Semnul funcției de gradul doi (M2, științe ale naturii)

Când spunem că o funcție are o valoare pozitivă, privim ordonata punctului de pe grafic, nu abscisa lui și nici sensul în care se mișcă ramura. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), citim unde parabola este deasupra axei orizontale, pe axă sau sub ea și organizăm informația într-un tabel de semn. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă cuprinde poziționarea parabolei față de axa $Ox$ și semnul funcției. Pentru programa nouă a clasei a IX-a, lectura graficelor date este esențială. Legăm această lectură de intersecțiile parabolei cu axele, iar în lecția următoare folosim semnul pentru alegerea soluțiilor unei inecuații.

Ce vei învăța

• Vei asocia poziția curbei față de axa orizontală cu semnul valorilor funcției.
• Vei separa intrările cu imagini pozitive, nule și negative.
• Vei construi un tabel de semn dintr-o parabolă dată.
• Vei distinge traversarea axei de atingerea ei fără schimbare de semn.
• Vei controla lectura printr-un produs, un pătrat sau o valoare de verificare.
• Vei adapta concluziile la domeniul efectiv și la precizia informațiilor disponibile.

Hai să descoperim împreună

1. La ce ne uităm când spunem „pozitiv”?

Figura A reprezintă o funcție pătratică $f$ pe $\mathbb{R}$. Axa orizontală reprezintă nivelul zero al valorilor. Un punct de pe curbă situat deasupra acestei axe are ordonata pozitivă, iar unul situat sub ea are ordonata negativă. Semnul funcției într-o intrare admisă este semnul valorii ei în acea intrare: funcția este pozitivă acolo dacă valoarea este mai mare decât zero, negativă dacă valoarea este mai mică decât zero și nulă dacă valoarea este zero.

Curba intersectează axa la abscisele minus cinci și trei. Între aceste repere, porțiunea de parabolă se află sub axă; în exterior, ramurile se află deasupra. În rădăcini, valoarea este zero și nu este nici strict pozitivă, nici strict negativă.

Semnul se referă la imagine. O intrare negativă poate avea imagine pozitivă, iar o intrare pozitivă poate avea imagine negativă. În figura A, la o intrare din stânga lui minus cinci obținem o valoare pozitivă, deși intrarea este negativă.

Nu confundăm nici semnul cu monotonia. O ramură poate coborî și poate rămâne deasupra axei pe o porțiune, deci funcția descrește acolo, dar are valori pozitive. Monotonia compară valori; semnul compară fiecare valoare cu zero.

2. Cum transformăm desenul în mulțimi de intrări?

Privim porțiunea curbei cu poziția cerută și citim abscisele punctelor ei. Răspunsul este o mulțime de intrări, nu o colecție de ordonate. Pentru figura A, valorile negative corespund intrărilor din $(-5,3)$, iar cele pozitive corespund intrărilor din $(-\infty ,-5)\cup (3,+\infty )$.

Zerourile se notează separat: minus cinci și trei. La o afirmație despre valori strict pozitive sau strict negative, aceste intrări nu intră în intervale. Dacă vorbim despre valori nenegative, includem și zerourile; dacă vorbim despre valori nepozitive, le includem alături de valorile negative.

Cuvintele au sens precis: „nenegativ” înseamnă mai mare sau egal cu zero, iar „nepozitiv” înseamnă mai mic sau egal cu zero. Nu folosim aceste cuvinte ca sinonime pentru „pozitiv” și „negativ”. Diferența apare exact în punctele în care curba întâlnește axa.

Pe domeniul dat, cele trei categorii stricte — imagini pozitive, imagini nule, imagini negative — sunt disjuncte și acoperă toate intrările. Nicio intrare admisă nu rămâne fără o categorie, iar aceeași valoare nu poate fi simultan pozitivă și negativă.

3. Cum construim tabelul de semn?

Așezăm pe primul rând intervalele de intrări și zerourile, în ordinea de pe axa orizontală. Pe al doilea rând trecem semnul imaginilor: plus, zero sau minus. Tabelul nu arată înălțimea exactă a curbei; păstrează doar informația necesară pentru compararea cu nivelul zero.

