Rezolvarea triunghiului: cazurile LLL și LUL (M2, științe ale naturii)

Stativul unei camere de filmat în laborator are un braț articulat: două segmente rigide și o încheietură la mijloc. Proiectantul cunoaște lungimile segmentelor și unghiul încheieturii, dar are nevoie de mai mult: cât de departe ajunge capul cu camera de bază și sub ce unghiuri stau celelalte două articulații. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), lecția aceasta adună teoremele deja învățate într-un singur procedeu: pornind de la trei laturi sau de la două laturi și unghiul dintre ele, afli toate laturile și toate unghiurile triunghiului. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”; din 2030, la științe ale naturii, matematica este o probă la alegere. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține rezolvarea triunghiurilor oarecare; modelul oficial publicat pentru 2026 are la Subiectul I o cerință de geometrie a triunghiului, construită pe un triunghi dreptunghic.

Folosim fără să le mai demonstrăm teorema cosinusului la M2, cu care afli a treia latură, și aflarea unghiurilor din laturi la M2. Pentru valorile care nu sunt „de bază” lucrăm cu tabelele și mijloacele digitale de la M2, așa cum permite programa.

Ce vei învăța

• Vei spune ce înseamnă să rezolvi un triunghi și ce date sunt suficiente pentru asta.
• Vei recunoaște din enunț dacă datele sunt de tip LLL, de tip LUL sau de alt tip, tratat în lecția următoare.
• Vei rezolva complet un triunghi dat prin trei laturi, începând cu unghiul din fața laturii celei mai lungi.
• Vei rezolva complet un triunghi dat prin două laturi și unghiul cuprins între ele.
• Vei rezolva un triunghi ale cărui vârfuri sunt date prin coordonate, lucrând cu pătratele distanțelor.
• Vei controla rezultatul și vei judeca datele măsurate care nu se potrivesc între ele.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă să rezolvi un triunghi?

Un triunghi $ABC$ are șase elemente: laturile $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$ și unghiurile $A$, $B$, $C$, fiecare unghi fiind în fața laturii notate cu aceeași literă mică. Rezolvarea unui triunghi este calculul elementelor lui necunoscute, pornind de la cele date, printre care se află cel puțin o lungime, până când se cunosc toate cele șase elemente.

Câte date sunt necesare? Din geometria clasei a VI-a știi că două triunghiuri care au trei elemente potrivite egale sunt congruente: de exemplu, după criteriul de congruență LLL sau după criteriul LUL. Congruența înseamnă că datele fixează triunghiul complet, deci și celelalte trei elemente sunt hotărâte. Rezolvarea transformă această certitudine în numere. Criteriile de congruență spun că răspunsul există și e unic; teoremele cosinusului și sinusurilor spun cum îl calculezi.

Trei unghiuri nu ajung niciodată: ele descriu doar forma triunghiului. Un triunghi mic și unul de zece ori mai mare, cu aceleași unghiuri, sunt la fel de potrivite pentru aceste date. De aceea măcar o latură trebuie să fie printre date.

2. Cum recunoști cazul din enunț?

Cazul se citește din poziția datelor pe contur, nu din numărul lor. Notăm cu L o latură cunoscută și cu U un unghi cunoscut.

Întrebarea de triaj este una singură: există printre date o latură împreună cu unghiul din fața ei? Dacă da, drumul trece prin teorema sinusurilor la M2 și îl parcurgem în lecția următoare. Dacă nu, iar datele sunt trei laturi sau două laturi cu unghiul dintre ele, lucrezi numai cu teorema cosinusului, ca mai jos.

3. Care este drumul pentru trei laturi?

Luăm laturile $6$, $11$ și $14$. Pașii sunt aceiași pentru orice trei lungimi.

Pasul 1 — existența. Comparăm latura cea mai lungă cu suma celorlalte două; ea trebuie să rămână sub această sumă: $6+11=17>14$. Criteriul complet îl găsești în lecția despre natura unui triunghi la M2.

Pasul 2 — unghiul din fața laturii celei mai lungi. El este singurul care poate fi obtuz, deci îl lămurim primul:

$$\cos =\frac{6^2+11^2-14^2}{2\cdot 6\cdot 11}=\frac{36+121-196}{132}=-\frac{39}{132}=-\frac{13}{44}.$$

Cosinusul negativ spune, înainte de orice tabel, că unghiul este obtuz. Cu un instrument digital (în grade), unghiul are aproximativ $107,18^{\circ }$.

Pasul 3 — încă un unghi, tot cu cosinusul. Pentru unghiul din fața laturii de $11$, numărătorul este $6^2+14^2-11^2=111$, iar numitorul $2\cdot 6\cdot 14=168$, deci cosinusul este $\frac{37}{56}$ și unghiul are aproximativ $48,65^{\circ }$.

Pasul 4 — al treilea unghi, din sumă: $180^{\circ }-107,18^{\circ }-48,65^{\circ }=24,17^{\circ }$. Acesta stă în fața laturii celei mai scurte, cum trebuie.

