Schema lui Poisson

Trei trăgători trag, fiecare o singură dată, spre aceeași țintă. Primul nimerește în patru cazuri din cinci, al doilea în șapte din zece, al treilea în trei din cinci. Care este probabilitatea ca ținta să fie atinsă exact de două ori?

Situația seamănă cu schema lui Bernoulli — probe independente, fiecare cu două deznodăminte — dar are o deosebire care strică totul: probabilitățile de succes sunt diferite de la o probă la alta. Nu mai poți scrie $p^k{q}^{n-k}$, pentru că nu există un singur $p$. Fiecare mod de a alege doi trăgători care nimeresc dă un alt produs, iar la final trebuie să aduni trei produse diferite. Cu trei probe mai merge; cu șapte, ai avea de scris $C_7^2=21$ produse și, aproape sigur, ai greși unul.

Schema lui Poisson rezolvă problema elegant: adună toate aceste produse pentru tine, cu ajutorul unui obiect pe care îl cunoști foarte bine — un polinom. Construiești un produs de binoame de gradul I, îl desfaci, iar coeficienții care apar sunt chiar probabilitățile căutate. Este ultima dintre cele trei scheme clasice cerute de programa de matematică-informatică și, poate, cea mai frumoasă: leagă algebra polinoamelor de teoria probabilităților.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști situațiile de tip Poisson: $n$ probe independente, fiecare cu probabilitatea ei de succes $p_i$.
• Vei ști să construiești produsul $\prod _{i=1}^n(p_{i}x+q_i)$ și să explici de ce coeficientul lui $x^k$ este probabilitatea de a obține exact $k$ succese.
• Vei ști să desfaci produsul ordonat, pas cu pas, și să citești din el toate probabilitățile deodată.
• Vei ști să verifici rezultatul prin suma coeficienților, care trebuie să fie $1$.
• Vei ști să arăți că schema lui Bernoulli este cazul particular în care toate probabilitățile $p_i$ sunt egale.
• Vei ști să rezolvi rapid cerințele „niciunul" și „cel puțin unul", care nu au nevoie de desfacerea întregului produs.

Hai să descoperim împreună

1. Problema care nu încape în schema lui Bernoulli

Trei urne. $U_1$ conține $1$ bilă albă și $1$ neagră, $U_2$ conține $1$ albă și $2$ negre, $U_3$ conține $1$ albă și $3$ negre. Din fiecare urnă se extrage câte o bilă. Probabilitățile de a extrage o bilă albă sunt

$$p_1=\frac{1}{2},p_2=\frac{1}{3},p_3=\frac{1}{4},$$

cu eșecurile corespunzătoare $q_1=\frac{1}{2}$, $q_2=\frac{2}{3}$, $q_3=\frac{3}{4}$. Extragerile sunt independente: urnele sunt diferite și nu se influențează.

Care este probabilitatea de a obține exact $2$ bile albe? Scriem cele trei scenarii posibile (albă din $U_1$ și $U_2$, albă din $U_1$ și $U_3$, albă din $U_2$ și $U_3$):

$$p_1{p}_2{q}_3+p_1{q}_2{p}_3+q_1{p}_2{p}_3=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{3}{4}+\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{24}+\frac{2}{24}+\frac{1}{24}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}.$$

A mers, dar cu greu. Observă structura sumei: fiecare termen conține câte un factor din fiecare urnă, iar factorul este $p_i$ dacă acea urnă a dat succes și $q_i$ dacă a dat eșec. Exact aceasta este structura pe care o produce o înmulțire de paranteze.

2. Trucul: pune succesele în evidență cu ajutorul lui $x$

Formăm, pentru fiecare urnă, binomul $p_{i}x+q_i$ și le înmulțim:

$$\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\right)\left(\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right).$$

Când desfaci parantezele, alegi din fiecare paranteză exact un termen: fie pe cel cu $x$ (care poartă $p_i$), fie pe cel liber (care poartă $q_i$). Fiecare astfel de alegere corespunde exact unui scenariu al experimentului, iar produsul obținut este chiar probabilitatea acelui scenariu. În plus, puterea lui $x$ numără succesele: apare un $x$ pentru fiecare paranteză din care ai luat termenul cu $p_i$.

Prin urmare, adunând termenii asemenea, coeficientul lui $x^k$ strânge la un loc toate scenariile cu exact $k$ succese — adică exact suma pe care o scriam de mână.

