Sisteme cu ecuații de gradul al doilea (M2, științe ale naturii)

În laboratorul de fizică, o lentilă mutată între o lumânare și un ecran dă imagine clară în două poziții, iar distanțele care le descriu se află dintr-un sistem în care apar suma și produsul a două necunoscute. Tot un sistem, de data aceasta între ecuația unei drepte și a unei parabole, spune unde aterizează un săritor pe o pantă. Lecția de față, din clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), arată cum se rezolvă exact aceste două tipuri de sisteme. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 poziția unei drepte față de o parabolă aparține domeniului „Algebră”, la conținuturile clasei a X-a, iar sistemele sumă–produs nu apar în programa probei. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține ambele tipuri de sisteme, în capitolul despre funcția de gradul al doilea.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: sistemele de forma $x+y=s$, $xy=p$ și sistemele dintre o dreaptă și o parabolă sunt cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși nu mai apar în programa nouă a clasei a IX-a (Anexa 28); al doilea tip se regăsește în Anexa 28 la clasa a X-a. Ai nevoie de relațiile lui Viète la M2, pe care le folosim aici în sens invers, și de metoda substituției din sistemele de ecuații de gradul I la M2.

Ce vei învăța

• Vei putea explica de ce o pereche ordonată rezolvă sau nu un sistem și de ce, la verificare, ordinea celor două numere contează.
• Vei ști să rezolvi un sistem de forma sumă–produs transformându-l într-o singură ecuație de gradul al doilea.
• Vei putea spune dinainte, doar din date, când sistemul nu are soluții reale și când are o singură soluție.
• Vei ști să aduci la forma sumă–produs sistemele în care suma e dată, iar a doua ecuație conține pătratele sau inversele necunoscutelor.
• Vei ști să afli punctele comune ale unei drepte și ale unei parabole, cu ambele coordonate exacte.
• Vei ști să explici pe grafic de ce o dreaptă și o parabolă au două, un singur sau niciun punct comun.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă să rezolvi un sistem cu o ecuație de gradul al doilea?

Soluția unui sistem de două ecuații cu necunoscutele $x$ și $y$ este o pereche ordonată $(x_0,y_0)$ de numere reale care, pusă în locul necunoscutelor, verifică ambele ecuații. A rezolva sistemul înseamnă a găsi toate aceste perechi. Ideea e cunoscută din sistemele de gradul I; diferența de acum este că una dintre ecuații conține un produs sau un pătrat al necunoscutelor.

Cuvântul „ordonată” contează. În sistemul $$\{\begin{array}{l}x+2y=0\\ xy=-8\end{array}$$ perechea $(4,-2)$ verifică ambele ecuații: $4-4=0$ și $4\cdot (-2)=-8$. Perechea inversată, cu $x=-2$ și $y=4$, verifică produsul, dar nu și prima ecuație, fiindcă $-2+8=6$. Așadar ea nu este soluție. Un sistem cu o ecuație de gradul al doilea poate avea mai multe soluții; acesta o mai are pe $(-4,2)$. De aceea răspunsul se scrie ca mulțime de perechi, iar fiecare pereche se verifică în ambele ecuații, nu doar în una.

2. Cum rezolvi sistemul sumă–produs?

Sistemul de forma $$\{\begin{array}{l}x+y=s\\ xy=p\end{array}$$ cere două numere despre care știi suma și produsul. Din lecția despre relațiile lui Viète știi că două numere cu suma $s$ și produsul $p$ sunt rădăcinile ecuației $z^2-sz+p=0$. Aici folosim faptul acesta în sens invers: nu pornești de la o ecuație ca să afli suma și produsul, ci de la sumă și produs ca să afli numerele. Litera $z$ e aleasă diferit de $x$ și $y$ ca să nu confunzi ecuația ajutătoare cu sistemul.

De ce sunt $x$ și $y$ tocmai rădăcinile acestei ecuații? Dacă perechea $(x,y)$ verifică sistemul, atunci produsul $(z-x)(z-y)$, desfăcut, este $z^2-(x+y)z+xy$, adică exact $z^2-sz+p$. Un produs de doi factori se anulează numai când unul dintre factori este zero, deci ecuația ajutătoare are rădăcinile $x$ și $y$ și nu are altele. Raționamentul merge și înapoi: orice două rădăcini ale ecuației ajutătoare au suma $s$ și produsul $p$, deci dau o soluție a sistemului. Așa se explică de ce metoda nu pierde soluții și nici nu adaugă soluții străine.