4. Care este drumul pentru două laturi și unghiul dintre ele?

Fie $b=9$, $c=4$ și unghiul cuprins între ele $A=\frac{\pi }{3}$. Latura lipsă este chiar cea din fața unghiului dat, deci teorema cosinusului o dă direct:

$$a^2=9^2+4^2-2\cdot 9\cdot 4\cdot \frac{1}{2}=81+16-36=61,a=\sqrt{61}\approx 7,81.$$

Din acest moment cunoști toate laturile și continui exact ca în cazul LLL. Unghiul din fața laturii celei mai lungi, $b=9$, are cosinusul $\frac{61+16-81}{2\cdot \sqrt{61}\cdot 4}=-\frac{4}{8\sqrt{61}}$, un număr negativ: unghiul $B$ este obtuz, de aproximativ $93,67^{\circ }$. Rămâne $C\approx 180^{\circ }-60^{\circ }-93,67^{\circ }=26,33^{\circ }$.

Cazul LUL nu cere o verificare a existenței: orice două lungimi pozitive și orice unghi strict între $0$ și $\pi$ dau un singur triunghi, exact cum spune criteriul de congruență LUL.

5. De ce continui cu cosinusul și nu cu sinusul?

După ce ai trei laturi, ai putea afla un unghi și din teorema sinusurilor. Numai că sinusul nu deosebește un unghi de suplementul lui: $\sin 50^{\circ }$ și $\sin 130^{\circ }$ au aceeași valoare, aproximativ $0,7660$, iar un calculator îți întoarce numai unghiul ascuțit. Cosinusul, în schimb, este strict descrescător pe $[0,\pi ]$, cum ai văzut pe graficele funcțiilor sinus și cosinus la M2: fiecărei valori îi corespunde un singur unghi al triunghiului, iar semnul ei spune imediat dacă unghiul este ascuțit sau obtuz.

În triunghiul din §4 diferența se vede: sinusul ar fi indicat pentru $B$ un unghi de aproximativ $86,33^{\circ }$, adică suplementul valorii corecte. Regula lecției: cu toate laturile cunoscute, fiecare unghi se află prin cosinusul lui.

6. Cum rezolvi triunghiul când vârfurile sunt date în reper?

Fie $A(0,0)$, $B(9,3)$ și $C(2,6)$. Nu ai nevoie de radicali ca să începi: formula distanței la M2 îți dă direct pătratele laturilor,

$$A{B}^2=81+9=90,A{C}^2=4+36=40,B{C}^2=49+9=58.$$

Numărătorul fiecărui cosinus se scrie numai cu pătrate, deci rămâne un număr întreg. Pentru unghiul $A$, cuprins între $AB$ și $AC$: $\cos A=\frac{90+40-58}{2\sqrt{90\cdot 40}}=\frac{72}{2\cdot 60}=\frac{3}{5}$, deci $A\approx 53,13^{\circ }$. La fel afli $\cos B$ și $\cos C$. Radicalul apare abia la numitor, iar produsul $90\cdot 40=3600$ este chiar un pătrat perfect. Vârfurile date în reper nu schimbă metoda, ci doar felul în care obții laturile. Avantajul este că toate datele rămân exacte până la ultimul pas, iar rotunjirea apare o singură dată, la citirea unghiului. Dacă ai lucra cu laturile aproximate, $9,49$, $6,32$ și $7,62$, fiecare cosinus ar purta deja o mică eroare.

7. Cum îți controlezi rezultatul?

Trei verificări scurte prind aproape orice greșeală de calcul.

• Ordinea. Latura cea mai lungă stă în fața unghiului celui mai mare, iar cea mai scurtă în fața celui mai mic.
• Natura. Dacă pătratul laturii celei mai lungi depășește suma pătratelor celorlalte două, unghiul din fața ei trebuie să iasă obtuz; dacă nu, trebuie să iasă ascuțit.
• Suma, dar calculată independent. Dacă al treilea unghi l-ai obținut scăzând din $180^{\circ }$, suma iese $180^{\circ }$ oricum, deci nu mai controlează nimic. Controlul are sens doar când afli și al treilea unghi prin cosinusul lui; atunci o abatere de câteva sutimi de grad vine din rotunjiri.

Programa permite valorile trigonometrice din tabele sau de la un instrument digital. Unghiurile se scriu rotunjite la sutimi de grad, iar cosinusul se păstrează până la final ca fracție sau cu cel puțin patru zecimale.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Trei laturi, cu un unghi obtuz

Rezolvați triunghiul cu laturile $8$, $13$ și $18$.

Rezolvare. Existența: $8+13=21>18$. Unghiul din fața laturii de $18$:

$$\cos =\frac{64+169-324}{2\cdot 8\cdot 13}=\frac{-91}{208}=-\frac{7}{16}\Rightarrow \text{unghiul}\approx 115,94^{\circ }.$$

Unghiul din fața laturii de $13$: $\cos =\frac{64+324-169}{2\cdot 8\cdot 18}=\frac{219}{288}=\frac{73}{96}\approx 0,7604$, deci aproximativ $40,50^{\circ }$. Pentru control independent, și unghiul din fața laturii de $8$ se află prin cosinus: $\frac{169+324-64}{2\cdot 13\cdot 18}=\frac{429}{468}=\frac{11}{12}$, deci aproximativ $23,56^{\circ }$.

