Împărțirea la X − a și schema lui Horner (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

La ora de chimie primești o formulă care leagă concentrația unei soluții de timpul scurs de la începutul reacției și ți se cere valoarea după patru minute. La biologie, un polinom aproximează masa unei culturi de bacterii și vrei să știi cât cântărește la ora a cincea. De fiecare dată ajungi la aceeași întrebare practică: cum calculez repede, și fără greșeli de semn, valoarea unui polinom într-un număr? Lecția aceasta, din programa de clasa a IX-a de la profilul științe ale naturii (M2), îți dă unealta care rezolvă problema într-o singură linie de calcule și care, pe deasupra, îți dă și câtul împărțirii la $X - a$ . La bacalaureatul M2 2027–2029 polinoamele apar la Subiectul al II-lea, ca materie de clasa a XII-a; la proba MAT_P2 din 2030 ele intră în domeniul Algebră, chiar la capitolul de clasa a IX-a pe care îl parcurgi acum.

Din teorema împărțirii cu rest la polinoame știi că împărțirea a două polinoame se face după aceeași logică ca împărțirea numerelor naturale, pe care ai învățat-o în teorema împărțirii cu rest la numere: din deîmpărțit scazi, pas cu pas, multipli ai împărțitorului. Procedeul e sigur, dar lung: la un polinom de gradul al patrulea repeți de patru ori același ciclu de trei operații, iar fiecare repetare e încă o ocazie de a pierde un semn. Când împărțitorul este cel mai simplu cu putință, adică de forma $X - a$ , toată această muncă se poate strânge într-un tabel cu două rânduri.

Ce vei învăța

Vei ști să construiești tabelul lui Horner pentru orice polinom și să desprinzi din el, dintr-o privire, câtul împărțirii la $X - a$ și restul ei.
Vei ști de unde vine regula, obținând-o din egalitatea $f = (X - a) q + r$ , fără să o înveți pe de rost.
Vei ști că restul este egal cu $f (a)$ și vei folosi acest fapt ca să verifici orice schemă în zece secunde.
Vei ști de ce coeficienții care lipsesc se scriu cu $0$ și ce dezastru urmează dacă îi sari.
Vei ști să lucrezi când $a$ este negativ sau o fracție, fără să încurci semnele.
Vei ști să folosești schema ca mașină de evaluat polinoame care modelează mărimi din fizică, chimie sau biologie.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este schema lui Horner și la ce folosește?

Schema lui Horner este un tabel cu două rânduri care pornește de la coeficienții unui polinom $f$ și livrează, cu două operații pe coloană, atât coeficienții câtului, cât și restul împărțirii lui $f$ la $X - a$ . Este, practic, împărțirea lungă strânsă într-o linie de numere.

Să vedem pe ce economisim. Împărțim $f = X^{3} - 4 X^{2} + 7 X - 5$ la $X - 3$ cu algoritmul obișnuit: scazi $X^{2} (X - 3)$ , apoi $- X (X - 3)$ , apoi $4 (X - 3)$ — trei runde, cu trei ocazii de a greși un semn. Observă însă un lucru: pentru că împărțitorul începe cu $X$ , la fiecare rundă termenul dominant se împarte exact la $X$ , deci coeficientul câtului nu se mai obține printr-o împărțire: este chiar numărul pe care l-ai scris la pasul precedent. Nu mai rămâne nimic de „împărțit" — doar o socoteală de coeficienți. Schema lui Horner este exact acea socoteală, scrisă ordonat.

2. Cum se obține regula lui Horner?

Fie $f = a_{3} X^{3} + a_{2} X^{2} + a_{1} X + a_{0}$ un polinom cu coeficienți reali. Câtul împărțirii la $X - a$ are gradul al doilea, iar restul este un număr, așa că scriem

$f = (X - a) (b_{2} X^{2} + b_{1} X + b_{0}) + r .$

Desfacem paranteza din dreapta și grupăm după puteri:

$(X - a) (b_{2} X^{2} + b_{1} X + b_{0}) + r = b_{2} X^{3} + (b_{1} - a b_{2}) X^{2} + (b_{0} - a b_{1}) X + (r - a b_{0}) .$

Egalitatea a două polinoame înseamnă, grad cu grad, egalitatea coeficienților. Punem semnele de egal și scoatem de fiecare dată necunoscuta în stânga:

$b_{2} = a_{3}, b_{1} = a_{2} + a b_{2}, b_{0} = a_{1} + a b_{1}, r = a_{0} + a b_{0} .$

Aici e toată schema, în patru egalități. Puse în cuvinte: primul număr se ia de-a gata din $f$ , fiind coeficientul lui dominant; fiecare dintre celelalte cere o înmulțire cu $a$ a numărului precedent și o adunare cu coeficientul următor al lui $f$ . Ultima egalitate are exact aceeași formă ca celelalte — de aceea restul se calculează la fel ca toți ceilalți coeficienți, fără nicio regulă specială la final. Pentru un polinom de grad oarecare, raționamentul e identic, doar cu mai mulți pași.