Nu așezăm ordonatele vârfului sau alte valori calculate printre reperele de pe primul rând. Acolo se află intrările care delimitează zonele. Un număr negativ scris pe primul rând poate corespunde unui plus pe al doilea rând, fără nicio contradicție.

Dacă domeniul este un interval restrâns, tabelul trebuie să se oprească la capetele lui și să păstreze informația despre includere. Dacă domeniul este finit, putem face un tabel cu intrările enumerate; nu completăm automat intervalele dintre ele, deoarece acele intrări pot să nu fie admise.

Un tabel complet poate fi controlat prin revenirea la grafic. Pentru fiecare coloană cu plus, curba trebuie să fie deasupra axei pe porțiunea respectivă. Pentru fiecare zero trebuie să existe un punct admis pe axă. Acest control verifică sensul tabelului, nu doar forma lui.

Simbolurile de infinit dintr-un tabel arată că intervalul continuă fără un capăt real în direcția respectivă. Ele nu sunt intrări la care calculăm funcția și nu primesc un zero sau o valoare numerică. De aceea intervalele care folosesc infinitul au întotdeauna paranteză rotundă la acel simbol. În schimb, la un capăt real al domeniului, includerea se verifică din enunț. Această diferență între o direcție nemărginită și un capăt efectiv ajută la citirea corectă a tabelului și la formularea răspunsului în limbaj matematic, mai ales când aceeași descriere conține și intervale finite.

4. Ce se întâmplă când parabola traversează sau atinge axa?

Când parabola completă are două intersecții distincte cu axa orizontală, semnul se schimbă la fiecare dintre ele. Ramurile cu orientare în sus sunt deasupra axei în exteriorul rădăcinilor și sub ea între rădăcini. Pentru orientare în jos, pozițiile sunt inversate.

Când vârful este pe axă, parabola o atinge fără să o traverseze. Semnul de o parte și de cealaltă a rădăcinii rămâne același. În rădăcină valoarea este zero, iar în rest valorile sunt fie toate pozitive, fie toate negative, după orientare.

Aceasta explică de ce un zero nu este întotdeauna locul unei schimbări de semn. Trebuie să privim poziția curbei înainte și după punctul comun. Regula „schimb semnul la fiecare rădăcină” ar produce un tabel greșit în cazul atingerii.

Dacă parabola nu întâlnește axa, păstrează un singur semn pe domeniul real. Poate fi complet deasupra sau complet dedesubt. Absența zerourilor nu spune singură care este semnul; poziția curbei sau o informație exactă despre valoarea ei permite alegerea.

5. Ce confirmări algebrice sunt utile?

Dacă funcția este dată factorizat, $f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$, putem controla semnul fiecărui factor în intervalele separate de rădăcini. În exterior, cei doi factori liniari au același semn și produsul lor este pozitiv; între rădăcini au semne opuse și produsul este negativ. Coeficientul din față păstrează sau inversează rezultatul.

Această explicație justifică regula grafică pentru două rădăcini distincte. Nu trebuie să calculăm valoarea exactă în fiecare intrare. O valoare aleasă dintr-un interval poate controla tabelul, dar nu înlocuiește justificarea că semnul se păstrează pe întreaga porțiune.

Forma canonică este utilă când nu există zerouri sau când avem un pătrat. O expresie de tipul $a(x-h{)}^2+k$ permite compararea cu nivelul $k$. Dacă termenul cu pătrat este nenegativ și nivelul adăugat este pozitiv, întreaga expresie este strict pozitivă.

Dacă funcția este dată dezvoltat, încercăm întâi să o scriem ca produs de factori sau cu un pătrat, prin descompunerile cunoscute. Scrierea potrivită face vizibil semnul fără calcule inutile; metoda generală de rezolvare a ecuației de gradul al doilea nu este necesară pentru graficele și formulele din această lecție.

Factorizarea oferă și un control asupra zerourilor care separă zonele. Produsul se anulează când cel puțin un factor este nul, dar în acele intrări nu îi atribuim semnul unui factor rămas nenul. Întâi recunoaștem valoarea zero, apoi studiem semnele pe intervalele care o ocolesc. Dacă am împărți relația printr-un factor care se poate anula fără să păstrăm separat cazul lui nul, am pierde tocmai una dintre intrările importante ale tabelului. Păstrarea zerourilor și apoi a zonelor deschise evită această pierdere de informație.