Suma: $115,94^{\circ }+40,50^{\circ }+23,56^{\circ }=180^{\circ }$. Ordinea laturilor $8<13<18$ se potrivește cu ordinea unghiurilor. Triunghiul este obtuzunghic.

Exemplul 2 — Găsește greșeala

În triunghiul $ABC$ se cunosc $b=13$, $c=6$ și $A=\frac{\pi }{3}$. Un elev află $a=\sqrt{127}\approx 11,27$, apoi scrie „$\sin B=\frac{13\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{127}}\approx 0,9990$, deci $B\approx 87,46^{\circ }$ și $C\approx 32,54^{\circ }$”. Unde greșește?

Rezolvare. Latura $a$ este corectă: $169+36-2\cdot 13\cdot 6\cdot \frac{1}{2}=205-78=127$. Greșeala apare la pasul următor: valoarea $0,9990$ a sinusului corespunde și unghiului ascuțit, și suplementului lui, iar elevul l-a ales pe cel oferit de calculator.

Cosinusul decide: $\cos B=\frac{127+36-169}{2\cdot \sqrt{127}\cdot 6}=-\frac{6}{12\sqrt{127}}\approx -0,0444<0$. Unghiul $B$ este obtuz, $B\approx 92,54^{\circ }$, iar $C\approx 180^{\circ }-60^{\circ }-92,54^{\circ }=27,46^{\circ }$.

De ce nu a observat elevul? Controlul ordinii a trecut, fiindcă $87,46^{\circ }$ era tot unghiul cel mai mare. L-ar fi oprit controlul naturii: $b^2=169$ depășește $a^2+c^2=127+36=163$, deci unghiul din fața lui $b$ nu putea fi ascuțit.

Exemplul 3 — Vârfuri date în reper

Rezolvați triunghiul cu vârfurile $A(0,0)$, $B(8,0)$ și $C(-2,4)$.

Rezolvare. Pătratele laturilor: $A{B}^2=64$, $A{C}^2=4+16=20$, $B{C}^2=100+16=116$. Cea mai lungă este $BC$, iar $116>64+20$, deci unghiul $A$ din fața ei este obtuz.

$$\cos A=\frac{64+20-116}{2\cdot 8\cdot \sqrt{20}}=\frac{-32}{16\sqrt{20}}=-\frac{1}{\sqrt{5}}\approx -0,4472\Rightarrow A\approx 116,57^{\circ }.$$

Apoi $\cos B=\frac{64+116-20}{2\cdot 8\cdot \sqrt{116}}=\frac{160}{16\sqrt{116}}=\frac{5}{\sqrt{29}}\approx 0,9285$, deci $B\approx 21,80^{\circ }$, iar $\cos C=\frac{20+116-64}{2\sqrt{20\cdot 116}}=\frac{9}{\sqrt{145}}\approx 0,7474$, deci $C\approx 41,63^{\circ }$. Suma celor trei valori aflate independent este $180^{\circ }$. Laturile: $AB=8$, $AC=2\sqrt{5}\approx 4,47$, $BC=2\sqrt{29}\approx 10,77$.

Exemplul 4 — Stativul cu braț articulat

Brațul articulat al unui stativ de laborator are baza în $A$, încheietura în $B$ și capul cu camera în $C$. Segmentele au $AB=30$ cm și $BC=24$ cm, iar încheietura este deschisă la $m(\angle B)=115^{\circ }$. Aflați distanța $AC$ și unghiurile din $A$ și din $C$. Folosiți $\cos 65^{\circ }\approx 0,4226$.

Rezolvare. Unghiul $B$ este cuprins între laturile cunoscute: caz LUL. Cum $\cos 115^{\circ }=-\cos 65^{\circ }\approx -0,4226$,

$$900+576+1440\cdot 0,4226=2084,544,AC\approx 45,66\text{cm}.$$

Unghiul din $A$ stă în fața lui $BC=24$: cosinusul lui este $\frac{900+2084,544-576}{2\cdot 30\cdot 45,66}=\frac{2408,544}{2739,6}\approx 0,8792$, deci unghiul are aproximativ $28,45^{\circ }$. Unghiul din $C$ are $180^{\circ }-115^{\circ }-28,45^{\circ }=36,55^{\circ }$ și este în fața laturii $AB=30$, mai lungă decât $BC$, deci iese mai mare decât cel din $A$, cum trebuie.

Proiectantul citește de aici că, deschis la $115^{\circ }$, brațul ajunge la aproximativ $45,66$ cm de bază, cu $8,34$ cm mai puțin decât ar ajunge cu brațul întins complet ($54$ cm). Modelul tratează segmentele ca rigide și articulațiile ca puncte.

Exemplul 5 — Date măsurate care nu se potrivesc

În laboratorul de fizică s-au măsurat, la milimetru, laturile unui cadru triunghiular de sârmă: $15$ cm, $20$ cm și $24$ cm, apoi, cu raportorul, unghiul dintre primele două: $87^{\circ }$. Raportorul are o eroare de cel mult $1^{\circ }$. Sunt datele compatibile?