Pentru sistemul cu $s=16$ și $p=63$ scrii $z^2-16z+63=0$, cu $\Delta =256-252=4$, deci rădăcinile $\frac{16+2}{2}=9$ și $\frac{16-2}{2}=7$. Numerele căutate sunt $7$ și $9$, iar ele se pot așeza în pereche în două feluri: $x=7$, $y=9$ sau $x=9$, $y=7$. Soluțiile sistemului sunt $(7,9)$ și $(9,7)$. Ambele verifică: $7+9=16$ și $7\cdot 9=63$.

3. De ce apar soluțiile în perechi și când rămâne una singură?

Ecuațiile $x+y=s$ și $xy=p$ nu se schimbă dacă schimbi între ele necunoscutele: suma și produsul nu țin cont de ordine. Prin urmare, dacă $(a,b)$ este soluție, atunci și $(b,a)$ este. Cele două perechi sunt diferite ori de câte ori $a\ne b$, iar un răspuns care o scrie doar pe una este incomplet.

Perechile coincid numai când cele două numere sunt egale, adică atunci când ecuația ajutătoare are discriminantul zero, $s^2-4p=0$. Rădăcina ei dublă este jumătatea sumei, $\frac{s}{2}$, deci sistemul are o singură soluție, perechea $\left(\frac{s}{2},\frac{s}{2}\right)$. Nu scrii aceeași pereche de două ori.

4. Când nu are sistemul sumă–produs soluții reale?

Ecuația $z^2-sz+p=0$ are rădăcini reale numai dacă discriminantul ei, $s^2-4p$, nu este negativ. Condiția are și o explicație directă, fără ecuația ajutătoare: pentru orice numere reale $x$ și $y$, $(x-y{)}^2=(x+y{)}^2-4xy$, iar un pătrat nu poate fi negativ. Deci o soluție reală există numai dacă $s^2-4p\ge 0$.

Dacă cineva îți cere două numere reale cu suma $4$ și produsul $7$, verificarea e imediată: $4^2-4\cdot 7=16-28=-12$, negativ. Nu există asemenea numere, iar sistemul nu are soluții reale. Acesta nu e un eșec al calculului, ci un răspuns complet, care se scrie ca atare.

Merită să faci verificarea aceasta înainte de orice alt calcul. Ea te scutește de o rezolvare inutilă și, în problemele cu date din științe, îți semnalează imediat o nepotrivire între date: dacă un enunț îți cere două lungimi pozitive cu suma și produsul date, iar $s^2-4p$ iese negativ, măsurătorile din enunț nu pot proveni din aceeași situație reală.

5. Cum aduci un sistem la forma sumă–produs?

Uneori suma este dată direct, iar a doua ecuație nu conține produsul, ci o expresie care se poate scrie cu el. Identitățile de care ai nevoie sunt cele trei de mai jos, în care $s$ este suma și $p$ produsul: $$x^2+y^2=s^2-2p,\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{s}{p}(x\ne 0,y\ne 0),x^{2}y+x{y}^2=ps.$$

Metoda are trei pași. Înlocuiești suma cunoscută în identitate, afli produsul din ecuația de gradul I obținută, apoi rezolvi sistemul sumă–produs ca mai sus. De exemplu, pentru $x+y=12$ și $x^2+y^2=90$, identitatea dă $144-2p=90$, deci $p=27$. Numerele cu suma $12$ și produsul $27$ sunt $3$ și $9$, deci soluțiile sunt $(3,9)$ și $(9,3)$. La a doua identitate verifici la final că niciuna dintre necunoscute nu este zero, altfel fracțiile nu au sens.

Programa de examen numește sistemul $x+y=s$, $xy=p$; reducerile de mai sus, cu suma dată, sunt aplicații directe ale lui. Sistemele în care se dă diferența necunoscutelor nu sunt tratate aici.

6. Cum afli punctele comune ale unei drepte și ale unei parabole?

Programa de examen cere sistemele de forma $$\{\begin{array}{l}y=mx+n\\ y=a{x}^2+bx+c\end{array}$$ în care prima ecuație descrie o dreaptă, iar a doua o parabolă. Un punct comun are aceeași ordonată pe ambele grafice, deci egalezi membrii drepți: $a{x}^2+bx+c=mx+n$. Treci totul într-un membru; rămâne o ecuație de gradul al doilea în care apare numai $x$. Pentru fiecare rădăcină, ordonata o calculezi din ecuația dreptei, care e mai simplă, apoi faci proba în ecuația parabolei.

