Sinteză finală clasa a X-a: probleme de tip Bacalaureat

Până acum ai învățat fiecare capitol separat, iar exercițiile îți spuneau, prin simplul fapt că erau la sfârșitul unei lecții, ce metodă trebuie folosită. La examen nu mai există acest indiciu. Un subiect de Bacalaureat îți pune în față un enunț de trei rânduri și te lasă pe tine să decizi dacă e vorba de combinări, de o probabilitate condiționată sau de o medie citită dintr-un tabel. Lecția de față este exact acest antrenament: probleme care leagă capitolele între ele, în formatul examenului, cu rezolvările scrise așa cum le cere baremul.

Vei observa repede că majoritatea problemelor de examen nu sunt „de numărare" sau „de probabilități", ci de amândouă: numeri ca să poți împărți. Iar problemele de statistică se termină aproape întotdeauna cu o întrebare de probabilitate sau cu o decizie de luat. Aceste punți sunt subiectul lecției.

Ce vei învăța

• Vei ști cum arată structura unei probleme de tip Bacalaureat și de ce subpunctele sunt aproape întotdeauna trei.
• Vei ști să recunoști puntea numărare → probabilitate și să o parcurgi în ordinea corectă.
• Vei ști să treci de la un tabel statistic la o probabilitate și înapoi, la o interpretare.
• Vei ști să redactezi o soluție astfel încât fiecare pas să-și primească punctajul.
• Vei ști să-ți verifici singur rezultatul, cu controalele specifice fiecărui tip de problemă.
• Vei ști să-ți gestionezi timpul și ordinea de rezolvare într-o lucrare de trei ore.

Hai să descoperim împreună

1. Cum arată proba și ce înseamnă „a redacta"

Proba de matematică de la Bacalaureat are trei subiecte, fiecare de $30$ de puncte, la care se adaugă $10$ puncte din oficiu; timpul de lucru este de trei ore. Materia clasei a X-a apare, de regulă, în probleme scurte cu trei cerințe, notate a), b), c), gradate: prima se rezolvă dintr-o formulă, a doua cere un pas în plus, a treia combină două noțiuni.

Ceea ce surprinde cel mai des la prima lucrare serioasă este că baremul nu punctează doar rezultatul. Se punctează separat:

• scrierea formulei folosite;
• numirea explicită a cazurilor favorabile și a cazurilor posibile;
• calculul propriu-zis;
• simplificarea fracției finale sau exprimarea în unitatea potrivită.

De aceea o soluție corectă scrisă doar cu rezultatul final pierde jumătate din punctaj, iar o soluție incompletă, dar bine începută, ia puncte. Regula practică: scrie tot ce gândești, în ordine.

2. Harta legăturilor dintre capitole

Cele două capitole de bază sunt recapitulate în Recapitulare: metode de numărare și probabilități și în Recapitulare: statistică și sondaje; aici ne ocupăm doar de trecerile dintre ele.

3. Puntea numărare → probabilitate

Este cea mai frecventă structură de examen. Enunțul descrie o mulțime finită, iar întrebarea începe cu „se alege la întâmplare". Parcursul are patru pași, întotdeauna în această ordine:

1. Descrii experimentul și stabilești modelul: cu ordine sau fără? cu repetiție sau fără? simultan sau succesiv?
2. Numeri cazurile posibile, $\mathrm{card}(\Omega )$, cu metoda dictată de model.
3. Numeri cazurile favorabile, cu aceeași metodă. Aceasta e regula de aur: dacă posibilele s-au numărat cu $C_n^k$, favorabilele se numără tot cu combinări.
4. Împarți și simplifici, apoi verifici că rezultatul este între $0$ și $1$.

Când cerința conține „cel puțin", pasul 3 se înlocuiește cu numărarea contrariului, iar la final se scade din $1$. Amănuntele metodei de numărare sunt în Contează ordinea? Alegerea metodei și în Cazuri favorabile și posibile.

4. Puntea statistică → probabilitate

Un tabel de frecvențe este, în același timp, un tabel de cazuri favorabile. Dacă într-o clasă de $n$ elevi valoarea $v_i$ apare de $n_i$ ori, atunci probabilitatea ca un elev ales la întâmplare să aibă valoarea $v_i$ este chiar frecvența relativă:

$$P(X=v_i)=\frac{n_i}{n}=f_i.$$

De aici două consecințe folositoare la examen. Prima: suma tuturor acestor probabilități este $1$, exact ca suma frecvențelor relative — deci ai o verificare gratuită. A doua: enunțurile cu „cel puțin" sau „cel mult" se citesc direct din coloana frecvențelor cumulate, fără niciun calcul suplimentar; vezi Frecvențe cumulate.