Rezolvare. Patru date pentru un triunghi înseamnă una în plus. Trei laturi fixează deja triunghiul, deci unghiul dintre laturile de $15$ și $20$, aflat în fața laturii de $24$, se poate calcula:

$$\cos =\frac{225+400-576}{2\cdot 15\cdot 20}=\frac{49}{600}\approx 0,0817\Rightarrow \text{unghiul}\approx 85,32^{\circ }.$$

Diferența față de $87^{\circ }$ este de aproximativ $1,7^{\circ }$. Și laturile au o eroare, de cel mult o jumătate de milimetru fiecare: refăcând calculul cu fiecare latură mărită sau micșorată cu $0,05$ cm, unghiul calculat se mută cu cel mult aproximativ $0,54^{\circ }$. Împreună cu raportorul, măsurătorile explică o abatere de cel mult aproximativ $1,54^{\circ }$, mai mică decât diferența găsită. Datele nu sunt compatibile: fie o latură a fost măsurată greșit, fie unghiul a fost citit greșit. Nu „alegi” una dintre variante; repeți măsurătorile. Dacă măsurarea laturilor este mai sigură decât cea a unghiului, păstrezi unghiul calculat.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=7$, $AC=12$ și $\cos A=\frac{2}{3}$. Arătați că $BC=9$ și că unghiul $B$ este obtuz.

Rezolvare. Unghiul $A$ este cuprins între laturile date, deci teorema cosinusului dă

$$B{C}^2=49+144-2\cdot 7\cdot 12\cdot \frac{2}{3}=193-112=81,BC=9.$$

Pentru unghiul $B$, cuprins între $AB$ și $BC$, cu latura $AC$ în față:

$$\cos B=\frac{B{C}^2+A{B}^2-A{C}^2}{2\cdot BC\cdot AB}=\frac{81+49-144}{126}=-\frac{14}{126}=-\frac{1}{9}<0,$$

deci $B$ este obtuz. Pentru rezolvarea completă, $\cos C=\frac{81+144-49}{2\cdot 9\cdot 12}=\frac{176}{216}=\frac{22}{27}$. Cu un instrument digital: $A\approx 48,19^{\circ }$, $B\approx 96,38^{\circ }$, $C\approx 35,43^{\circ }$. Enunțul este construit de noi în stilul Subiectului I, nu preluat dintr-un subiect oficial.

Să exersăm

Numește cazul înainte de primul calcul. Unghiurile se dau rotunjite la sutimi de grad, iar la final faci controlul ordinii și al naturii.

1. Rezolvă triunghiul cu laturile $9$, $12$ și $14$.

2. Rezolvă triunghiul cu laturile $6$, $13$ și $16$.

3. Pentru fiecare set de date spune dacă este de tip LLL, de tip LUL sau de alt tip: a) laturile $7$, $9$, $13$; b) două laturi de $5$ și $7$ cu unghiul de $40^{\circ }$ dintre ele; c) o latură de $7$ și unghiurile de $52^{\circ }$ și $61^{\circ }$ de la capetele ei; d) două laturi de $8$ și $5$ și unghiul de $70^{\circ }$ din fața laturii de $8$.

4. În triunghiul $ABC$, $b=8\sqrt{2}$, $c=7$ și $A=\frac{3\pi }{4}$. Rezolvă triunghiul.

5. În triunghiul $ABC$, $b=80$, $c=19$ și $A=\frac{2\pi }{3}$. Află $a$, apoi unghiurile $B$ și $C$.

6. În triunghiul $ABC$, $b=14$, $c=9$ și $m(\angle A)=38^{\circ }$. Rezolvă triunghiul, folosind $\cos 38^{\circ }\approx 0,7880$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă rotunjești la grad cele trei unghiuri ale triunghiului cu laturile $9$, $11$ și $15$, suma lor este $180^{\circ }$.”

8. Rezolvă triunghiul cu vârfurile $A(-1,0)$, $B(6,1)$ și $C(1,4)$.

9. Un triunghi are două laturi de $10$ și baza de $7$. Rezolvă-l calculând un singur cosinus.

10. În triunghiul $ABC$, $b=4\sqrt{2}$, $c=11$ și $A=\frac{\pi }{4}$. Rezolvă triunghiul și precizează unghiul obtuz.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=3$, $AC=12$ și $BC=11$. Arătați că $\cos A=\frac{4}{9}$ și calculați $\cos B$.

12. (Problemă aplicată.) Peretele frontal al unui cort are forma unui triunghi cu laturile înclinate de $1,9$ m și $2,3$ m și baza de $3$ m. Calculează unghiurile de la bază și unghiul din vârful cortului. Este acesta drept?

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=11$, $AC=11\sqrt{2}$ și $A=\frac{\pi }{4}$. Arătați că triunghiul $ABC$ este dreptunghic isoscel.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,0)$, $B(7,1)$ și $C(12,16)$. Arătați că $m(\angle BAC)=\frac{\pi }{4}$ și calculați $\cos B$.

15. În triunghiul $ABC$, $b=2$, $c=9$ și $A=\frac{2\pi }{3}$. Calculează $a$ și unghiurile $B$ și $C$.