6. Ce schimbă o restricție a domeniului?

Semnul formulei în intrările păstrate nu se schimbă. Se schimbă doar lista intrărilor despre care avem voie să vorbim. Păstrăm din fiecare zonă de semn numai partea care aparține domeniului.

O rădăcină exclusă de domeniu nu mai este zero al funcției restrânse. Dacă toate intrările rămase au imagini pozitive, restricția este strict pozitivă, chiar dacă parabola completă se anulează în altă parte. Descrierea trebuie să menționeze domeniul pentru a nu transforma această concluzie locală într-una globală.

La capete, includerea depinde de domeniu și de valoarea imaginii. Un capăt inclus, cu imagine pozitivă, aparține zonei de pozitivitate. Nu toate capetele intervalelor de semn sunt obligatoriu zerouri: unele provin pur și simplu din limita domeniului dat.

Dacă într-o aplicație ieșirea reprezintă o diferență față de un reper, un semn negativ arată că valoarea modelată este sub acel reper. Nu înseamnă automat o cantitate fizică imposibilă. Sensul nivelului zero și intervalul de utilizare se citesc din enunț înainte de interpretarea semnului.

7. Ce informații nu sunt suficiente pentru un semn global?

Câteva valori pozitive într-un tabel nu dovedesc că toate valorile funcției sunt pozitive. Intrările alese pot ocoli o porțiune scurtă în care parabola coboară sub axă. Pentru o concluzie globală folosim reprezentarea relevantă a curbei, vârful și orientarea ori o justificare algebrică.

Nici o captură care arată numai o ramură deasupra axei nu exclude zerouri aflate în afara ferestrei. Dacă domeniul este real, marginea imaginii nu este capătul studiului. O fereastră potrivită include reperele care decid semnul, iar datele exacte controlează ceea ce desenul nu separă clar.

Un tabel de semn corect nu determină neapărat o singură formulă. Înmulțirea unei funcții cu un număr pozitiv păstrează semnele și zerourile, dar poate schimba toate valorile nenule. Înmulțirea cu un număr negativ păstrează zerourile și inversează semnele.

Acest fapt arată și ce informație se pierde în tabel. Două curbe pot avea aceleași zone de pozitivitate, dar înălțimi foarte diferite. Pentru o valoare numerică sau o comparație între două funcții, este nevoie de alte date; semnul singur răspunde numai raportării la zero.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Tabelul unei parabole cu ramuri în jos

Figura B reprezintă o funcție pătratică $g$ pe $\mathbb{R}$. Citește cele trei categorii de intrări după semnul imaginii.

Rezolvare. Zerourile sunt minus trei și patru. Curba este deasupra axei între ele, deci valorile sunt pozitive pentru $x\in (-3,4)$. În exterior este sub axă, deci valorile sunt negative pentru $x\in (-\infty ,-3)\cup (4,+\infty )$.

În cele două rădăcini avem valori nule. Tabelul ar avea succesiunea minus, zero, plus, zero, minus. Nu am folosit semnul intrărilor pentru a decide semnul imaginilor: intervalul pozitiv cuprinde atât intrări negative, cât și intrări pozitive.

Exemplul 2 — Zero fără schimbare de semn

Figura C reprezintă $p(x)=\frac{1}{2}(x+3{)}^2$ pe $\mathbb{R}$. Precizează unde funcția este pozitivă, unde este nulă și dacă poate fi negativă.

Rezolvare. Parabola atinge axa în minus trei și rămâne deasupra ei în ambele părți. Valoarea este zero numai în acea intrare; în toate celelalte intrări este pozitivă. Nu există valori negative.

Formula confirmă lectura: pătratul este pozitiv când baza nu este zero, iar factorul pozitiv nu îi schimbă semnul. Putem spune că funcția este nenegativă pe întregul domeniu, dar nu strict pozitivă peste tot, deoarece există un zero.

Exemplul 3 — Un grafic care rămâne deasupra axei

Figura D reprezintă $q(x)=\frac{1}{3}(x+1{)}^2+2$ pe $\mathbb{R}$. Studiază semnul și explică de ce poziția vârfului este suficientă împreună cu orientarea.

