Relațiile lui Viète în mulțimea numerelor complexe

Sunt situații în care nu ai nevoie de rădăcinile unei ecuații, ci doar de o informație despre ele: cât face suma lor, cât face produsul, cât face suma pătratelor. A rezolva ecuația pentru a răspunde ar fi ca și cum ai cântări un camion ca să afli câte roți are. François Viète a observat, încă din secolul al XVI-lea, că suma și produsul rădăcinilor se citesc direct din coeficienți, fără niciun calcul de rădăcini.

În clasa a IX-a ai folosit aceste relații, la Relațiile lui Viète și aplicațiile lor, pentru ecuații cu coeficienți reali. Vestea bună a acestei lecții este că ele nu se schimbă deloc în $\mathbb{C}$: aceleași formule, aceeași demonstrație, aceeași utilitate. Iar ceva se adaugă: pentru că în $\mathbb{C}$ orice ecuație de gradul al doilea are rădăcini, relațiile lui Viète devin un instrument universal — nu mai există cazul jenant „ecuația nu are rădăcini, deci nu putem vorbi despre suma lor".

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți și să demonstrezi relațiile lui Viète pentru $a{z}^2+bz+c=0$ cu $a,b,c\in \mathbb{C}$.
• Vei ști să formezi ecuația de gradul al doilea când îi cunoști suma $S$ și produsul $P$ al rădăcinilor.
• Vei ști să calculezi expresii simetrice de rădăcini ($z_1^2+z_2^2$, $z_1^3+z_2^3$, $\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}$) fără a rezolva ecuația.
• Vei ști ce particularități apar când coeficienții sunt reali și rădăcinile conjugate.
• Vei ști să determini un parametru dintr-o ecuație, știind o rădăcină sau o condiție asupra rădăcinilor.

Hai să descoperim împreună

1. Teorema lui Viète, în forma generală

Teoremă. Fie $a,b,c\in \mathbb{C}$, $a\ne 0$, și fie $z_1,z_2$ rădăcinile ecuației $a{z}^2+bz+c=0$. Atunci

$$z_1+z_2=-\frac{b}{a},z_1{z}_2=\frac{c}{a}.$$

Demonstrație. Din lecția Ecuația de gradul al doilea cu coeficienți complecși știm că $z_{1,2}=\frac{-b\pm \delta }{2a}$, unde ${\delta }^2=\Delta =b^2-4ac$. Adunăm:

$$z_1+z_2=\frac{(-b+\delta )+(-b-\delta )}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}.$$

Înmulțim, folosind $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$ cu $x=-b$ și $y=\delta$:

$$z_1{z}_2=\frac{(-b{)}^2-{\delta }^2}{4a^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}.■$$

Observă că demonstrația nu a folosit nicăieri faptul că numerele ar fi reale — doar reguli de calcul valabile în $\mathbb{C}$. De aceea teorema se transferă fără nicio modificare. Este valabilă și când $\Delta =0$: atunci $z_1=z_2$, iar relațiile devin $2z_1=-\frac{b}{a}$ și $z_1^2=\frac{c}{a}$.

2. A doua cale: descompunerea în factori

Există o demonstrație și mai scurtă, care merită reținută pentru că se generalizează la polinoame de orice grad. Din lecția despre discriminantul negativ știm că

$$a{z}^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2)=a\left[z^2-(z_1+z_2)z+z_1{z}_2\right].$$

Desfacem paranteza: $a{z}^2-a(z_1+z_2)z+a{z}_1{z}_2$. Două expresii de gradul al doilea sunt egale pentru orice $z$ exact când au coeficienții egali, deci

$$b=-a(z_1+z_2)\Rightarrow z_1+z_2=-\frac{b}{a},c=a{z}_1{z}_2\Rightarrow z_1{z}_2=\frac{c}{a}.$$

Această cale arată de ce relațiile se numesc relații între rădăcini și coeficienți: ele nu sunt altceva decât identificarea coeficienților în descompunerea în factori.

3. Ecuația cu suma și produsul date

Citită de la dreapta la stânga, teorema devine o rețetă de construcție.