16. Laturile unui triunghi au fost măsurate: $4,2$ m, $5,6$ m și $7,9$ m. Calculează toate cele trei unghiuri prin cosinus, rotunjite la zecimi de grad, și verifică suma.

17. Laturile triunghiului $ABC$ verifică $b=3c$ și $a=c\sqrt{13}$. Află unghiul $A$, apoi unghiurile $B$ și $C$.

18. (Provocare.) Laturile unui triunghi verifică $a^2+b^2=2c^2$. Arată că $m(\angle C)\le \frac{\pi }{3}$ și precizează când are loc egalitatea.

Răspunsuri și explicații

1. Existența: $9+12=21>14$. Unghiul din fața laturii de $14$: $\cos =\frac{81+144-196}{2\cdot 9\cdot 12}=\frac{29}{216}\approx 0,1343$, deci $\approx 82,28^{\circ }$. Unghiul din fața laturii de $12$: $\cos =\frac{81+196-144}{2\cdot 9\cdot 14}=\frac{133}{252}\approx 0,5278$, deci $\approx 58,14^{\circ }$. Al treilea: $180^{\circ }-82,28^{\circ }-58,14^{\circ }=39,58^{\circ }$ (calculat prin cosinus, $\approx 39,57^{\circ }$; diferența vine din rotunjiri). Triunghiul este ascuțitunghic.

2. Existența: $6+13=19>16$. Unghiul din fața laturii de $16$: $\cos =\frac{36+169-256}{2\cdot 6\cdot 13}=-\frac{51}{156}=-\frac{17}{52}$, deci $\approx 109,08^{\circ }$, obtuz. Unghiul din fața laturii de $13$: $\cos =\frac{36+256-169}{2\cdot 6\cdot 16}=\frac{123}{192}=\frac{41}{64}$, deci $\approx 50,16^{\circ }$. Al treilea: $\approx 20,76^{\circ }$, în fața laturii de $6$.

3. a) LLL (și există, fiindcă $7+9>13$). b) LUL. c) Nu e nici LLL, nici LUL: sunt două unghiuri și latura dintre ele, cazul ULU; al treilea unghi iese din sumă, apoi laturile se află cu teorema sinusurilor, în lecția următoare. d) Unghiul este în fața unei laturi cunoscute, deci e cazul LLU, cu discuția numărului de soluții din lecția următoare.

4. Cum $\cos \frac{3\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $a^2=128+49+2\cdot 8\sqrt{2}\cdot 7\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=177+112=289$, deci $a=17$. Unghiul $B$, în fața lui $b$: $\cos B=\frac{289+49-128}{2\cdot 17\cdot 7}=\frac{210}{238}=\frac{15}{17}$, deci $B\approx 28,07^{\circ }$. Unghiul $C$: $\cos C=\frac{289+128-49}{2\cdot 17\cdot 8\sqrt{2}}\approx 0,9567$, deci $C\approx 16,93^{\circ }$. Suma: $135^{\circ }+28,07^{\circ }+16,93^{\circ }=180^{\circ }$.

5. $a^2=6400+361+80\cdot 19=8281$, deci $a=91$. Unghiul din fața lui $c=19$: $\cos C=\frac{8281+6400-361}{2\cdot 91\cdot 80}=\frac{14320}{14560}=\frac{179}{182}$, deci $C\approx 10,42^{\circ }$. Unghiul din fața lui $b=80$: $\cos B=\frac{8281+361-6400}{2\cdot 91\cdot 19}=\frac{2242}{3458}=\frac{59}{91}$, deci $B\approx 49,58^{\circ }$. Suma: $120^{\circ }+49,58^{\circ }+10,42^{\circ }=180^{\circ }$.

6. Pentru $a^2$ calculezi $196+81-2\cdot 14\cdot 9\cdot 0,7880=277-198,576=78,424$, deci $a\approx 8,86$. Unghiul din fața lui $b=14$, cea mai lungă latură, are cosinusul $\frac{78,424+81-196}{2\cdot 8,86\cdot 9}\approx -0,229$, deci $B\approx 103,27^{\circ }$, obtuz. Rămâne $C\approx 180^{\circ }-38^{\circ }-103,27^{\circ }=38,73^{\circ }$. Cu sinusul ai fi obținut pentru $B$ unghiul ascuțit, greșit.

7. Fals. Unghiul din fața laturii de $15$: $\cos =\frac{81+121-225}{198}=-\frac{23}{198}$, deci $\approx 96,67^{\circ }$. Din fața laturii de $11$: $\cos =\frac{81+225-121}{270}=\frac{185}{270}=\frac{37}{54}$, deci $\approx 46,75^{\circ }$. Din fața laturii de $9$: $\cos =\frac{121+225-81}{330}=\frac{265}{330}=\frac{53}{66}$, deci $\approx 36,58^{\circ }$. Rotunjite la grad: $97^{\circ }+47^{\circ }+37^{\circ }=181^{\circ }$. Suma exactă este $180^{\circ }$; abaterea vine doar din rotunjire.

