Tabelul care dă și câtul, și restul: pe scurt

Schema lui Horner obține, dintr-un singur tabel, atât câtul, cât și restul împărțirii unui polinom $f$ la $X-a$ — fără nicio scădere de monoame și, deci, fără greșeli de semn. În rândul de sus se scriu toți coeficienții lui $f$, în ordine descrescătoare, inclusiv zerourile termenilor lipsă; numărul lor trebuie să fie exact $\mathrm{grad}f+1$. În rândul de jos, primul număr se coboară neschimbat, iar fiecare număr următor este coeficientul de deasupra plus $a$ înmulțit cu numărul din stânga.

Regula se deduce identificând coeficienții în $f=(X-a)q+r$: relațiile $b_{n-1}=a_n$ și $b_{k-1}=a_k+a\cdot b_k$ arată de ce restul se calculează exact ca un coeficient în plus, aplicat termenului liber. Ultimul număr din tabel este restul și, conform teoremei restului, este $f(a)$ — de aceea schema este și cea mai rapidă metodă de evaluare a unui polinom într-un punct.

Schema funcționează pentru orice $a$: întreg, negativ, fracționar sau complex, dar numai pentru împărțitori de forma $X-a$. Aplicată de mai multe ori la rând, tabel după tabel, descompune un polinom în factori de gradul întâi și dezvăluie rădăcinile multiple.

Exerciții din această mini-lecție

1. Ce reprezintă ultimul număr din rândul de jos al schemei lui Horner?

   • a) restul împărțirii, egal cu $f(a)$
   • b) coeficientul dominant al câtului
   • c) gradul câtului
   • d) coeficientul dominant al lui $f$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) restul împărțirii, egal cu $f(a)$

   Toate celelalte numere din rândul de jos, în afară de ultimul, sunt coeficienții câtului. Ultimul este restul împărțirii la $X-a$, iar din teorema restului acesta este exact $f(a)$.

2. Folosind schema lui Horner cu $a=3$, determină câtul împărțirii lui $f=X^4-2X^3+3X-5$ la $X-3$ (atenție la termenul lipsă în $X^2$).

   • a) $X^3-X^2+3X+12$
   • b) $X^3+X^2+3X+12$
   • c) $X^3+X^2-3X+12$
   • d) $X^3+2X^2+3X+9$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $X^3+X^2+3X+12$

   Coeficienții sunt $1,-2,0,3,-5$. Cu $a=3$: $1$; $-2+3\cdot 1=1$; $0+3\cdot 1=3$; $3+3\cdot 3=12$; $-5+3\cdot 12=31$. Câtul este $X^3+X^2+3X+12$, restul $31$.

3. Arătați, cu schema lui Horner, că $-2$ este rădăcină a lui $f=3X^3+4X^2-X+6$ și precizați câtul.

   • a) $3X^2-2X-3$
   • b) $3X^2+2X+3$
   • c) $3X^2-2X+3$
   • d) $3X^2+2X-3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $3X^2-2X+3$

   Coeficienții $3,4,-1,6$, cu $a=-2$: $3$; $4+(-2)\cdot 3=-2$; $-1+(-2)(-2)=3$; $6+(-2)\cdot 3=0$. Restul $0$ confirmă rădăcina, iar câtul este $3X^2-2X+3$.