Propoziție. Dacă $S,P\in \mathbb{C}$, atunci numerele $z_1,z_2$ cu $z_1+z_2=S$ și $z_1{z}_2=P$ sunt exact rădăcinile ecuației

$$z^2-Sz+P=0.$$

Justificare. Pentru ecuația $z^2-Sz+P=0$ avem $a=1$, $b=-S$, $c=P$, deci Viète dă suma $-\frac{-S}{1}=S$ și produsul $\frac{P}{1}=P$. Reciproc, dacă $z_1+z_2=S$ și $z_1{z}_2=P$, atunci $(z-z_1)(z-z_2)=z^2-Sz+P$, deci $z_1$ și $z_2$ anulează această expresie.

Exemplu. Ecuația care are rădăcinile $2-i$ și $3+4i$: calculăm $S=(2-i)+(3+4i)=5+3i$ și

$$P=(2-i)(3+4i)=6+8i-3i-4i^2=6+5i+4=10+5i.$$

Ecuația este $z^2-(5+3i)z+(10+5i)=0$.

Verificare pentru $z=2-i$: $(2-i{)}^2=4-4i+i^2=3-4i$; $(5+3i)(2-i)=10-5i+6i+3=13+i$. Atunci $3-4i-(13+i)+(10+5i)=(3-13+10)+(-4-1+5)i=0$ ✓.

Reține semnul minus din fața lui $S$. Este greșeala numărul unu la acest tip de exercițiu.

4. Cazul coeficienților reali: ce se întâmplă în plus

Când $a,b,c\in \mathbb{R}$ și $\Delta <0$, rădăcinile sunt conjugate: $z_1=\alpha +\beta i$ și $z_2=\alpha -\beta i$, cu $\beta \ne 0$. Atunci

$$S=z_1+z_2=2\alpha \in \mathbb{R},P=z_1{z}_2={\alpha }^2+{\beta }^2=|z_1{|}^2\in \mathbb{R},P>0.$$

Deci suma și produsul sunt reale, iar produsul este chiar pătratul modulului comun al rădăcinilor. De aici trei consecințe utile la examen:

• $|z_1|=|z_2|=\sqrt{P}=\sqrt{\frac{c}{a}}$;
• partea reală comună a rădăcinilor este $\alpha =\frac{S}{2}=-\frac{b}{2a}$;
• dacă îți dă cineva o rădăcină nereală și îți cere coeficienții reali, îi afli imediat: $b=-aS$ și $c=aP$, cu $S$ și $P$ calculate din rădăcină și conjugata ei.

Atenție: toate cele de mai sus se sprijină pe conjugare, deci cad dacă vreun coeficient este nereal. La ecuația $z^2-(3+i)z+(2+2i)=0$, rădăcinile sunt $2$ și $1+i$, cu module diferite ($2$ și $\sqrt{2}$), iar $S$ și $P$ sunt numere nereale.

5. Expresii simetrice de rădăcini

Se numește simetrică o expresie de $z_1$ și $z_2$ care nu se schimbă dacă interschimbăm rădăcinile — de exemplu $z_1^2+z_2^2$ sau $z_1{z}_2$, dar nu și $z_1-z_2$. Orice astfel de expresie se poate scrie în funcție de $S$ și $P$, deci se poate calcula fără a rezolva ecuația. Iată cele patru formule pe care merită să le știi pe de rost:

$$z_1^2+z_2^2=S^2-2P,\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}=\frac{S}{P}(P\ne 0),$$

$$z_1^3+z_2^3=S^3-3PS,(z_1-z_2{)}^2=S^2-4P.$$

Deducerea primei: $(z_1+z_2{)}^2=z_1^2+2z_1{z}_2+z_2^2$, deci $z_1^2+z_2^2=S^2-2P$.

Deducerea celei de-a treia: $S^3=(z_1+z_2{)}^3=z_1^3+3z_1^2{z}_2+3z_1{z}_2^2+z_2^3=z_1^3+z_2^3+3z_1{z}_2(z_1+z_2)$, adică $S^3=z_1^3+z_2^3+3PS$.

A patra se obține din $(z_1-z_2{)}^2=(z_1+z_2{)}^2-4z_1{z}_2$. Observă un lucru elegant: pentru $a=1$, această expresie este chiar $\Delta$, pentru că $S^2-4P=b^2-4c$.