8. $A{B}^2=49+1=50$, $A{C}^2=4+16=20$, $B{C}^2=25+9=34$. Cea mai lungă este $AB$, iar $50<20+34$, deci triunghiul este ascuțitunghic. $\cos A=\frac{50+20-34}{2\sqrt{50\cdot 20}}=\frac{36}{2\sqrt{1000}}\approx 0,5692$, deci $A\approx 55,30^{\circ }$; $\cos B=\frac{50+34-20}{2\sqrt{50\cdot 34}}=\frac{64}{2\sqrt{1700}}\approx 0,7761$, deci $B\approx 39,09^{\circ }$; $\cos C=\frac{20+34-50}{2\sqrt{20\cdot 34}}=\frac{4}{2\sqrt{680}}\approx 0,0767$, deci $C\approx 85,60^{\circ }$. Suma: $180^{\circ }$ (cu $0,01^{\circ }$ din rotunjiri).

9. Triunghiul este isoscel, deci unghiurile de la bază sunt egale. Unghiul de la bază are cosinusul $\frac{100+49-100}{2\cdot 10\cdot 7}=\frac{49}{140}=\frac{7}{20}$, deci fiecare are $\approx 69,51^{\circ }$. Unghiul din vârf: $180^{\circ }-2\cdot 69,51^{\circ }=40,98^{\circ }$.

10. $a^2=32+121-2\cdot 4\sqrt{2}\cdot 11\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=153-88=65$, deci $a=\sqrt{65}\approx 8,06$. Latura cea mai lungă este $c=11$, iar $121>65+32$, deci unghiul $C$ este obtuz: $\cos C=\frac{65+32-121}{2\cdot \sqrt{65}\cdot 4\sqrt{2}}=-\frac{3}{\sqrt{130}}\approx -0,2631$, deci $C\approx 105,26^{\circ }$. Pentru $B$: $\cos B=\frac{65+121-32}{2\cdot \sqrt{65}\cdot 11}=\frac{7}{\sqrt{65}}\approx 0,8682$, deci $B\approx 29,74^{\circ }$. Suma: $45^{\circ }+105,26^{\circ }+29,74^{\circ }=180^{\circ }$. Obtuz este unghiul din fața unei laturi date, nu cel din fața laturii calculate.

11. Unghiul $A$ este cuprins între $AB$ și $AC$, cu $BC$ în față: $\cos A=\frac{9+144-121}{2\cdot 3\cdot 12}=\frac{32}{72}=\frac{4}{9}$. Pentru $B$, cu $AC$ în față: $\cos B=\frac{121+9-144}{2\cdot 11\cdot 3}=-\frac{14}{66}=-\frac{7}{33}$. Cosinusul negativ arată că unghiul $B$ este obtuz; se vede și din $144>9+121$.

12. Unghiul din vârf stă în fața bazei: $\cos =\frac{3,61+5,29-9}{2\cdot 1,9\cdot 2,3}=\frac{-0,1}{8,74}\approx -0,0114$, deci $\approx 90,66^{\circ }$: nu este drept, ci foarte puțin obtuz. Unghiul de la bază din fața laturii de $2,3$ m: $\cos =\frac{9+3,61-5,29}{2\cdot 3\cdot 1,9}=\frac{7,32}{11,4}\approx 0,6421$, deci $\approx 50,05^{\circ }$. Celălalt: $\approx 39,29^{\circ }$. Diferența de $0,66^{\circ }$ față de un unghi drept nu se vede cu ochiul, dar calculul o arată.

13. $B{C}^2=121+242-2\cdot 11\cdot 11\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=363-242=121$, deci $BC=11=AB$: triunghiul este isoscel, cu $C=A=\frac{\pi }{4}$. Rămâne $B=\pi -\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$. Control: $A{B}^2+B{C}^2=242=A{C}^2$, deci unghiul $B$ este drept, iar $AC$ este ipotenuza.

14. $A{B}^2=49+1=50$, $A{C}^2=144+256=400$, $B{C}^2=25+225=250$. Atunci $\cos A=\frac{50+400-250}{2\cdot \sqrt{50}\cdot 20}=\frac{200}{40\sqrt{50}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $m(\angle BAC)=\frac{\pi }{4}$. Pentru $B$: $\cos B=\frac{50+250-400}{2\sqrt{50\cdot 250}}=\frac{-100}{2\sqrt{12500}}=-\frac{1}{\sqrt{5}}$, deci unghiul $B$ este obtuz.

15. $a^2=4+81-2\cdot 2\cdot 9\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=85+18=103$, deci $a=\sqrt{103}\approx 10,15$. $\cos B=\frac{103+81-4}{2\cdot \sqrt{103}\cdot 9}=\frac{10}{\sqrt{103}}\approx 0,9853$, deci $B\approx 9,83^{\circ }$; $\cos C=\frac{103+4-81}{2\cdot \sqrt{103}\cdot 2}=\frac{13}{2\sqrt{103}}\approx 0,6405$, deci $C\approx 50,17^{\circ }$. Suma: $120^{\circ }+9,83^{\circ }+50,17^{\circ }=180^{\circ }$. Unghiul $B$ iese foarte mic, fiindcă latura $b$ din fața lui este mult mai scurtă decât celelalte două.