Să facem calculul. Scoatem factorii comuni:

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}(x+1)(x+2)(x+3)=\frac{1}{24}(x+1)(x+2)(x+3).$$

Desfacem: $(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$, apoi

$$(x^2+3x+2)(x+3)=x^3+3x^2+3x^2+9x+2x+6=x^3+6x^2+11x+6.$$

Așadar produsul este $\frac{1}{24}\left(x^3+6x^2+11x+6\right)$, de unde citim direct toate probabilitățile:

Regăsim $\frac{1}{4}$ pentru două bile albe — dar acum am obținut, cu același efort, și celelalte trei valori.

3. Schema lui Poisson — enunț și demonstrație

Teoremă (schema lui Poisson). Se efectuează $n$ probe independente; proba $i$ are probabilitatea de succes $p_i$ și probabilitatea de eșec $q_i=1-p_i$. Atunci probabilitatea de a obține exact $k$ succese este coeficientul lui $x^k$ din polinomul

$$Q(x)=\prod _{i=1}^n\left(p_{i}x+q_i\right)=(p_{1}x+q_1)(p_{2}x+q_2)\cdots (p_{n}x+q_n).$$

Demonstrație. Desfacerea produsului se face alegând din fiecare paranteză exact unul dintre cei doi termeni. O astfel de alegere este descrisă de mulțimea $I\subseteq \{1,2,\dots ,n\}$ a indicilor pentru care am luat termenul $p_{i}x$; termenul obținut este

$$\left(\prod _{i\in I}{p}_i\right)\left(\prod _{i\notin I}{q}_i\right)x^{|I|}.$$

Pe de altă parte, evenimentul „probele din $I$ dau succes, iar celelalte dau eșec" are, probele fiind independente, exact probabilitatea $\prod _{i\in I}{p}_i\prod _{i\notin I}{q}_i$. Deci fiecare termen al desfacerii este probabilitatea unui scenariu complet al experimentului, iar puterea lui $x$ este numărul de succese din acel scenariu.

Scenariile fiind două câte două incompatibile, probabilitatea de a obține exact $k$ succese este suma probabilităților scenariilor cu $|I|=k$ — adică tocmai suma termenilor care conțin $x^k$, adică coeficientul lui $x^k$ după reducerea termenilor asemenea. $■$

Reține, ca formulă de lucru: construiește produsul, desfă-l, citește coeficientul.

4. Controlul: suma coeficienților este 1

Suma coeficienților unui polinom se obține înlocuind $x=1$, așa cum ai văzut la Valoarea unui polinom și funcția polinomială. Aici

$$Q(1)=\prod _{i=1}^n(p_i\cdot 1+q_i)=\prod _{i=1}^n(p_i+q_i)=\prod _{i=1}^{n}1=1.$$

Suma tuturor probabilităților este deci $1$, cum și trebuie. Este cel mai rapid control al calculului: după ce ai desfăcut produsul, adună coeficienții. În exemplul de mai sus: $6+11+6+1=24$, adică exact numitorul comun ✓

Alte două valori se citesc fără niciun calcul:

• termenul liber $Q(0)=q_1{q}_2\cdots q_n$ este probabilitatea de a nu avea niciun succes;
• coeficientul dominant $p_1{p}_2\cdots p_n$ este probabilitatea ca toate probele să dea succes.

De aici, probabilitatea de a avea cel puțin un succes este $1-q_1{q}_2\cdots q_n$, fără a mai desface nimic.

5. Bernoulli este un caz particular

Ce se întâmplă dacă toate probele au aceeași probabilitate de succes, $p_1=p_2=\cdots =p_n=p$? Atunci toate parantezele sunt identice și produsul devine o putere:

$$Q(x)=(px+q{)}^n.$$

Dezvoltând cu binomul lui Newton, coeficientul lui $x^k$ este

$$C_n^k(px{)}^k{q}^{n-k}⟶C_n^k{p}^k{q}^{n-k},$$

adică exact formula schemei lui Bernoulli, de la Schema bilei revenite (schema lui Bernoulli).