Exemplu. Pentru $z^2-4z+13=0$ avem $S=4$ și $P=13$, deci

$$z_1^2+z_2^2=16-26=-10,z_1^3+z_2^3=64-3\cdot 13\cdot 4=64-156=-92,\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}=\frac{4}{13}.$$

Control: rădăcinile sunt $2\pm 3i$; $z_1^2=4+12i-9=-5+12i$ și $z_2^2=-5-12i$, sumă $-10$ ✓. Apoi $z_1^3=(-5+12i)(2+3i)=-10-15i+24i-36=-46+9i$ și $z_2^3=-46-9i$, sumă $-92$ ✓.

6. Determinarea unui parametru

Relațiile lui Viète sunt și cel mai rapid mod de a găsi un coeficient necunoscut.

Problemă. Determină $m\in \mathbb{C}$ astfel încât ecuația $z^2-(2+i)z+m=0$ să aibă rădăcina $z_1=1-i$.

Rezolvare. Din prima relație, $z_2=S-z_1=(2+i)-(1-i)=1+2i$. Din a doua,

$$m=P=z_1{z}_2=(1-i)(1+2i)=1+2i-i-2i^2=3+i.$$

Verificare, prin înlocuirea lui $z_1$ în ecuație: $(1-i{)}^2=-2i$; $(2+i)(1-i)=2-2i+i+1=3-i$. Atunci $-2i-(3-i)+(3+i)=(0-3+3)+(-2+1+1)i=0$ ✓.

Metoda are un avantaj mare față de înlocuirea directă în ecuație: îți dă și cealaltă rădăcină, gratuit.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citirea directă a lui $S$ și $P$

Fără a rezolva, precizați suma și produsul rădăcinilor ecuației $2z^2-(4+2i)z+6i=0$.

Rezolvare. Aici $a=2$, $b=-(4+2i)$, $c=6i$, deci

$$S=-\frac{b}{a}=\frac{4+2i}{2}=2+i,P=\frac{c}{a}=\frac{6i}{2}=3i.$$

Atenție la împărțirea la $a=2$: se împarte și partea reală, și partea imaginară.

Exemplul 2 — Formarea ecuației

Scrieți ecuația de gradul al doilea, cu coeficientul dominant $1$, care are rădăcinile $z_1=3$ și $z_2=-2i$.

Rezolvare. $S=3-2i$ și $P=3\cdot (-2i)=-6i$, deci ecuația este

$$z^2-(3-2i)z-6i=0.$$

Verificare pentru $z=-2i$: $(-2i{)}^2=-4$; $-(3-2i)(-2i)=(3-2i)(2i)=6i-4i^2=4+6i$. Atunci $-4+4+6i-6i=0$ ✓.

Exemplul 3 — Ecuație cu coeficienți reali din rădăcini conjugate

Determinați $b,c\in \mathbb{R}$ știind că $3-i$ este rădăcină a ecuației $z^2+bz+c=0$.

Rezolvare. Coeficienții fiind reali, a doua rădăcină este conjugata: $3+i$. Atunci

$$S=6\Rightarrow b=-S=-6,P=(3-i)(3+i)=9+1=10\Rightarrow c=10.$$

Ecuația este $z^2-6z+10=0$; într-adevăr $\Delta =36-40=-4<0$, iar $z_{1,2}=\frac{6\pm 2i}{2}=3\pm i$ ✓.

Exemplul 4 — Expresii simetrice, fără a rezolva

Fie $z_1,z_2$ rădăcinile ecuației $z^2-2z+5=0$. Calculați $z_1^2+z_2^2$, $z_1^3+z_2^3$ și $\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}$.

Rezolvare. $S=2$, $P=5$. Atunci

$$z_1^2+z_2^2=4-10=-6,z_1^3+z_2^3=8-3\cdot 5\cdot 2=-22,\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}=\frac{2}{5}.$$

Control: rădăcinile sunt $1\pm 2i$. $z_1^2=1+4i-4=-3+4i$, deci suma pătratelor este $-6$ ✓. Apoi $z_1^3=(-3+4i)(1+2i)=-3-6i+4i-8=-11-2i$, deci $z_1^3+z_2^3=-22$ ✓.

Exemplul 5 — Aflarea celeilalte rădăcini

Ecuația $z^2-(5+i)z+(12+5i)=0$ are rădăcina $z_1=3-2i$. Determinați $z_2$ în două moduri.

