Funcția $$f(x)=-(x-2)(x-7)$$, definită pe $$\mathbb R$$, are valori strict pozitive exact pentru:

$$x\in(-\infty,2)\cup(7,+\infty)$$

Pentru $$f(x)=3(x+4)^2+2$$, definită pe $$\mathbb R$$, care afirmație este adevărată?

$$f$$ este strict pozitivă pe $$\mathbb R$$

$$f$$ schimbă semnul în $$-4$$

Pentru $$f(x)=-\frac32(x-5)^2$$, definită pe $$\mathbb R$$, care afirmație este adevărată?

$$f(x)\le0$$ pentru orice $$x$$ real, cu egalitate numai în $$5$$

$$f(x)<0$$ pentru orice $$x$$ real

$$f$$ schimbă semnul în $$5$$

Pentru ce producții este pozitiv un profit P(x)=-x²+12x-20?

Scrii P(x)=-(x-2)(x-10), cu zerourile 2 și 10 și ramurile în jos. Profitul este pozitiv strict între ele, pentru x∈(2,10); la 2 și 10 bucăți este zero, iar în afara intervalului devine pierdere.

Cât timp stă deasupra solului o minge cu h(t)=-5t²+15t+20?

Înălțimea se scrie h(t)=-5(t-4)(t+1), cu zerourile -1 și 4 și ramurile în jos. Pentru t∈[0,4) valorile sunt pozitive, deci mingea este deasupra solului; la t=4 s atinge solul. Zeroul negativ nu are sens fizic.

Când e o funcție de gradul doi mereu pozitivă?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Semnul pe grafic

Funcția $a x^{2} + b x + c$ este strict pozitivă pentru orice $x$ real exact când $a > 0$ și $Δ < 0$ : ramurile urcă, iar vârful stă deasupra axei. Exemplu: $x^{2} - 2 x + 5$ are $Δ = 4 - 20 = - 16$ și se scrie $(x - 1)^{2} + 4 \geq 4$ . Cu parametru: $x^{2} + 2 x + m > 0$ pentru orice $x$ când $4 - 4 m < 0$ , adică $m > 1$ . Dacă $Δ = 0$ , funcția este doar nenegativă, fiindcă se anulează în vârf.

Semnul unei funcții într-o intrare este semnul valorii ei acolo, adică poziția punctului de pe grafic față de axa orizontală: deasupra înseamnă pozitiv, sub axă negativ, pe axă zero. Răspunsul se dă prin mulțimi de intrări, citite pe axa orizontală, iar zerourile se trec separat de intervalele deschise în care semnul este strict.

Când parabola traversează axa în două puncte, semnul se schimbă la fiecare dintre ele. Când doar o atinge în vârf, semnul rămâne același de o parte și de alta. Fără puncte comune cu axa, funcția păstrează un singur semn, dat de poziția vârfului. Scrierea ca produs de factori sau ca pătrat plus un număr confirmă ce arată desenul.

Un domeniu restrâns păstrează valorile formulei, dar poate elimina zerouri și poate face o funcție strict pozitivă sau strict negativă pe acel interval. Pe un domeniu finit, se grupează doar elementele lui. Înmulțirea cu un număr pozitiv păstrează tabelul de semn, iar cu unul negativ îl inversează; tabelul nu păstrează însă mărimea valorilor.

De reținut

$a x^{2} + b x + c > 0$ pentru orice $x$ real $⟺ a > 0$ și $Δ < 0$
între rădăcini semnul este opus lui $a$ , în afara lor același cu al lui $a$
pe un interval fără rădăcini semnul este constant

Greșeala tipică

Se cere doar $Δ < 0$ pentru ca funcția să fie pozitivă peste tot și se uită semnul lui $a$ ; $- x^{2} - 1$ are $Δ < 0$ , dar este negativă pentru orice $x$ .