Când se aleg doi sau mai mulți indivizi din colectivitate, tabelul furnizează efectivele, iar numărarea se face cu combinări, ca la orice extragere simultană. Acesta este momentul în care cele două capitole se întâlnesc în aceeași problemă.

5. Puntea statistică → interpretare

O cerință de tipul „care grupă a lucrat mai bine?" nu are un răspuns numeric, ci unul argumentat. Se răspunde în trei mișcări:

1. Centrul: compari mediile și medianele. Dacă diferă mult între ele în cadrul aceluiași set, setul are valori extreme și te bazezi pe mediană.
2. Împrăștierea: compari amplitudinile, abaterile intercuartilice și abaterile standard. Un $\sigma$ mai mic înseamnă grup mai omogen, adică rezultate mai previzibile.
3. Concluzia în context: spui ce înseamnă cifrele pentru situația din enunț. „Mai omogen" nu înseamnă automat „mai bun" — depinde ce se urmărește.

Detalii și exemple în Compararea a două seturi de date și în Abaterea standard.

6. Redactarea-model, pas cu pas

Iată același răspuns, scris de două ori. Cerința: o urnă conține $4$ bile albe și $6$ negre; se extrag simultan două bile; care este probabilitatea ca ambele să fie albe?

Redactare care pierde puncte: „$P=\frac{6}{45}=\frac{2}{15}$."

Redactare completă:

Extragerea fiind simultană, ordinea nu contează, deci numărăm cu combinări. Cazuri posibile: $\mathrm{card}(\Omega )=C_{10}^2=\frac{10\cdot 9}{2}=45$. Cazuri favorabile: alegem $2$ bile dintre cele $4$ albe, deci $C_4^2=\frac{4\cdot 3}{2}=6$. Prin urmare $P=\frac{6}{45}=\frac{2}{15}\approx 0,13$.

A doua variantă conține patru afirmații punctabile în loc de una. Este exact diferența dintre o notă de trecere și una bună.

7. Strategia de examen

• Citește tot subiectul înainte de a scrie, apoi rezolvă în ordinea dificultății percepute, nu în ordinea din foaie. Punctele valorează la fel, indiferent de ordinea în care le iei.
• Rezolvă întâi subpunctele independente. La multe probleme, punctul a) nu e folosit la b); dacă te blochezi la a), treci mai departe.
• Nu lăsa nimic nescris. Chiar dacă nu termini, formula scrisă corect ia punctaj.
• Verificările, în zece secunde: orice probabilitate este între $0$ și $1$; orice sumă de frecvențe relative dă $1$; orice combinare $C_n^k$ are $k\le n$; orice medie este între valoarea minimă și cea maximă a setului.
• Rezervă-ți ultimele douăzeci de minute pentru recitirea rezultatelor și pentru simplificarea fracțiilor rămase nesimplificate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Numărare și eveniment contrar

O cutie conține $10$ becuri, dintre care $3$ sunt defecte. Se aleg la întâmplare, simultan, două becuri. a) Determinați numărul de moduri în care se pot alege cele două becuri. b) Calculați probabilitatea ca niciunul dintre becurile alese să nu fie defect. c) Calculați probabilitatea ca cel puțin unul dintre becurile alese să fie defect.

Rezolvare. a) Alegerea este simultană, deci ordinea nu contează și numărăm cu combinări:

$$\mathrm{card}(\Omega )=C_{10}^2=\frac{10\cdot 9}{1\cdot 2}=45\text{ moduri}.$$

b) Becurile bune sunt $10-3=7$. Cazurile favorabile sunt perechile formate numai din becuri bune:

$$C_7^2=\frac{7\cdot 6}{2}=21\Rightarrow P(\text{niciunul defect})=\frac{21}{45}=\frac{7}{15}\approx 0,47.$$

c) Evenimentul „cel puțin unul defect" este contrarul celui de la punctul b), deci

$$P(\text{cel puțin unul defect})=1-\frac{7}{15}=\frac{8}{15}\approx 0,53.$$

Control: $\frac{7}{15}+\frac{8}{15}=1$ ✓. Observă că punctul c) nu cere niciun calcul nou: recunoașterea contrariului este întreaga soluție. Numărarea directă ar fi cerut două cazuri (exact unul defect și exact două defecte) și, deci, de trei ori mai mult scris.

Exemplul 2 — Permutări și probabilitate

Se consideră cuvântul CARTE, ale cărui litere sunt distincte. Se formează toate cuvintele, cu sens sau fără sens, obținute prin rearanjarea celor cinci litere. a) Determinați numărul acestor cuvinte. b) Calculați probabilitatea ca un cuvânt ales la întâmplare să înceapă cu o consoană. c) Calculați probabilitatea ca, într-un cuvânt ales la întâmplare, literele A și E să fie alăturate.