Verifică pe un caz concret, $n=3$ și $p=\frac{1}{3}$:

$${\left(\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{1}{27}(x+2{)}^3=\frac{1}{27}\left(x^3+6x^2+12x+8\right),$$

deci probabilitățile sunt $\frac{8}{27},\frac{12}{27},\frac{6}{27},\frac{1}{27}$ — chiar valorile $C_3^k{\left(\frac{1}{3}\right)}^k{\left(\frac{2}{3}\right)}^{3-k}$ ✓

Cele două scheme se află deci într-o relație clară: schema lui Poisson este cea generală, iar schema lui Bernoulli este cazul ei particular cu probabilități egale. De aceea, dacă într-o problemă probabilitățile sunt egale, folosește Bernoulli — e mai scurtă; dacă sunt diferite, ai nevoie de produsul de binoame.

6. Cum organizezi calculul ca să nu greșești

1. Scrie tabelul cu $p_i$ și $q_i$, verificând $p_i+q_i=1$ pe fiecare linie.
2. Formează binoamele $p_{i}x+q_i$ și, dacă fracțiile au numitori, scoate factorii comuni în față — desfacerea devine mult mai simplă cu paranteze de forma $(ax+b)$ cu $a,b$ întregi.
3. Înmulțește două câte două, ordonat, reducând termenii asemenea la fiecare pas.
4. Adună coeficienții: trebuie să obții numitorul comun scos în față.
5. Citește coeficientul cerut și scrie probabilitatea ca fracție simplificată.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Două urne cu compoziții diferite

Urna $U_1$ conține $3$ bile albe și $2$ negre, iar urna $U_2$ conține $1$ bilă albă și $4$ negre. Din fiecare urnă se extrage câte o bilă. Scrie probabilitățile pentru toate valorile posibile ale numărului de bile albe obținute.

Rezolvare. $p_1=\frac{3}{5}$, $q_1=\frac{2}{5}$, $p_2=\frac{1}{5}$, $q_2=\frac{4}{5}$. Produsul este

$$\left(\frac{3}{5}x+\frac{2}{5}\right)\left(\frac{1}{5}x+\frac{4}{5}\right)=\frac{1}{25}(3x+2)(x+4)=\frac{1}{25}\left(3x^2+14x+8\right).$$

Deci $P(0)=\frac{8}{25}$, $P(1)=\frac{14}{25}$, $P(2)=\frac{3}{25}$. Control: $8+14+3=25$ ✓

Exemplul 2. Patru urne

Patru urne au probabilitățile de extragere a unei bile albe egale, respectiv, cu $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$ și $\frac{1}{5}$. Din fiecare se extrage câte o bilă. Calculează probabilitatea de a obține exact $2$ bile albe.

Rezolvare. Eșecurile sunt $\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5}$, iar produsul se simplifică frumos:

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{5}(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=\frac{1}{120}(x+1)(x+2)(x+3)(x+4).$$

Desfacem în doi pași: $(x+1)(x+4)=x^2+5x+4$ și $(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$. Notând $t=x^2+5x$, produsul lor este $(t+4)(t+6)=t^2+10t+24$, adică

$${\left(x^2+5x\right)}^2+10\left(x^2+5x\right)+24=x^4+10x^3+25x^2+10x^2+50x+24=x^4+10x^3+35x^2+50x+24.$$

Coeficientul lui $x^2$ este $35$, deci $P(2)=\frac{35}{120}=\frac{7}{24}$. Control: $1+10+35+50+24=120$ ✓

Exemplul 3. Cei trei trăgători

Trei trăgători trag câte o dată spre aceeași țintă, cu probabilitățile de nimerire $\frac{4}{5}$, $\frac{7}{10}$ și $\frac{3}{5}$. Calculează probabilitatea ca ținta să fie atinsă exact de două ori.

Rezolvare. Eșecurile sunt $\frac{1}{5}$, $\frac{3}{10}$, $\frac{2}{5}$, deci

$$\left(\frac{4}{5}x+\frac{1}{5}\right)\left(\frac{7}{10}x+\frac{3}{10}\right)\left(\frac{3}{5}x+\frac{2}{5}\right)=\frac{1}{250}(4x+1)(7x+3)(3x+2).$$

Înmulțim primele două: $(4x+1)(7x+3)=28x^2+19x+3$. Apoi

$$(28x^2+19x+3)(3x+2)=84x^3+56x^2+57x^2+38x+9x+6=84x^3+113x^2+47x+6.$$

Coeficientul lui $x^2$ este $113$, deci $P(2)=\frac{113}{250}=0,452$. Control: $84+113+47+6=250$ ✓ Ca bonus: $P(3)=\frac{84}{250}=\frac{42}{125}$ și $P(0)=\frac{6}{250}=\frac{3}{125}$.