Rezolvare. Vârful este la nivelul doi, iar ramurile sunt orientate în sus. Toate punctele sunt deasupra axei orizontale, deci funcția este strict pozitivă în orice intrare reală. Nu există zerouri și nici intrări cu imagini negative.

Algebric, termenul cu pătrat este nenegativ și adăugăm doi, deci $q(x)\ge 2$ în orice intrare. Am controlat toate intrările prin aceeași proprietate, nu doar câteva valori dintr-un tabel. Aceasta justifică afirmația pe întregul domeniu.

Exemplul 4 — Semnul pe o parte din domeniu

Se studiază $r(x)=\frac{1}{3}(x+8)(x+2)$ numai pentru $x\in (-5,3]$. Construiește descrierea semnului pe acest domeniu.

Rezolvare. Rădăcinile expresiei sunt minus opt și minus doi. În intervalul dat, prima nu este admisă. Pentru intrările din $(-5,-2)$, primul factor este pozitiv și al doilea negativ, iar factorul $\frac{1}{3}$ este pozitiv, deci valoarea este negativă. În minus doi este zero; pe $(-2,3]$ este pozitivă.

Capătul trei rămâne inclus în zona pozitivă, fiind o intrare admisă cu imagine pozitivă. Capătul minus cinci este exclus din domeniu. Nu completăm tabelul până la infinit când problema a declarat explicit o restricție.

Exemplul 5 — Un tabel de probe ratează zona negativă

Pentru $u(x)=(x-2{)}^2-\frac{1}{4}$, un elev calculează numai în intrările zero, unu, trei și patru și obține valori pozitive. Poate concluziona că funcția este pozitivă pe $\mathbb{R}$?

Rezolvare. Nu. În intrarea doi, valoarea este $-1/4$, deci negativă. Zerourile sunt $3/2$ și $5/2$, iar funcția este negativă între ele. Toate intrările încercate de elev se aflau în afara acestei zone.

Calculele lui pot fi corecte, iar concluzia globală poate fi totuși falsă. Pentru un control relevant, trebuie observată poziția vârfului și a intersecțiilor, nu doar adăugate la întâmplare câteva intrări cu valori pozitive.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Fie $s:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $s(x)=-2(x+2)(x-6)$. Descrie semnul lui $s$, apoi compară-l cu semnul funcțiilor $3s$ și $-s$.

Rezolvare. Rădăcinile sunt minus doi și șase. Funcția $s$ este pozitivă între ele și negativă în exterior, iar în rădăcini este zero. Înmulțirea cu trei păstrează această descriere, deoarece factorul este pozitiv.

Pentru $-s$, semnele se inversează: valori negative între rădăcini și pozitive în exterior. Zerourile rămân aceleași. Cele trei grafice nu coincid, deși două dintre ele au același tabel de semn; tabelul nu păstrează mărimea valorilor.

Să exersăm

Figura E este graficul unei funcții pătratice $f$ pe $\mathbb{R}$. Folosește-o la exercițiile 1–3, citind poziția curbei față de axă. Nu este necesară formula.

1. Scrie zerourile și intervalele pe care funcția din figura E are valori pozitive, respectiv negative.

2. Precizează semnul lui $f(-3)$, $f(0)$ și $f(2)$ fără să citești valorile numerice exacte.

3. Scrie mulțimea intrărilor în care funcția din figura E are imagine nepozitivă. Ce numere adaugi față de zona strict negativă?

Figura F reprezintă $g(x)=-\frac{1}{2}(x-4{)}^2+2$ pe $\mathbb{R}$. Folosește-o la exercițiile 4–5.

4. Fără să citești alte puncte de pe figură, decide ce semn are $g$ într-o intrare aflată la distanța $1,5$ de dreapta $x=4$ și într-una aflată la distanța $3$. Justifică prin forma expresiei.

5. Care este cel mai mare număr $b$ pentru care $g$ este nenegativă pe tot intervalul $[4,b]$? De ce același $b$ nu mai convine dacă cerem ca $g$ să fie strict pozitivă pe $[4,b]$?

6. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Construiește tabelul de semn pentru $p(x)=-\frac{1}{2}(x+7)(x-3)$ pe $\mathbb{R}$.