Exerciții din această mini-lecție

Funcția $f (x) = - (x - 2) (x - 7)$ , definită pe $R$ , are valori strict pozitive exact pentru:
- a) $x \in (- \infty, 2) \cup (7, + \infty)$
- b) $x \in [2, 7]$
- c) $x \in (2, 7)$
- d) $x \in (- 7, - 2)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $x \in (2, 7)$

Ramurile sunt în jos, iar zerourile sunt $2$ și $7$ . Curba este deasupra axei numai între ele, fără capete, unde valoarea este zero.
Pentru $f (x) = 3 (x + 4)^{2} + 2$ , definită pe $R$ , care afirmație este adevărată?
- a) $f$ este strict pozitivă pe $R$
- b) $f$ se anulează în $- 4$
- c) $f$ are și valori negative
- d) $f$ schimbă semnul în $- 4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $f$ este strict pozitivă pe $R$

Pătratul este cel puțin zero, deci toate valorile sunt cel puțin $2$ . Funcția nu are zerouri și este strict pozitivă.
Pentru $f (x) = - \frac{3}{2} (x - 5)^{2}$ , definită pe $R$ , care afirmație este adevărată?
- a) $f (x) < 0$ pentru orice $x$ real
- b) $f (x) \leq 0$ pentru orice $x$ real, cu egalitate numai în $5$
- c) $f$ schimbă semnul în $5$
- d) $f (x) > 0$ pentru $x > 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $f (x) \leq 0$ pentru orice $x$ real, cu egalitate numai în $5$

Parabola atinge axa în vârful $(5, 0)$ și rămâne sub ea în rest. Valoarea este zero numai în $5$ , deci funcția este nepozitivă, nu strict negativă.

Întrebări conexe

Ce semn are $x^{2} - 9$ pe intervalul $[4, 6]$ ?

Rădăcinile $- 3$ și $3$ sunt în afara intervalului, deci pe $[4, 6]$ semnul nu se schimbă. O singură valoare îl decide: $f (4) = 16 - 9 = 7 > 0$ . Funcția este strict pozitivă pe tot intervalul.

Când este o funcție de gradul doi negativă sau nulă pentru orice $x$ ?

Când $a < 0$ și $Δ \leq 0$ . De exemplu, $- x^{2} + 6 x - 9 = - (x - 3)^{2}$ este cel mult $0$ și se anulează doar în $3$ . Dacă cererea este strict negativă peste tot, trebuie $Δ < 0$ , altfel rămâne un punct în care valoarea este zero.

Cum aflu semnul lui $- 3 (x - 1) (x + 2)$ fără să desfac parantezele?

Zerourile sunt $- 2$ și $1$ , iar coeficientul lui $x^{2}$ este $- 3$ , deci ramurile sunt în jos. Funcția este pozitivă între zerouri, pe $(- 2, 1)$ , și negativă în afara lor. Proba la $x = 0$ : $- 3 \cdot (- 1) \cdot 2 = 6 > 0$ .

Pentru ce producții este pozitiv un profit $P (x) = - x^{2} + 12 x - 20$ ?

Scrii $P (x) = - (x - 2) (x - 10)$ , cu zerourile $2$ și $10$ și ramurile în jos. Profitul este pozitiv strict între ele, pentru $x \in (2, 10)$ ; la $2$ și $10$ bucăți este zero, iar în afara intervalului devine pierdere.

Câte numere naturale verifică $x^{2} - 7 x + 10 < 0$ ?

Zerourile sunt $2$ și $5$ , fiindcă $x^{2} - 7 x + 10 = (x - 2) (x - 5)$ , iar între ele valorile sunt negative. Inegalitatea strictă exclude capetele, deci rămân $3$ și $4$ : două numere naturale.

Cât timp stă deasupra solului o minge cu $h (t) = - 5 t^{2} + 15 t + 20$ ?

Înălțimea se scrie $h (t) = - 5 (t - 4) (t + 1)$ , cu zerourile $- 1$ și $4$ și ramurile în jos. Pentru $t \in [0, 4)$ valorile sunt pozitive, deci mingea este deasupra solului; la $t = 4$ s atinge solul. Zeroul negativ nu are sens fizic.

Oamenii mai întreabă și: funcție de gradul doi pozitivă pentru orice x · condiția ca trinomul să fie pozitiv · a pozitiv și delta negativ · parabola deasupra axei Ox

Când e o funcție de gradul doi mereu pozitivă?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Ce semn are x2−9 pe intervalul [4,6]?

Când este o funcție de gradul doi negativă sau nulă pentru orice x?

Cum aflu semnul lui −3(x−1)(x+2) fără să desfac parantezele?

Pentru ce producții este pozitiv un profit P(x)=−x2+12x−20?

Câte numere naturale verifică x2−7x+10<0?

Cât timp stă deasupra solului o minge cu h(t)=−5t2+15t+20?