Semnul funcției afine și intersecțiile cu axele (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Un senzor afișează diferența dintre temperatura unei probe și temperatura camerei. Când numărul afișat este negativ, proba e mai rece; când este pozitiv, e mai caldă. Unde se schimbă situația și cum vedem asta pe un grafic? În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), citim semnul unei funcții afine și punctele în care graficul ei întâlnește axele. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din 2027–2029, a cărui programă include semnul funcției de gradul I și intersecțiile graficului cu axele.

Pornim de la forma funcției afine la M2 și de la monotonia funcției afine la M2. Pentru punctele de pe axe poți revedea intersecția graficului cu axele din clasa a VIII-a. Aici graficul este sursa informației, iar calculul confirmă ce am citit. Domeniul declarat decide dacă un zero există cu adevărat.

Ce vei învăța

Vei citi pe un grafic dat unde funcția ia valori pozitive, nule sau negative.
Vei scrie intersecțiile cu axele ca puncte și vei verifica dacă ele aparțin graficului.
Vei decide dacă zeroul formulei este zero al funcției, după domeniu și după capetele marcate.
Vei scrie intervalele de semn constant cu paranteze corecte la zero și la capete.
Vei găsi zeroul unei funcții definite pe $R$ chiar atunci când el nu apare pe desenul dat.
Vei interpreta semnul unei diferențe față de o valoare de referință într-un model din științe.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă că o funcție este pozitivă într-un punct?

Pentru o funcție $f : D \to R$ , spunem că $f$ este pozitivă în argumentul $x$ dacă $f (x) > 0$ . Pe grafic, punctul de abscisă $x$ se află deasupra axei $O x$ . Dacă $f (x) < 0$ , punctul se află sub axă. Semnul este o proprietate a valorii, deci îl citim pe verticală, față de axa orizontală.

Un zero al funcției $f : D \to R$ este un număr $x_{0}$ care aparține domeniului $D$ și pentru care $f (x_{0}) = 0$ . Condiția de apartenență face parte din definiție. Un număr care anulează formula, dar nu aparține domeniului, nu este zero al funcției. Pe grafic, fiecărui zero îi corespunde un punct $(x_{0}; 0)$ al graficului, situat pe axa $O x$ .

Să privim graficul funcției $s : R \to R$ , $s (x) = 3 x /4 - 3$ , desenat mai jos într-o fereastră a planului. Dreapta trece sub axă în partea stângă și deasupra ei în partea dreaptă. Punctul de trecere are abscisa patru. Controlul algebric confirmă citirea: $3 \cdot 4/4 - 3 = 0$ .

Între aceste două informații există o ordine. Mai întâi observăm pe desen poziția graficului față de axă. Apoi controlăm prin calcul valorile care nu pot fi citite exact din gradații. Figura nu înlocuiește calculul, iar calculul nu înlocuiește lectura domeniului.

2. Unde întâlnește graficul cele două axe?

Punctele axei $O y$ au abscisa zero, așa că punctul graficului de pe această axă, atunci când există, este $(0; f (0))$ ; existența lui o discutăm în secțiunea 4. Pentru o formulă afină $a x + b$ , valoarea în zero este termenul liber, deci punctul are forma $(0; b)$ .

Punctele axei $O x$ au ordonata zero. Graficul conține un astfel de punct pentru fiecare zero al funcției. Așadar intersecția cu $O x$ se descrie prin zerourile funcției, iar intersecția cu $O y$ se descrie prin valoarea în zero.

Pentru o funcție afină neconstantă definită pe întreaga axă reală există exact un punct pe fiecare axă. Dreapta oblică traversează o singură dată axa orizontală și o singură dată axa verticală. Dacă domeniul este restrâns, oricare dintre cele două puncte poate lipsi. Intersecțiile unei drepte oarecare cu axele au fost tratate în intersecțiile dreptei cu axele la M2; aici ne interesează graficul funcției, cu domeniul lui.

Scrie întotdeauna răspunsul ca punct, cu ambele coordonate. Abscisa singură spune unde este zeroul; punctul spune unde se află pe desen. Când o cerință întreabă „coordonatele punctelor de intersecție”, un singur număr nu este un răspuns complet.

3. Cum scriem intervalele pe care semnul rămâne același?

Parcurgem graficul de la stânga la dreapta. Cât timp nu atinge axa $O x$ , graficul unei funcții afine rămâne de aceeași parte a ei. Zeroul separă, pe un domeniu interval, porțiunea de deasupra de porțiunea de dedesubt. Obținem astfel intervale pe care semnul este constant.