7. Precizează semnul lui $q(x)=(4x-3{)}^2$, inclusiv în intrarea în care se anulează.

8. Poate $r(x)=-2(x-5{)}^2-1$ să aibă o valoare pozitivă sau nulă? Justifică prin forma expresiei.

9. Studiază semnul lui $s(x)=3(x+2{)}^2+4$ numai din forma expresiei, fără să calculezi valori în puncte alese.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pentru $u(x)=(x-3)(x-8)$, studiază semnul numai pe $[4,9)$. Păstrează corect capetele provenite din domeniu.

11. Funcția $v(x)=3(x-1)(x-6)$ are domeniul finit $D=\{-2,0,3,7\}$. Grupează intrările după semnul imaginii. Nu adăuga numere care lipsesc din $D$.

12. Funcția $w(x)=2(x+7{)}^2$ este restrânsă la domeniul $[-5,2]$. Alege afirmația corectă și explică: „are un zero pe domeniu” sau „este strict pozitivă pe domeniu”.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină zerourile și semnul lui $z(x)=-3x^2+3x+18$, folosind factorizarea.

14. Compară funcțiile $f_1(x)=2(x-3{)}^2-2$, $f_2(x)=2(x-3{)}^2$ și $f_3(x)=2(x-3{)}^2+2$: care are o zonă negativă, care are un singur zero și care este strict pozitivă peste tot?

15. (Adevărat/Fals cu motivare.) O funcție pătratică definită pe $\mathbb{R}$, cu ramurile în jos și fără puncte comune cu axa orizontală, poate avea toate valorile strict pozitive.

16. (Problemă aplicată.) Într-un model de populație, rata netă de creștere a numărului de alge dintr-un vas de cultură este $r(N)=\frac{1}{50}N(60-N)$ mii de celule pe zi, unde $N$ este numărul de celule, în mii, cu $0\le N\le 90$. Pentru ce valori ale lui $N$ populația crește, pentru ce valori scade și când rămâne constantă?

17. O funcție pătratică $t$ are zerourile $-8$ și $2$, iar $t(0)=-4$. Ce semn au $t(5)$ și $-3t(5)$?

18. Pentru $d(x)=-(x+9)(x+4)$, arată că există un interval alcătuit numai din intrări negative în care imaginile sunt pozitive. Scrie intervalul și explică de ce nu este o contradicție.

Răspunsuri și explicații

1. Zerourile sunt $-4$ și $1$. Valorile sunt negative pe $(-4,1)$ și pozitive pe $(-\infty ,-4)\cup (1,+\infty )$. Ramurile din exterior sunt deasupra axei.

2. Primele două valori sunt negative, ultima este pozitivă. Semnul se poate citi fără să cunoaștem înălțimea exactă a fiecărui punct.

3. Mulțimea este $[-4,1]$. Față de zona strict negativă, $(-4,1)$, se adaugă cele două zerouri, $-4$ și $1$, fiindcă „nepozitiv” înseamnă mai mic sau egal cu zero.

4. Pozitiv la distanța $1,5$ și negativ la distanța $3$. Dacă $d$ este distanța până la $x=4$, atunci $g=-\frac{1}{2}{d}^2+2$, care e pozitiv exact când $d<2$: $-\frac{1}{2}\cdot \frac{9}{4}+2=\frac{7}{8}>0$ și $-\frac{9}{2}+2=-\frac{5}{2}<0$.

5. Cel mai mare este $b=6$. Zerourile lui $g$ sunt $2$ și $6$, iar între ele curba este deasupra axei; în $6$ valoarea este zero, permisă la „nenegativă”. Pentru strict pozitivă, capătul $6$ ar da imaginea zero, deci trebuie $b<6$.

6. Zerouri în minus șapte și trei, valori pozitive pe $(-7,3)$, negative pe $(-\infty ,-7)\cup (3,+\infty )$. Factorul negativ din față inversează semnul produsului celor doi factori liniari.

7. Zero în $3/4$ și pozitivă în rest. Nu există valori negative, deoarece expresia este un pătrat.

8. Nu. Toate valorile sunt cel mult minus unu, deci strict negative. Nici vârful, punctul cel mai înalt, nu ajunge la axă.