Rezolvare. a) Se folosesc toate cele cinci litere, distincte, iar ordinea contează: sunt permutări.

$$P_5=5!=120\text{ cuvinte}.$$

b) Consoanele sunt C, R și T, deci prima poziție se poate ocupa în $3$ moduri, iar celelalte patru litere se pot aranja în $4!=24$ moduri. Cazuri favorabile: $3\cdot 24=72$. Prin urmare

$$P=\frac{72}{120}=\frac{3}{5}=0,6.$$

Control: vocalele sunt $2$ din $5$ litere, deci era de așteptat ca $\frac{3}{5}$ dintre cuvinte să înceapă cu consoană — proporția literelor se transmite la prima poziție. ✓

c) Folosim metoda lipirii: tratăm perechea (A, E) ca pe un singur bloc. Rămân de aranjat patru obiecte — blocul, C, R și T — adică $4!=24$ moduri, iar în interiorul blocului literele se pot așeza în $2!=2$ moduri (AE sau EA). Cazuri favorabile: $2\cdot 24=48$, deci

$$P=\frac{48}{120}=\frac{2}{5}=0,4.$$

Factorul $2$ din interiorul blocului este exact ceea ce se uită cel mai des; fără el ar fi ieșit $\frac{1}{5}$, o valoare vizibil prea mică.

Exemplul 3 — Submulțimi și paritate

Se consideră mulțimea $M=\{1,2,3,\dots ,10\}$. a) Determinați numărul submulțimilor cu două elemente ale lui $M$. b) Determinați câte dintre acestea au ambele elemente numere pare. c) Se alege la întâmplare o submulțime cu două elemente a lui $M$. Calculați probabilitatea ca suma elementelor ei să fie număr par.

Rezolvare. a) $C_{10}^2=\frac{10\cdot 9}{2}=45$.

b) Mulțimea $M$ conține cinci numere pare: $2,4,6,8,10$. Submulțimile cu două elemente formate numai din ele sunt $C_5^2=10$.

c) Suma a două numere este pară în două situații care se exclud reciproc: ambele pare sau ambele impare. Numerele impare din $M$ sunt tot cinci: $1,3,5,7,9$, deci și în al doilea caz avem $C_5^2=10$ submulțimi. Prin regula sumei, cazurile favorabile sunt $10+10=20$, iar

$$P=\frac{20}{45}=\frac{4}{9}\approx 0,44.$$

Control: cazurile rămase, cu suma impară, sunt cele cu un număr par și unul impar, adică $5\cdot 5=25$; într-adevăr $20+25=45$ ✓, iar $\frac{4}{9}+\frac{5}{9}=1$ ✓. Împărțirea în cazuri disjuncte care acoperă tot este chiar structura de la Regula sumei.

Exemplul 4 — Din tabel statistic în probabilitate

Într-o clasă de $25$ de elevi s-a înregistrat numărul de frați ai fiecăruia. Rezultatele sunt în tabelul de mai jos.

a) Calculați numărul mediu de frați. b) Determinați mediana și modul setului de date. c) Se alege la întâmplare un elev din clasă. Calculați probabilitatea ca acesta să aibă cel puțin doi frați.

Rezolvare. Verificăm întâi tabelul: $3+7+8+5+2=25=n$ ✓.

a) Media se calculează cu frecvențele drept ponderi:

$$\bar{x}=\frac{\sum n_i{v}_i}{n}=\frac{3\cdot 0+7\cdot 1+8\cdot 2+5\cdot 3+2\cdot 4}{25}=\frac{0+7+16+15+8}{25}=\frac{46}{25}=1,84.$$

b) Frecvențele cumulate sunt $3$, $10$, $18$, $23$, $25$. Cum $n=25$ este impar, mediana este valoarea de pe poziția $\frac{25+1}{2}=13$. Poziția $13$ se află în intervalul $11$–$18$, unde valoarea este $2$, deci $Q_2=2$. Modul este valoarea cu frecvența cea mai mare, adică tot $Mo=2$ (frecvența $8$).

c) „Cel puțin doi frați" înseamnă valorile $2$, $3$ sau $4$, deci cazurile favorabile sunt $8+5+2=15$ elevi din $25$:

$$P=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}=0,6.$$

Control: aceeași valoare se citește direct din coloana cumulată — elevii cu cel mult un frate sunt $10$, deci ceilalți $25-10=15$ ✓. Observă cum tabelul de frecvențe a servit, în aceeași problemă, și la calculul mediei, și la numărarea cazurilor favorabile: aceleași cifre, două întrebuințări.