Zeroul nu intră în niciun interval de semn strict. În el valoarea este zero, adică nici pozitivă, nici negativă. Dacă o cerință folosește inegalitatea nestrictă $f (x) \geq 0$ , zeroul se adaugă mulțimii soluțiilor. Capetele domeniului se păstrează cu marcajul lor: un capăt plin intră, unul gol nu intră.

Rezultatul citirii se poate înregistra într-un tabel scurt. Pe primul rând scrii capetele domeniului și zeroul, în ordine crescătoare. Pe al doilea rând scrii semnul citit pe fiecare porțiune și valoarea zero în dreptul zeroului. Tabelul rezumă desenul; nu este o regulă nouă. Tabelul de semn obținut analitic, fără grafic, aparține suplimentului pentru examen, în lecția despre ecuațiile și inecuațiile de gradul I la M2.

Pentru control alegem câte un argument din fiecare porțiune și calculăm valoarea. Dacă semnul obținut contrazice lectura, am citit greșit desenul sau am folosit altă formulă. O singură valoare de probă pe porțiune ajunge la o funcție afină, deoarece graficul ei nu poate trece de două ori prin axă.

4. Ce se întâmplă cu zeroul când domeniul este restrâns?

Formula $a x + b$ se anulează, pentru $a \neq = 0$ , într-un singur număr real. Întrebarea este dacă acel număr aparține domeniului. Dacă îl conține, funcția are un zero și graficul atinge axa $O x$ . Dacă nu îl conține, funcția nu are zerouri, iar pe tot domeniul-interval semnul este același.

Un caz delicat apare când numărul care anulează formula este chiar un capăt al domeniului. Dacă acel capăt este inclus, desenul are un punct plin pe axă și funcția are un zero. Dacă este exclus, desenul are un cerculeț gol pe axă, iar funcția nu are niciun zero. Graficul se apropie de axă fără să o atingă.

Pentru axa verticală folosim regula din lecția despre funcția afină la M2: termenul liber devine punct al graficului numai când zero este argument admis. În lecția de față, această regulă decide dacă mai scriem sau nu un punct pe $O y$ alături de zerouri.

Pentru un domeniu finit, graficul este o mulțime de puncte izolate. Semnul se citește punct cu punct, iar un zero există numai dacă unul dintre argumentele enumerate anulează formula. Nu scriem intervale de semn, fiindcă între argumente nu există alte puncte ale graficului.

5. Orizontala: niciun zero sau toate argumentele

Dacă $a = 0$ , funcția este constantă și graficul este orizontal. Pentru o constantă nenulă, graficul nu atinge niciodată axa $O x$ . Funcția nu are zerouri, iar semnul este semnul constantei, în fiecare argument al domeniului.

Dacă și termenul liber este zero, obținem funcția nulă. Fiecare argument al domeniului este un zero, iar graficul coincide cu porțiunea axei $O x$ deasupra domeniului. Mulțimea zerourilor este chiar domeniul. Funcția nulă nu este nici pozitivă, nici negativă în vreun argument.

Aceste două situații arată de ce propoziția „o funcție afină are exact un zero” are nevoie de condiția $a \neq = 0$ și de domeniul real complet. Fără ele, numărul zerourilor poate fi zero, unu sau infinit.

6. Semnul nu spune în ce sens variază funcția

Semnul răspunde la întrebarea „unde se află graficul față de axa $O x$ ?”. Sensul de variație, studiat în lecția despre monotonie, răspunde la întrebarea „urcă sau coboară graficul spre dreapta?”. Cele două întrebări se pun pe același desen, dar primesc răspunsuri separate.

Un segment poate coborî pe tot domeniul și poate trece din zona pozitivă în zona negativă. Altul poate urca rămânând integral sub axă. De aceea citim semnul pe verticală, nu din înclinarea segmentului. Monotonia ajută doar la control: pentru o funcție crescătoare, zona negativă se află, dacă există, la stânga zeroului.

7. Ce arată semnul unei diferențe față de o referință?

În științe apar frecvent mărimi definite ca diferențe: temperatura unei probe minus temperatura camerei, masa măsurată minus masa etalon, poziția minus un reper. Semnul unei asemenea diferențe spune de ce parte a referinței ne aflăm, nu dacă mărimea însăși este pozitivă.