9. Toate valorile sunt cel puțin patru, deci strict pozitive. Nu există zerouri; termenul cu pătrat nu poate anula nivelul pozitiv adăugat.

10. Valori negative pe $[4,8)$, zero în opt, pozitive pe $(8,9)$. Capătul patru este inclus, deși nu este rădăcină; nouă este exclus din domeniu.

11. Imagini pozitive pentru $-2,0,7$, imagine negativă pentru trei, niciun zero. Valorile sunt, în această ordine a domeniului, $72,18,-18,18$; răspunsul conține mulțimi finite, nu intervale.

12. Este strict pozitivă pe domeniu. Singurul zero al expresiei, minus șapte, nu aparține intervalului $[-5,2]$, iar pătratul unui număr nenul este pozitiv. Pe parabola completă, funcția ar fi doar nenegativă, fiindcă se anulează în minus șapte.

13. Factorizarea este $-3(x-3)(x+2)$. Zerourile sunt minus doi și trei; semnul este pozitiv pe $(-2,3)$ și negativ în exterior.

14. Funcția $f_1$ este negativă pe $(2,4)$ și se anulează în doi și patru. Funcția $f_2$ are un singur zero, în trei. Funcția $f_3$ are toate valorile strict pozitive.

15. Fals. O parabolă cu ramuri în jos, fără intersecții, trebuie să aibă și vârful sub axă, deci este negativă peste tot. Un vârf pozitiv ar obliga cele două ramuri să traverseze axa.

16. Factorul $\frac{1}{50}$ este pozitiv, deci semnul este cel al produsului $N(60-N)$. Rata este pozitivă pe $(0,60)$, deci populația crește; este negativă pe $(60,90]$, deci populația scade; este nulă pentru $N=0$ și $N=60$, când numărul de celule rămâne constant. Semnul negativ nu înseamnă o cantitate imposibilă: descrie o scădere a numărului de celule.

17. Intrarea zero este între zerouri și are imagine negativă, deci $t$ e negativă pe $(-8,2)$ și ramurile sunt în sus. Intrarea cinci e în exterior, așa că $t(5)>0$, iar $-3t(5)<0$.

18. Intervalul este $(-9,-4)$, iar pe el $d$ ia valori pozitive. Intrările lui sunt negative, dar produsul cu semnul din față dă imagini pozitive. Semnul intrării și semnul ieșirii descriu numere diferite.

De reținut

• Semnul funcției se citește din ordonată și din poziția curbei față de axa orizontală.
• Intrările cu imagini pozitive, nule și negative formează trei categorii separate.
• La traversarea axei semnul se schimbă; la atingerea în vârf rămâne același în jurul rădăcinii.
• Domeniul poate elimina zerouri sau porțiuni de semn fără să modifice formula.
• Un tabel de semn păstrează raportarea la zero, dar nu determină toate valorile numerice ale funcției.

Greșeli frecvente

• Copierea semnului intrării în dreptul imaginii. Numărul de pe axa orizontală și ordonata punctului au roluri diferite; urmărește curba înainte de a atribui un plus sau un minus.
• Citirea semnului din sensul de coborâre al ramurii. O curbă care coboară poate rămâne deasupra axei. Semnul și monotonia se verifică prin întrebări diferite.
• Așezarea ordonatei vârfului între reperele de pe rândul intrărilor. Tabelul de semn este împărțit prin abscise, în special zerouri și capete ale domeniului; înălțimile nu sunt acele repere.
• Completarea unei afirmații globale doar din câteva probe pozitive. Intrările încercate pot rata o zonă negativă. Controlează vârful, intersecțiile și domeniul, nu numai rezultatele dintr-o listă.
• Reconstruirea unei formule unice din semne. Mai multe funcții pot avea același tabel. Pentru coeficienți și valori exacte sunt necesare informații suplimentare despre înălțimea curbei.

Aplică acasă

1. Aceleași semne, alte valori. Reprezintă pe același ecran o funcție pătratică și dublul ei. Alege câte o intrare din fiecare zonă de semn și compară valorile. Explică ce informații coincid în tabele și ce informații diferențiază graficele.
2. Tabel cu domeniu finit. Alege cinci intrări pentru o regulă pătratică și declară că numai ele formează domeniul. Grupează imaginile după semn, apoi compară rezultatul cu descrierea funcției pe domeniul real. Nu uni punctele funcției cu domeniu finit printr-o curbă prezentată ca parte a graficului ei.
3. Două lecturi ale aceleiași ramuri. Pe un grafic dat, alege o porțiune care coboară și rămâne deasupra axei. Scrie separat o propoziție despre monotonie și una despre semn. Explică de ce cele două propoziții nu se contrazic.

