Pentru ce m atinge dreapta y=2x+m parabola y=x²?

Când ecuația obținută prin egalare are discriminantul zero. Pentru y=x² și y=2x+m, ecuația x²-2x-m=0 are Δ=4+4m, nul pentru m=-1. Dreapta y=2x-1 atinge parabola doar în (1,1).

Cum aflu două numere cu suma 7 și suma inverselor 7/12?

Din 1/x+ 1/y= (x+y)/xy rezultă 7/xy= 7/12, deci xy=12. Numerele sunt rădăcinile ecuației z²-7z+12=0, adică 3 și 4. Verificare: 1/3+ 1/4= 7/12. Ordinea nu contează, deci sistemul are soluțiile (3,4) și (4,3).

Unde se intersectează o dreaptă cu o parabolă?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Sisteme sumă–produs și dreaptă–parabolă

Egalezi ordonatele și rezolvi ecuația de gradul al doilea obținută. Pentru dreapta $y = x + 1$ și parabola $y = x^{2} - 1$ : $x^{2} - 1 = x + 1$ , adică $x^{2} - x - 2 = 0$ , cu rădăcinile $2$ și $- 1$ . Înlocuite în ecuația dreptei, rădăcinile dau ordonatele $3$ și $0$ , deci graficele se întâlnesc în $(2, 3)$ și $(- 1, 0)$ . Înlocuind în parabolă: $4 - 1 = 3$ , $1 - 1 = 0$ . Discriminantul spune câte puncte există.

Un sistem în care cunoști suma $s$ și produsul $p$ a două necunoscute se rezolvă cu o ecuație ajutătoare: numerele căutate sunt rădăcinile lui $z^{2} - sz + p = 0$ . Răspunsul conține de obicei două perechi, $(a, b)$ și $(b, a)$ , fiindcă schimbarea literelor între ele lasă sistemul neschimbat; perechile se confundă doar dacă necunoscutele au aceeași valoare, caz în care discriminantul ecuației ajutătoare este zero.

Soluții reale există numai dacă $s^{2} - 4 p \geq 0$ , lucru care se vede și din $(x - y)^{2} = s^{2} - 4 p$ . Când în locul produsului apare suma pătratelor, suma inverselor sau $x^{2} y + x y^{2}$ , afli întâi produsul din identitățile $x^{2} + y^{2} = s^{2} - 2 p$ , $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{s}{p}$ și $x^{2} y + x y^{2} = p s$ .

Punctele comune ale unei drepte $y = m x + n$ cu o parabolă $y = a x^{2} + b x + c$ au aceeași ordonată pe ambele grafice. Pui cele două expresii egale, aduci totul într-un membru și obții o ecuație de gradul al doilea în $x$ . Fiecare rădăcină este abscisa unui punct comun, iar ordonata lui se calculează cel mai simplu din ecuația dreptei; ecuația parabolei servește la probă. Discriminantul ecuației arată câte puncte comune există: două când e pozitiv, unul singur, în care dreapta atinge parabola, când e zero, și niciunul când e negativ. O dreaptă de acest fel nu poate avea mai mult de două puncte comune cu o parabolă.

De reținut

punctele comune: se egalează expresiile lui $y$
$Δ > 0$ : două puncte, $Δ = 0$ : tangență, $Δ < 0$ : niciunul
ordonata se calculează din ecuația mai simplă, apoi se face proba

Greșeala tipică

Se trec ca soluții doar abscisele $2$ și $- 1$ ; sistemul cere perechi, deci răspunsul este $(2, 3)$ și $(- 1, 0)$ .

