Cu ce este egal restul împărțirii polinomului $$f$$ la $$X-a$$?

coeficientul dominant al lui $$f$$

Ce rest dă 2X⁴-3X²+X-5 la împărțirea cu X-1?

În rândul de sus scrii toți coeficienții, cu zero pentru X³: 2, 0, -3, 1, -5. Cu a=1 obții 2, 2, -1, 0, -5, deci câtul este 2X³+2X²-X, iar restul -5. Verificare: f(1)=2-3+1-5=-5.

Cum aflu restul împărțirii la X − a?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Schema lui Horner

Restul împărțirii unui polinom $f$ la $X - a$ este numărul $f (a)$ , deci îl afli printr-o singură înlocuire. Pentru $f = 2 X^{3} - X^{2} + 4$ și $X - 2$ : $f (2) = 16 - 4 + 4 = 16$ . Schema lui Horner confirmă și dă și câtul: coeficienții $2, - 1, 0, 4$ produc șirul $2, 3, 6, 16$ , deci câtul este $2 X^{2} + 3 X + 6$ , iar restul $16$ . Cele două drumuri trebuie să dea același număr.

Un singur rând de numere ține loc de toată împărțirea la $X - a$ : asta face schema lui Horner. Prima celulă se copiază din polinom, iar fiecare celulă următoare iese înmulțind cu $a$ vecina din stânga și adăugând coeficientul scris deasupra. Nu ai de memorat nimic — regula se vede identificând coeficienții în egalitatea $f = (X - a) q + r$ .

Ultima celulă este restul, iar restul coincide cu $f (a)$ : fiind o constantă, el rămâne singur atunci când $X$ ia valoarea $a$ și primul termen se anulează. Ai astfel un control de zece secunde pentru orice tabel — calculezi $f (a)$ separat și îl pui lângă celula din dreapta.

Rândul de sus primește toți coeficienții, în ordine descrescătoare, cu zerouri pe rangurile absente: exact $grad f + 1$ numere. Când împărțitorul apare sub forma $X + c$ , în schemă intră $a = - c$ , nu $c$ .

Dacă restul iese zero, împărțirea a fost exactă, deci $f = (X - a) q$ , iar numărul $a$ anulează polinomul.

Din științe vin două capcane. Modelele de fizică și de chimie se notează crescător, ca $C (t) = 20 - 5 t + 6 t^{2} - t^{3}$ , și trebuie rescrise invers înainte de tabel, cu $- 1, 6, - 5, 20$ . Iar când $a$ este o fracție, ea rămâne fracție până la capăt, fără zecimale rotunjite.

De reținut

restul împărțirii lui $f$ la $X - a$ este $f (a)$
la împărțitorul $X + c$ se lucrează cu $a = - c$
ultima celulă din schema lui Horner este restul

Greșeala tipică

Se calculează $f (2)$ pentru împărțirea la $X + 2$ ; împărțitorul $X + 2$ înseamnă $a = - 2$ , deci restul este $f (- 2)$ .

Exerciții din această mini-lecție

Câte numere se scriu în rândul de sus al schemei lui Horner pentru $f = X^{4} - 5 X + 2$ ?
- a) $3$
- b) $5$
- c) $4$
- d) $6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $5$

Se scriu toți coeficienții, adică $grad f + 1 = 5$ numere: $1, 0, 0, - 5, 2$ . Zerourile rangurilor lipsă nu se sar — fără ele tabelul alunecă și câtul iese de alt grad.
Ce număr intră în schema lui Horner la împărțirea unui polinom la $X + 3$ ?
- a) $3$
- b) $- 3$
- c) $\frac{1}{3}$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 3$

Schema lucrează cu împărțitori scriși ca $X - a$ . Cum $X + 3 = X - (- 3)$ , numărul este $a = - 3$ . Controlul: restul trebuie să iasă $f (- 3)$ , nu $f (3)$ .
Cu ce este egal restul împărțirii polinomului $f$ la $X - a$ ?
- a) $f (0)$
- b) $f (a)$
- c) $a$
- d) coeficientul dominant al lui $f$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $f (a)$

Din $f = (X - a) q + r$ , cu $r$ număr, înlocuiești $X = a$ : primul termen se anulează și rămâne $f (a) = r$ . Varianta a) ar fi termenul liber, adică restul împărțirii la $X$ .