În figura A, dreapta $y=2x+3$ și parabola $y=x^2+6x+6$ se taie în două puncte. Egalarea dă $x^2+6x+6=2x+3$, adică $x^2+4x+3=0$, cu $\Delta =16-12=4$ și rădăcinile $-1$ și $-3$. Ordonatele sunt $2\cdot (-1)+3=1$ și $2\cdot (-3)+3=-3$, iar punctele comune sunt $(-1,1)$ și $(-3,-3)$. Proba în parabolă: $1-6+6=1$ și $9-18+6=-3$.

Observă că necunoscuta $y$ a dispărut după egalare: sistemul cu două necunoscute s-a redus la o ecuație cu o singură necunoscută. E același gest ca la substituția din sistemele de gradul I, doar că aici substitui o expresie întreagă, $mx+n$, în locul lui $y$. Dacă ecuația obținută are coeficientul lui $x^2$ negativ, o poți înmulți cu $-1$ înainte de a calcula discriminantul; rădăcinile nu se schimbă.

Lectura grafică a acestor intersecții ai făcut-o deja în lecția despre inecuațiile de gradul doi rezolvate grafic; aici calculul dă coordonatele exacte, chiar și când ele nu cad pe caroiaj.

7. Câte puncte comune pot avea o dreaptă și o parabolă?

Ecuația obținută prin egalare are cel mult două rădăcini, iar fiecare rădăcină dă un singur punct, deci o dreaptă neverticală și o parabolă au cel mult două puncte comune. Discriminantul ecuației decide cazul: pozitiv înseamnă două puncte, nul înseamnă un singur punct, în care dreapta atinge parabola, iar negativ înseamnă că graficele nu se întâlnesc.

Figura B arată parabola $y=x^2+3$ împreună cu trei drepte paralele. Dreapta $y=2x+3$ duce la $x^2-2x=0$, cu punctele $(0,3)$ și $(2,7)$. Dreapta $y=2x+2$ duce la $x^2-2x+1=0$, cu rădăcina dublă $1$, deci atinge parabola numai în $(1,4)$. Dreapta $y=2x+1$ duce la $x^2-2x+2=0$, cu $\Delta =4-8=-4$, deci nu are niciun punct comun cu parabola.

Discuțiile în care dreapta depinde de un parametru și se cere pentru ce valori ea atinge parabola sunt tratate la clasa a X-a, în lecția M2 despre dreaptă și parabolă. Aici numeri punctele comune pentru drepte și parabole date cu coeficienți numerici.

Cazul cu un singur punct are o imagine precisă: dreapta nu traversează parabola, ci o atinge și rămâne de aceeași parte a ei. Algebric, diferența dintre ordonata parabolei și ordonata dreptei este un pătrat perfect, înmulțit cu coeficientul lui $x^2$, deci are același semn peste tot, cu excepția punctului comun, unde este zero. De aceea, pe desen, o dreaptă care atinge o parabolă cu ramurile în sus stă sub ea, iar una care atinge o parabolă cu ramurile în jos stă deasupra ei.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Sumă negativă, produs pozitiv

Rezolvă în mulțimea numerelor reale sistemul $\{\begin{array}{l}x+y=-13\\ xy=42\end{array}$.

Rezolvare. Numerele căutate sunt rădăcinile ecuației $z^2+13z+42=0$, cu $\Delta =169-168=1$. Rădăcinile sunt $\frac{-13+1}{2}=-6$ și $\frac{-13-1}{2}=-7$. Soluțiile sistemului sunt $(-6,-7)$ și $(-7,-6)$.

Proba: $-6-7=-13$ și $(-6)\cdot (-7)=42$. Semnele se puteau anticipa: produsul pozitiv spune că numerele au același semn, iar suma negativă spune că acel semn este minus.

Exemplul 2 — Găsește greșeala: suma inverselor

Un elev a rezolvat sistemul $\{\begin{array}{l}x+y=18\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{9}{16}\end{array}$ și a scris: „$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x+y}=\frac{1}{18}$, care nu este egal cu $\frac{9}{16}$, deci sistemul nu are soluții”. Găsește greșeala și rezolvă sistemul.

