Ce spun coeficienții despre rădăcini: pe scurt

Pentru o ecuație de gradul al treilea $a{X}^3+b{X}^2+cX+d=0$, cu rădăcinile $x_1,x_2,x_3$ numărate cu multiplicități, relațiile lui Viète leagă direct coeficienții de trei expresii simetrice: $S_1=x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$, $S_2=x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a}$ și $S_3=x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}$. Semnele alternează: minus, plus, minus. Ele se obțin identificând coeficienții între forma dezvoltată a polinomului și descompunerea canonică $a(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)$.

Din aceste trei numere calculezi, fără să rezolvi ecuația, orice expresie simetrică de rădăcini: suma pătratelor este $S_1^2-2S_2$, suma inverselor este $\frac{S_2}{S_3}$ (cu condiția $S_3\ne 0$), iar suma cuburilor se obține observând că fiecare rădăcină verifică ecuația și adunând cele trei relații rezultate — metodă care funcționează la orice putere. Aceeași idee rezolvă și problema inversă: când ai o relație dată între rădăcini (de exemplu $x_1+x_2=x_3$, sau rădăcini în progresie aritmetică ori geometrică), combini relația cu una dintre formulele lui Viète pentru a afla explicit o rădăcină, apoi impui ca ea să anuleze polinomul, obținând parametrul necunoscut. Regula de recunoaștere: orice expresie care nu se schimbă la permutarea rădăcinilor se poate calcula astfel din coeficienți.

Exerciții din această mini-lecție

1. Fie $x_1,x_2,x_3$ rădăcinile ecuației $x^3-7x^2+14x-8=0$. Calculați $x_1^2+x_2^2+x_3^2$.

   • a) $21$
   • b) $35$
   • c) $49$
   • d) $14$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $21$

   Din Viète: $S_1=7$, $S_2=14$. Formula $x_1^2+x_2^2+x_3^2=S_1^2-2S_2=49-28=21$. Rădăcinile ecuației sunt $1,2,4$, iar direct $1+4+16=21$. ✓

2. Fie $x_1,x_2,x_3$ rădăcinile ecuației $x^3-6x^2+3x+10=0$. Calculați $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}$.

   • a) $\frac{3}{10}$
   • b) $-\frac{3}{10}$
   • c) $-\frac{3}{5}$
   • d) $\frac{10}{3}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $-\frac{3}{10}$

   Din Viète: $S_2=3$, $S_3=-10$ (termenul liber $10\ne 0$, deci nicio rădăcină nu e nulă). Suma inverselor este $\frac{S_2}{S_3}=\frac{3}{-10}=-\frac{3}{10}$. Rădăcinile sunt $-1,2,5$: $-1+\frac{1}{2}+\frac{1}{5}=-\frac{3}{10}$. ✓

3. Determinați $m\in \mathbb{R}$ știind că rădăcinile ecuației $x^3-10x^2+mx-30=0$ verifică $x_1+x_2=x_3$.

   • a) $25$
   • b) $15$
   • c) $31$
   • d) $6$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $31$

   Din $S_1=10$ și $x_1+x_2=x_3$ rezultă $2x_3=10$, deci $x_3=5$. Impunem $f(5)=0$: $125-250+5m-30=5m-155=0$, deci $m=31$. Rădăcinile sunt $2,3,5$, iar $2+3=5$. ✓