Întrebări conexe

Cum aplic schema lui Horner la împărțirea prin $X + 2$ ?

Scrii $X + 2 = X - (- 2)$ , deci intră $a = - 2$ . Pentru $X^{3} + 3 X^{2} - 4$ , cu coeficienții $1, 3, 0, - 4$ , obții $1$ , $3 - 2 = 1$ , $0 - 2 = - 2$ , $- 4 + 4 = 0$ . Câtul este $X^{2} + X - 2$ , iar restul $0$ , deci $X + 2$ divide polinomul.

Cum calculez cu Horner valoarea lui $X^{3} - 5 X^{2} + 2 X - 1$ în $10$ ?

Pornești cu $1$ , apoi $- 5 + 10 \cdot 1 = 5$ , $2 + 10 \cdot 5 = 52$ , $- 1 + 10 \cdot 52 = 519$ . Ultima celulă este valoarea: $f (10) = 519$ . Calculul direct confirmă: $1000 - 500 + 20 - 1 = 519$ , dar schema evită ridicarea la puteri mari și folosește doar înmulțiri cu $10$ și adunări, mai sigure la calculul de mână.

Cum aflu $m$ dacă restul împărțirii lui $X^{3} - 2 X^{2} + m X + 1$ la $X + 1$ este $- 5$ ?

Restul este $f (- 1) = - 1 - 2 - m + 1 = - 2 - m$ . Condiția $- 2 - m = - 5$ dă $m = 3$ . Împărțitorul $X + 1$ se scrie $X - (- 1)$ , așa că în polinom se înlocuiește numărul $- 1$ , nu $1$ . Verificare: pentru $m = 3$ , $f (- 1) = - 1 - 2 - 3 + 1 = - 5$ , exact restul cerut.

Ce legătură are schema lui Horner cu împărțirea clasică a polinoamelor?

Schema păstrează doar numerele din împărțirea clasică la $X - a$ . Fiecare celulă este coeficientul următor al câtului, iar ultima este ultimul rest parțial. Înmulțirea cu $a$ și adunarea înlocuiesc pașii de înmulțire și scădere.

Ce rest dă $2 X^{4} - 3 X^{2} + X - 5$ la împărțirea cu $X - 1$ ?

În rândul de sus scrii toți coeficienții, cu zero pentru $X^{3}$ : $2, 0, - 3, 1, - 5$ . Cu $a = 1$ obții $2, 2, - 1, 0, - 5$ , deci câtul este $2 X^{3} + 2 X^{2} - X$ , iar restul $- 5$ . Verificare: $f (1) = 2 - 3 + 1 - 5 = - 5$ .

Oamenii mai întreabă și: restul împărțirii la x minus a · teorema restului · cum aflu restul fără împărțire · restul împărțirii unui polinom la un binom

Cum aflu restul împărțirii la X − a?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cum aplic schema lui Horner la împărțirea prin X+2?

Cum calculez cu Horner valoarea lui X3−5X2+2X−1 în 10?

Cum aflu m dacă restul împărțirii lui X3−2X2+mX+1 la X+1 este −5?

Ce legătură are schema lui Horner cu împărțirea clasică a polinoamelor?

Ce rest dă 2X4−3X2+X−5 la împărțirea cu X−1?

Continuă cu

Cum aplic schema lui Horner la împărțirea prin $X + 2$ ?

Cum calculez cu Horner valoarea lui $X^{3} - 5 X^{2} + 2 X - 1$ în $10$ ?

Cum aflu $m$ dacă restul împărțirii lui $X^{3} - 2 X^{2} + m X + 1$ la $X + 1$ este $- 5$ ?

Ce rest dă $2 X^{4} - 3 X^{2} + X - 5$ la împărțirea cu $X - 1$ ?