3. Cum se completează tabelul lui Horner?

Tabelul are două rânduri. Pe primul trec coeficienții lui $f$ , în ordinea descrescătoare a puterilor, fără să sară niciunul. Pe al doilea, după valoarea lui $a$ scrisă în marginea din stânga, numerele apar unul câte unul, de la stânga spre dreapta, fiecare în doi timpi: înmulțești cu $a$ vecinul din stânga, apoi aduni coeficientul de deasupra. Rândul se citește la final în două bucăți: ultima celulă ține restul, iar toate celelalte, luate în ordine de la stânga, dau coeficienții câtului — un polinom cu un grad mai jos decât $f$ (presupunând, firește, $grad f \geq 1$ ).

Pentru $f = X^{3} - 4 X^{2} + 7 X - 5$ și $a = 3$ :

coeficienții lui $f$	$1$	$- 4$	$7$	$- 5$
$a = 3$	$1$	$- 1$	$4$	$7$
ce reprezintă	coef. lui $X^{2}$	coef. lui $X$	termen liber	restul

Fiecare celulă, explicit: primul $1$ se coboară; apoi $- 4 + 3 \cdot 1 = - 1$ ; apoi $7 + 3 \cdot (- 1) = 4$ ; apoi $- 5 + 3 \cdot 4 = 7$ . Citim: $q = X^{2} - X + 4$ și $r = 7$ .

4. De ce restul este egal cu $f (a)$ ?

Pentru că împărțitorul $X - a$ are gradul întâi, restul are gradul strict mai mic, deci este o constantă. Scriem egalitatea împărțirii și îi dăm lui $X$ valoarea $a$ :

$f (a) = (a - a) \cdot q (a) + r = 0 \cdot q (a) + r = r .$

Rezultatul acesta se numește teorema restului: ultimul număr din tabel nu este doar „restul", ci chiar valoarea polinomului în $a$ . De aici vin două consecințe folosite tot timpul. Prima: ai o verificare gratuită a oricărei scheme — calculezi separat $f (a)$ și trebuie să obții exact ultimul număr. În exemplul de mai sus, $f (3) = 27 - 36 + 21 - 5 = 7$ , exact cât ne-a dat tabelul. A doua: pentru aflarea valorii unui polinom într-un număr, nimic nu bate schema, fiindcă ea înlocuiește ridicările la putere cu înmulțiri simple, câte una pe coloană.

Merită să numeri operațiile, fiindcă aici se vede de ce metoda a rămas în manuale după două secole. Ca să calculezi direct valoarea unui polinom de gradul al treilea îți trebuie mai întâi puterile $a^{2}$ și $a^{3}$ , adică două înmulțiri, apoi încă trei înmulțiri cu coeficienți: cinci în total. Schema face trei înmulțiri, una pe coloană. La gradul al cincilea comparația devine nouă înmulțiri față de cinci, iar diferența crește odată cu gradul. Acesta este și motivul pentru care calculatoarele de buzunar și programele de calcul evaluează polinoamele tot prin schema lui Horner: mai puține operații înseamnă nu doar mai repede, ci și mai puține rotunjiri acumulate.

5. Ce fac dacă lipsesc termeni din polinom?

Îi scrii cu coeficientul $0$ . Regula e fără excepție: în rândul de sus trebuie să apară exact $grad f + 1$ numere.

Împărțim $f = 2 X^{4} - 5 X + 3$ la $X + 1$ , deci $a = - 1$ . Lipsesc termenii în $X^{3}$ și în $X^{2}$ , așa că șirul coeficienților este $2, 0, 0, - 5, 3$ — cinci numere, pentru un polinom de gradul al patrulea.

coeficienții lui $f$	$2$	$0$	$0$	$- 5$	$3$
$a = - 1$	$2$	$- 2$	$2$	$- 7$	$10$

Calculele: $2$ ; apoi $0 + (- 1) \cdot 2 = - 2$ ; apoi $0 + (- 1) (- 2) = 2$ ; apoi $- 5 + (- 1) \cdot 2 = - 7$ ; apoi $3 + (- 1) (- 7) = 10$ . Deci $q = 2 X^{3} - 2 X^{2} + 2 X - 7$ și $r = 10$ . Control: $f (- 1) = 2 + 5 + 3 = 10$ .

Dacă am fi scris doar coeficienții „vizibili", adică $2, - 5, 3$ , am fi lucrat de fapt cu polinomul $2 X^{2} - 5 X + 3$ și am fi obținut un rezultat care nu are nicio legătură cu problema. Numără coeficienții înainte de a începe: e singura precauție de care ai nevoie.