Exemplul 4. Verificarea legăturii cu schema lui Bernoulli

Trei urne conțin fiecare $1$ bilă albă și $2$ negre. Din fiecare se extrage câte o bilă. Rezolvă problema în ambele feluri și compară.

Rezolvare. Toate probabilitățile sunt egale cu $\frac{1}{3}$, deci

$${\left(\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{1}{27}(x+2{)}^3=\frac{1}{27}\left(x^3+6x^2+12x+8\right),$$

de unde $P(0)=\frac{8}{27}$, $P(1)=\frac{12}{27}=\frac{4}{9}$, $P(2)=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}$, $P(3)=\frac{1}{27}$.

Cu schema lui Bernoulli: $P(2)=C_3^2{\left(\frac{1}{3}\right)}^2\left(\frac{2}{3}\right)=3\cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{2}{3}=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}$ ✓ Aceleași valori, cum era de așteptat.

Exemplul 5. Trei examene cu șanse diferite

Un candidat susține trei examene independente, pe care le promovează cu probabilitățile $\frac{9}{10}$, $\frac{4}{5}$ și $\frac{3}{4}$. Calculează probabilitatea de a promova exact două examene.

Rezolvare. Eșecurile sunt $\frac{1}{10}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{4}$, deci

$$\left(\frac{9}{10}x+\frac{1}{10}\right)\left(\frac{4}{5}x+\frac{1}{5}\right)\left(\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{200}(9x+1)(4x+1)(3x+1).$$

$(9x+1)(4x+1)=36x^2+13x+1$, apoi

$$(36x^2+13x+1)(3x+1)=108x^3+36x^2+39x^2+13x+3x+1=108x^3+75x^2+16x+1.$$

Deci $P(2)=\frac{75}{200}=\frac{3}{8}$. Control: $108+75+16+1=200$ ✓ Observă și $P(3)=\frac{108}{200}=\frac{27}{50}$: cel mai probabil rezultat este promovarea tuturor examenelor.

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M1

Se dau trei urne: $U_1$ conține $4$ bile albe și $2$ negre, $U_2$ conține $2$ bile albe și $3$ negre, iar $U_3$ conține $1$ bilă albă și $3$ negre. Din fiecare urnă se extrage câte o bilă.

a) Calculați probabilitatea de a obține exact $2$ bile albe. b) Calculați probabilitatea de a obține cel puțin o bilă albă.

Rezolvare. Probabilitățile de succes sunt $p_1=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$, $p_2=\frac{2}{5}$, $p_3=\frac{1}{4}$, iar eșecurile $q_1=\frac{1}{3}$, $q_2=\frac{3}{5}$, $q_3=\frac{3}{4}$.

a) Construim produsul și scoatem factorii comuni:

$$\left(\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\right)\left(\frac{2}{5}x+\frac{3}{5}\right)\left(\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{60}(2x+1)(2x+3)(x+3).$$

$(2x+1)(2x+3)=4x^2+8x+3$, apoi

$$(4x^2+8x+3)(x+3)=4x^3+12x^2+8x^2+24x+3x+9=4x^3+20x^2+27x+9.$$

Coeficientul lui $x^2$ este $20$, deci $P(2)=\frac{20}{60}=\frac{1}{3}$. Control: $4+20+27+9=60$ ✓

b) Nu e nevoie de polinom: $P(\ge 1)=1-q_1{q}_2{q}_3=1-\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{3}{4}=1-\frac{9}{60}=1-\frac{3}{20}=\frac{17}{20}$. Se regăsește și din polinom: termenul liber este $9$, iar $1-\frac{9}{60}=\frac{51}{60}=\frac{17}{20}$ ✓

Să exersăm

1. Două probe independente au probabilitățile de succes $\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{4}$. Scrie produsul de binoame, desfă-l și citește probabilitățile pentru $0$, $1$ și $2$ succese.

2. Trei urne au probabilitățile de extragere a unei bile albe egale cu $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{3}$. Din fiecare se extrage câte o bilă. Calculează probabilitatea de a obține exact $2$ bile albe.

3. Patru probe independente au fiecare probabilitatea de succes $\frac{1}{4}$. Scrie polinomul asociat și arată că el dă aceleași valori ca formula schemei lui Bernoulli.

4. „Suma coeficienților polinomului asociat unei scheme a lui Poisson este întotdeauna $1$." (Adevărat/Fals cu motivare.)

