Schema lui Poisson: produsul de binoame: pe scurt

Schema lui Poisson modelează $n$ probe independente în care fiecare probă are probabilitatea ei de succes $p_i$, diferită de la o probă la alta (spre deosebire de Bernoulli, unde $p$ e constant). Nu este distribuția Poisson din facultate — formula ei nu apare în programa de liceu.

Regula: probabilitatea de a obține exact $k$ succese este coeficientul lui $x^k$ din produsul $$Q(x)=\prod _{i=1}^n(p_{i}x+q_i),q_i=1-p_i.$$ Desfăcând parantezele, fiecare termen al dezvoltării corespunde unui scenariu complet al experimentului, iar puterea lui $x$ numără succesele lui.

Control obligatoriu: suma coeficienților este $Q(1)=\prod (p_i+q_i)=1$. Termenul liber $q_1{q}_2\cdots q_n$ este probabilitatea niciunui succes, iar produsul $p_1{p}_2\cdots p_n$ este probabilitatea tuturor succeselor; de aici, $P(\text{cel puțin un succes})=1-q_1{q}_2\cdots q_n$, fără să desfaci nimic.

Bernoulli este cazul particular cu toate $p_i$ egale: atunci $Q(x)=(px+q{)}^n$, iar coeficientul lui $x^k$ redă exact $C_n^k{p}^k{q}^{n-k}$.

În practică, se scot mai întâi factorii comuni din fiecare paranteză — de exemplu $\left(\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}(3x+1)$ —, astfel încât desfacerea produsului să se facă cu paranteze de forma $(ax+b)$, cu $a,b$ numere întregi. Verificarea prin suma coeficienților prinde imediat orice greșeală de calcul din înmulțire.

Exerciții din această mini-lecție

1. Două probe independente au probabilitățile de succes $\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{4}$. Care este probabilitatea de a obține exact un succes?

   • a) $\frac{1}{2}$
   • b) $\frac{1}{8}$
   • c) $\frac{3}{8}$
   • d) $\frac{1}{4}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{1}{2}$

   Produsul este $\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{8}(x+1)(x+3)=\frac{1}{8}(x^2+4x+3)$. Coeficientul lui $x$ este $4$, deci $P(1)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$.

2. Care este principala diferență dintre schema lui Poisson și schema lui Bernoulli?

   • a) La schema lui Poisson probele nu sunt independente
   • b) La schema lui Poisson probabilitățile de succes diferă de la o probă la alta, pe când la Bernoulli $p$ este constant
   • c) La schema lui Poisson se folosește doar termenul liber al polinomului
   • d) Nu există nicio diferență, sunt sinonime
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) La schema lui Poisson probabilitățile de succes diferă de la o probă la alta, pe când la Bernoulli $p$ este constant

   La Bernoulli toate probele au aceeași probabilitate de succes $p$, deci se aplică $C_n^k{p}^k{q}^{n-k}$. La Poisson fiecare probă $i$ are propria probabilitate $p_i$, iar probabilitatea de $k$ succese se citește ca și coeficientul lui $x^k$ din $\prod (p_{i}x+q_i)$. Bernoulli este cazul particular al lui Poisson, cu toate $p_i$ egale.

3. Trei probe independente au probabilitățile de succes $\frac{2}{3}$, $\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{3}$. Care este probabilitatea de a obține exact $2$ succese?

   • a) $\frac{1}{9}$
   • b) $\frac{2}{18}$
   • c) $\frac{7}{18}$
   • d) $\frac{1}{2}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\frac{7}{18}$

   Scoatem factorii comuni: $\left(\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{18}(2x+1)(x+1)(x+2)$. Desfăcând, $(2x+1)(x+1)=2x^2+3x+1$, apoi $(2x^2+3x+1)(x+2)=2x^3+7x^2+7x+2$. Coeficientul lui $x^2$ este $7$, deci $P(2)=\frac{7}{18}$.