6. Cum lucrez când $a$ este negativ sau fracționar?

Exact la fel. Schema nu cere ca $a$ să fie întreg sau pozitiv; funcționează pentru orice număr real. Singura grijă este citirea corectă a lui $a$ din împărțitor: la $X + c$ se lucrează cu $a = - c$ , pentru că $X + c = X - (- c)$ .

Un $a$ negativ. Împărțim $f = X^{3} + 3 X^{2} - 4 X + 1$ la $X + 2$ , deci $a = - 2$ : coborâm $1$ ; apoi $3 + (- 2) \cdot 1 = 1$ ; apoi $- 4 + (- 2) \cdot 1 = - 6$ ; apoi $1 + (- 2) (- 6) = 13$ . Rezultă $q = X^{2} + X - 6$ și $r = 13$ , confirmat de $f (- 2) = - 8 + 12 + 8 + 1 = 13$ .

Un $a$ fracționar. Împărțim $f = 8 X^{3} + 3$ la $X - \frac{1}{2}$ . Coeficienții sunt $8, 0, 0, 3$ , iar $a = \frac{1}{2}$ : coborâm $8$ ; apoi $0 + \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ ; apoi $0 + \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ ; apoi $3 + \frac{1}{2} \cdot 2 = 4$ . Deci $q = 8 X^{2} + 4 X + 2$ și $r = 4$ , iar $f (\frac{1}{2}) = 1 + 3 = 4$ confirmă.

7. Ce înseamnă un rest egal cu zero?

Uneori ultimul număr iese $0$ . Atunci împărțirea este exactă și, din egalitatea $f = (X - a) q$ , polinomul se scrie ca produs: $X - a$ este un factor al lui $f$ , iar $q$ este celălalt.

Pentru $f = X^{3} - 6 X^{2} + 3 X + 10$ și $a = 5$ rândul de jos este $1, - 1, - 2, 0$ . Restul fiind zero, avem

$X^{3} - 6 X^{2} + 3 X + 10 = (X - 5) (X^{2} - X - 2) .$

Cum restul este $f (5)$ , faptul că el iese $0$ înseamnă că numărul $5$ anulează polinomul. Legătura dintre „restul este zero" și „numărul $a$ anulează polinomul" se enunță riguros în lecția despre divizibilitatea polinoamelor și teorema lui Bézout, iar felul în care se caută sistematic astfel de numere este subiectul lecției despre rădăcinile reale și ecuațiile polinomiale. Aici reține doar unealta: un tabel, o linie, un verdict.

Mai mult: câtul rămas are gradul mai mic, așa că poate fi trecut și el printr-un tabel nou, cu alt $a$ . Așa se desfac, tabel după tabel, polinoamele de grad mare — fiecare împărțire exactă scoate un factor de forma $X - a$ și lasă în urmă un polinom mai scurt. Nu ai nevoie de nicio regulă nouă, doar de răbdarea de a completa încă un rând.

Și o limită, la fel de importantă: tabelul e construit strict pentru împărțitori de forma $X - a$ . La $X^{2} + 1$ nu se aplică deloc; la $3 X - 2$ se poate ocoli, împărțind la $X - \frac{2}{3}$ și corectând apoi câtul, dar la clasa a IX-a e mai sigur să revii la algoritmul general.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Tabelul complet

Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f = X^{3} + 2 X^{2} - 5 X + 6$ la $X - 2$ , folosind schema lui Horner.

Rezolvare. Coeficienții sunt $1, 2, - 5, 6$ , iar $a = 2$ .

coeficienții lui $f$	$1$	$2$	$- 5$	$6$
$a = 2$	$1$	$4$	$3$	$12$

Calculele: $1$ ; $2 + 2 \cdot 1 = 4$ ; $- 5 + 2 \cdot 4 = 3$ ; $6 + 2 \cdot 3 = 12$ . Deci $q = X^{2} + 4 X + 3$ și $r = 12$ . Verificare prin valoare: $f (2) = 8 + 8 - 10 + 6 = 12$ .

Exemplul 2 — Coeficienți lipsă și $a$ negativ

Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f = 3 X^{4} - X^{2} + 6$ la $X + 2$ .

Rezolvare. Lipsesc termenii în $X^{3}$ și în $X$ , deci coeficienții sunt $3, 0, - 1, 0, 6$ . Împărțitorul este $X - (- 2)$ , așadar $a = - 2$ .

coeficienții lui $f$	$3$	$0$	$- 1$	$0$	$6$
$a = - 2$	$3$	$- 6$	$11$	$- 22$	$50$

Calculele: $3$ ; $0 + (- 2) \cdot 3 = - 6$ ; $- 1 + (- 2) (- 6) = 11$ ; $0 + (- 2) \cdot 11 = - 22$ ; $6 + (- 2) (- 22) = 50$ . Deci $q = 3 X^{3} - 6 X^{2} + 11 X - 22$ și $r = 50$ . Control: $f (- 2) = 48 - 4 + 6 = 50$ .