Rezolvare. Greșeala este la adunarea fracțiilor: inversele nu se adună adunând numitorii. Corect, cu $x\ne 0$ și $y\ne 0$, $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{18}{p}$, unde $p=xy$. Din $\frac{18}{p}=\frac{9}{16}$ rezultă $p=32$.

Numerele sunt rădăcinile ecuației $z^2-18z+32=0$, cu $\Delta =324-128=196$, adică $\frac{18+14}{2}=16$ și $\frac{18-14}{2}=2$. Soluțiile sunt $(2,16)$ și $(16,2)$, ambele cu componente nenule. Proba: $\frac{1}{2}+\frac{1}{16}=\frac{9}{16}$.

Un control pe numere mici te ferește de greșeala elevului: $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$, pe când $\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}$. O regulă care dă rezultate diferite pe numere simple nu poate fi folosită.

Exemplul 3 — Suma pătratelor, cu suma dată

Rezolvă sistemul $\{\begin{array}{l}x+y=-5\\ x^2+y^2=73\end{array}$.

Rezolvare. Notăm $s=x+y=-5$ și $p=xy$. Din $x^2+y^2=s^2-2p$ obținem $25-2p=73$, deci $p=-24$. Numerele sunt rădăcinile ecuației $z^2+5z-24=0$, cu $\Delta =25+96=121$, adică $\frac{-5+11}{2}=3$ și $\frac{-5-11}{2}=-8$.

Soluțiile sunt $(3,-8)$ și $(-8,3)$. Proba în ecuația a doua: $9+64=73$.

Datele unui asemenea sistem pot fi verificate înainte de calcul. Din condiția $s^2-4p\ge 0$ și din $p=\frac{s^2-q}{2}$, unde $q$ este suma pătratelor, rezultă $2q\ge s^2$: suma pătratelor trebuie să fie cel puțin jumătate din pătratul sumei. Aici $2\cdot 73=146$, mult peste $25$, deci soluțiile reale există chiar înainte să le calculezi.

Exemplul 4 — Dreapta care atinge parabola

Arată că dreapta $y=x+4$ și parabola $y=-x^2-5x-5$ au un singur punct comun și află-l. Figura C arată cele două grafice.

Rezolvare. Egalăm: $-x^2-5x-5=x+4$, adică $x^2+6x+9=0$. Discriminantul este $\Delta =36-36=0$, deci ecuația are o singură rădăcină, $x=-3$. Ordonata din ecuația dreptei este $-3+4=1$, iar proba în parabolă dă $-9+15-5=1$.

Punctul comun este $(-3,1)$. Pe desen, dreapta atinge parabola fără să o traverseze: de o parte și de alta a punctului, dreapta rămâne deasupra parabolei.

Exemplul 5 — Cele două poziții ale lentilei

O lumânare și un ecran sunt la $90$ cm una de alta. Între ele se mută o lentilă convergentă cu distanța focală de $20$ cm. Imaginea e clară când distanțele $d_1$ (de la lumânare la lentilă) și $d_2$ (de la lentilă la ecran), în centimetri, verifică $d_1+d_2=90$ și $\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{20}$. Află pozițiile lentilei.

Rezolvare. Din $\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{d_1+d_2}{d_1{d}_2}=\frac{90}{d_1{d}_2}$ și egalitatea cu $\frac{1}{20}$ rezultă $d_1{d}_2=1800$. Sistemul devine $$\{\begin{array}{l}{d}_1+d_2=90\\ d_1{d}_2=1800\end{array}$$ iar $d_1$ și $d_2$ sunt rădăcinile ecuației $z^2-90z+1800=0$, cu $\Delta =8100-7200=900$, adică $\frac{90+30}{2}=60$ și $\frac{90-30}{2}=30$.

Soluțiile sunt $(30,60)$ și $(60,30)$. Aici ordinea are sens fizic: lentila poate sta la $30$ cm de lumânare, cu ecranul la $60$ cm, sau la $60$ cm de lumânare, cu ecranul la $30$ cm. Metoda se folosește în laborator pentru a măsura distanța focală; ea funcționează numai când distanța lumânare–ecran este cel puțin de patru ori distanța focală, adică exact când $90^2-4\cdot 1800\ge 0$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2x-18$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x$. Determinați coordonatele punctelor de intersecție a graficelor funcțiilor $f$ și $g$.