Exerciții din această mini-lecție

Numerele $x$ și $y$ care verifică $x + y = 11$ și $x y = 24$ sunt rădăcinile ecuației:
- a) $z^{2} - 11 z + 24 = 0$
- b) $z^{2} + 11 z + 24 = 0$
- c) $z^{2} - 24 z + 11 = 0$
- d) $z^{2} - 11 z - 24 = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $z^{2} - 11 z + 24 = 0$

Ecuația ajutătoare are coeficientul lui $z$ egal cu minus suma și termenul liber egal cu produsul: $z^{2} - 11 z + 24 = 0$ , cu rădăcinile $3$ și $8$ .
Câte soluții reale are sistemul format din $x + y = 5$ și $x y = 9$ ?
- a) două
- b) una
- c) niciuna
- d) patru
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) niciuna

Condiția de existență este $s^{2} - 4 p \geq 0$ , dar aici $25 - 36 = - 11 < 0$ . Nu există numere reale cu suma $5$ și produsul $9$ .
Punctele comune ale dreptei $y = x + 2$ și parabolei $y = x^{2} + 13 x + 37$ sunt:
- a) $(5, 7)$ și $(7, 9)$
- b) $(- 7, - 5)$ și $(- 5, - 3)$
- c) $(- 7, 0)$ și $(- 5, 0)$
- d) nu există
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(- 7, - 5)$ și $(- 5, - 3)$

Egalând, $x^{2} + 13 x + 37 = x + 2$ , adică $x^{2} + 12 x + 35 = 0$ , cu rădăcinile $- 7$ și $- 5$ . Ordonatele din ecuația dreptei sunt $- 5$ și $- 3$ .

Întrebări conexe

Pentru ce $m$ atinge dreapta $y = 2 x + m$ parabola $y = x^{2}$ ?

Când ecuația obținută prin egalare are discriminantul zero. Pentru $y = x^{2}$ și $y = 2 x + m$ , ecuația $x^{2} - 2 x - m = 0$ are $Δ = 4 + 4 m$ , nul pentru $m = - 1$ . Dreapta $y = 2 x - 1$ atinge parabola doar în $(1, 1)$ .

Cum aflu două numere cu suma $7$ și suma inverselor $\frac{7}{12}$ ?

Din $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{x y}$ rezultă $\frac{7}{x y} = \frac{7}{12}$ , deci $x y = 12$ . Numerele sunt rădăcinile ecuației $z^{2} - 7 z + 12 = 0$ , adică $3$ și $4$ . Verificare: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}$ . Ordinea nu contează, deci sistemul are soluțiile $(3, 4)$ și $(4, 3)$ .

De ce sistemul sumă–produs are soluțiile în perechi inversate?

Ecuațiile $x + y = 9$ și $x y = 20$ nu se schimbă dacă schimbi literele între ele. Rădăcinile ecuației $z^{2} - 9 z + 20 = 0$ sunt $4$ și $5$ , deci soluțiile sunt $(4, 5)$ și $(5, 4)$ . Cele două perechi se confundă doar dacă $x = y$ , când discriminantul ecuației ajutătoare este zero.

Câte puncte comune are dreapta $y = 3$ cu parabola $y = x^{2} + 4$ ?

Niciunul. Egalarea dă $x^{2} + 4 = 3$ , adică $x^{2} = - 1$ , fără soluții reale. Pe desen, dreapta orizontală trece sub vârful $(0, 4)$ , iar parabola are ramurile în sus, deci nu o poate atinge.

Cum aflu punctele comune a două parabole?

Egalezi și aici expresiile. Pentru $y = x^{2}$ și $y = 8 - x^{2}$ , obții $2 x^{2} = 8$ , deci $x = \pm 2$ , iar ordonata comună este $4$ . Punctele sunt $(- 2, 4)$ și $(2, 4)$ , simetrice față de axa $O y$ , ca ambele parabole.

Unde lovește un jet de apă o rampă dreaptă?

Dacă jetul urmează parabola $y = 4 - x^{2}$ , pentru $x \geq 0$ , iar rampa este dreapta $y = x + 2$ , egalezi: $4 - x^{2} = x + 2$ , adică $x^{2} + x - 2 = 0$ , cu $x = 1$ sau $x = - 2$ . Doar $x = 1$ aparține jetului, deci apa lovește rampa în $(1, 3)$ .

Oamenii mai întreabă și: intersecția dreptei cu parabola · punctele comune ale unei drepte și unei parabole · sistem dreaptă parabolă · coordonatele punctelor de intersecție