16. Unghiul din fața laturii de $7,9$ m: $\cos =\frac{31,36+17,64-62,41}{2\cdot 5,6\cdot 4,2}=\frac{-13,41}{47,04}\approx -0,2851$, deci $\approx 106,6^{\circ }$. Din fața laturii de $5,6$ m: $\cos =\frac{62,41+17,64-31,36}{2\cdot 7,9\cdot 4,2}=\frac{48,69}{66,36}\approx 0,7337$, deci $\approx 42,8^{\circ }$. Din fața laturii de $4,2$ m: $\cos =\frac{62,41+31,36-17,64}{2\cdot 7,9\cdot 5,6}=\frac{76,13}{88,48}\approx 0,8604$, deci $\approx 30,6^{\circ }$. Suma, $106,6^{\circ }+42,8^{\circ }+30,6^{\circ }=180^{\circ }$, confirmă calculul.

17. $\cos A=\frac{9c^2+c^2-13c^2}{2\cdot 3c\cdot c}=\frac{-3c^2}{6c^2}=-\frac{1}{2}$, deci $A=\frac{2\pi }{3}$, iar $a$ este latura cea mai lungă. Apoi $\cos B=\frac{13c^2+c^2-9c^2}{2\cdot c\sqrt{13}\cdot c}=\frac{5}{2\sqrt{13}}\approx 0,6934$, deci $B\approx 46,10^{\circ }$, și $\cos C=\frac{13c^2+9c^2-c^2}{2\cdot c\sqrt{13}\cdot 3c}=\frac{7}{2\sqrt{13}}\approx 0,9707$, deci $C\approx 13,90^{\circ }$. Suma: $120^{\circ }+46,10^{\circ }+13,90^{\circ }=180^{\circ }$. Rezultatul nu depinde de $c$: datele fixează forma triunghiului, nu mărimea lui.

18. Cu teorema cosinusului, $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{2c^2-c^2}{2ab}=\frac{c^2}{2ab}$. Din $(a-b{)}^2\ge 0$ rezultă $2ab\le a^2+b^2=2c^2$, deci $\cos C\ge \frac{c^2}{2c^2}=\frac{1}{2}$. Cosinusul este strict descrescător pe $[0,\pi ]$, așa că $C\le \frac{\pi }{3}$. Egalitatea cere $a=b$; atunci $2a^2=2c^2$, deci $a=b=c$: triunghiul este echilateral.

De reținut

• Un triunghi rezolvat are cunoscute toate cele trei laturi și toate cele trei unghiuri; datele de pornire conțin măcar o lungime.
• Triajul: dacă printre date e o latură cu unghiul din fața ei, cazul e al lecției următoare; trei laturi (LLL) sau două laturi cu unghiul cuprins (LUL) se rezolvă cu teorema cosinusului.
• LLL: verifici existența, afli întâi cosinusul unghiului din fața laturii celei mai lungi, apoi încă un unghi; LUL: afli a treia latură și continui ca la LLL.
• Cu toate laturile cunoscute, unghiurile se află prin cosinus: semnul lui arată dacă unghiul e obtuz, pe când sinusul nu deosebește un unghi de suplementul lui.
• Controlezi ordinea laturilor și a unghiurilor, natura triunghiului și suma unghiurilor calculate independent; datele în plus trebuie să se potrivească cu cele deja suficiente.

Greșeli frecvente

• Rezolvarea lăsată la jumătate. În cazul LUL elevul află a treia latură și se oprește. Cerința „rezolvă triunghiul” înseamnă toate cele șase elemente, deci mai urmează două unghiuri.
• Suplementul luat de două ori. Spre deosebire de tabel, un instrument digital care află unghiul din cosinus îl întoarce direct pe cel obtuz: pentru un cosinus de $-0,15$ afișează aproximativ $98,63^{\circ }$. Elevul obișnuit cu tabelul mai scade o dată din $180^{\circ }$ și scrie $81,37^{\circ }$, un unghi ascuțit, deși semnul cosinusului arăta un unghi obtuz.
• Cosinusul negativ citit direct din tabel. Tabelele dau unghiuri ascuțite. Pentru un cosinus de $-0,2588$ unghiul nu este cel găsit în tabel pentru $0,2588$, adică $75^{\circ }$, ci suplementul acestuia, $105^{\circ }$.
• Suma de $180^{\circ }$ luată drept dovadă. Dacă al treilea unghi s-a obținut scăzând din $180^{\circ }$, suma iese corectă chiar și după o greșeală la primele două unghiuri. Controlul real este un al treilea cosinus sau ordinea și natura.
• Datele măsurate folosite toate, fără verificare. Când enunțul dă trei laturi și un unghi, elevul calculează cu unghiul dat și ignoră laturile, sau invers. Mai întâi se verifică dacă datele se potrivesc între ele.

