Nu apare ca cerință cu nume propriu, ci ca metodă. În modelul oficial M_șt-nat publicat pentru 2026, Subiectul I are o cerință în care se numără numerele cu o proprietate, apoi se calculează o probabilitate, iar numărarea se poate face pe cazuri. Pentru MAT_P2 din 2030, regula sumei e numită în programă, în domeniul Algebră, dar un model de subiect nu există încă.

Ce legătură are regula sumei cu mulțimile de la clasa a IX-a? Regula sumei spune că numărul elementelor unei reuniuni de mulțimi disjuncte este suma numerelor lor de elemente. Cazurile unei probleme sunt mulțimi, iar „cazuri care se exclud” înseamnă „mulțimi cu intersecția vidă”. De aceea verificarea unei împărțiri în cazuri e, de fapt, verificarea că intersecțiile sunt vide și reuniunea e totul.

Cum aleg criteriul după care împart în cazuri? Cauți alegerea care schimbă numărul variantelor celorlalte poziții: la numerele de două cifre distincte cu unitățile mai mici decât $3$ , unitățile $0$ lasă nouă variante pentru zeci, iar $1$ și $2$ doar opt. Împarți după acea alegere. Dacă după împărțire fiecare caz se numără cu un singur produs, criteriul a fost bun.

Când e mai scurt drumul prin complementară? Când situațiile dorite se împart în multe cazuri, iar contrariul lor e unul singur. „Cel puțin o guanină” are patru cazuri după numărul de guanine, dar contrariul, „nicio guanină”, se numără dintr-un singur produs. Dacă și contrariul are multe cazuri, complementara nu mai aduce niciun câștig.

De ce ajung patru semnale Morse pentru toate literele? Pentru că șirurile de cel mult patru semnale sunt $2 + 4 + 8 + 16 = 30$ , iar alfabetul latin de bază are $26$ de litere. Cu cel mult trei semnale ar fi doar $14$ șiruri, prea puține. Cifrele și semnele de punctuație folosesc, de aceea, șiruri de cinci și șase semnale.