O diferență de temperatură negativă înseamnă că proba este mai rece decât referința. Temperatura probei poate fi, în același timp, de opt grade Celsius, deci pozitivă. Zeroul diferenței marchează momentul în care proba are exact temperatura de referință.

Când schimbăm referința, graficul diferenței se deplasează pe verticală, iar zeroul se mută. Fenomenul fizic rămâne același; se schimbă doar întrebarea la care răspunde semnul. Din acest motiv, orice interpretare trebuie să precizeze referința și unitatea de măsură.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citește graficul: axe, zero și semn

Graficul funcției $u : [- 5, 5] \to R$ este segmentul din figură, cu capetele $(- 5; 6)$ și $(5; - 2)$ incluse. Citește intersecțiile cu axele și intervalele de semn constant.

Rezolvare. Zero aparține domeniului, deci graficul are un punct pe $O y$ ; figura îl arată la înălțimea doi: $(0; 2)$ . Segmentul traversează axa $O x$ între gradațiile doi și trei. Pentru valoarea exactă folosim capetele: ordonata scade cu opt pe o deplasare orizontală de zece, adică cu $4/5$ pe unitate. De la $(0; 2)$ , scăderea cu doi cere o deplasare de $2/ (4/5) = 5/2$ . Zeroul este $5/2$ , iar punctul de pe $O x$ este $(5/2; 0)$ .

Segmentul este deasupra axei la stânga zeroului și sub axă la dreapta lui. Obținem $u (x) > 0$ pentru $x \in [- 5, 5/2)$ și $u (x) < 0$ pentru $x \in (5/2, 5]$ . Capetele domeniului sunt incluse, deci parantezele de la minus cinci și cinci sunt drepte.

$x$	$- 5$		$5/2$		$5$
$u (x)$	$+$	$+ + +$	$0$	$- - -$	$-$

Formula compatibilă cu datele este $u (x) = 2 - 4 x /5$ . Ea confirmă citirile: $u (0) = 2$ , $u (5/2) = 0$ și $u (5) = - 2$ .

Exemplul 2 — Formula se anulează într-un capăt exclus

Se dă $v : (- 10, 5] \to R$ , $v (x) = 2 x /5 + 4$ . Are funcția zerouri? Precizează semnul pe domeniu și intersecțiile graficului cu axele.

Rezolvare. Formula se anulează pentru $2 x /5 = - 4$ , adică pentru $x = - 10$ . Numărul minus zece este însă capătul exclus al domeniului: pe desen, acolo apare un cerculeț gol. Prin urmare, $v$ nu are niciun zero, iar graficul nu intersectează axa $O x$ .

Graficul urcă din vecinătatea cerculețului gol până la punctul plin $(5; 6)$ . Toate punctele lui sunt deasupra axei, deci $v (x) > 0$ pentru orice $x \in (- 10, 5]$ . Zero aparține domeniului, așa că punctul $(0; 4)$ este intersecția cu $O y$ .

Dacă domeniul ar fi fost $[- 10, 5]$ , răspunsul ar fi fost altul: minus zece ar fi devenit zero al funcției, iar semnul ar fi fost nenegativ, nu strict pozitiv. Un singur marcaj de capăt schimbă două concluzii.

Exemplul 3 — Găsește greșeala: fereastra nu este domeniul

Un elev desenează în aplicație $p : R \to R$ , $p (x) = x /4 + 3$ , cu fereastra implicită: abscise între minus șase și șase, ordonate între minus unu și cinci. Întreaga porțiune vizibilă este deasupra axei $O x$ . Elevul scrie: „ $p$ este pozitivă pe $R$ și nu are zerouri.” Unde greșește?

Rezolvare. Domeniul declarat este $R$ , nu intervalul afișat. Coeficientul argumentului este nenul, deci funcția este neconstantă, iar dreapta ei trebuie să traverseze axa $O x$ exact o dată. Traversarea nu se vede pentru că se află în afara ferestrei.

Din $x /4 + 3 = 0$ obținem $x = - 12$ . Zeroul este minus doisprezece, punctul de pe $O x$ este $(- 12; 0)$ , iar semnul se scrie: $p (x) < 0$ pentru $x \in (- \infty, - 12)$ și $p (x) > 0$ pentru $x \in (- 12, + \infty)$ . Proba $p (- 16) = - 1$ confirmă zona negativă.

Afirmația elevului era corectă numai pentru porțiunea vizibilă. Soluția practică este să lărgești fereastra până apare zeroul sau să îl calculezi. O aplicație digitală arată ce i-ai cerut să arate; domeniul îl citești din enunț.