Exemplul 3 — Împărțire exactă

Arătați că restul împărțirii polinomului $f = X^{3} + 5 X^{2} + 2 X - 8$ la $X - 1$ este zero și scrieți $f$ ca produs de două polinoame.

Rezolvare. Coeficienții: $1, 5, 2, - 8$ ; luăm $a = 1$ .

coeficienții lui $f$	$1$	$5$	$2$	$- 8$
$a = 1$	$1$	$6$	$8$	$0$

Restul este $0$ , iar câtul $q = X^{2} + 6 X + 8$ , deci $f = (X - 1) (X^{2} + 6 X + 8)$ . Control, desfăcând produsul: $(X - 1) (X^{2} + 6 X + 8) = X^{3} + 6 X^{2} + 8 X - X^{2} - 6 X - 8 = X^{3} + 5 X^{2} + 2 X - 8$ .

Exemplul 4 — Un $a$ fracționar

Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f = 4 X^{3} + 2 X^{2} - 6 X + 5$ la $X - \frac{1}{2}$ .

Rezolvare. Coeficienții: $4, 2, - 6, 5$ ; $a = \frac{1}{2}$ .

coeficienții lui $f$	$4$	$2$	$- 6$	$5$
$a = \frac{1}{2}$	$4$	$4$	$- 4$	$3$

Calculele: $4$ ; $2 + \frac{1}{2} \cdot 4 = 4$ ; $- 6 + \frac{1}{2} \cdot 4 = - 4$ ; $5 + \frac{1}{2} \cdot (- 4) = 3$ . Deci $q = 4 X^{2} + 4 X - 4$ și $r = 3$ . Control: $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 3 + 5 = 3$ .

Exemplul 5 — O concentrație evaluată cu Horner

Concentrația unei substanțe într-un vas de reacție, măsurată în miligrame pe litru, este aproximată de $C (t) = - t^{3} + 6 t^{2} - 5 t + 20$ , unde $t$ este timpul în minute, $t \in [0, 5]$ . Calculați concentrația la $t = 4$ minute.

Rezolvare. Coeficienții sunt $- 1, 6, - 5, 20$ , iar $a = 4$ .

coeficienți	$- 1$	$6$	$- 5$	$20$
$a = 4$	$- 1$	$2$	$3$	$32$

Calculele: $- 1$ ; $6 + 4 \cdot (- 1) = 2$ ; $- 5 + 4 \cdot 2 = 3$ ; $20 + 4 \cdot 3 = 32$ . Ultimul număr este $C (4) = 32$ , deci concentrația este de $32$ mg/L. Observă că am obținut valoarea fără să calculăm $4^{3}$ și $4^{2}$ : trei înmulțiri cu $4$ și trei adunări, atât. Verificare directă: $- 64 + 96 - 20 + 20 = 32$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră polinomul $f = X^{3} - 3 X^{2} + m X + 6$ , unde $m$ este număr real. a) Pentru $m = 2$ , determinați restul împărțirii lui $f$ la $X - 1$ . b) Determinați $m$ știind că restul împărțirii lui $f$ la $X + 1$ este egal cu $4$ . c) Pentru valoarea lui $m$ găsită la punctul b), determinați câtul împărțirii lui $f$ la $X + 1$ .

Rezolvare. a) Restul împărțirii la $X - 1$ este $f (1)$ . Pentru $m = 2$ obținem $f (1) = 1 - 3 + 2 + 6 = 6$ .

b) Restul împărțirii la $X + 1$ este $f (- 1) = - 1 - 3 - m + 6 = 2 - m$ . Condiția $2 - m = 4$ dă $m = - 2$ .

c) Pentru $m = - 2$ avem $f = X^{3} - 3 X^{2} - 2 X + 6$ , cu coeficienții $1, - 3, - 2, 6$ , și $a = - 1$ .

coeficienții lui $f$	$1$	$- 3$	$- 2$	$6$
$a = - 1$	$1$	$- 4$	$2$	$4$

Câtul este $q = X^{2} - 4 X + 2$ , iar restul $4$ — exact valoarea cerută la punctul b), ceea ce confirmă calculul.

Să exersăm

Înainte de orice tabel: pune pe hârtie șirul coeficienților, asigură-te că are $grad f + 1$ termeni și, dacă împărțitorul e de forma $X + c$ , notează-ți din capul locului că $a = - c$ . La capăt, așază restul față în față cu $f (a)$ — dacă cele două nu coincid, greșeala e undeva pe rând.

1. Determină câtul și restul împărțirii lui $X^{3} - 5 X^{2} + 4 X + 1$ la $X - 2$ .

2. Determină câtul și restul împărțirii lui $2 X^{3} + 7 X^{2} - 3 X + 4$ la $X + 3$ .

3. Determină câtul și restul împărțirii lui $X^{4} - 3 X + 5$ la $X - 1$ , având grijă la coeficienții care lipsesc.

4. Arată că restul împărțirii lui $X^{3} - 2 X^{2} - 9 X + 18$ la $X - 2$ este zero, apoi dă câtul rezultat.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Restul împărțirii unui polinom la $X - a$ poate fi un polinom de gradul întâi."