Exemplul 5 — Comparare și decizie

La cinci teste succesive, formate din câte $20$ de exerciții, doi elevi au rezolvat corect: Andrei — $7,9,10,11,13$ exerciții; Bogdan — $4,8,10,12,16$ exerciții. a) Calculați numărul mediu de exerciții rezolvate de fiecare. b) Calculați abaterea standard a fiecărui set, considerând datele drept întreaga populație. c) Care dintre cei doi elevi are rezultate mai previzibile? Justificați.

Rezolvare. a) ${\bar{x}}_A=\frac{7+9+10+11+13}{5}=\frac{50}{5}=10$ și ${\bar{x}}_B=\frac{4+8+10+12+16}{5}=\frac{50}{5}=10$. Mediile sunt egale, iar medianele, la fel: $Q_2=10$ în ambele cazuri.

b) Pentru Andrei, abaterile sunt $-3,-1,0,1,3$ (suma $0$ ✓), cu pătratele $9,1,0,1,9$, în total $20$:

$${\sigma }_A=\sqrt{\frac{20}{5}}=\sqrt{4}=2.$$

Pentru Bogdan, abaterile sunt $-6,-2,0,2,6$ (suma $0$ ✓), cu pătratele $36,4,0,4,36$, în total $80$:

$${\sigma }_B=\sqrt{\frac{80}{5}}=\sqrt{16}=4.$$

c) Media, mediana și chiar simetria sunt identice; ceea ce îi deosebește este împrăștierea. Andrei are ${\sigma }_A=2$, iar Bogdan ${\sigma }_B=4$, deci Andrei este de două ori mai omogen. La fel arată și amplitudinile: $13-7=6$ față de $16-4=12$.

Concluzie redactată: Cei doi elevi au aceeași medie, $10$, deci nu pot fi deosebiți după centrul datelor. Abaterea standard a lui Andrei este însă jumătate din cea a lui Bogdan ($2$ față de $4$), la fel ca amplitudinea ($6$ față de $12$). Prin urmare rezultatele lui Andrei sunt mai previzibile. Aceasta nu înseamnă că Andrei este „mai bun": cel mai bun rezultat individual, $16$ exerciții, îi aparține lui Bogdan.

Ultima frază este cea care aduce punctul de interpretare: baremul cere o concluzie în contextul problemei, nu doar compararea a două numere.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Notele obținute de cei $20$ de elevi ai unei clase la un test sunt date în tabelul de mai jos.

a) Calculați media notelor clasei. b) Se alege la întâmplare un elev al clasei. Calculați probabilitatea ca nota lui să fie cel puțin $9$. c) Se aleg la întâmplare doi elevi ai clasei. Calculați probabilitatea ca amândoi să fi obținut nota $8$.

Rezolvare. Verificarea tabelului: $2+5+8+4+1=20=n$ ✓.

a) $\bar{x}=\frac{2\cdot 6+5\cdot 7+8\cdot 8+4\cdot 9+1\cdot 10}{20}=\frac{12+35+64+36+10}{20}=\frac{157}{20}=7,85$.

Control: media trebuie să fie între $6$ și $10$ ✓, și în vecinătatea valorii cu frecvența cea mai mare, $8$ ✓.

b) Se alege un elev, deci $\mathrm{card}(\Omega )=20$. „Cel puțin $9$" înseamnă nota $9$ sau nota $10$, deci $4+1=5$ cazuri favorabile:

$$P=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}=0,25.$$

c) Se aleg doi elevi, simultan, deci numărăm cu combinări — aici se face trecerea de la statistică la combinatorică:

$$\mathrm{card}(\Omega )=C_{20}^2=\frac{20\cdot 19}{2}=190.$$

Elevii cu nota $8$ sunt $8$ la număr, deci cazurile favorabile sunt $C_8^2=\frac{8\cdot 7}{2}=28$. Prin urmare

$$P=\frac{28}{190}=\frac{14}{95}\approx 0,15.$$

Control: rezultatul trebuie să fie mai mic decât ${\left(\frac{8}{20}\right)}^2=0,16$, pentru că extragerea este fără revenire — și, într-adevăr, $0,15<0,16$ ✓.

Reține structura acestei probleme: același tabel a servit la o medie (statistică), la o probabilitate elementară (definiția clasică) și la o probabilitate calculată cu combinări (numărare). Este exact tiparul unei probleme de sinteză.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cronometrându-te: o problemă cu trei cerințe ar trebui să-ți ia cel mult zece minute. Redactează complet, așa cum s-a arătat la punctul 6 — scrie formula, numește cazurile favorabile și cele posibile, simplifică fracția finală.