Exemplul 4 — Semnul pe un domeniu finit

Se dă $q : {- 1, 0, 1, 2, 3, 4} \to R$ , $q (x) = 7 x /2 - 9$ . Scrie punctele graficului, zerourile și semnul în fiecare argument.

Rezolvare. Calculăm valorile: $q (- 1) = - 25/2$ , $q (0) = - 9$ , $q (1) = - 11/2$ , $q (2) = - 2$ , $q (3) = 3/2$ și $q (4) = 5$ . Graficul este format din punctele $(- 1; - 25/2)$ , $(0; - 9)$ , $(1; - 11/2)$ , $(2; - 2)$ , $(3; 3/2)$ și $(4; 5)$ .

Formula s-ar anula în $18/7$ , dar acest număr nu se află printre argumentele enumerate. Funcția nu are zerouri, iar graficul nu are niciun punct pe $O x$ . Valorile sunt negative în $- 1$ , $0$ , $1$ și $2$ și pozitive în $3$ și $4$ . Intersecția cu $O y$ există, fiindcă zero este în domeniu: punctul $(0; - 9)$ .

Nu scriem „ $q < 0$ pe $[- 1, 18/7)$ ”, deoarece intervalul ar conține numere care nu sunt argumente ale funcției. Pentru un domeniu finit, răspunsul corect este lista argumentelor cu fiecare semn.

Exemplul 5 — Diferența de temperatură față de cameră

O cantitate de apă, scoasă din rețea la $14$ °C, este încălzită uniform pe o plită. Senzorul afișează diferența dintre temperatura apei și temperatura camerei, de $20$ °C. Pe primele zece minute, modelul declarat este $Δ T (t) = 3 t /2 - 6$ , cu $t$ în minute și $Δ T$ în grade Celsius. Interpretează semnul lui $Δ T$ pe $[0, 10]$ .

Rezolvare. Graficul pornește de la $(0; - 6)$ și urcă până la $(10; 9)$ . El traversează axa timpului la $t = 4$ , deoarece $3 \cdot 4/2 - 6 = 0$ . Diferența este negativă pe $[0, 4)$ , nulă la minutul patru și pozitivă pe $(4, 10]$ .

În limbajul problemei: în primele patru minute apa este mai rece decât camera, la minutul patru are exact $20$ °C, iar apoi este mai caldă. Temperatura apei rămâne pozitivă pe tot intervalul: crește de la $14$ la $29$ °C. Semnul negativ al diferenței nu descrie o temperatură negativă.

Modelul este declarat numai pe primele zece minute. Nu îl folosim după minutul zece, unde încălzirea poate să nu mai fie uniformă.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 13 - 4 x$ . a) Determină coordonatele punctelor de intersecție a graficului funcției $f$ cu axele de coordonate. b) Determină valorile reale ale lui $x$ pentru care $f (x) \geq 0$ .

Rezolvare. a) Pe axa $O y$ : $f (0) = 13$ , deci punctul este $(0; 13)$ . Pe axa $O x$ : din $13 - 4 x = 0$ obținem $x = 13/4$ , deci punctul este $(13/4; 0)$ .

b) Graficul este o dreaptă care taie axa $O x$ o singură dată, în $13/4$ . Proba $f (0) = 13 > 0$ arată că porțiunea din stânga zeroului este deasupra axei. Inegalitatea este nestrictă, deci includem zeroul: $x \in (- \infty, 13/4]$ . Proba $f (4) = - 3 < 0$ confirmă că argumentele mai mari nu convin.

Enunțul este un antrenament propriu, în forma cerințelor scurte de la Subiectul I. Modelul oficial M_șt-nat 2026 folosește la Subiectul I, cerința 2, o relație între două funcții afine; nu tragem de aici concluzii despre ce se va cere într-o anumită sesiune.

Să exersăm

În cerințele cu grafic, citește mai întâi domeniul și marcajele capetelor. Scrie intersecțiile ca puncte și intervalele cu paranteze justificate. Pentru fiecare citire aproximativă, adaugă un control prin calcul.

1. Graficul unei funcții $f$ este segmentul din figură, cu capetele $A (- 4; - 5)$ și $B (6; 3)$ incluse. Citește intersecțiile cu axele și intervalele de semn constant; controlează zeroul prin raportul variațiilor.