Rezolvare. Prin sumă: $z_2=S-z_1=(5+i)-(3-2i)=2+3i$.

Prin produs (drept control): $z_2=\frac{P}{z_1}=\frac{12+5i}{3-2i}$. Amplificăm cu conjugatul numitorului:

$$\frac{(12+5i)(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)}=\frac{36+24i+15i-10}{9+4}=\frac{26+39i}{13}=2+3i.✓$$

Cele două metode dau același rezultat, ceea ce confirmă și că $z_1$ era într-adevăr rădăcină.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră ecuația $z^2-4z+8=0$, cu $z\in \mathbb{C}$, cu rădăcinile $z_1$ și $z_2$. a) Rezolvați ecuația. b) Verificați relațiile lui Viète. c) Calculați $|z_1{|}^2+|z_2{|}^2$ și $z_1^2+z_2^2$; comparați rezultatele.

Rezolvare. a) $\Delta =16-32=-16$, deci $z_{1,2}=\frac{4\pm 4i}{2}=2\pm 2i$.

Verificare pentru $z_1=2+2i$: $(2+2i{)}^2=4+8i-4=8i$, iar $8i-4(2+2i)+8=8i-8-8i+8=0$ ✓.

b) $z_1+z_2=4=-\frac{-4}{1}$ ✓ și $z_1{z}_2=(2+2i)(2-2i)=4+4=8=\frac{8}{1}$ ✓.

c) Modulele: $|z_1|=|z_2|=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$, deci $|z_1{|}^2+|z_2{|}^2=8+8=16$. Pe de altă parte, $z_1^2+z_2^2=S^2-2P=16-16=0$.

Comparația cerută: rezultatele sunt complet diferite ($16$ față de $0$), pentru că $|z{|}^2=z\bar{z}$, iar $z^2$ este cu totul altceva. Control direct: $z_1^2=8i$ și $z_2^2=-8i$, sumă $0$ ✓. Confuzia dintre $z^2$ și $|z{|}^2$ este o sursă clasică de puncte pierdute.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Acolo unde se cere „fără a rezolva ecuația", folosește doar $S$ și $P$; abia la final poți verifica rezolvând.

1. Precizează $S$ și $P$ pentru ecuația $z^2-5z+7=0$.

2. Precizează $S$ și $P$ pentru ecuația $2z^2-(4+2i)z+6i=0$.

3. Scrie ecuația de gradul al doilea, cu coeficientul dominant $1$, care are rădăcinile $3$ și $-2i$.

4. Scrie ecuația de gradul al doilea, cu coeficientul dominant $1$, care are rădăcinile $1+i$ și $1-i$.

5. Scrie ecuația de gradul al doilea, cu coeficientul dominant $1$, care are rădăcinile $2+3i$ și $2-3i$.

6. Fie $z_1,z_2$ rădăcinile ecuației $z^2-2z+10=0$. Calculează $z_1^2+z_2^2$ fără a rezolva ecuația.

7. Fie $z_1,z_2$ rădăcinile ecuației $z^2+4z+29=0$. Calculează $\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}$.

8. Fie $z_1,z_2$ rădăcinile ecuației $z^2-(2+2i)z+2i=0$. Calculează $z_1^2+z_2^2$, apoi rezolvă ecuația și verifică rezultatul.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă ecuația $z^2+bz+c=0$ are coeficienți complecși nereali, atunci rădăcinile ei sunt conjugate."

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice $S,P\in \mathbb{C}$ există numere complexe $z_1,z_2$ cu suma $S$ și produsul $P$."

11. Determină $b,c\in \mathbb{R}$ știind că $3-i$ este rădăcină a ecuației $z^2+bz+c=0$.

12. Determină $m\in \mathbb{C}$ astfel încât ecuația $z^2-(3+2i)z+m=0$ să aibă rădăcina $z_1=2$. Care este cealaltă rădăcină?

13. Ecuația $z^2-(5+i)z+(12+5i)=0$ are rădăcina $3-2i$. Află cealaltă rădăcină folosind relațiile lui Viète.

14. Calculează $(z_1-z_2{)}^2$ pentru ecuația $z^2-6z+34=0$, folosind doar $S$ și $P$. Verifică apoi rezolvând ecuația.

15. (Problemă aplicată.) Suma a două numere complexe este $4+2i$, iar produsul lor este $6+8i$. Determină cele două numere.