1. Calculați $C_8^2$, $A_8^2$ și $P_5$.

2. Scrieți dezvoltarea lui $(x+1{)}^4$ și calculați suma coeficienților ei.

3. O urnă conține $3$ bile albe și $5$ bile negre. Se extrag simultan două bile. a) Determinați numărul cazurilor posibile. b) Calculați probabilitatea ca ambele bile să fie negre. c) Calculați probabilitatea ca cel puțin una dintre bile să fie albă.

4. Într-un grup de $6$ elevi se acordă două premii. a) În câte moduri se pot acorda, dacă premiile sunt diferite (premiul I și premiul al II-lea)? b) Dar dacă cele două premii sunt identice?

5. Se aruncă de două ori un zar echilibrat. Calculați probabilitatea ca suma punctelor obținute să fie egală cu $8$.

6. Într-o clasă de $25$ de elevi sunt $15$ fete. a) Se alege la întâmplare un elev; calculați probabilitatea ca acesta să fie fată. b) Se aleg la întâmplare doi elevi; calculați probabilitatea ca amândoi să fie fete.

7. Se consideră setul de date $4,6,8,10,12$. a) Calculați media. b) Determinați mediana. c) Calculați amplitudinea.

8. Pentru setul de date $3,5,6,7,9,10,12,14$ determinați cele cinci numere caracteristice și abaterea intercuartilică.

9. Notele a $25$ de elevi sunt: nota $5$ — $2$ elevi, nota $6$ — $4$ elevi, nota $7$ — $7$ elevi, nota $8$ — $6$ elevi, nota $9$ — $4$ elevi, nota $10$ — $2$ elevi. a) Calculați media clasei. b) Determinați modul și mediana. c) Calculați probabilitatea ca un elev ales la întâmplare să aibă nota cel puțin $8$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră mulțimea $M=\{1,2,3,4,5,6\}$. a) Determinați câte numere de patru cifre distincte se pot forma cu elementele lui $M$. b) Determinați câte dintre aceste numere sunt pare. c) Calculați probabilitatea ca un astfel de număr, ales la întâmplare, să fie par.

11. Se știe că evenimentele $A$ și $B$ sunt independente, cu $P(A)=0,3$ și $P(B)=0,5$. Calculați $P(A\cap B)$ și $P(A\cup B)$.

12. (Problemă aplicată.) Un lot conține $9$ produse, dintre care $3$ sunt necorespunzătoare. Se aleg simultan două produse pentru control. a) Calculați probabilitatea ca niciunul să nu fie necorespunzător. b) Calculați probabilitatea ca cel puțin unul să fie necorespunzător.

13. (Problemă aplicată.) Într-un sondaj făcut pe $400$ de elevi ai unui liceu, $250$ au declarat că merg la școală pe jos. a) Calculați procentul acestora. b) Estimați câți dintre cei $9600$ de elevi ai orașului merg la școală pe jos și precizați o limitare a acestei estimări.

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă într-un set de date toate valorile sunt egale, atunci abaterea standard este egală cu media."

15. Determinați termenul al patrulea din dezvoltarea lui $(x+2{)}^5$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră mulțimea $M=\{1,2,3,\dots ,8\}$. a) Determinați numărul submulțimilor cu trei elemente ale lui $M$. b) Determinați câte dintre acestea au toate elementele numere impare. c) Se alege la întâmplare o submulțime cu trei elemente a lui $M$. Calculați probabilitatea ca toate elementele ei să fie impare.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră setul de date $5,7,8,9,11$. a) Calculați media aritmetică a datelor. b) Determinați mediana setului. c) Calculați abaterea standard, considerând datele drept întreaga populație.

18. (Provocare.) Se aruncă simultan două zaruri echilibrate. Notăm cu $A$ evenimentul „suma punctelor este $7$" și cu $B$ evenimentul „produsul punctelor este $6$". a) Calculați $P(A)$ și $P(B)$. b) Calculați $P(A\cap B)$ și $P(A\cup B)$. c) Stabiliți dacă $A$ și $B$ sunt independente.

Răspunsuri și explicații

1. $C_8^2=\frac{8\cdot 7}{2}=28$; $A_8^2=8\cdot 7=56$; $P_5=5!=120$. Se observă puntea: $A_8^2=2!\cdot C_8^2=2\cdot 28=56$ ✓.

2. Coeficienții sunt linia $4$ a triunghiului lui Pascal: $(x+1{)}^4=x^4+4x^3+6x^2+4x+1$. Suma coeficienților se obține înlocuind $x=1$: $1+4+6+4+1=16=2^4$.

3. a) Extragere simultană, deci $\mathrm{card}(\Omega )=C_8^2=28$. b) Cazuri favorabile: $C_5^2=10$, deci $P=\frac{10}{28}=\frac{5}{14}$. c) „Cel puțin una albă" este contrarul lui „ambele negre", deci $P=1-\frac{5}{14}=\frac{9}{14}$.