Rezolvare. Coordonatele punctelor comune sunt soluțiile sistemului $$\{\begin{array}{l}y=x\\ y=x^2-2x-18\end{array}$$ Egalarea dă $x^2-2x-18=x$, adică $x^2-3x-18=0$, cu $\Delta =9+72=81$ și rădăcinile $\frac{3+9}{2}=6$ și $\frac{3-9}{2}=-3$. Din $y=x$ obținem punctele $(6,6)$ și $(-3,-3)$. Proba: $36-12-18=6$ și $9+6-18=-3$.

Graficul funcției $g$ este prima bisectoare, dreapta pe care fiecare punct are abscisa egală cu ordonata; de aceea ambele puncte comune au coordonatele egale. Redactarea completă cere sistemul, rezolvarea ecuației și ambele puncte, cu câte două coordonate.

Să exersăm

La fiecare sistem, scrie întâi ce tip este: sumă–produs, redus la sumă–produs sau dreaptă–parabolă.

1. Verifică dacă perechile $(3,-5)$, $(-5,3)$ și $(-3,5)$ sunt soluții ale sistemului $\{\begin{array}{l}x+y=-2\\ xy=-15\end{array}$.

2. Rezolvă sistemul $\{\begin{array}{l}x+y=21\\ xy=108\end{array}$.

3. Rezolvă sistemul $\{\begin{array}{l}x+y=-17\\ xy=72\end{array}$.

4. Rezolvă sistemul $\{\begin{array}{l}x+y=3\\ xy=-40\end{array}$ și explică, înainte de calcul, de ce numerele au semne contrare.

5. Arată că sistemul $\{\begin{array}{l}x+y=6\\ xy=11\end{array}$ nu are soluții reale.

6. Rezolvă sistemul $\{\begin{array}{l}x+y=-10\\ xy=25\end{array}$. Câte soluții are?

7. Rezolvă sistemul $\{\begin{array}{l}x+y=11\\ x^2+y^2=65\end{array}$.

8. Rezolvă sistemul $\{\begin{array}{l}x+y=16\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\end{array}$, precizând condițiile de existență.

9. Rezolvă sistemul $\{\begin{array}{l}x+y=4\\ x^{2}y+x{y}^2=-48\end{array}$.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $s$ și $p$ sunt numere întregi și sistemul format din $x+y=s$ și $xy=p$ are soluții reale, atunci soluțiile lui sunt perechi de numere întregi.”

11. Află punctele comune ale dreptei $y=-2x+8$ și parabolei $y=-x^2+2x+5$.

12. Arată că dreapta $y=x$ și parabola $y=-x^2+3x-5$ nu au niciun punct comun.

13. Determină numerele reale $u$ și $v$ știind că $u+v=14$ și $uv=45$.

14. (Problemă aplicată.) Un săritor pleacă orizontal de pe o trambulină. Într-un reper cu originea în punctul de desprindere, axa $Ox$ orizontală și axa $Oy$ verticală, în metri, traiectoria lui este $y=-\frac{x^2}{40}$, iar panta pe care aterizează este dreapta $y=-\frac{3x}{4}$. Află punctul de aterizare și distanța măsurată pe pantă de la desprindere până la el.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale sistemul $\{\begin{array}{l}x+y=8\\ xy=-20\end{array}$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-11x+16$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x+5$. Determinați coordonatele mijlocului segmentului care unește punctele comune ale graficelor funcțiilor $f$ și $g$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că dreapta de ecuație $y=x+2$ și parabola de ecuație $y=2x^2-3x+4$ au un singur punct comun.

18. Parabola $y=x^2+bx+5$ trece prin punctul $(2,5)$ al dreptei $y=3x-1$. Află numărul real $b$, apoi toate punctele comune ale dreptei și parabolei, și explică de ce nu pot fi mai mult de două.

Răspunsuri și explicații

1. $(3,-5)$ și $(-5,3)$ sunt soluții: $3-5=-2$ și $3\cdot (-5)=-15$, iar inversarea nu schimbă suma și produsul. Perechea cu $x=-3$, $y=5$ nu este soluție, fiindcă suma ei este $2$, nu $-2$, deși produsul este tot $-15$.

2. $z^2-21z+108=0$ are $\Delta =441-432=9$, deci rădăcinile $\frac{21+3}{2}=12$ și $\frac{21-3}{2}=9$. Soluțiile sunt $(9,12)$ și $(12,9)$.

3. $z^2+17z+72=0$ are $\Delta =289-288=1$, deci rădăcinile $-8$ și $-9$. Soluțiile sunt $(-8,-9)$ și $(-9,-8)$.