Pentru părinți și profesori

Cereți elevului să indice mai întâi partea curbei și apoi intervalul de intrări. Dacă răspunde prin ordonate, reveniți la proiecția pe axa orizontală. Dacă asociază automat intrarea negativă cu imaginea negativă, folosiți un punct din cadranul al doilea și cereți să numească separat coordonatele.

Alternați cazurile cu traversare, atingere și lipsă de intersecții. Nu prezentați verificarea într-o singură intrare drept demonstrație pentru întregul interval; ea controlează un tabel justificat prin forma curbei sau prin factori. Includeți și domenii finite, pentru a păstra legătura cu definiția funcției.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; nota unității IX.6 cere evidențierea grafică a intersecțiilor cu axele și a proprietăților funcției. Anexa 28 numește semnul funcției de gradul al doilea la clasa a X-a (X.3); aici îl pregătim prin lectura grafică din IX.6, ca poziție a curbei față de axa orizontală. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2, anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Algebră”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) cuprinde poziționarea parabolei față de axa $Ox$ și semnul funcției. Modelul oficial 2026 nu conține o cerință despre parabolă.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: semnul funcției de gradul al doilea clasifică algebric cazurile. Continuați cu inecuațiile de gradul doi rezolvate grafic și folosiți testul de funcții și lecturi grafice. Factorizările necesare se pot relua din ecuația de gradul al doilea rezolvată prin descompunere, clasa a VIII-a.

Întrebări frecvente

Ce aduce varianta M2 față de lecția de mate-info (M1) despre semnul funcției? Scopul este același, dar aici semnul se citește pe grafic, ca poziție a curbei față de axa orizontală, iar factorii sau pătratul controlează lectura. Nu clasificăm cazurile după discriminant și nu căutăm condiții cu parametru. În schimb, lucrăm cu domenii restrânse, domenii finite și interpretarea semnului într-un model.

O funcție care descrește are neapărat valori negative? Nu. Descreșterea compară două imagini între ele, iar semnul le compară cu zero. O porțiune poate coborî de la un nivel pozitiv la alt nivel pozitiv și poate rămâne deasupra axei pe tot intervalul. De aceea răspundem separat la cele două întrebări, chiar când privim aceeași ramură.

De ce nu se schimbă semnul la orice zero? La un zero aflat în vârful parabolei, curba atinge axa fără să o traverseze. De o parte și de alta rămâne în aceeași zonă, iar semnul este același. Numai valoarea din punctul de contact este nulă. Regula „schimb semnul la fiecare zero” funcționează doar când curba traversează axa.

Cum poate apărea semnul funcției de gradul al doilea la bacalaureatul M2? Programa M2 pentru 2027–2029 numește poziționarea parabolei față de axa $Ox$ și semnul funcției, apoi inecuațiile care le folosesc. Modelul oficial 2026 nu conține o parabolă, deci nu putem spune ce formă va avea cerința. Exersează tabelul de semn complet, cu zerourile scrise separat, și justificarea prin factori sau printr-un pătrat.

De ce poate o restricție să fie strict pozitivă când parabola completă are zerouri? Domeniul restrâns poate exclude toate rădăcinile și poate păstra numai intrări din zonele pozitive. Valorile în intrările rămase nu se schimbă, fiindcă formula este aceeași. Concluzia de pozitivitate se referă atunci doar la domeniul declarat, nu la parabola completă, și trebuie scrisă împreună cu acel domeniu.

Două funcții cu același tabel de semn sunt egale? Nu neapărat. Înmulțirea cu un factor pozitiv păstrează semnele și zerourile, dar schimbă valorile nenule. Egalitatea funcțiilor cere aceleași imagini în fiecare intrare a aceluiași domeniu, nu doar aceleași semne. Un tabel de semn păstrează numai raportarea la zero a fiecărei valori.