6. Determină câtul și restul împărțirii lui $X^{3} + 6 X^{2} + 11 X + 6$ la $X + 2$ .

7. Determină câtul și restul împărțirii lui $2 X^{3} - 5 X^{2} + 4 X - 1$ la $X - \frac{1}{2}$ .

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră polinomul $f = X^{3} + 2 X^{2} + m X - 6$ , unde $m$ este număr real. a) Determină $m$ știind că restul împărțirii lui $f$ la $X - 1$ este egal cu $2$ . b) Pentru valoarea găsită, determină câtul acestei împărțiri.

9. Calculează $f (4)$ pentru $f = X^{4} - 2 X^{3} - 7 X^{2} + 3 X - 5$ , folosind schema lui Horner.

10. (Problemă aplicată.) Masa, în grame, a unei culturi de bacterii la $t$ ore de la însămânțare este aproximată de $m (t) = t^{3} - 2 t^{2} + 5 t + 4$ , pentru $t \in [0, 6]$ . Calculează cu schema lui Horner masa culturii după $5$ ore.

11. Determină $m \in R$ astfel încât restul împărțirii lui $2 X^{3} - X^{2} + m X + 1$ la $X - 2$ să fie egal cu $7$ , apoi determină câtul.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f = X^{3} - 4 X^{2} + X + 6$ . a) Arată că restul împărțirii lui $f$ la $X - 3$ este zero. b) Determină câtul acestei împărțiri, folosind schema lui Horner.

13. Împarte $X^{3} - 7 X + 6$ la $X - 1$ , apoi împarte câtul obținut la $X - 2$ . Ce scriere a polinomului inițial obții?

14. Argumentează, în două-trei fraze, de ce câtul împărțirii unui polinom de gradul $n$ la $X - a$ are întotdeauna gradul $n - 1$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră polinomul $f = X^{4} + m X^{2} - 3 X + 2$ , unde $m$ este număr real. a) Determină $m$ știind că $f (- 1) = 9$ . b) Pentru valoarea găsită, determină câtul și restul împărțirii lui $f$ la $X + 1$ .

16. La împărțirea unui polinom $f$ la $X - 2$ , rândul de jos al schemei lui Horner a fost $3$ , $1$ , $- 4$ , $5$ . Determină polinomul $f$ și restul împărțirii.

17. Determină câtul și restul împărțirii lui $X^{3} - 3 X^{2} + 4 X - 12$ la $X - 3$ .

18. (Provocare.) Determină numerele reale $m$ și $n$ astfel încât restul împărțirii polinomului $f = X^{3} + m X^{2} + n X - 2$ la $X - 1$ să fie $0$ , iar restul împărțirii lui $f$ la $X + 1$ să fie $- 6$ . Pentru valorile găsite, scrie câtul împărțirii lui $f$ la $X - 1$ .

Răspunsuri și explicații

1. Coeficienți $1, - 5, 4, 1$ ; cu $a = 2$ : $1$ ; $- 5 + 2 = - 3$ ; $4 - 6 = - 2$ ; $1 - 4 = - 3$ . Deci $q = X^{2} - 3 X - 2$ și $r = - 3$ . Control: $f (2) = 8 - 20 + 8 + 1 = - 3$ .

2. La $X + 3$ lucrezi cu $a = - 3$ . Coeficienți $2, 7, - 3, 4$ : $2$ ; $7 - 6 = 1$ ; $- 3 - 3 = - 6$ ; $4 + 18 = 22$ . Deci $q = 2 X^{2} + X - 6$ și $r = 22$ . Control: $f (- 3) = - 54 + 63 + 9 + 4 = 22$ .

3. Coeficienți $1, 0, 0, - 3, 5$ — cinci numere. Cu $a = 1$ : $1, 1, 1, - 2, 3$ . Deci $q = X^{3} + X^{2} + X - 2$ și $r = 3$ . Control: $f (1) = 1 - 3 + 5 = 3$ .

4. Coeficienți $1, - 2, - 9, 18$ ; cu $a = 2$ : $1$ ; $- 2 + 2 = 0$ ; $- 9 + 0 = - 9$ ; $18 - 18 = 0$ . Restul este $0$ și $q = X^{2} - 9$ , deci $X^{3} - 2 X^{2} - 9 X + 18 = (X - 2) (X^{2} - 9)$ .

5. Fals. Restul are gradul strict mai mic decât împărțitorul, iar $X - a$ are gradul întâi. Rămâne o singură posibilitate: restul este o constantă (polinomul nul sau un polinom de grad zero). De aceea în schema lui Horner restul apare ca un singur număr.