4. Produsul $-40$ este negativ, deci numerele au semne contrare. $z^2-3z-40=0$ are $\Delta =9+160=169$, deci rădăcinile $\frac{3+13}{2}=8$ și $\frac{3-13}{2}=-5$. Soluțiile sunt $(8,-5)$ și $(-5,8)$.

5. $s^2-4p=36-44=-8<0$, deci nicio pereche de numere reale nu are suma $6$ și produsul $11$: sistemul nu are soluții reale.

6. $z^2+10z+25=0$ are $\Delta =100-100=0$ și rădăcina dublă $-5$. Sistemul are o singură soluție, $(-5,-5)$.

7. $s=11$ și $121-2p=65$, deci $p=28$. $z^2-11z+28=0$ are $\Delta =121-112=9$, deci rădăcinile $7$ și $4$. Soluțiile sunt $(4,7)$ și $(7,4)$; proba: $16+49=65$.

8. Condițiile: $x\ne 0$ și $y\ne 0$. Din $\frac{s}{p}=\frac{16}{p}=\frac{1}{3}$ rezultă $p=48$. $z^2-16z+48=0$ are $\Delta =256-192=64$, deci rădăcinile $\frac{16+8}{2}=12$ și $\frac{16-8}{2}=4$. Soluțiile sunt $(4,12)$ și $(12,4)$, ambele cu componente nenule; proba: $\frac{1}{4}+\frac{1}{12}=\frac{1}{3}$.

9. $x^{2}y+x{y}^2=ps=4p=-48$, deci $p=-12$. $z^2-4z-12=0$ are $\Delta =16+48=64$, deci rădăcinile $6$ și $-2$. Soluțiile sunt $(6,-2)$ și $(-2,6)$.

10. Fals. Contraexemplu: pentru $s=11$ și $p=29$, $s^2-4p=121-116=5>0$, deci soluțiile reale există, dar ecuația ajutătoare $z^2-11z+29=0$ are rădăcinile $\frac{11+\sqrt{5}}{2}$ și $\frac{11-\sqrt{5}}{2}$, care nu sunt numere întregi. Sistemul are soluțiile $\left(\frac{11+\sqrt{5}}{2},\frac{11-\sqrt{5}}{2}\right)$ și $\left(\frac{11-\sqrt{5}}{2},\frac{11+\sqrt{5}}{2}\right)$.

11. Egalăm: $-x^2+2x+5=-2x+8$, adică $x^2-4x+3=0$, cu $\Delta =16-12=4$ și rădăcinile $3$ și $1$. Din ecuația dreptei, ordonatele sunt $-6+8=2$ și $-2+8=6$. Punctele comune sunt $(3,2)$ și $(1,6)$, pentru sistemul $\{\begin{array}{l}y=-2x+8\\ y=-x^2+2x+5\end{array}$; proba: $-9+6+5=2$ și $-1+2+5=6$.

12. Egalarea $-x^2+3x-5=x$ dă $x^2-2x+5=0$, cu $\Delta =4-20=-16<0$. Sistemul $\{\begin{array}{l}y=x\\ y=-x^2+3x-5\end{array}$ nu are soluții reale, deci dreapta și parabola nu au niciun punct comun.

13. Numerele sunt rădăcinile ecuației $z^2-14z+45=0$, cu $\Delta =196-180=16$, adică $9$ și $5$. Sistemul $\{\begin{array}{l}u+v=14\\ uv=45\end{array}$ are soluțiile $(5,9)$ și $(9,5)$.

14. Egalăm: $-\frac{x^2}{40}=-\frac{3x}{4}$, adică $x^2-30x=0$, cu rădăcinile $0$ și $30$. Punctul $(0,0)$ este desprinderea; aterizarea este în $x=30$, cu $y=-\frac{3\cdot 30}{4}=-22,5$, deci în punctul $(30;-22,5)$: la $30$ m pe orizontală și $22,5$ m mai jos. Distanța pe pantă este $\sqrt{30^2+22,5^2}=\sqrt{1406,25}=37,5$ m. Modelul neglijează rezistența aerului.

15. $z^2-8z-20=0$ are $\Delta =64+80=144$, deci rădăcinile $\frac{8+12}{2}=10$ și $\frac{8-12}{2}=-2$. Soluțiile sunt $(10,-2)$ și $(-2,10)$.