2. Pentru $f : R \to R$ , $f (x) = 10 - 5 x /2$ , determină coordonatele punctelor de intersecție a graficului cu axele.

3. Se dă $g : [- 2, 4] \to R$ , $g (x) = 3 x /2 + 9$ . Are $g$ zerouri? Precizează semnul pe domeniu și intersecțiile graficului cu axele.

4. Se dă $h : [- 3/2, 3] \to R$ , $h (x) = - 8 x /3 - 4$ . Determină zerourile și semnul funcției pe domeniu.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă $0$ nu aparține domeniului unei funcții afine, atunci graficul ei nu intersectează axa $O x$ .

6. Câte zerouri are funcția cu formula $5 x /4 - 5$ pe fiecare dintre domeniile: a) $R$ ; b) $[0, 4]$ ; c) $[0, 4)$ ; d) ${3, 4, 5}$ ?

7. Graficul funcției afine $n : [- 5, 5] \to R$ este segmentul închis de la $(- 5; 8)$ la $(5; - 8)$ . Scrie zeroul și intersecțiile graficului cu axele, semnul lui $n$ și semnul funcției $w : [- 5, 5] \to R$ , $w (x) = - n (x)$ .

8. Graficul unei funcții afine definite pe $[- 2, 6]$ coboară de la $(- 2; 7)$ la $(6; - 5)$ . Pe ce interval ia funcția valori pozitive? Care este punctul graficului de pe axa $O y$ ?

9. Graficul unei funcții afine definite pe $[- 4, 4]$ pornește din $(- 4; 4)$ și intersectează axa $O x$ în $(2; 0)$ . Fără să scrii formula, decide semnul valorii în argumentul patru; apoi calculează această valoare.

10. (Problemă aplicată.) Într-un model declarat pe primele zece minute, diferența dintre temperatura unui ceai și temperatura camerei este $Δ T (t) = 9 - 3 t /5$ , cu $t$ în minute și $Δ T$ în grade Celsius. Este ceaiul mai rece decât camera în vreun moment al intervalului? Care este cea mai mică diferență de temperatură din intervalul modelului?

11. Graficul unei funcții afine este segmentul din figură, dintre $(- 3; 4)$ , inclus, și $(5; - 2)$ , exclus. Citește zeroul, intersecția cu $O y$ și intervalele de semn constant.

12. Se dă $f : R \to R$ , $f (x) = 4 x /3 - 8$ . Arată, folosind zeroul și poziția graficului, că $f (x) < 0$ pentru orice $x \in [- 3, 5]$ .

13. Graficul unei funcții afine definite pe $R$ intersectează axele în $(- 6; 0)$ și $(0; 4)$ . Scrie formula funcției și intervalul pe care ea este negativă.

14. O funcție afină $g$ , definită pe $R$ , verifică $g (- 4) = 9$ și $g (4) = - 5$ . Câte zerouri are și unde se află? Scrie intervalele de semn constant.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcțiile $f, g : R \to R$ , $f (x) = 6 x - 15$ și $g (x) = f (x) - 6$ . Determină abscisele punctelor în care graficele celor două funcții intersectează axa $O x$ și explică de ce diferă.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = (m + 2) x - 5$ , unde $m$ este număr real. Determină numărul real $m$ pentru care punctul de abscisă $5/3$ al axei $O x$ aparține graficului funcției $f$ .

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 4 - x /3$ . Determină cel mai mic număr natural $n$ pentru care $f (n) < 0$ .

18. (Provocare.) Pentru $f : [- 2, 6] \to R$ , $f (x) = x /2 + b$ , determină valorile reale ale lui $b$ pentru care graficul funcției intersectează axa $O x$ . Interpretează rezultatul ca o deplasare verticală a graficului.

Răspunsuri și explicații

1. Ordonata crește cu opt pe o deplasare orizontală de zece, adică cu $4/5$ pe unitate. De la $A$ , creșterea cu cinci cere o deplasare de $5/ (4/5) = 25/4$ , deci zeroul este $- 4 + 25/4 = 9/4$ și punctul de pe $O x$ este $(9/4; 0)$ . Pe $O y$ , valoarea este $- 5 + (4/5) \cdot 4 = - 9/5$ , deci punctul $(0; - 9/5)$ . Semnul: negativ pe $[- 4, 9/4)$ , pozitiv pe $(9/4, 6]$ . Formula de control este $f (x) = 4 x /5 - 9/5$ .

