Care dintre seturile de date de mai jos este de tip LUL?

două laturi și un unghi din fața uneia dintre ele

De ce nu aflu al doilea unghi cu sinusul?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Rezolvarea triunghiului LLL și LUL

Pentru că valorile sinusului se repetă la unghiurile suplementare, iar $sin^{- 1}$ poate ascunde astfel un unghi obtuz. Exemplu, după cazul LUL: $b = 8$ , $c = 32$ , $A = \frac{π}{4}$ dau $a = 34$ . Teorema sinusurilor dă $sin B \approx 0, 970$ , iar calculatorul întoarce $7 6^{\circ}$ . Cosinusul arată însă $cos B = \frac{34 + 18 - 64}{2 34 \cdot 3 2} < 0$ , deci $B \approx 10 4^{\circ}$ , unghi obtuz. De aceea, la LLL și LUL se merge cu cosinusul.

Un triunghi e complet cunoscut când îi știi cele trei laturi și cele trei unghiuri. Pornești de la ce îți dă enunțul și așezi datele pe contur: dacă ai trei laturi, cazul se numește LLL; dacă ai două laturi și unghiul format de ele, cazul se numește LUL. În ambele situații unealta este teorema cosinusului, iar printre date trebuie să existe măcar o lungime, fiindcă unghiurile singure fixează doar forma.

La LLL controlezi întâi că latura cea mai lungă rămâne sub suma celorlalte două, apoi calculezi cosinusul unghiului din fața ei. Semnul lui spune imediat dacă unghiul e obtuz. Continui tot cu cosinusul pentru al doilea unghi, fiindcă un unghi și suplementul lui au același sinus. La LUL afli întâi latura din fața unghiului dat, apoi lucrezi ca la LLL.

Dacă vârfurile sunt date prin coordonate, calculezi pătratele laturilor și le pui direct în numărătorii cosinusurilor. La final verifici ordinea laturilor și a unghiurilor și natura triunghiului; suma unghiurilor controlează ceva numai dacă al treilea unghi a fost aflat independent. O dată măsurată în plus se compară cu valoarea calculată din celelalte.

De reținut

LLL și LUL se rezolvă cu teorema cosinusului
unghiurile se află cu cosinusul, care deosebește unghiul ascuțit de cel obtuz
înainte de LLL: latura cea mai lungă este mai mică decât suma celorlalte

Greșeala tipică

După ce afli latura în cazul LUL, calculezi al doilea unghi cu $sin^{- 1}$ și accepți unghiul ascuțit dat de calculator; dacă unghiul este de fapt obtuz, întreaga rezolvare iese greșită.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre seturile de date de mai jos este de tip LUL?
- a) trei laturi
- b) două laturi și unghiul format de ele
- c) două laturi și un unghi din fața uneia dintre ele
- d) trei unghiuri
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) două laturi și unghiul format de ele

La LUL unghiul cunoscut stă între cele două laturi cunoscute. Cu un unghi din fața unei laturi, cazul este LLU.
Un triunghi are laturile $7$ , $10$ și $12$ . Cât este cosinusul unghiului din fața laturii de $12$ ?
- a) $\frac{1}{28}$
- b) $- \frac{1}{28}$
- c) $\frac{5}{28}$
- d) $\frac{1}{14}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{1}{28}$

$\frac{49 + 100 - 144}{2 \cdot 7 \cdot 10} = \frac{5}{140} = \frac{1}{28}$ . Unghiul este ascuțit, dar aproape drept.
În triunghiul $A B C$ , $b = 4$ , $c = 11$ și $A = \frac{2 π}{3}$ . Cât este $a$ ?
- a) $137$
- b) $181$
- c) $93$
- d) $15$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $181$

$a^{2} = 16 + 121 - 2 \cdot 4 \cdot 11 \cdot (- \frac{1}{2}) = 137 + 44 = 181$ , deci $a = 181$ . Cu minus în loc de plus ar fi ieșit $93$ , iar fără termenul cu cosinus, $137$ .

Întrebări conexe

Cum rezolv complet triunghiul cu laturile $5$ , $7$ și $8$ ?

Calculezi cosinusurile: opus lui $7$ , $\frac{25 + 64 - 49}{80} = \frac{1}{2}$ , deci $6 0^{\circ}$ ; opus lui $8$ , $\frac{25 + 49 - 64}{70} = \frac{1}{7}$ , deci circa $81, 7 9^{\circ}$ ; opus lui $5$ , $\frac{49 + 64 - 25}{112} = \frac{11}{14}$ , deci circa $38, 2 1^{\circ}$ . Suma dă $18 0^{\circ}$ .

Când îmi spune ceva suma unghiurilor la verificarea unui triunghi rezolvat?

Numai când toate cele trei unghiuri au fost calculate separat. Când al treilea unghi rezultă prin diferența până la $18 0^{\circ}$ , suma iese automat corectă și nu verifică nimic. La triunghiul $5$ , $7$ , $8$ , unghiurile calculate independent dau $6 0^{\circ} + 81, 7 9^{\circ} + 38, 2 1^{\circ} = 18 0^{\circ}$ .

Ce latură rezultă în cazul LUL cu $b = 5$ , $c = 8$ și $A = \frac{2 π}{3}$ ?

Cu teorema cosinusului, $a^{2} = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot (- \frac{1}{2}) = 89 + 40 = 129$ , deci $a = 129 \approx 11, 36$ . Latura este mai lungă decât $8$ , cum cere unghiul obtuz din fața ei. Cu semnul cosinusului pierdut, s-ar fi obținut greșit $89 - 40 = 7$ .

Pot rezolva un triunghi dacă știu doar cele trei unghiuri?

Nu. Unghiurile fixează forma, nu mărimea: triunghiurile cu unghiurile $3 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ pot avea laturile $1$ , $3$ , $2$ sau $5$ , $53$ , $10$ . Pentru rezolvare este nevoie de cel puțin o lungime.

Ce condiție verific înainte de a rezolva un triunghi din trei laturi?

Latura cea mai lungă trebuie să fie mai mică decât suma celorlalte două. Lungimile $3$ , $4$ și $8$ nu formează un triunghi, fiindcă $3 + 4 < 8$ , iar formula cosinusului ar da o valoare sub $- 1$ : $\frac{9 + 16 - 64}{24} = - \frac{39}{24}$ .

Ce distanță e între două orașe legate de un sat prin drumuri care fac $6 0^{\circ}$ ?

Dacă orașele sunt la $4$ km și $9$ km de sat, iar drumurile fac unghiul de $6 0^{\circ}$ , este cazul LUL. Teorema cosinusului dă $d^{2} = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} = 61$ , deci $d = 61 \approx 7, 81$ km.

Oamenii mai întreabă și: de ce folosesc cosinusul la cazul LLL · unghiul obtuz ascuns de sinus · rezolvarea triunghiului cu cosinusul · al doilea unghi în cazul LUL