5. Două probe independente au probabilitățile de succes $\frac{2}{3}$ și $\frac{3}{5}$. Calculează probabilitatea ca amândouă să dea succes și probabilitatea ca exact una să dea succes.

6. Trei probe independente au probabilitățile de succes $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$ și $\frac{1}{5}$. Calculează probabilitatea de a obține cel puțin un succes, fără a desface produsul.

7. Patru probe independente au probabilitățile de succes $\frac{3}{4}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{5}$. Calculează probabilitatea de a obține exact $3$ succese.

8. Trei probe independente au probabilitățile de succes $\frac{2}{3}$, $\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{4}$. Calculează probabilitatea de a obține exact un eșec și precizează al cărui coeficient al polinomului este acesta.

9. Două probe independente au probabilitățile de succes $p_1=\frac{1}{2}$ și $p_2$, necunoscută. Știind că probabilitatea de a obține două succese este $\frac{1}{6}$, determină $p_2$.

10. Trei mașini produc, independent, câte o piesă. Probabilitățile ca piesa să fie defectă sunt $\frac{1}{10}$, $\frac{1}{4}$ și $\frac{1}{2}$. Calculează probabilitatea ca exact o piesă să fie defectă. (Problemă aplicată.)

11. „Dacă toate probele au aceeași probabilitate de succes, schema lui Poisson dă exact rezultatele schemei lui Bernoulli." (Adevărat/Fals cu motivare.)

12. Trei probe independente au probabilitățile de succes $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{5}$ și $\frac{3}{4}$. Calculează probabilitatea de a nu obține niciun succes.

13. Urna $U_1$ conține $2$ bile albe și $3$ negre, iar urna $U_2$ conține $1$ bilă albă și $3$ negre. Din fiecare se extrage câte o bilă. Scrie toate probabilitățile pentru numărul de bile albe.

14. Trei urne conțin: $U_1$ — $3$ bile albe și $1$ neagră; $U_2$ — $1$ albă și $1$ neagră; $U_3$ — $1$ albă și $4$ negre. Din fiecare se extrage câte o bilă. Calculează probabilitatea de a obține exact $2$ bile albe.

15. Scrie toate cele patru probabilități de la exercițiul 14 și verifică faptul că suma lor este $1$.

16. Trei probe independente au probabilitățile de succes $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$ și $\frac{3}{5}$. a) Calculează probabilitatea de a obține exact $2$ succese. b) Calculează probabilitatea de a obține cel puțin $2$ succese. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.)

17. Trei elevi încearcă, fiecare independent, să rezolve aceeași problemă, cu probabilitățile de reușită $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ și $\frac{1}{5}$. Calculează probabilitatea ca exact doi dintre ei să o rezolve. (Problemă aplicată.)

18. Se dau $n$ probe independente, iar proba cu numărul $k$ are probabilitatea de succes $\frac{1}{k+1}$, pentru $k=1,2,\dots ,n$. Arată că polinomul asociat este $\frac{(x+1)(x+2)\cdots (x+n)}{(n+1)!}$ și deduce de aici probabilitatea ca toate probele să dea succes. (Provocare.)

Răspunsuri și explicații

1. $\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{8}(x+1)(x+3)=\frac{1}{8}\left(x^2+4x+3\right)$. Deci $P(0)=\frac{3}{8}$, $P(1)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$, $P(2)=\frac{1}{8}$. Control: $3+4+1=8$ ✓

2. ${\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)}^2\left(\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{12}(x+1{)}^2(x+2)=\frac{1}{12}\left(x^3+4x^2+5x+2\right)$. Coeficientul lui $x^2$ este $4$, deci $P(2)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$. Control: $1+4+5+2=12$ ✓

3. ${\left(\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right)}^4=\frac{1}{256}(x+3{)}^4=\frac{1}{256}\left(x^4+12x^3+54x^2+108x+81\right)$. Probabilitățile sunt $\frac{81}{256},\frac{108}{256},\frac{54}{256},\frac{12}{256},\frac{1}{256}$. Cu Bernoulli, de pildă pentru $k=2$: $C_4^2{\left(\frac{1}{4}\right)}^2{\left(\frac{3}{4}\right)}^2=6\cdot \frac{1}{16}\cdot \frac{9}{16}=\frac{54}{256}$ ✓

4. Adevărat. Suma coeficienților este valoarea polinomului în $x=1$, adică $\prod (p_i+q_i)=\prod 1=1$. Este controlul standard al calculului.