2. Pe $O y$ avem $f (0) = 10$ , deci $(0; 10)$ . Pe $O x$ , din $10 - 5 x /2 = 0$ rezultă $x = 4$ , deci $(4; 0)$ . Ambele puncte există, fiindcă domeniul este $R$ .

3. Nu. Formula s-ar anula în $- 6$ , care nu aparține lui $[- 2, 4]$ . Valorile din capete sunt $g (- 2) = 6$ și $g (4) = 15$ , deci graficul este integral deasupra axei și $g (x) > 0$ pe tot domeniul. Graficul nu intersectează $O x$ ; pe $O y$ are punctul $(0; 9)$ .

4. Calculul $h (- 3/2) = 4 - 4 = 0$ arată că minus trei doimi, capăt inclus, este singurul zero; punctul $(- 3/2; 0)$ aparține graficului. Pentru argumentele mai mari valorile sunt negative, de exemplu $h (3) = - 12$ . Deci $h (x) < 0$ pe $(- 3/2, 3]$ , iar intersecția cu $O y$ este $(0; - 4)$ .

5. Fals. Condiția privind argumentul zero decide existența punctului de pe $O y$ , nu a celui de pe $O x$ . Contraexemplu: $r : [2, 8] \to R$ , $r (x) = 3 x /5 - 3$ , are zeroul $5$ , deci graficul conține punctul $(5; 0)$ , deși zero nu este în domeniu.

6. Formula se anulează numai în $4$ , fiindcă $5 \cdot 4/4 - 5 = 0$ . a) Un zero, $4$ . b) Un zero: capătul $4$ este inclus. c) Niciun zero: $4$ este capăt exclus, iar pe $[0, 4)$ toate valorile sunt negative. d) Un zero: $4$ se află printre argumentele enumerate, iar în $3$ și $5$ valorile sunt $- 5/4$ și $5/4$ .

7. Ordonata scade cu $16$ pe o deplasare de $10$ , adică cu $8/5$ pe unitate. De la $(- 5; 8)$ , scăderea cu opt cere deplasarea $8/ (8/5) = 5$ , deci zeroul este $0$ . Punctul de pe $O x$ și cel de pe $O y$ coincid: originea $(0; 0)$ . Formula compatibilă este $n (x) = - 8 x /5$ . Semnul: $n (x) > 0$ pe $[- 5, 0)$ și $n (x) < 0$ pe $(0, 5]$ . Funcția $w$ are semnele inversate, $w (x) < 0$ pe $[- 5, 0)$ și $w (x) > 0$ pe $(0, 5]$ , și același zero.

8. Variația este $- 12$ pe o deplasare de opt, adică $- 3/2$ pe unitate. De la $(- 2; 7)$ , scăderea cu șapte cere deplasarea $14/3$ , deci zeroul este $- 2 + 14/3 = 8/3$ . Funcția este pozitivă pe $[- 2, 8/3)$ și negativă pe $(8/3, 6]$ . Zero aparține domeniului; pe $O y$ valoarea este $7 - (3/2) \cdot 2 = 4$ , deci punctul $(0; 4)$ .

9. Graficul coboară de la un punct de deasupra axei până pe axă, deci după abscisa doi continuă sub axă: valoarea în patru este negativă. Scăderea este de patru pe o deplasare de șase, adică $2/3$ pe unitate; de la $(2; 0)$ la abscisa patru avem $0 - (2/3) \cdot 2 = - 4/3$ .

10. Nu. Valorile sunt între $Δ T (0) = 9$ și $Δ T (10) = 3$ , toate pozitive, deci ceaiul este mai cald decât camera pe tot intervalul. Diferența scade tot timpul, deci cea mai mică valoare se atinge în capătul intervalului: $3$ °C, la minutul zece.

11. Ordonata scade cu șase pe o deplasare de opt, adică cu $3/4$ pe unitate. De la $(- 3; 4)$ , scăderea cu patru cere deplasarea $16/3$ , deci zeroul este $- 3 + 16/3 = 7/3$ . Pe $O y$ : $4 - (3/4) \cdot 3 = 7/4$ , punctul $(0; 7/4)$ . Funcția este pozitivă pe $[- 3, 7/3)$ și negativă pe $(7/3, 5)$ ; cinci nu aparține domeniului.

12. Zeroul este $6$ , fiindcă $4 \cdot 6/3 - 8 = 0$ . Proba $f (0) = - 8 < 0$ arată că porțiunea din stânga zeroului se află sub axă. Intervalul $[- 3, 5]$ este cuprins în $(- \infty, 6)$ , deci $f (x) < 0$ pe el; de exemplu $f (- 3) = - 12$ și $f (5) = - 4/3$ .

