Rezolvarea triunghiului: LLL și LUL: pe scurt

A rezolva un triunghi înseamnă a-i determina toate cele șase elemente: trei laturi și trei unghiuri, pornind de la câteva dintre ele (printre care trebuie să existe cel puțin o latură). În funcție de datele primite, situația se numește LLL, LUL, ULU, LUU sau LLU.

Această lecție tratează cele două cazuri în care unealta principală este teorema cosinusului: LLL (trei laturi) și LUL (două laturi și unghiul dintre ele).

La LLL, afli întâi unghiul cel mai mare (opus celei mai mari laturi), cu $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$, apoi încă un unghi la fel, iar al treilea din suma de $180^{\circ }$. La LUL, afli întâi a treia latură cu $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, apoi continui exact ca la LLL, cu toate laturile cunoscute.

Triajul corect: dacă printre date există o latură împreună cu unghiul opus ei, pornești cu teorema sinusurilor (vezi lecția următoare); altfel, cu teorema cosinusului. Cele două controale obligatorii la finalul oricărei rezolvări: suma unghiurilor este $180^{\circ }$ (cu mică abatere din rotunjiri), iar cea mai mare latură se opune celui mai mare unghi. Ambele soluții — LLL și LUL — există și sunt unice, dacă datele respectă inegalitatea triunghiului.

Exerciții din această mini-lecție

1. Cazul LUL înseamnă:

   • a) două laturi și unghiul dintre ele
   • b) o latură și două unghiuri
   • c) două laturi și un unghi nealăturat
   • d) trei laturi cunoscute
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) două laturi și unghiul dintre ele

   LUL = Latură, Unghi, Latură: cele două laturi cunoscute încadrează unghiul dat.

2. Pentru cazul LLL, prima unealtă folosită este:

   • a) teorema sinusurilor
   • b) teorema cosinusului
   • c) formula lui Heron
   • d) teorema lui Pitagora directă
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) teorema cosinusului

   Cu toate laturile cunoscute și niciun unghi, singura cale de pornire este teorema cosinusului, scrisă cu cosinusul izolat.

3. La rezolvarea LUL cu unghiul dintre laturi de $120^{\circ }$, formula teoremei cosinusului devine $a^2=b^2+c^2+bc$, pentru că:

   • a) unghiul obtuz anulează termenul
   • b) formula se schimbă la unghiuri obtuze
   • c) $-2bc\cos 120^{\circ }=-2bc\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=+bc$
   • d) $\cos 120^{\circ }$ este pozitiv
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $-2bc\cos 120^{\circ }=-2bc\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=+bc$

   Cosinusul lui $120^{\circ }$ este $-\frac{1}{2}$, iar dublul minus din formulă face ca termenul final să fie $+bc$.