16. Fie $z_1,z_2$ rădăcinile ecuației $z^2-2z+5=0$. Calculează $z_1^3+z_2^3$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră ecuația $z^2-6z+25=0$. a) Rezolvați ecuația. b) Verificați relațiile lui Viète. c) Calculați $z_1^2+z_2^2$. d) Arătați că $z_1{z}_2=|z_1{|}^2$.

18. (Provocare.) Fie $z_1,z_2$ rădăcinile ecuației $z^2-(1+i)z+i=0$. a) Arătați că $z_1=1$ și $z_2=i$. b) Calculați $z_1^{2026}+z_2^{2026}$.

Răspunsuri și explicații

1. $S=5$, $P=7$. (Semnul: $S=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{1}$.)

2. $S=\frac{4+2i}{2}=2+i$ și $P=\frac{6i}{2}=3i$.

3. $S=3-2i$, $P=-6i$, deci $z^2-(3-2i)z-6i=0$. Verificare pentru $z=3$: $9-(3-2i)\cdot 3-6i=9-9+6i-6i=0$ ✓.

4. $S=2$, $P=(1+i)(1-i)=1+1=2$, deci $z^2-2z+2=0$. Coeficienții sunt reali, cum era de așteptat de la rădăcini conjugate; $\Delta =4-8=-4$ ✓.

5. $S=4$, $P=4+9=13$, deci $z^2-4z+13=0$, cu $\Delta =16-52=-36$ ✓.

6. $S=2$, $P=10$, deci $z_1^2+z_2^2=4-20=-16$. (Control: rădăcinile sunt $1\pm 3i$, cu pătratele $-8\pm 6i$, sumă $-16$ ✓.)

7. $S=-4$, $P=29$, deci $\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}=\frac{z_1+z_2}{z_1{z}_2}=-\frac{4}{29}$.

8. $S=2+2i$, $P=2i$. Atunci $S^2=(2+2i{)}^2=8i$ și $z_1^2+z_2^2=8i-4i=4i$. Rezolvarea: $\Delta =8i-8i=0$, deci rădăcină dublă $z_1=z_2=1+i$. Control: $2(1+i{)}^2=2\cdot 2i=4i$ ✓.

9. Fals. Conjugarea rădăcinilor cere ca toți coeficienții să fie reali. Contraexemplu: $z^2-(3+i)z+(2+2i)=0$ are rădăcinile $2$ și $1+i$.

10. Adevărat. Ele sunt rădăcinile ecuației $z^2-Sz+P=0$, care are întotdeauna două rădăcini în $\mathbb{C}$, oricare ar fi coeficienții — conform lecției precedente.

11. A doua rădăcină este $3+i$. Atunci $S=6$, deci $b=-6$, și $P=9+1=10$, deci $c=10$. Ecuația: $z^2-6z+10=0$.

12. $z_2=S-z_1=(3+2i)-2=1+2i$, iar $m=P=2(1+2i)=2+4i$. Verificare pentru $z=2$: $4-2(3+2i)+2+4i=4-6-4i+2+4i=0$ ✓.

13. $z_2=(5+i)-(3-2i)=2+3i$. Control prin produs: $(3-2i)(2+3i)=6+9i-4i+6=12+5i$ ✓.

14. $S=6$, $P=34$, deci $(z_1-z_2{)}^2=36-136=-100$. Rezolvând: $\Delta =36-136=-100$, deci $z_{1,2}=3\pm 5i$ și $z_1-z_2=10i$, al cărui pătrat este $-100$ ✓. (Pentru $a=1$, $(z_1-z_2{)}^2=\Delta$.)

15. Numerele sunt rădăcinile ecuației $z^2-(4+2i)z+(6+8i)=0$. Discriminantul: $(4+2i{)}^2=12+16i$, deci $\Delta =12+16i-24-32i=-12-16i$. Extragem rădăcina pătrată: $m=\sqrt{144+256}=20$, $u^2=4$, $v^2=16$, iar partea imaginară fiind negativă, $\delta =2-4i$. Atunci $z_1=\frac{(4+2i)+(2-4i)}{2}=3-i$ și $z_2=\frac{2+6i}{2}=1+3i$. Control: suma $4+2i$ ✓, produsul $(3-i)(1+3i)=3+9i-i+3=6+8i$ ✓.