4. a) Premiile fiind diferite, ordinea contează: $A_6^2=6\cdot 5=30$ moduri. b) Premiile fiind identice, ordinea nu contează: $C_6^2=15$ moduri. Raportul dintre cele două rezultate este $2!=2$, exact cum prevede relația $A_n^k=k!\cdot C_n^k$.

5. $\mathrm{card}(\Omega )=36$. Suma $8$ se obține în $5$ moduri: $(2,6)$, $(3,5)$, $(4,4)$, $(5,3)$, $(6,2)$. Deci $P=\frac{5}{36}\approx 0,14$.

6. a) $P=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}=0,6$. b) $\mathrm{card}(\Omega )=C_{25}^2=\frac{25\cdot 24}{2}=300$, iar cazurile favorabile sunt $C_{15}^2=\frac{15\cdot 14}{2}=105$. Deci $P=\frac{105}{300}=\frac{7}{20}=0,35$. (Mai mic decât $0,6^2=0,36$, cum trebuie la o alegere fără revenire. ✓)

7. a) $\bar{x}=\frac{4+6+8+10+12}{5}=\frac{40}{5}=8$. b) $n=5$ impar, deci mediana este valoarea a treia: $Q_2=8$. c) $A=12-4=8$.

8. Datele sunt ordonate, $n=8$ par, deci $Q_2=\frac{7+9}{2}=8$. Jumătatea de jos, $3,5,6,7$, dă $Q_1=\frac{5+6}{2}=5,5$; jumătatea de sus, $9,10,12,14$, dă $Q_3=\frac{10+12}{2}=11$. Cele cinci numere: $3;5,5;8;11;14$. Atunci $\text{IQR}=11-5,5=5,5$, iar $A=11$.

9. Verificare: $2+4+7+6+4+2=25$ ✓. a) $\bar{x}=\frac{2\cdot 5+4\cdot 6+7\cdot 7+6\cdot 8+4\cdot 9+2\cdot 10}{25}=\frac{10+24+49+48+36+20}{25}=\frac{187}{25}=7,48$. b) Frecvența maximă este $7$, la nota $7$, deci $Mo=7$; cumulatele sunt $2,6,13,19,23,25$, iar cum $n=25$ este impar, mediana se află pe poziția $13$, care cade în grupul notei $7$, deci $Q_2=7$. c) „Cel puțin $8$" înseamnă notele $8$, $9$ sau $10$, adică $6+4+2=12$ elevi: $P=\frac{12}{25}=0,48$.

10. a) Toate cifrele sunt nenule, deci nu apare restricția primei poziții: $A_6^4=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=360$. b) Ocupăm întâi poziția restricționată, unitățile: $3$ variante ($2$, $4$ sau $6$), apoi celelalte trei poziții cu $A_5^3=5\cdot 4\cdot 3=60$ moduri, deci $3\cdot 60=180$ numere pare. c) $P=\frac{180}{360}=\frac{1}{2}$. (Rezultatul era previzibil: dintre cele șase cifre, exact trei sunt pare.)

11. Din definiția independenței, $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=0,3\cdot 0,5=0,15$. Apoi $P(A\cup B)=0,3+0,5-0,15=0,65$.

12. $\mathrm{card}(\Omega )=C_9^2=36$. a) Produsele bune sunt $6$, deci cazurile favorabile sunt $C_6^2=15$ și $P=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}\approx 0,42$. b) Prin evenimentul contrar: $P=1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}\approx 0,58$.

13. a) $f=\frac{250}{400}=\frac{5}{8}=0,625$, adică $62,5\%$. b) Estimarea: $0,625\cdot 9600=6000$ de elevi. Limitare posibilă: eșantionul provine dintr-un singur liceu, deci nu este reprezentativ pentru toți elevii orașului — un liceu de cartier și unul din centru au situații complet diferite. Concluzia se comunică obligatoriu cu „estimăm", cu mărimea eșantionului și cu această rezervă.

14. Fals. Dacă toate valorile sunt egale cu $c$, atunci media este $c$, toate abaterile sunt zero și $\sigma =0$. Abaterea standard este egală cu media doar în cazul particular $c=0$. Confuzia vine din faptul că $\sigma$ măsoară împrăștierea, nu poziția.

15. Cu $T_{k+1}=C_5^k{x}^{5-k}{2}^k$, termenul al patrulea corespunde lui $k=3$ (rangul este $k+1$): $$T_4=C_5^3\cdot x^2\cdot 2^3=10\cdot 8\cdot x^2=80x^2.$$

16. a) $C_8^3=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{1\cdot 2\cdot 3}=56$. b) Numerele impare din $M$ sunt $1,3,5,7$, deci patru; submulțimile cu trei elemente formate numai din ele sunt $C_4^3=4$. c) $P=\frac{4}{56}=\frac{1}{14}\approx 0,07$.