6. Cu $a = - 2$ și coeficienții $1, 6, 11, 6$ : $1$ ; $6 - 2 = 4$ ; $11 - 8 = 3$ ; $6 - 6 = 0$ . Deci $q = X^{2} + 4 X + 3$ și $r = 0$ , adică $X^{3} + 6 X^{2} + 11 X + 6 = (X + 2) (X^{2} + 4 X + 3)$ .

7. Coeficienți $2, - 5, 4, - 1$ ; cu $a = \frac{1}{2}$ : $2$ ; $- 5 + 1 = - 4$ ; $4 - 2 = 2$ ; $- 1 + 1 = 0$ . Deci $q = 2 X^{2} - 4 X + 2$ și $r = 0$ .

8. a) Restul este $f (1) = 1 + 2 + m - 6 = m - 3$ ; condiția $m - 3 = 2$ dă $m = 5$ . b) Pentru $f = X^{3} + 2 X^{2} + 5 X - 6$ , schema cu $a = 1$ produce $1, 3, 8, 2$ : câtul este $X^{2} + 3 X + 8$ , iar ultima celulă confirmă restul $2$ .

9. Coeficienți $1, - 2, - 7, 3, - 5$ ; cu $a = 4$ : $1$ ; $- 2 + 4 = 2$ ; $- 7 + 8 = 1$ ; $3 + 4 = 7$ ; $- 5 + 28 = 23$ . Deci $f (4) = 23$ . Evaluarea directă dă $256 - 128 - 112 + 12 - 5 = 23$ .

10. Coeficienți $1, - 2, 5, 4$ ; cu $a = 5$ : $1$ ; $- 2 + 5 = 3$ ; $5 + 15 = 20$ ; $4 + 100 = 104$ . Masa este de $104$ grame. Control direct: $125 - 50 + 25 + 4 = 104$ .

11. Restul este $f (2) = 16 - 4 + 2 m + 1 = 2 m + 13$ ; condiția $2 m + 13 = 7$ dă $m = - 3$ . Pentru $f = 2 X^{3} - X^{2} - 3 X + 1$ , schema cu $a = 2$ produce $2, 3, 3, 7$ : câtul este $2 X^{2} + 3 X + 3$ , iar restul iese $7$ , cum se cerea.

12. a) $f (3) = 27 - 36 + 3 + 6 = 0$ , deci restul este zero. b) Coeficienți $1, - 4, 1, 6$ , cu $a = 3$ : $1$ ; $- 4 + 3 = - 1$ ; $1 - 3 = - 2$ ; $6 - 6 = 0$ . Câtul este $q = X^{2} - X - 2$ .

13. Coeficienți $1, 0, - 7, 6$ ; cu $a = 1$ : $1, 1, - 6, 0$ , deci primul cât este $X^{2} + X - 6$ . Aplicăm schema pe acesta, cu $a = 2$ : $1, 3, 0$ , deci al doilea cât este $X + 3$ și restul iar $0$ . Punând la un loc: $X^{3} - 7 X + 6 = (X - 1) (X - 2) (X + 3)$ .

14. Pentru că gradul produsului $(X - a) \cdot q$ este suma gradelor, adică $1 + grad q$ , iar restul, fiind constant, nu schimbă gradul. Ca să obținem $grad f = n$ , trebuie ca $grad q = n - 1$ . Se vede și în tabel: din cele $n + 1$ numere ale rândului de jos, unul este restul, deci câtul are $n$ coeficienți.

15. a) $f (- 1) = 1 + m + 3 + 2 = m + 6$ ; condiția $m + 6 = 9$ dă $m = 3$ . b) Cu $f = X^{4} + 3 X^{2} - 3 X + 2$ , coeficienții sunt $1, 0, 3, - 3, 2$ , iar $a = - 1$ : $1$ ; $0 - 1 = - 1$ ; $3 + 1 = 4$ ; $- 3 - 4 = - 7$ ; $2 + 7 = 9$ . Deci $q = X^{3} - X^{2} + 4 X - 7$ și $r = 9$ , în acord cu $f (- 1) = 9$ .

16. Ultimul număr este restul, deci $r = 5$ , iar celelalte sunt coeficienții câtului: $q = 3 X^{2} + X - 4$ . Din $f = (X - 2) q + r$ obținem $f = 3 X^{3} + X^{2} - 4 X - 6 X^{2} - 2 X + 8 + 5 = 3 X^{3} - 5 X^{2} - 6 X + 13$ . Control: schema pe $3, - 5, - 6, 13$ cu $a = 2$ redă $3, 1, - 4, 5$ .

17. Coeficienți $1, - 3, 4, - 12$ ; cu $a = 3$ : $1$ ; $- 3 + 3 = 0$ ; $4 + 0 = 4$ ; $- 12 + 12 = 0$ . Deci $q = X^{2} + 4$ și $r = 0$ , adică $X^{3} - 3 X^{2} + 4 X - 12 = (X - 3) (X^{2} + 4)$ .

