Sinteză finală clasa a X-a: probleme tip Bacalaureat: pe scurt

Materia comună a clasei a X-a — trigonometrie în geometrie, numărare, statistică și probabilități — se întâlnește la examen în probleme scurte, gradate pe trei subpuncte, unde niciun capitol nu vine anunțat. Puntea cea mai frecventă leagă numărarea de probabilitate: cazurile posibile și cele favorabile se numără cu aceeași metodă (de obicei combinări, la extrageri simultane), apoi se împart. O altă punte leagă statistica de probabilitate: un tabel de frecvențe este și un tabel de cazuri favorabile, pentru că $P(X=v_i)=\frac{n_i}{n}=f_i$.

Din trigonometrie rămân active teorema cosinusului, $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, și teorema sinusurilor, $\frac{a}{\sin A}=2R$, aplicate mai ales în lanțul „aria – latura – raza cercului circumscris". Din statistică, o comparație între două seturi de date se face în trei mișcări: centru (medie, mediană), împrăștiere ($\sigma$, IQR) și o concluzie formulată în contextul problemei — „mai omogen" nu înseamnă automat „mai bun". Redactarea contează la fel de mult ca rezultatul: se scriu explicit condiția aleasă, cazurile favorabile și cele posibile, iar fracția finală se simplifică.

Exerciții din această mini-lecție

1. Într-un triunghi, o latură are lungimea $10$, iar unghiul opus ei are măsura $30^{\circ }$. Calculați raza cercului circumscris triunghiului.

   • a) $5$
   • b) $20$
   • c) $10$
   • d) $10\sqrt{3}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $10$

   Din teorema sinusurilor, $R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{10}{2\cdot \frac{1}{2}}=10$. Varianta b) este raportul $\frac{a}{\sin A}=2R=20$, confundat cu raza (uitarea împărțirii la $2$), iar varianta a) apare dintr-un calcul greșit al lui $\sin 30^{\circ }$.

2. O mulțime are $12$ elemente. Câte submulțimi cu $5$ elemente are ea?

   • a) $66$
   • b) $95040$
   • c) $792$
   • d) $1584$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $792$

   O submulțime nu are ordine, deci se numără cu combinări: $C_{12}^5=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=792$. Varianta a) este $C_{12}^2$, varianta b) este $A_{12}^5$ (numărare cu ordine), iar varianta d) dublează greșit rezultatul corect.

3. Din mulțimea $M=\{1,2,\dots ,10\}$ se alege la întâmplare o submulțime cu $2$ elemente. Calculați probabilitatea ca ambele elemente să fie numere impare.

   • a) $\frac{1}{2}$
   • b) $\frac{2}{9}$
   • c) $\frac{5}{9}$
   • d) $\frac{1}{9}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\frac{2}{9}$

   În $M=\{1,\dots ,10\}$ sunt $5$ numere impare, deci cazurile favorabile sunt $C_5^2=10$, iar cazurile posibile $C_{10}^2=45$. Prin urmare $P=\frac{10}{45}=\frac{2}{9}$. Variantele a) și c) apar din estimări greșite ale proporției fără a folosi corect combinările la ambele etaje.