17. a) $\bar{x}=\frac{5+7+8+9+11}{5}=\frac{40}{5}=8$. b) Datele sunt ordonate și $n=5$ este impar, deci $Q_2=8$. c) Abaterile sunt $-3,-1,0,1,3$, cu suma $0$ ✓, iar pătratele $9,1,0,1,9$ însumează $20$. Prin urmare $\sigma =\sqrt{\frac{20}{5}}=\sqrt{4}=2$.

18. $\mathrm{card}(\Omega )=36$. a) Suma $7$ apare în $6$ cazuri, deci $P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$; produsul $6$ apare în $4$ cazuri — $(1,6)$, $(6,1)$, $(2,3)$, $(3,2)$ — deci $P(B)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$. b) Intersecția conține perechile care îndeplinesc ambele condiții, adică $(1,6)$ și $(6,1)$, deci $P(A\cap B)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$. Atunci $P(A\cup B)=\frac{1}{6}+\frac{1}{9}-\frac{1}{18}=\frac{3+2-1}{18}=\frac{4}{18}=\frac{2}{9}$. c) Testul de independență: $P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{9}=\frac{1}{54}$, în timp ce $P(A\cap B)=\frac{1}{18}=\frac{3}{54}$. Cele două valori diferă, deci evenimentele nu sunt independente.

De reținut

• Structura problemei de examen: trei cerințe gradate, dintre care prima se rezolvă dintr-o formulă. Rezolvă întâi ce este independent și nu lăsa nimic nescris — formula corectă ia punctaj chiar și fără rezultat.
• Puntea numărare $\to$ probabilitate, în patru pași: descrii modelul, numeri posibilele, numeri favorabilele cu aceeași metodă, împarți și simplifici.
• Un tabel de frecvențe este și un tabel de probabilități: $P(X=v_i)=\frac{n_i}{n}=f_i$, iar „cel puțin" și „cel mult" se citesc din coloana cumulată.
• Enunțurile cu „cel puțin unul" se rezolvă prin evenimentul contrar, iar cele cu alegeri simultane, prin combinări. Cele două se combină cel mai des în aceeași problemă.
• Interpretarea cere trei mișcări: centru, împrăștiere, concluzie în contextul enunțului. „Mai omogen" nu înseamnă automat „mai bun".

Greșeli frecvente

• Răspunsul dat fără redactare. Un rezultat corect scris singur pierde punctele pentru formulă, pentru numirea cazurilor și pentru justificare. Redactarea completă are patru afirmații punctabile, nu una.
• Numărarea favorabilelor și a posibilelor în modele diferite. Dacă posibilele s-au numărat cu $C_{20}^2$, favorabilele se numără tot cu combinări, nu cu produse de probabilități. Amestecul dă rezultate imposibile.
• Uitarea factorului din interiorul blocului la metoda lipirii. Când două elemente trebuie să fie alăturate, ele se pot ordona în $2!$ moduri în interiorul blocului. Fără acest factor, rezultatul iese exact de două ori mai mic.
• Confundarea abaterii standard cu media. $\sigma$ măsoară împrăștierea, nu poziția. Un set cu toate valorile egale are $\sigma =0$, oricât de mare ar fi media lui.
• Fracția finală lăsată nesimplificată. $\frac{180}{360}$ nu este un răspuns final; $\frac{1}{2}$ este. Simplificarea se punctează separat, iar la sfârșit de lucrare este cel mai ieftin punct de recuperat.

Aplică acasă

1. Simularea de trei ore. Alege un model de subiect de Bacalaureat de pe site-ul Ministerului Educației, rezervă-ți trei ore fără telefon și rezolvă-l ca la examen, redactând complet. Corectează-te apoi singur, cu baremul, și notează unde ai pierdut puncte din redactare, nu din necunoaștere. Vei fi surprins de proporție.

2. Caietul de greșeli. Ține un caiet în care scrii, pe o singură pagină per capitol, doar greșelile pe care le-ai făcut efectiv. Recitește-l înainte de fiecare lucrare. Este mai eficient decât recitirea teoriei, pentru că fiecare persoană greșește constant cam în aceleași trei-patru locuri.

3. Problema inventată de tine. Ia un set de date reale — notele tale dintr-un semestru, temperaturile din ultima săptămână, numărul de pași zilnici — și scrie o problemă cu trei cerințe pe modelul exemplului 6: una de statistică, una de probabilitate simplă și una cu combinări. Rezolv-o și dă-i-o unui coleg. A construi o problemă te învață mai mult decât a rezolva zece.