13. Din punctul de pe $O y$ , termenul liber este patru. Între cele două puncte ordonata crește cu patru pe o deplasare de șase, deci coeficientul este $2/3$ : $f (x) = 2 x /3 + 4$ . Funcția este negativă pe $(- \infty, - 6)$ .

14. Variația este $- 14$ pe o deplasare de opt, deci coeficientul este $- 7/4$ , iar $g (x) = - 7 x /4 + 2$ . Coeficientul este nenul, deci există exact un zero: $8/7$ . Semnul: $g (x) > 0$ pe $(- \infty, 8/7)$ și $g (x) < 0$ pe $(8/7, + \infty)$ .

15. Din $6 x - 15 = 0$ rezultă $x = 5/2$ . Funcția $g$ are formula $g (x) = 6 x - 21$ , iar din $6 x - 21 = 0$ rezultă $x = 7/2$ . Graficul lui $g$ este graficul lui $f$ coborât cu șase unități; fiindcă dreapta urcă cu șase pe unitate, punctul ei de pe $O x$ se mută spre dreapta cu $6/6 = 1$ .

16. Condiția este ca $5/3$ să anuleze formula: $(m + 2) \cdot 5/3 - 5 = 0$ , deci $m + 2 = 3$ și $m = 1$ . Verificare: pentru $m = 1$ , formula devine $3 x - 5$ , iar $3 \cdot 5/3 - 5 = 0$ .

17. Zeroul este $12$ , deoarece $4 - 12/3 = 0$ . Graficul coboară, deci valorile sunt negative exact la dreapta zeroului, iar zeroul însuși nu convine, fiindcă $f (12) = 0$ . Cel mai mic număr natural mai mare decât $12$ este $13$ , iar $f (13) = - 1/3 < 0$ .

18. Formula se anulează în $- 2 b$ . Graficul atinge axa $O x$ exact când acest număr aparține domeniului: $- 2 \leq - 2 b \leq 6$ , adică $b \in [- 3, 1]$ . Mărirea lui $b$ ridică segmentul; pentru $b = 1$ zeroul ajunge în capătul stâng, iar pentru $b = - 3$ în capătul drept. În afara acestor valori, segmentul rămâne integral deasupra sau integral sub axă.

De reținut

Un zero al funcției este un argument din domeniu care anulează valoarea; numărul care anulează formula în afara domeniului nu contează.
Punctul de pe axa $O y$ , când există, este $(0; f (0))$ ; pe axa $O x$ graficul are câte un punct $(x_{0}; 0)$ pentru fiecare zero.
Semnul se citește pe verticală, față de axa $O x$ ; zeroul se exclude din intervalele de semn strict și se include la inegalitatea nestrictă.
Capetele marcate decid rezultatul: un zero aflat într-un capăt gol nu există.
O funcție afină cu $a \neq = 0$ definită pe $R$ are exact un zero; pe un domeniu restrâns are unul sau niciunul, iar o funcție constantă nu are niciun zero sau are drept zerouri toate argumentele.

Greșeli frecvente

Lași în intervalul de semn strict un zero aflat într-un capăt inclus. Dacă formula se anulează chiar în capătul plin, acel argument este zero, iar intervalul de semn începe acolo cu paranteză rotundă.
Numeri drept zero un cerculeț gol aflat pe axa $O x$ . Un capăt exclus nu aparține graficului, deci nu produce niciun zero.
Deduci semnul pe tot domeniul din punctul de pe $O y$ . Valoarea în zero dă doar semnul în argumentul zero; zeroul funcției poate fi de oricare parte, deci află-l înainte de a scrie intervalele.
Scrii intervale de semn pentru un domeniu finit. Între argumentele enumerate nu există puncte ale graficului; dă semnul argument cu argument.
Interpretezi o diferență negativă ca pe o mărime negativă. O diferență de temperatură negativă arată doar că proba este mai rece decât referința.

