Cum rezolv inecuația 4x-10≤0 cu semnul funcției afine?

Funcția f(x)=4x-10 are zeroul 10/4=2,5 și coeficientul pozitiv, deci este negativă la stânga zeroului. Cum inegalitatea este nestrictă, zeroul intră în răspuns: x∈(-∞;2,5]. La x=0 obții -10≤0, iar la x=3 obții 2, care nu verifică. Cerințe scurte de acest fel, cu funcții de gradul I, se potrivesc Subiectului I din bacalaureatul M2.

Ce semn are o funcție afină pe un interval?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Semnul funcției afine pe grafic

Afli întâi numărul care anulează formula și vezi dacă el aparține intervalului. Dacă nu, funcția păstrează un singur semn, pe care îl afli dintr-o singură valoare. Dacă da, semnul se schimbă acolo. Exemplu: $f (x) = 2 x - 9$ are zeroul $4, 5$ . Pe $[0, 6]$ este negativă pe $[0; 4, 5)$ și pozitivă pe $(4, 5; 6]$ , iar pe $[5, 8]$ este strict pozitivă, fiindcă $f (5) = 1 > 0$ și zeroul lipsește din interval.

Semnul unei funcții se vede pe verticală: acolo unde graficul stă deasupra axei orizontale valorile sunt pozitive, iar dedesubt sunt negative. Un zero este un argument din domeniu pentru care valoarea devine nulă; numărul care anulează formula, dar lipsește din domeniu, nu se numără.

Punctul de pe axa verticală există numai când zero face parte din domeniu și are forma $(0; f (0))$ . Punctele de pe axa orizontală corespund zerourilor. Pe întreaga axă reală, o funcție afină neconstantă are câte un singur punct pe fiecare axă; pe un domeniu restrâns, oricare dintre ele poate lipsi.

Marcajele capetelor schimbă concluziile. Un cerculeț gol așezat pe axa orizontală nu produce un zero, iar un punct plin produce. Intervalele de semn strict lasă zeroul pe dinafară; inegalitatea nestrictă îl include.

O fereastră de aplicație arată doar o porțiune a planului, așa că domeniul se citește din enunț. Pentru un domeniu finit, semnul se dă argument cu argument. Funcția constantă nenulă nu are zerouri, iar funcția nulă are ca zerouri întregul domeniu. Când mărimea este o diferență față de o referință, semnul arată dacă suntem peste sau sub valoarea de referință; valoarea măsurată poate rămâne pozitivă chiar când diferența e negativă.

De reținut

un zero trebuie să aparțină domeniului, nu doar să anuleze formula
o funcție afină neconstantă își schimbă semnul o singură dată, în zeroul ei, dacă acesta e în domeniu
intersecția cu $O y$ există doar dacă $0$ este în domeniu

Greșeala tipică

Se trece zeroul formulei în răspuns chiar când el cade în afara intervalului dat; atunci funcția nu are zerouri acolo și are semn constant.

Exerciții din această mini-lecție

Graficul funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 5 x /3 - 10$ , intersectează axa $O x$ în punctul:
- a) $(0; - 10)$
- b) $(6; 0)$
- c) $(- 6; 0)$
- d) $(10; 0)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(6; 0)$

Din $5 x /3 - 10 = 0$ obținem $x = 6$ , deci punctul este $(6; 0)$ . Punctul $(0; - 10)$ se află pe axa $O y$ .
Câte zerouri are funcția $g : [2, 9] \to R$ , $g (x) = x /3 + 5$ ?
- a) Niciunul.
- b) Unul, egal cu $- 15$ .
- c) Unul, egal cu $15$ .
- d) O infinitate.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Niciunul.

Formula se anulează în $- 15$ , care nu aparține domeniului $[2, 9]$ . Pe domeniu toate valorile sunt pozitive.
Graficul unei funcții afine definite pe $[- 2, 4)$ este segmentul de la punctul plin $(- 2; - 6)$ la cerculețul gol $(4; 0)$ . Pe ce mulțime ia funcția valori negative?
- a) $[- 2, 0)$
- b) $[- 2, 4]$
- c) $(- 2, 4)$
- d) $[- 2, 4)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $[- 2, 4)$

Singurul punct al segmentului aflat pe axa $O x$ este capătul gol, deci funcția nu are zerouri. Toate punctele graficului sunt sub axă, pe întregul domeniu $[- 2, 4)$ .

Întrebări conexe

Ce arată semnul diferenței dintre nivelul unui râu și cota de atenție?

Dacă diferența este $D (t) = 15 t - 60$ centimetri, cu $t \in [0, 8]$ ore, ea este negativă pentru $t < 4$ , deci râul este sub cotă. La $t = 4$ diferența este zero și nivelul atinge cota, iar pentru $t > 4$ râul o depășește. Nivelul însuși rămâne pozitiv tot timpul; semnul privește doar diferența.

De ce graficul lui $f : [1, 5] \to R$ , $f (x) = x + 3$ nu intersectează axa $O y$ ?

Punctele axei verticale au abscisa $0$ , iar $0$ nu aparține domeniului $[1, 5]$ . Formula ar da $f (0) = 3$ , dar punctul $(0, 3)$ nu face parte din grafic. Nici axa $O x$ nu este tăiată, fiindcă zeroul formulei, $- 3$ , este și el în afara domeniului.

Ce zerouri are o funcție afină constantă?

Dacă constanta este nenulă, de exemplu $f (x) = 4$ , funcția nu are niciun zero și are același semn peste tot, aici pozitiv. Dacă $f (x) = 0$ pentru orice $x$ , fiecare argument din domeniu este zero, deci graficul coincide cu porțiunea corespunzătoare din axa $O x$ .

Cum folosesc semnul funcțiilor afine ca să rezolv $(x - 2) (3 - x) > 0$ ?

Studiezi separat semnul fiecărui factor: $x - 2$ este pozitiv pentru $x > 2$ , iar $3 - x$ pentru $x < 3$ . Produsul este pozitiv când factorii au același semn, adică pe $(2, 3)$ . Proba la $x = 2, 5$ : $0, 5 \cdot 0, 5 = 0, 25 > 0$ , iar la $x = 4$ produsul dă $- 2$ .

Cum găsesc zeroul unei funcții afine din două puncte ale graficului?

Pentru punctele $(1, - 4)$ și $(4, 2)$ , valoarea crește cu $6$ pe $3$ unități, adică cu $2$ pe unitate. Ca să urce de la $- 4$ la $0$ , argumentul trebuie să crească cu $2$ , deci zeroul este $3$ . Verificare: formula este $f (x) = 2 x - 6$ și $f (3) = 0$ .

Cum rezolv inecuația $4 x - 10 \leq 0$ cu semnul funcției afine?

Funcția $f (x) = 4 x - 10$ are zeroul $\frac{10}{4} = 2, 5$ și coeficientul pozitiv, deci este negativă la stânga zeroului. Cum inegalitatea este nestrictă, zeroul intră în răspuns: $x \in (- \infty; 2, 5]$ . La $x = 0$ obții $- 10 \leq 0$ , iar la $x = 3$ obții $2$ , care nu verifică. Cerințe scurte de acest fel, cu funcții de gradul I, se potrivesc Subiectului I din bacalaureatul M2.

Oamenii mai întreabă și: semnul funcției afine pe un interval · unde este pozitivă o funcție de gradul întâi · semnul unei funcții afine pe domeniu restrâns · funcția afină pozitivă pe interval