Relațiile lui Viète în ℂ: pe scurt

Pentru $a{z}^2+bz+c=0$ cu $a,b,c\in \mathbb{C}$, $a\ne 0$, și rădăcinile $z_1,z_2$, relațiile lui Viète rămân neschimbate față de $\mathbb{R}$:

$$z_1+z_2=-\frac{b}{a},z_1{z}_2=\frac{c}{a}.$$

Citite invers, dau o rețetă de construcție: numerele cu suma $S$ și produsul $P$ sunt exact rădăcinile ecuației $z^2-Sz+P=0$ (atenție la semnul minus din fața lui $S$).

Orice expresie simetrică de rădăcini se calculează direct din $S$ și $P$, fără a rezolva ecuația: $z_1^2+z_2^2=S^2-2P$, $z_1^3+z_2^3=S^3-3PS$, $\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}=\frac{S}{P}$, $(z_1-z_2{)}^2=S^2-4P$.

Doar atunci când toți coeficienții sunt reali și $\Delta <0$, rădăcinile nereale sunt conjugate, iar $S$ și $P$ devin numere reale, cu $P=|z_1{|}^2>0$. La coeficienți complecși generali, $S$ și $P$ pot fi orice numere complexe. O capcană clasică: $z_1^2+z_2^2$ (poate fi negativ sau nereal) nu trebuie confundat cu $|z_1{|}^2+|z_2{|}^2$ (întotdeauna real nenegativ) — cele două expresii se calculează diferit și pot da rezultate complet diferite pentru aceeași pereche de rădăcini, așa cum arată exemplul tip Bacalaureat al lecției.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pentru ecuația $3z^2-(6+3i)z+9i=0$, cât este $S$ (suma rădăcinilor)?

   • a) $2+i$
   • b) $6+3i$
   • c) $3i$
   • d) $2-i$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $2+i$

   $S=-b/a=\frac{6+3i}{3}=2+i$ — se împarte întreaga fracție, atât partea reală, cât și cea imaginară.

2. Scrieți ecuația de gradul al doilea, cu coeficientul dominant $1$, care are rădăcinile $z_1=4$ și $z_2=-3i$.

   • a) $z^2+(4-3i)z-12i=0$
   • b) $z^2-(4-3i)z-12i=0$
   • c) $z^2-(4-3i)z+12i=0$
   • d) $z^2-(4+3i)z-12i=0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $z^2-(4-3i)z-12i=0$

   $S=4-3i$ și $P=4\cdot (-3i)=-12i$, deci ecuația este $z^2-Sz+P=z^2-(4-3i)z-12i=0$.

3. Fie $z_1,z_2$ rădăcinile ecuației $z^2-6z+11=0$. Calculați $z_1^2+z_2^2$ fără a rezolva ecuația.

   • a) $-14$
   • b) $25$
   • c) $14$
   • d) $36$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $14$

   $S=6$, $P=11$, deci $z_1^2+z_2^2=S^2-2P=36-22=14$.