Sisteme cu exponențiale și logaritmi: pe scurt

Un sistem cu exponențiale sau logaritmi se transformă, printr-o substituție potrivită, într-un sistem algebric obișnuit. La exponențiale, notezi $u=a^x$, $v=b^y$, reținând mereu că $u>0$ și $v>0$ — o valoare negativă a lui $u$ sau $v$ se respinge automat, fiindcă nicio putere reală nu poate fi negativă. La logaritmi, notezi $p={\log }_{a}x$, $q={\log }_{a}y$; aici revenirea $x=a^p$ dă automat $x>0$, deci soluțiile străine sunt imposibile.

Multe sisteme ascund o structură «sumă și produs»: dacă $u+v=S$ și $uv=P$ (obținut, de pildă, din $x+y$ prin ridicare la putere), atunci $u$ și $v$ sunt rădăcinile ecuației $t^2-St+P=0$, prin relațiile lui Viète.

În sistemele mixte (o ecuație algebrică, una logaritmică) condițiile de existență chiar elimină soluții — o pereche care verifică partea algebrică poate fi respinsă pentru că un logaritm din ea nu există. Când apare un produs de puteri cu baze prime distincte egal cu un număr dat, identifici exponenții prin unicitatea descompunerii în factori primi — regulă care nu se aplică dacă o bază e putere a celeilalte.

Exerciții din această mini-lecție

1. Rezolvați sistemul $\{\begin{array}{l}{2}^x+3^y=13\\ 2^x-3^y=-5\end{array}$.

   • a) $(x,y)=(2,2)$
   • b) $(x,y)=(3,1)$
   • c) $(x,y)=(1,3)$
   • d) $(x,y)=(2,3)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $(x,y)=(2,2)$

   Notăm $u=2^x>0$, $v=3^y>0$: $u+v=13$, $u-v=-5$, deci $u=4$, $v=9$. Atunci $2^x=4\Rightarrow x=2$ și $3^y=9\Rightarrow y=2$. Verificare: $4+9=13$ ✓, $4-9=-5$ ✓.

2. O soluție a sistemului $\{\begin{array}{l}{2}^x+2^y=12\\ x+y=5\end{array}$ este:

   • a) $(1,4)$
   • b) $(2,3)$
   • c) $(0,5)$
   • d) $(6,-1)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $(2,3)$

   Din $x+y=5$ rezultă $2^x\cdot 2^y=2^5=32$; cu $u+v=12$, $uv=32$, obținem $t^2-12t+32=0$, cu $t=4$ sau $t=8$. Perechea $(x,y)=(2,3)$ verifică: $4+8=12$ ✓, $2+3=5$ ✓. Celelalte variante nu satisfac prima ecuație (de exemplu, $2^1+2^4=18\ne 12$).

3. Rezolvați sistemul $\{\begin{array}{l}\lg x+\lg y=2\\ x-y=15\end{array}$, $x,y>0$. Care este soluția acceptabilă?

   • a) $(5,20)$
   • b) $(-5,-20)$
   • c) $(20,5)$
   • d) $(25,10)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $(20,5)$

   Din prima ecuație $xy=100$; din a doua $x=y+15$, deci $y^2+15y-100=0$, cu $\Delta =625=25^2$ și $y=5$ sau $y=-20$. Valoarea $y=-20$ se respinge ($y>0$). Rămâne $y=5$, $x=20$: $20\cdot 5=100$ ✓, $20-5=15$ ✓.