5. $\left(\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\right)\left(\frac{3}{5}x+\frac{2}{5}\right)=\frac{1}{15}(2x+1)(3x+2)=\frac{1}{15}\left(6x^2+7x+2\right)$. Deci $P(2)=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$ și $P(1)=\frac{7}{15}$. Control: $6+7+2=15$ ✓

6. $P(\ge 1)=1-q_1{q}_2{q}_3=1-\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{4}{5}=1-\frac{24}{60}=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$. Termenul liber al polinomului ar fi fost $\frac{24}{60}$, deci calculul se potrivește.

7. $\left(\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}\right)\left(\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{5}x+\frac{4}{5}\right)=\frac{1}{120}(3x+1)(2x+1)(x+1)(x+4)$. Cum $(3x+1)(2x+1)=6x^2+5x+1$ și $(x+1)(x+4)=x^2+5x+4$, produsul lor este $6x^4+35x^3+50x^2+25x+4$. Coeficientul lui $x^3$ este $35$, deci $P(3)=\frac{35}{120}=\frac{7}{24}$. Control: $6+35+50+25+4=120$ ✓

8. „Exact un eșec" din trei probe înseamnă „exact $2$ succese", deci se citește coeficientul lui $x^2$. Avem $\left(\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{24}(2x+1)(x+1)(x+3)=\frac{1}{24}\left(2x^3+9x^2+10x+3\right)$, deci $P=\frac{9}{24}=\frac{3}{8}$. Control: $2+9+10+3=24$ ✓

9. Probabilitatea a două succese este coeficientul dominant, adică $p_1{p}_2=\frac{1}{2}{p}_2=\frac{1}{6}$, de unde $p_2=\frac{1}{3}$.

10. Succes = „piesa este defectă". Atunci $\left(\frac{1}{10}x+\frac{9}{10}\right)\left(\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right)\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{80}(x+9)(x+3)(x+1)=\frac{1}{80}\left(x^3+13x^2+39x+27\right)$. Coeficientul lui $x$ este $39$, deci $P(1)=\frac{39}{80}=0,4875$. Control: $1+13+39+27=80$ ✓

11. Adevărat. Dacă $p_1=\cdots =p_n=p$, produsul devine $(px+q{)}^n$, iar coeficientul lui $x^k$ din dezvoltarea binomială este $C_n^k{p}^k{q}^{n-k}$ — chiar formula schemei lui Bernoulli.

12. Probabilitatea niciunui succes este termenul liber, adică produsul eșecurilor: $\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{6}{60}=\frac{1}{10}$.

13. $p_1=\frac{2}{5}$, $p_2=\frac{1}{4}$, deci $\left(\frac{2}{5}x+\frac{3}{5}\right)\left(\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{20}(2x+3)(x+3)=\frac{1}{20}\left(2x^2+9x+9\right)$. Așadar $P(0)=\frac{9}{20}$, $P(1)=\frac{9}{20}$, $P(2)=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$. Control: $2+9+9=20$ ✓

14. $p_1=\frac{3}{4}$, $p_2=\frac{1}{2}$, $p_3=\frac{1}{5}$. Produsul este $\frac{1}{40}(3x+1)(x+1)(x+4)$. Cum $(3x+1)(x+1)=3x^2+4x+1$, obținem $(3x^2+4x+1)(x+4)=3x^3+16x^2+17x+4$. Coeficientul lui $x^2$ este $16$, deci $P(2)=\frac{16}{40}=\frac{2}{5}$.

15. $P(0)=\frac{4}{40}=\frac{1}{10}$, $P(1)=\frac{17}{40}$, $P(2)=\frac{16}{40}=\frac{2}{5}$, $P(3)=\frac{3}{40}$. Suma numărătorilor: $4+17+16+3=40$, deci suma probabilităților este $1$ ✓ Același rezultat se obține și înlocuind $x=1$ în produsul nedesfăcut: $\frac{1}{40}\cdot 4\cdot 2\cdot 5=1$.