18. Cele două condiții se scriu cu resturile: $f (1) = 1 + m + n - 2 = m + n - 1 = 0$ , deci $m + n = 1$ ; și $f (- 1) = - 1 + m - n - 2 = m - n - 3 = - 6$ , deci $m - n = - 3$ . Adunând cele două egalități, $2 m = - 2$ , deci $m = - 1$ și $n = 2$ . Atunci $f = X^{3} - X^{2} + 2 X - 2$ , iar schema cu $a = 1$ dă rândul $1, 0, 2, 0$ : câtul este $X^{2} + 2$ , iar restul $0$ . Verificare pe a doua condiție: schema cu $a = - 1$ dă rândul $1, - 2, 4, - 6$ , deci restul $- 6$ .

De reținut

Schema lui Horner strânge într-un singur rând de numere câtul și restul împărțirii unui polinom la $X - a$ : primul număr se ia de-a gata din polinom, iar fiecare dintre următoarele se obține înmulțind cu $a$ numărul precedent și adunând coeficientul aflat deasupra.
Regula se obține identificând coeficienții în egalitatea $f = (X - a) q + r$ , deci nu trebuie memorată, ci înțeleasă o singură dată.
Restul împărțirii lui $f$ la $X - a$ este egal cu $f (a)$ , pentru că restul este o constantă, iar înlocuirea lui $X$ cu $a$ anulează primul termen.
În rândul de sus se scriu toți coeficienții, în ordinea descrescătoare a puterilor, inclusiv zerourile termenilor care lipsesc: exact $grad f + 1$ numere; iar când împărțitorul este $X + c$ , numărul care intră în schemă este $a = - c$ .
Un rest egal cu zero înseamnă că împărțirea este exactă, deci $f = (X - a) \cdot q$ , iar numărul $a$ anulează polinomul.

Greșeli frecvente

Coeficienții luați dintr-o formulă scrisă de la puterea mică spre cea mare. În fizică și în chimie modelele se scriu adesea crescător: $C (t) = 20 - 5 t + 6 t^{2} - t^{3}$ . În tabel se intră invers, cu $- 1, 6, - 5, 20$ . Rescrie formula descrescător înainte de a atinge schema; altfel calculezi impecabil, dar pentru alt polinom.
Fracția lui $a$ trecută în zecimale rotunjite. La $a = \frac{1}{3}$ , dacă lucrezi cu $0, 33$ , mica diferență se înmulțește pe fiecare coloană și ultima celulă iese vizibil deplasată. Într-un tabel al lui Horner fracțiile se păstrează ca fracții până la capăt; rotunjești, dacă e nevoie, abia la răspunsul final.
Restul căutat ca polinom. Împărțitorul $X - a$ are gradul întâi, deci restul este obligatoriu un număr. Dacă la capătul calculului îți rămâne ceva cu $X$ în el, nu e restul: ai oprit împărțirea prea devreme sau ai amestecat o celulă a câtului cu ultima.
Tabelul completat corect și lăsat neverificat. Schema e rapidă tocmai ca să-ți rămână timp pentru control: calculează separat $f (a)$ și pune-l lângă ultima celulă. O singură cifră greșită pe rând se propagă până la capăt, iar fără confruntarea asta nimic din tabel nu ți-o arată.
Rezultatul raportat fără unitate de măsură. Când polinomul modelează o concentrație, o masă sau un spațiu, ultimul număr din tabel este o mărime fizică: $32$ înseamnă $32$ mg/L, nu „treizeci și doi". La o problemă de modelare, răspunsul fără unitate este incomplet.

Aplică acasă

Modelul din manualul tău de fizică sau de chimie. Caută o mărime descrisă printr-un polinom — spațiul parcurs de un mobil, temperatura unei probe care se răcește, concentrația unui reactant. Rescrie-i coeficienții în ordinea descrescătoare a puterilor și calculează cu schema lui Horner valoarea în patru momente diferite. Trece rezultatele într-un tabel, fiecare cu unitatea lui de măsură.
Unde se rupe aproximarea. Ia $f = 9 X^{3} - 3 X^{2} + 6 X - 1$ și completează schema pentru $a = \frac{1}{3}$ de două ori: o dată păstrând fracția, o dată înlocuind-o cu $0, 33$ . Prima variantă dă restul $1$ ; scrie-o pe a doua celulă cu celulă și măsoară cât s-a depărtat ultimul număr. Atâta costă o rotunjire făcută la începutul unui calcul, nu la sfârșitul lui.
Din grafic în tabel. Desenează cu un instrument digital (GeoGebra, Desmos) graficul unui polinom de gradul al treilea ales de tine și citește de pe ecran, aproximativ, punctele în care taie axa $O x$ . Rotunjește fiecare la întregul cel mai apropiat și pune-l la încercare într-o schemă a lui Horner: unde restul iese exact $0$ , ochiul a nimerit; unde nu, ai găsit chiar diferența dintre o citire grafică și un calcul.