Aplică acasă

1. Triunghiul construit cu cercuri. Într-un program de geometrie dinamică, trasează un segment $AB$ de $8$ unități, cercul de centru $A$ și rază $5$ și cercul de centru $B$ și rază $6$. Unul dintre punctele lor de intersecție este vârful $C$. Măsoară unghiurile cu instrumentul programului și compară-le cu valorile obținute prin cosinus.
2. Triunghiul din spatele bicicletei. Cadrul unei biciclete are în spate un triunghi: tubul de sub șa, bara de jos dintre pedalier și axul roții din spate și bara care urcă de la acest ax spre șa. Măsoară cu ruleta cele trei bare și rezolvă triunghiul (LLL). Fotografiază apoi bicicleta exact din lateral și măsoară pe fotografie, cu raportorul, unghiul din dreptul pedalierului. Compară cele două valori și explică de unde vine diferența.
3. Schema logică a triajului. Desenează o schemă cu întrebări de tip da/nu care pornește de la datele unui triunghi și ajunge la „LLL”, „LUL”, „lecția următoare” sau „date insuficiente”. Încearc-o pe cinci enunțuri din culegere și notează unde a fost nevoie de o întrebare în plus.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă trei teoreme deja învățate într-un procedeu complet. Cel mai important de format este gestul de dinaintea calculului: elevul citește datele, le așază pe contur și numește cazul. Al doilea gest este controlul la final, iar lecția insistă pe faptul că suma unghiurilor nu controlează nimic dacă al treilea unghi a fost obținut din ea. La științe ale naturii am adăugat două situații care apar des în laborator: vârfurile date prin coordonate, unde pătratele distanțelor păstrează calculul exact, și datele măsurate în exces, unde elevul trebuie să verifice compatibilitatea înainte de a folosi toate numerele. Întrebări bune de control: „Ce caz este și de ce?”; „Care unghi îl calculezi primul?”; „De ce nu folosești sinusul pentru al doilea unghi?”; „Ce îți arată că al treilea unghi e corect?”. Un elev care a înțeles începe cu triajul, calculează fiecare unghi prin cosinus și își verifică singur rezultatul.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030, unde „Rezolvarea triunghiurilor oarecare” este scrisă explicit în unitatea IX.7, iar valorile funcțiilor trigonometrice se pot lua din tabele sau cu mijloace digitale. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 (programa din anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) conține „teorema sinusurilor, rezolvarea triunghiurilor oarecare”. Modelul oficial publicat pentru 2026 are la Subiectul I, cerința 6, un triunghi dreptunghic; exercițiile marcate aici sunt antrenament pe tema din programă, construite în stilul Subiectului I.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: rezolvarea triunghiului în cazurile LLL și LUL are alt parcurs și alte exerciții. Pe traseul M2 vii din teorema sinusurilor și raza cercului circumscris la M2 și continui cu rezolvarea triunghiului în cazurile ULU și LLU la M2. Exercițiile de sinteză ale unității sunt în testul M2 de trigonometrie și aplicații în geometrie.

Întrebări frecvente

Ce este diferit la rezolvarea triunghiului în varianta M2 față de M1?

La științe ale naturii tema se învață în clasa a IX-a, imediat după teoremele cosinusului și sinusurilor, iar valorile se pot lua din tabele sau de la un instrument digital. Lecția M2 lucrează în plus cu vârfuri date în reper, cu date măsurate care trebuie verificate și cu modele din laborator, ca stativul cu braț articulat.

La ce subiect al bacalaureatului M2 apare rezolvarea triunghiului?

Programa de examen pentru 2027–2029 conține rezolvarea triunghiurilor oarecare. În modelul oficial publicat pentru 2026, geometria triunghiului apare la Subiectul I, cerința 6, pe un triunghi dreptunghic. Exercițiile noastre marcate folosesc triunghiuri oarecare, construite în același stil scurt, cu una sau două cerințe legate între ele.

Cum rezolv un triunghi dacă îmi dau coordonatele vârfurilor?

Calculezi pătratele laturilor cu formula distanței, fără să extragi radicali. Numărătorii cosinusurilor se scriu numai cu aceste pătrate, deci rămân numere întregi. Radicalul apare doar la numitor, iar de multe ori produsul de sub el este un pătrat perfect, ca în exemplul cu $90\cdot 40=3600$.

Ce fac dacă problema îmi dă mai multe date decât sunt necesare?

Alegi trei date suficiente, rezolvi triunghiul și compari rezultatul cu data rămasă. Dacă diferența depășește precizia instrumentului, datele nu sunt compatibile și trebuie refăcută o măsurătoare. Nu calculezi o medie între variante și nu păstrezi numărul care îți convine; notezi ce dată pare greșită și de ce.

De ce încep cu unghiul din fața laturii celei mai lungi?

Pentru că numai el poate fi obtuz. Dacă îi afli cosinusul primul, știi din semn natura triunghiului, iar celelalte două unghiuri sunt sigur ascuțite. Așa nu mai ai nicio surpriză la final și poți folosi ordinea laturilor ca verificare pentru restul calculului.

Pot verifica rezolvarea cu un program de geometrie?

Da. Construiești triunghiul din datele problemei, de exemplu cu două cercuri pentru trei laturi, și citești unghiurile cu instrumentul de măsurare al programului. Valorile afișate se compară cu ale tale, rotunjite la aceleași zecimale. Programul confirmă calculul, dar nu îl înlocuiește.