16. $\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\right)\left(\frac{3}{5}x+\frac{2}{5}\right)=\frac{1}{30}(x+1)(2x+1)(3x+2)$. Cum $(2x+1)(3x+2)=6x^2+7x+2$, produsul cu $(x+1)$ dă $6x^3+13x^2+9x+2$. a) $P(2)=\frac{13}{30}$. b) $P(\ge 2)=\frac{13}{30}+\frac{6}{30}=\frac{19}{30}$. Control: $6+13+9+2=30$ ✓

17. $\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\right)\left(\frac{1}{5}x+\frac{4}{5}\right)=\frac{1}{30}(x+1)(x+2)(x+4)=\frac{1}{30}\left(x^3+7x^2+14x+8\right)$. Deci $P(2)=\frac{7}{30}\approx 0,233$. Control: $1+7+14+8=30$ ✓

18. Pentru proba $k$ avem $p_k=\frac{1}{k+1}$ și $q_k=\frac{k}{k+1}$, deci binomul este $\frac{1}{k+1}x+\frac{k}{k+1}=\frac{x+k}{k+1}$. Înmulțind pentru $k=1,2,\dots ,n$:

$$Q(x)=\prod _{k=1}^n\frac{x+k}{k+1}=\frac{(x+1)(x+2)\cdots (x+n)}{2\cdot 3\cdots (n+1)}=\frac{(x+1)(x+2)\cdots (x+n)}{(n+1)!}.$$

Probabilitatea ca toate probele să dea succes este coeficientul lui $x^n$, adică $\frac{1}{(n+1)!}$ — se putea vedea și direct, ca produs al probabilităților: $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdots \frac{1}{n+1}$. Pentru $n=4$ regăsim polinomul din Exemplul 2, cu coeficienții $24,50,35,10,1$ peste $120=5!$; pentru $n=5$, coeficienții sunt $120,274,225,85,15,1$ peste $720=6!$ ✓

De reținut

• Schema lui Poisson descrie $n$ probe independente, fiecare cu probabilitatea ei de succes $p_i$ și de eșec $q_i=1-p_i$.
• Regula: probabilitatea de a obține exact $k$ succese este coeficientul lui $x^k$ din produsul $\prod _{i=1}^n(p_{i}x+q_i)$.
• Controlul obligatoriu: suma coeficienților este $Q(1)=\prod (p_i+q_i)=1$. Scoate factorii comuni înainte de a desface — calculul devine mult mai simplu.
• Citiri instantanee: termenul liber $q_1{q}_2\cdots q_n$ este probabilitatea niciunui succes, coeficientul dominant $p_1{p}_2\cdots p_n$ este probabilitatea tuturor succeselor, iar $1-q_1{q}_2\cdots q_n$ este probabilitatea a cel puțin un succes.
• Bernoulli este cazul particular cu toate $p_i$ egale: atunci produsul devine $(px+q{)}^n$, iar coeficientul lui $x^k$ este $C_n^k{p}^k{q}^{n-k}$.

Greșeli frecvente

• Citirea coeficientului greșit. Numărul de succese este exponentul lui $x$: pentru $k$ succese citești coeficientul lui $x^k$, nu al lui $x^{n-k}$. La cerințele de tip „exact un eșec" din $n$ probe, transformă întâi în „exact $n-1$ succese".
• Confundarea lui $p_i$ cu $q_i$ în binom. $p_i$ (succesul) merge lângă $x$, iar $q_i$ este termenul liber. Dacă le inversezi, obții polinomul citit invers și toate răspunsurile se încurcă.
• Înmulțirea probabilităților în loc de desfacerea produsului. $p_1{p}_2{p}_3$ este probabilitatea ca toate probele să dea succes, nu probabilitatea a exact două succese; pentru aceasta din urmă e nevoie de toți termenii cu $x^2$.
• Aplicarea formulei lui Bernoulli când probabilitățile diferă. Formula $C_n^k{p}^k{q}^{n-k}$ presupune un singur $p$; dacă probele au probabilități diferite, ea nu se poate folosi sub nicio formă.
• Omiterea verificării sumei. Dacă suma coeficienților nu dă numitorul comun scos în față, ai greșit o înmulțire. Este un control care durează cinci secunde și prinde aproape orice eroare de calcul.

Aplică acasă

1. Cele trei monede măsluite. Ia trei obiecte cu șanse diferite (de exemplu, trei cutii cu $2$ bile din care $1$, respectiv $2$ din $3$ și $1$ din $4$ sunt colorate). Extrage câte una din fiecare, de $30$ de ori, și notează de câte ori obții exact două bile colorate. Compară frecvența cu valoarea teoretică $\frac{1}{4}$.

2. Polinomul temelor. Estimează probabilitatea cu care termini la timp temele la trei materii diferite (de pildă $\frac{4}{5}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{1}{2}$). Construiește polinomul, desfă-l și află probabilitatea de a termina exact două teme și pe cea de a le termina pe toate.