16. $S=2$, $P=5$, deci $z_1^3+z_2^3=S^3-3PS=8-30=-22$. (Control în Exemplul 4.)

17. a) $\Delta =36-100=-64$, deci $z_{1,2}=\frac{6\pm 8i}{2}=3\pm 4i$. b) Suma: $6=-\frac{-6}{1}$ ✓; produsul: $(3+4i)(3-4i)=9+16=25$ ✓. c) $z_1^2+z_2^2=36-50=-14$ (control: $z_1^2=9+24i-16=-7+24i$, $z_2^2=-7-24i$, sumă $-14$ ✓). d) $|z_1{|}^2=9+16=25=z_1{z}_2$, pentru că rădăcinile sunt conjugate și $z\bar{z}=|z{|}^2$.

18. a) $\Delta =(1+i{)}^2-4i=2i-4i=-2i$, iar o rădăcină pătrată a lui $-2i$ este $\delta =1-i$. Atunci $z_{1,2}=\frac{(1+i)\pm (1-i)}{2}$, adică $z_1=\frac{2}{2}=1$ și $z_2=\frac{2i}{2}=i$. Verificare pentru $z=i$: $i^2-(1+i)i+i=-1-i+1+i=0$ ✓. b) $z_1^{2026}=1$. Pentru $z_2=i$ folosim periodicitatea puterilor lui $i$: cum $2026=4\cdot 506+2$, avem $i^{2026}=i^2=-1$. Deci suma este $1-1=0$.

De reținut

• Relațiile lui Viète sunt identice în $\mathbb{C}$ și în $\mathbb{R}$: $z_1+z_2=-\frac{b}{a}$ și $z_1{z}_2=\frac{c}{a}$, pentru orice coeficienți complecși cu $a\ne 0$.
• Ecuația cu suma și produsul date este $z^2-Sz+P=0$ — atenție la semnul minus din fața lui $S$.
• Expresiile simetrice se calculează din $S$ și $P$, fără a rezolva ecuația: $z_1^2+z_2^2=S^2-2P$, $z_1^3+z_2^3=S^3-3PS$, $\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}=\frac{S}{P}$, $(z_1-z_2{)}^2=S^2-4P$.
• Doar la coeficienți reali rădăcinile nereale sunt conjugate; atunci $S$ și $P$ sunt reale, $P=|z_1{|}^2>0$ și $|z_1|=|z_2|$.
• $z^2$ nu este $|z{|}^2$. Prima este un număr complex, a doua un număr real nenegativ, egal cu $z\bar{z}$.

Greșeli frecvente

• Semnul lui $S$ în ecuația formată. Se scrie $z^2-Sz+P=0$, nu $z^2+Sz+P=0$. Verifică mereu pe un exemplu simplu: rădăcinile $1$ și $2$ dau $z^2-3z+2=0$.
• Se uită împărțirea la $a$. Relațiile sunt $-\frac{b}{a}$ și $\frac{c}{a}$, nu $-b$ și $c$. Când $a\ne 1$, se împart ambele părți ale numărului complex.
• Se presupun rădăcinile conjugate. Concluzia „a doua rădăcină este conjugata primei" cere ca toți coeficienții să fie reali. La coeficienți complecși este falsă.
• Se confundă $z_1^2+z_2^2$ cu $|z_1{|}^2+|z_2{|}^2$. Prima se calculează cu $S^2-2P$ și poate fi negativă sau nereală; a doua este o sumă de numere reale nenegative.
• Se calculează expresiile simetrice rezolvând ecuația. Nu e greșit, dar e lung și expune la erori de calcul. Baremele acceptă (și adesea cer) calea prin $S$ și $P$.

Aplică acasă

1. Verificarea în ambele sensuri. Alege trei perechi de numere complexe cu părți întregi. Pentru fiecare pereche, formează ecuația $z^2-Sz+P=0$, apoi rezolv-o cu algoritmul din lecția precedentă. Trebuie să regăsești exact perechea de la care ai plecat.