Aplică acasă

Harta semnului. Pe hârtie milimetrică, desenează segmentul unei funcții afine care traversează axa $O x$ . Colorează cu verde porțiunea de deasupra axei, cu roșu pe cea de dedesubt și marchează zeroul cu negru. Redesenează apoi același segment oprit exact în zero, cu un cerculeț gol acolo, și notează ce s-a schimbat în lista zerourilor și în intervalele de semn.
Aceeași probă, două referințe. Notează de câteva ori, la intervale egale, temperatura unui pahar cu apă lăsat în cameră. Calculează diferențele față de două temperaturi de referință diferite și marchează semnul lor. Explică de ce semnul s-a schimbat, deși măsurătorile au rămas aceleași.
Semnul pe o listă de zile. Notează din prognoza meteo temperaturile minime pentru următoarele șapte zile, într-o perioadă rece. Scrie semnul fiecărei valori lângă zi și explică de ce nu poți trece un interval de semn între două zile: argumentele sunt zilele enumerate, nu toate numerele dintre ele.

Pentru părinți și profesori

Un răspuns complet conține punctele de pe axe cu ambele coordonate, zerourile verificate față de domeniu și intervalele de semn cu paranteze justificate. Elevul trebuie să poată explica de ce același număr anulează formula, dar nu este zero al funcției atunci când domeniul îl exclude. Merită cerut, la fiecare grafic, să spună ce vede și ce a calculat separat.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027: competența IX.CS.1.6 cere identificarea intersecțiilor cu axele și a intervalelor de semn constant pe reprezentări grafice date. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 (programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Algebră”: la IX.6 prin lectură grafică, iar printre conținuturile de clasa a X-a semnul funcției afine apare și în tratare analitică. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă (OMEN 4430/2014) include la funcția de gradul I intersecția graficului cu axele, ecuația $f (x) = 0$ și semnul funcției. Modelul oficial 2026 conține la Subiectul I, cerința 2, o relație între două funcții afine; un singur model nu arată ce cerințe vor apărea într-o anumită sesiune.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: semnul funcției afine și intersecțiile cu axele. Pentru științe ale naturii, aici accentul cade pe domeniu, pe capetele marcate și pe zerourile care nu apar pe desen. Continuarea este rezolvarea grafică a ecuațiilor și inecuațiilor la M2, iar verificarea unității se face prin testul M2 despre funcții și lecturi grafice.

Întrebări frecvente

Ce aduce în plus lecția M2 față de varianta M1 despre semnul funcției afine?

Noțiunile sunt aceleași, dar aici pornim de la grafice date și de la domeniul declarat. Exercițiile verifică zerourile aflate în capete, aceeași formulă pe domenii diferite, domeniile finite și diferențele față de o referință. Lecția este completă pentru profilul de științe; varianta mate-info rămâne o comparație opțională, nu materie de selectat.

La ce parte a bacalaureatului M2 folosesc această lecție?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 cuprinde, la funcția de gradul I, intersecția graficului cu axele, ecuația $f (x) = 0$ și semnul funcției. Asemenea cerințe scurte se potrivesc Subiectului I. Modelul oficial 2026 are acolo o cerință cu două funcții afine. Pentru MAT_P2 din 2030, tema este în domeniul „Algebră”.

De ce un cerculeț gol aflat pe axa $O x$ nu înseamnă un zero?

Cerculețul gol arată că argumentul nu aparține domeniului. Un zero trebuie să fie argument al funcției și să anuleze valoarea. Chiar dacă formula dă zero acolo, punctul nu face parte din grafic. De aceea funcția poate avea valori din ce în ce mai apropiate de zero, fără să aibă vreun zero.

Cum aleg argumentul de probă pentru semn?

Alegi câte un argument din fiecare porțiune dintre zero și capete, luat din domeniul declarat: nu zeroul însuși și nici un număr din afara domeniului. Ia un număr cu care calculezi ușor, de exemplu un întreg. La o funcție afină ajunge o singură probă pe porțiune, fiindcă graficul ei nu poate traversa axa de două ori.

Cum scriu semnul unei funcții definite pe o mulțime finită?

Calculezi valoarea în fiecare argument și notezi semnul lângă el. Graficul are doar puncte izolate, așa că intervalele nu au sens: ele ar include numere pentru care funcția nu este definită. Un zero există numai dacă unul dintre argumentele enumerate anulează formula.

Un zero al formulei aflat în afara intervalului unui model are vreo semnificație?

Nu pentru modelul dat. Dacă formula este declarată valabilă doar pe un interval, numărul care o anulează în afara lui descrie prelungirea dreptei, nu fenomenul. Poți spune doar că, pe intervalul modelului, semnul rămâne constant. Pentru momente ulterioare ar fi nevoie de alte măsurători sau de alt model.