3. Verificarea cu un instrument digital. Într-un program de calcul simbolic sau într-o foaie de calcul, desfă produsul $(0,8x+0,2)(0,7x+0,3)(0,6x+0,4)$ și compară coeficienții cu cei obținuți de tine la Exemplul 3, după transformarea fracțiilor în zecimale.

Pentru părinți și profesori

Schema lui Poisson este momentul în care algebra polinoamelor, studiată în semestrul anterior, își arată puterea într-un context care nu are, aparent, nimic de-a face cu ea: un produs de binoame de gradul I devine un instrument de organizare a unei sume complicate de probabilități. Este o primă întâlnire, la nivel elementar, cu ideea de a codifica o listă de numere în coeficienții unui polinom — idee care revine mai târziu în matematica superioară și în informatică.

Ce verifică lecția: identificarea probabilităților $p_i$ și $q_i$ din enunț, construcția corectă a binoamelor, desfacerea ordonată a produsului cu reducerea termenilor asemenea, citirea coeficientului cerut și verificarea prin suma coeficienților. Întrebări bune de control: „De ce apare exact un $x$ pentru fiecare succes?", „Ce înseamnă termenul liber al polinomului?", „Ce se întâmplă cu produsul dacă toate probabilitățile sunt egale?".

Semne că elevul a înțeles: scoate factorii comuni înainte de a desface, verifică suma coeficienților fără să i se ceară și recunoaște singur, în enunț, dacă probabilitățile sunt egale (caz în care alege drumul mai scurt, prin schema lui Bernoulli). La proba de Bacalaureat M1, cerința tipică are structura Exemplului 6: trei urne cu compoziții diferite, un subpunct cu „exact $k$ bile albe" și unul cu „cel puțin una", care se rezolvă prin evenimentul contrar.

Întrebări frecvente

Ce este schema lui Poisson? Este modelul probabilistic pentru $n$ probe independente în care fiecare probă are propria probabilitate de succes $p_i$. Probabilitatea de a obține exact $k$ succese este coeficientul lui $x^k$ din produsul $(p_{1}x+q_1)(p_{2}x+q_2)\cdots (p_{n}x+q_n)$, unde $q_i=1-p_i$.

De ce apare un polinom într-o problemă de probabilități? Pentru că desfacerea produsului de paranteze face automat toată munca de enumerare: fiecare termen al desfacerii corespunde unui scenariu complet al experimentului, iar puterea lui $x$ numără succesele din acel scenariu. Adunarea termenilor asemenea este exact adunarea probabilităților scenariilor cu același număr de succese.

Care este diferența față de schema lui Bernoulli? La Bernoulli toate probele au aceeași probabilitate de succes, deci se poate folosi formula $C_n^k{p}^k{q}^{n-k}$. La schema lui Poisson probabilitățile diferă de la o probă la alta, iar formula nu se mai aplică. Bernoulli este cazul particular al schemei lui Poisson cu toate $p_i$ egale.

Cum verific dacă am desfăcut corect produsul? Adună coeficienții obținuți: suma lor trebuie să fie egală cu numitorul comun scos în față (echivalent, valoarea polinomului în $x=1$ trebuie să fie $1$). Dacă nu se potrivește, refă înmulțirea.

Ce reprezintă termenul liber al polinomului? Probabilitatea de a nu obține niciun succes, adică produsul $q_1{q}_2\cdots q_n$. De aici, probabilitatea de a obține cel puțin un succes este $1$ minus acest termen — un calcul care nu cere desfacerea produsului.

Cum procedez când mi se cere „exact un eșec"? Traduci întâi în limbajul succeselor: „exact un eșec" din $n$ probe înseamnă „exact $n-1$ succese", deci citești coeficientul lui $x^{n-1}$.

Ce fac dacă probabilitățile sunt date ca procente sau zecimale? Transformă-le în fracții ordinare înainte de a construi binoamele ($20\%$ devine $\frac{1}{5}$, iar $0,75$ devine $\frac{3}{4}$) și scoate factorii comuni. Vei lucra cu paranteze având coeficienți întregi, iar rezultatul va fi exact, nu rotunjit.

Se poate aplica schema și dacă unele probe au aceeași probabilitate? Da, fără nicio problemă: parantezele identice se strâng într-o putere, iar restul se înmulțesc normal. Schema lui Poisson acoperă toate cazurile, indiferent dacă probabilitățile coincid sau nu.