2. Tabelul expresiilor simetrice. Ia ecuația $z^2-4z+13=0$ și completează un tabel cu $S$, $P$, $z_1^2+z_2^2$, $z_1^3+z_2^3$, $(z_1-z_2{)}^2$ și $\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}$, calculate mai întâi prin formule, apoi direct din rădăcinile $2\pm 3i$. Coloanele trebuie să coincidă.

3. Vânătoarea de subiecte. Caută în variantele de Bacalaureat M1 trei exerciții în care se cere o expresie de rădăcini fără rezolvarea ecuației. Rezolvă-le doar prin Viète și cronometrează-te: sub două minute fiecare.

Pentru părinți și profesori

Lecția reia un instrument din clasa a IX-a și îl extinde la $\mathbb{C}$, dar rolul ei nu este doar recapitulativ: aici elevul învață să lucreze cu rădăcini pe care nu le calculează, deci să gândească în termeni de relații, nu de valori. Această schimbare de perspectivă este pregătirea directă pentru capitolul de polinoame, unde relațiile lui Viète se generalizează la gradul $n$.

Verificați trei lucruri: semnul corect în ecuația $z^2-Sz+P=0$; împărțirea la $a$ atunci când coeficientul dominant nu este $1$; și, cel mai important, distincția dintre situația „coeficienți reali" (rădăcini conjugate, $S$ și $P$ reale) și cea generală. Întrebări bune de control: „Care este ecuația cu rădăcinile $2$ și $5$?"; „De ce $z_1^2+z_2^2$ poate fi negativ?"; „Când sunt rădăcinile conjugate?".

La Bacalaureat M1, relațiile lui Viète apar atât la numere complexe, cât și la polinoame, iar formularea tipică este „fără a rezolva ecuația, calculați…". Semne că elevul a înțeles: alege spontan calea prin $S$ și $P$ și își verifică rezultatul recalculând direct din rădăcini.

Întrebări frecvente

Care sunt relațiile lui Viète pentru ecuația de gradul al doilea? Pentru $a{z}^2+bz+c=0$ cu $a\ne 0$ și rădăcinile $z_1,z_2$: suma este $z_1+z_2=-\frac{b}{a}$, iar produsul este $z_1{z}_2=\frac{c}{a}$. Formulele sunt aceleași pentru coeficienți reali și pentru coeficienți complecși.

Cum scriu ecuația de gradul al doilea când știu suma și produsul rădăcinilor? Ecuația este $z^2-Sz+P=0$, unde $S$ este suma și $P$ produsul. Semnul minus din fața lui $S$ este esențial: pentru rădăcinile $1$ și $2$ se obține $z^2-3z+2=0$.

Pot calcula suma pătratelor rădăcinilor fără să rezolv ecuația? Da, cu formula $z_1^2+z_2^2=S^2-2P$, dedusă din dezvoltarea lui $(z_1+z_2{)}^2$. Analog, $z_1^3+z_2^3=S^3-3PS$ și $\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}=\frac{S}{P}$.

Relațiile lui Viète funcționează și pentru coeficienți complecși? Da, fără nicio modificare. Demonstrația folosește doar formula rădăcinilor și regulile de calcul din $\mathbb{C}$, deci nu depinde de faptul că numerele ar fi reale.

De ce suma și produsul sunt reale la o ecuație cu coeficienți reali? Pentru că rădăcinile nereale sunt conjugate: dacă $z_1=\alpha +\beta i$, atunci $z_2=\alpha -\beta i$, deci $S=2\alpha$ și $P={\alpha }^2+{\beta }^2$, ambele reale. În plus, $P$ este chiar pătratul modulului comun al rădăcinilor.

Ce este o expresie simetrică de rădăcini? O expresie care nu se schimbă când interschimbi $z_1$ cu $z_2$ — de exemplu $z_1^2+z_2^2$ sau $z_1{z}_2$. Orice astfel de expresie se poate scrie în funcție de $S$ și $P$, deci se poate calcula direct din coeficienți.

Unde apar relațiile lui Viète la Bacalaureat M1? La proba M1, atât în capitolul de numere complexe, cât și la polinoame, unde se generalizează la ecuații de grad superior. Formularea tipică este „fără a rezolva ecuația, calculați…", iar baremul punctează explicit scrierea lui $S$ și $P$.