16. Sistemul $\{\begin{array}{l}y=x+5\\ y=x^2-11x+16\end{array}$ dă prin egalare $x^2-12x+11=0$, cu $\Delta =144-44=100$ și rădăcinile $\frac{12+10}{2}=11$ și $\frac{12-10}{2}=1$. Punctele comune sunt $(1,6)$ și $(11,16)$; proba: $1-11+16=6$ și $121-121+16=16$. Mijlocul segmentului are coordonatele $\left(\frac{1+11}{2},\frac{6+16}{2}\right)=(6,11)$. Abscisa mijlocului se putea afla și fără rădăcini: este jumătate din suma lor, $\frac{12}{2}=6$.

17. Egalarea $2x^2-3x+4=x+2$ dă $2x^2-4x+2=0$, adică $x^2-2x+1=0$, cu $\Delta =4-4=0$. Există o singură rădăcină, $x=1$, iar $y=1+2=3$. Punctul comun este $(1,3)$; proba: $2-3+4=3$.

18. Din $5=4+2b+5$ rezultă $b=-2$. Sistemul $\{\begin{array}{l}y=3x-1\\ y=x^2-2x+5\end{array}$ dă $x^2-5x+6=0$, cu rădăcinile $2$ și $3$, deci punctele $(2,5)$ și $(3,8)$. Mai mult de două puncte nu pot exista, pentru că ecuația obținută prin egalare este de gradul al doilea și are cel mult două rădăcini, iar fiecare rădăcină dă o singură ordonată.

De reținut

• O soluție este o pereche ordonată care verifică ambele ecuații; răspunsul complet conține toate perechile.
• Sistemul cu $x+y=s$ și $xy=p$ are ca soluții rădăcinile lui $z^2-sz+p=0$, așezate în ambele ordini; soluții reale există numai dacă $s^2-4p\ge 0$.
• Cu suma dată, $x^2+y^2=s^2-2p$, $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{s}{p}$ și $x^{2}y+x{y}^2=ps$ aduc sistemul la forma sumă–produs.
• Pentru o dreaptă și o parabolă egalezi ordonatele, rezolvi ecuația de gradul al doilea și calculezi fiecare ordonată din ecuația dreptei.
• Discriminantul ecuației obținute prin egalare arată două, un singur sau niciun punct comun.

Greșeli frecvente

• Scrii ecuația ajutătoare cu semn greșit la sumă. Pentru suma $s$ și produsul $p$, ecuația are $-sz$, nu $+sz$. Verifică pe loc: rădăcinile găsite trebuie să aibă exact suma din sistem.
• Te oprești după ce ai aflat produsul. La sistemele reduse, valoarea lui $p$ este doar un pas intermediar; răspunsul cerut sunt perechile $(x,y)$, nu perechea formată din sumă și produs.
• Calculezi ordonata punctului comun din ecuația greșită sau nu o calculezi deloc. După ce ai aflat abscisele, fiecare are nevoie de ordonata ei; o iei din ecuația dreptei și faci proba în ecuația parabolei.
• Consideri că „fără soluții reale” e o greșeală de calcul. Un discriminant negativ, verificat de două ori, este un rezultat: dreapta nu întâlnește parabola sau nu există numerele cerute.
• Ignori condițiile de existență la sistemul cu inverse. Când apar $\frac{1}{x}$ și $\frac{1}{y}$, scrie de la început $x\ne 0$ și $y\ne 0$ și verifică la final că perechile găsite le respectă.

Aplică acasă

1. Pozițiile lentilei. Dacă ai acces la o trusă de optică, fixează lumânarea și ecranul la o distanță de cel puțin patru ori distanța focală a lentilei și caută cele două poziții în care imaginea e clară. Măsoară cele două distanțe și verifică dacă produsul lor, împărțit la distanța lumânare–ecran, dă distanța focală.
2. Dreapta care alunecă. Într-o aplicație de reprezentare grafică, desenează o parabolă și o dreaptă $y=2x+k$, apoi schimbă doar numărul $k$. Notează pentru ce valori vezi două puncte comune, unul sau niciunul, și verifică cu discriminantul ecuației obținute prin egalare.
3. Numerele ascunse. Alege două numere întregi și spune-i colegului doar suma și produsul lor. El trebuie să le afle cu ecuația ajutătoare și să scrie ambele perechi. Încearcă și o pereche de date pentru care nu există numere reale și cere-i să explice de ce.