Pentru părinți și profesori

Tema are o parte de rutină — completarea tabelului — și una care hotărăște dacă rutina se ține minte peste vară: înțelegerea faptului că ultimul număr este valoarea polinomului. La profilul științe ale naturii, partea a doua are un sprijin pe care traseul de matematică-informatică nu îl are la îndemână: aici polinoamele intră în programă tocmai ca modele pentru mărimi măsurabile, iar schema este pur și simplu cel mai economic mod de a citi valoarea unui model. Dacă lecția se leagă de un exemplu luat din manualul de fizică sau de chimie, tabelul încetează să mai pară o convenție de manual și devine o unealtă de laborator.

De urmărit în caiet, în ordinea în care apar greșelile: dacă modelul era scris crescător, coeficienții au fost rearanjați înainte de a intra în tabel; dacă lipsesc termeni, zerourile au fost puse; dacă împărțitorul are forma $X + c$ , în schemă a intrat $- c$ ; dacă rezultatul este o mărime fizică, poartă unitatea de măsură. Întrebări de control, formulate în limbajul lecției: „Ce mărime reprezintă ultimul număr, în exemplul cu concentrația?"; „De ce un subiect de examen cere uneori restul, și nu câtul?"; „Câte rânduri de tabel îți trebuie ca să afli valoarea modelului în trei momente diferite?"; „Ce faci dacă împărțitorul este $2 X - 1$ ?". Semn că elevul a înțeles: își verifică singur restul prin evaluare directă și nu mai începe niciun tabel înainte de a-și număra coeficienții.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la capitolul „Polinoame cu coeficienți reali". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde schema lui Horner apare la Subiectul al II-lea, ca materie de clasa a XII-a, în capitolul despre polinoame. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a IX-a în programa de examen din 2014.

Întrebări frecvente

Se dă schema lui Horner și la M1, și la M2? Ce diferă? Da, dar în ani diferiți și cu material diferit. La științe ale naturii schema intră în clasa a IX-a, cu polinoame care au coeficienți reali și cu $a$ număr real. La matematică-informatică vine în clasa a X-a, unde se adaugă coeficienții complecși, ordinul de multiplicitate al unei rădăcini și relațiile lui Viète. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: schema lui Horner la clasa a 10-a.

La ce subiect apare schema lui Horner la bacalaureatul M2? La Subiectul al II-lea, unde una dintre cele două probleme este de structuri algebrice și polinoame. În sesiunile 2027–2029 tema este trecută la materia clasei a XII-a. În modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, cerința despre polinoame cere restul împărțirii la $X^{2} - 2$ , unde schema nu se aplică direct (se folosește teorema împărțirii cu rest); ea rămâne unealta pentru împărțirea la $X - a$ , pas intermediar în astfel de probleme. Din 2030, la MAT_P2, polinoamele intră în domeniul Algebră.

În ce clasă se învață schema lui Horner la profilul științe ale naturii? În clasa a IX-a, în capitolul „Polinoame cu coeficienți reali", imediat după teorema împărțirii cu rest. Este una dintre diferențele mari față de traseul de matematică-informatică, unde polinoamele vin abia în clasa a X-a. Programa cere aici doar cazul coeficienților reali, fără rădăcini complexe și fără ordin de multiplicitate.

Cum verific repede dacă am completat corect schema lui Horner? Calculează separat $f (a)$ , înlocuind pur și simplu $X$ cu $a$ în polinom. Trebuie să obții exact ultimul număr din rândul de jos. Dacă vrei siguranță completă, înmulțește câtul cu $X - a$ , adună restul și compară cu polinomul inițial: trebuie să iasă coeficient cu coeficient.

Cum lucrez cu schema lui Horner când $a$ este o fracție? Exact ca la numere întregi: regula nu se schimbă, doar înmulțirile se fac cu fracții. La împărțirea la $X - \frac{1}{2}$ se ia $a = \frac{1}{2}$ , iar fiecare număr nou este coeficientul de deasupra plus jumătate din numărul din stânga. Scrie rezultatele ca fracții, nu ca zecimale aproximate, ca să nu pierzi exactitatea.

Ce se întâmplă dacă restul din schema lui Horner iese zero? Înseamnă că împărțirea este exactă: $f = (X - a) \cdot q$ , deci $X - a$ este un factor al polinomului, iar $a$ anulează polinomul, pentru că restul este $f (a)$ . Este primul pas al oricărei descompuneri în factori și motivul pentru care schema se aplică uneori de mai multe ori la rând, pe câturile obținute.

Ce model din fizică sau din chimie se evaluează cel mai repede cu Horner? La evaluarea rapidă a mărimilor descrise prin polinoame: spațiul parcurs de un mobil, concentrația unei soluții, masa unei culturi de celule. În loc să ridici la puteri, faci o înmulțire și o adunare pe coloană, deci greșești mai rar. Mai multe modele de acest fel găsești în lecția despre polinoame în fizică, chimie și biologie.