Pentru părinți și profesori

Lecția este sinteza finală a materiei comune de clasa a X-a și are un obiectiv diferit de recapitulările precedente: nu reia teoria, ci antrenează trecerile dintre capitole și redactarea. Problemele sunt construite în formatul examenului, cu trei cerințe gradate, și pun în evidență cele trei punți care apar cel mai des în subiecte: numărare către probabilitate, tabel statistic către probabilitate și date statistice către interpretare. Exemplul 6 le adună pe toate trei în același enunț.

Punctul cel mai important de urmărit este redactarea. Mulți elevi știu să obțină rezultatul, dar scriu doar o linie de calcul și pierd, la fiecare problemă, între o treime și jumătate din punctaj. Secțiunea 6 arată, comparativ, cum arată aceeași soluție scrisă prost și scrisă complet; merită parcursă împreună cu elevul, cu baremul unui subiect real alături.

Puncte de verificat: (1) numește explicit cazurile favorabile și cele posibile; (2) numără ambele etaje cu aceeași metodă; (3) recunoaște „cel puțin unul" ca invitație la evenimentul contrar; (4) citește „cel mult / cel puțin" din coloana frecvențelor cumulate; (5) simplifică fracția finală; (6) încheie o cerință de comparare cu o concluzie formulată în contextul problemei. Întrebări bune de control: „De ce ai numărat cu combinări și nu cu aranjamente?", „Rezultatul tău este între $0$ și $1$?", „Ce înseamnă, în cuvinte, numărul pe care tocmai l-ai obținut?".

Semne că elevul este pregătit: își scrie modelul experimentului înainte de a calcula, își verifică singur rezultatele cu controalele rapide (probabilitate între $0$ și $1$, media între minim și maxim, suma frecvențelor relative egală cu $1$) și își gestionează timpul rezolvând întâi cerințele independente.

Întrebări frecvente

Cum arată proba de matematică de la Bacalaureat? Are trei subiecte, fiecare valorând $30$ de puncte, la care se adaugă $10$ puncte din oficiu, iar timpul de lucru este de trei ore. Materia clasei a X-a apare de obicei în probleme scurte, cu trei cerințe gradate, notate a), b), c).

De ce pierd puncte deși rezultatul meu e corect? Pentru că baremul punctează separat formula folosită, numirea cazurilor favorabile și a celor posibile, calculul și simplificarea finală. Un rezultat scris singur, fără pașii care duc la el, primește doar o parte din punctaj. Scrie tot ce gândești, în ordine.

Cum îmi dau seama că o problemă cere combinări și nu aranjamente? Prin testul schimbului: ia o soluție concretă și schimbă între ele două dintre elementele alese. Dacă situația rămâne aceeași — o echipă, o comisie, o submulțime, o extragere simultană — folosești combinări. Dacă situația se schimbă — un podium, premii diferite, un număr format din cifre — folosești aranjamente.

Ce fac dacă mă blochez la punctul a) al unei probleme? Treci la b) și la c). De cele mai multe ori cerințele sunt independente, iar dacă una dintre ele folosește rezultatul de la a), poți nota „presupunem că la a) am obținut…" și continua. Punctele de la b) și c) se acordă separat.

Cum recunosc că trebuie să folosesc evenimentul contrar? După formularea „cel puțin unul". Contrariul ei este „niciunul", care are de obicei un singur caz de numărat, în timp ce numărarea directă ar cere însumarea mai multor situații. Atenție însă la negări: contrariul lui „cel puțin doi" este „cel mult unul", nu „niciunul".

Cum trec de la un tabel de frecvențe la o probabilitate? Frecvența absolută $n_i$ devine numărul cazurilor favorabile, iar volumul $n$ devine numărul cazurilor posibile, deci probabilitatea este chiar frecvența relativă $f_i$. Dacă se aleg doi sau mai mulți indivizi simultan, numărarea se face cu combinări, folosind efectivele din tabel.

Ce verificări rapide pot face la final? Orice probabilitate trebuie să fie între $0$ și $1$; suma probabilităților unor evenimente disjuncte care acoperă tot trebuie să dea $1$; orice medie trebuie să fie între valoarea minimă și cea maximă a setului; suma abaterilor față de medie trebuie să fie zero. Fiecare verificare durează câteva secunde și prinde majoritatea greșelilor de calcul.

Cum îmi împart cele trei ore la examen? Primele cinci minute pentru citirea întregului subiect, apoi rezolvare în ordinea dificultății percepute, cu aproximativ zece minute pentru fiecare problemă cu trei cerințe, și ultimele douăzeci de minute pentru recitire, pentru simplificarea fracțiilor și pentru completarea pașilor lăsați nescriși.