Pentru părinți și profesori

Lecția adună două tipuri de sisteme pe care programa de examen le numește explicit: sistemul sumă–produs și sistemul dintre o dreaptă și o parabolă. Primul este relațiile lui Viète citite invers, al doilea este egalarea a două expresii ale aceleiași ordonate. În ambele, sarcina finală este o ecuație de gradul al doilea, iar greșelile apar la începutul și la sfârșitul drumului: la scrierea ecuației ajutătoare și la trecerea înapoi la perechi.

Verificați în caiet: perechile sunt scrise în ambele ordini la sistemele sumă–produs; fiecare punct comun are și ordonata calculată; proba s-a făcut în ecuația care nu a fost folosită pentru calcul; un discriminant negativ este interpretat în cuvinte. Întrebări de control: „De ce $(a,b)$ și $(b,a)$ sunt ambele soluții?”; „Ce înseamnă pe desen că discriminantul e zero?”; „De unde știi, înainte de calcul, că numerele au semne contrare?”.

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: programa de examen (OMEN 4430/2014) cere, la clasa a IX-a, „rezolvarea sistemelor de forma $x+y=s$, $xy=p$” și, la „Poziția relativă a unei drepte față de o parabolă”, rezolvarea sistemelor de forma $y=mx+n$, $y=a{x}^2+bx+c$. Programa nouă de științe ale naturii (OMEC 6930/2025, Anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027, nu conține sistemele sumă–produs la nicio clasă, iar sistemele dreaptă–parabolă le mută la clasa a X-a. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029; modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026 nu conține o cerință cu aceste sisteme. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 poziția unei drepte față de o parabolă aparține domeniului „Algebră”, iar sistemele sumă–produs nu apar. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a IX-a în programa de examen din 2014.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: sisteme cu ecuații de gradul al doilea tratează și sistemele omogene, care nu sunt cerute la științe ale naturii. Pe traseul M2, lecția anterioară este relațiile lui Viète la M2, iar recapitularea unității se face cu testul M2 de supliment pentru gradul I, gradul al doilea și șiruri. Dacă metoda substituției nu îți mai e familiară, reia metoda substituției din clasa a VII-a.

Întrebări frecvente

Ce aduce lecția M2 față de lecția de mate-info (M1) despre sisteme de gradul al doilea? Lecția M2 se oprește la cele două tipuri cerute de programa de științe ale naturii: sistemul sumă–produs, cu reducerile directe la el, și sistemul dintre o dreaptă și o parabolă. Lecția de mate-info (M1) adaugă sistemele omogene și clasificarea după numărul de soluții, care nu sunt cerute la profilul M2.

La ce subiect pot apărea aceste sisteme la bacalaureatul M2? Programa M2 pentru 2027–2029 le cere explicit, în capitolul despre funcția de gradul al doilea. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu conține o cerință cu ele, așa că nu putem spune ce formă va avea o eventuală cerință. Exersează ambele tipuri, cu proba scrisă în ecuația nefolosită la calcul.

De ce am nevoie de o literă nouă, $z$, pentru ecuația ajutătoare? Pentru că $x$ și $y$ sunt deja necunoscutele sistemului. Ecuația $z^2-sz+p=0$ are ca rădăcini cele două numere căutate, dar nu spune care dintre ele este $x$. O literă nouă păstrează clar diferența dintre ecuația ajutătoare și sistem și te obligă să revii la perechi.

Cum știu dacă sistemul sumă–produs are soluții, fără să îl rezolv? Calculezi $s^2-4p$, adică discriminantul ecuației ajutătoare. Dacă rezultatul este negativ, nu există numere reale cu suma și produsul date. Dacă este zero, există o singură soluție, cu cele două necunoscute egale. Dacă este pozitiv, sunt două soluții, aceleași două numere așezate în două ordini diferite.

De ce calculez ordonata din ecuația dreptei și nu din cea a parabolei? Ambele dau același rezultat pentru un punct comun, dar ecuația dreptei cere mai puține calcule, deci greșești mai rar. Ecuația parabolei rămâne pentru probă: dacă punctul găsit o verifică și pe ea, ești sigur că aparține ambelor grafice și că nu ai greșit la egalare.

Poate o dreaptă să aibă trei puncte comune cu o parabolă? Nu. Egalarea ordonatelor duce la o ecuație de gradul al doilea, care are cel mult două rădăcini, iar fiecare rădăcină dă un singur punct. O dreaptă verticală, de forma $x=k$, taie parabola într-un singur punct, dar ea nu are forma $y=mx+n$ din programă.