Sisteme cu exponențiale și logaritmi

Două culturi de bacterii pornesc de la cantități diferite: prima se dublează în fiecare oră, a doua se înjumătățește. Întrebarea firească a laborantului — „în ce moment au același număr de celule?" — duce, scrisă matematic, la o ecuație cu două puteri. Dacă la asta mai adaugi o informație (de pildă, că suma celor două populații la un anumit moment este cunoscută), ai deja un sistem cu exponențiale. Aceeași structură apare la două depozite bancare cu dobânzi diferite sau la subiectul al doilea de la Bacalaureat M1.

Vestea bună este că nu ai nimic nou de învățat. Un sistem cu exponențiale sau logaritmi se rezolvă transformându-l într-un sistem algebric obișnuit, prin notații potrivite: pui $u=2^x$, $v=3^y$ sau $u={\log }_{2}x$ și te trezești cu un sistem liniar ori cu unul de tipul „sumă și produs", pe care le știi din clasa a IX-a, de la Sisteme cu ecuații de gradul al doilea. Disciplina în plus, dar obligatorie, este cea a condițiilor de existență: la orice logaritm, argumentul se scrie strict pozitiv înainte de a începe, iar la revenirea din substituție se ține minte că o putere este întotdeauna strict pozitivă.

Ce vei învăța

• Vei ști să transformi un sistem cu exponențiale într-un sistem algebric, prin substituțiile $u=a^x$, $v=b^y$, și să respingi valorile negative sau nule ale necunoscutelor auxiliare.
• Vei ști să rezolvi sistemele de tip sumă și produs de puteri, folosind relațiile lui Viète și ecuația de gradul al doilea asociată.
• Vei ști să rezolvi sisteme de ecuații logaritmice, restrângând sume și diferențe de logaritmi și scriind de la început condițiile de existență.
• Vei ști să rezolvi sisteme mixte, în care o ecuație este algebrică și cealaltă logaritmică.
• Vei ști să folosești unicitatea descompunerii în factori primi la ecuații de tipul $2^x\cdot 3^y=N$.
• Vei ști să tratezi sistemele care conțin ${\log }_{x}y$, prin substituția $t={\log }_{x}y$ și relația ${\log }_{y}x=\frac{1}{t}$.

Hai să descoperim împreună

1. Ideea unică: notează puterea, nu exponentul

Fie sistemul $$\{\begin{array}{l}{2}^x+3^y=11\\ 2^x-3^y=5\end{array}$$ Necunoscutele $x$ și $y$ apar numai ca exponenți, iar puterile $2^x$ și $3^y$ apar ca blocuri întregi. Le notăm: $u=2^x$ și $v=3^y$, cu observația esențială că $u>0$ și $v>0$, oricare ar fi $x$ și $y$ reale.

Sistemul devine liniar: $$\{\begin{array}{l}u+v=11\\ u-v=5\end{array}$$ Adunând ecuațiile: $2u=16$, deci $u=8$; scăzându-le: $2v=6$, deci $v=3$. Ambele sunt pozitive, deci acceptabile.

Revenim: $2^x=8=2^3$, deci $x=3$; $3^y=3=3^1$, deci $y=1$.

Verificare în sistemul inițial: $2^3+3^1=8+3=11$ ✓ și $2^3-3^1=8-3=5$ ✓. Soluția: $(x,y)=(3,1)$.

Reține de ce contează pozitivitatea: dacă sistemul algebric ar da $u=-2$, valoarea s-ar respinge, fiindcă nu există exponent real cu $2^x=-2$.

2. Sumă și produs: ecuația de gradul al doilea asociată

Multe sisteme cu exponențiale ascund, sub notații, structura „cunosc suma și produsul". Atunci cele două necunoscute auxiliare sunt rădăcinile unei ecuații de gradul al doilea, prin relațiile lui Viète.

Exemplu. Rezolvăm $$\{\begin{array}{l}{2}^x+2^y=12\\ x+y=5\end{array}$$ Notăm $u=2^x>0$ și $v=2^y>0$. A doua ecuație nu conține direct $u$ și $v$, dar o putem transforma: din $x+y=5$ rezultă $2^{x+y}=2^5$, adică $uv=32$. Avem deci suma $u+v=12$ și produsul $uv=32$, deci $u$ și $v$ sunt rădăcinile ecuației $$t^2-12t+32=0.$$ Discriminantul este $\Delta =144-128=16$, deci $t_{1,2}=\frac{12\pm 4}{2}$, adică $t_1=4$ și $t_2=8$. Ambele sunt pozitive.

Revenim, în cele două ordini posibile: $\left(2^x,2^y\right)=(4,8)$ dă $(x,y)=(2,3)$, iar $(8,4)$ dă $(3,2)$.

Verificare: $2^2+2^3=4+8=12$ ✓ și $2+3=5$ ✓. Soluțiile: $(2,3)$ și $(3,2)$.

Observă transformarea-cheie: o relație între exponenți devine o relație între puteri prin ridicare la putere, iar o relație între puteri devine una între exponenți prin logaritmare. Ai voie să circuli în ambele sensuri; alegi sensul care simplifică.

3. Sisteme de ecuații logaritmice

Aici condițiile de existență sunt prima linie a rezolvării, exact ca la Ecuații logaritmice. Metoda: notezi logaritmii și rezolvi sistemul liniar rezultat.

Exemplu. Rezolvăm $$\{\begin{array}{l}{\log }_{2}x+{\log }_{2}y=5\\ {\log }_{2}x-{\log }_{2}y=1\end{array}$$ Condițiile de existență: $x>0$ și $y>0$.

Notăm $p={\log }_{2}x$ și $q={\log }_{2}y$. Sistemul devine $p+q=5$, $p-q=1$, cu soluția $p=3$, $q=2$. Revenim: $x=2^3=8$ și $y=2^2=4$, ambele strict pozitive, deci acceptabile.

Verificare: ${\log }_{2}8+{\log }_{2}4=3+2=5$ ✓ și $3-2=1$ ✓. Soluția: $(8,4)$.

Ca la orice substituție $t={\log }_{a}x$, revenirea dă automat $x=a^t>0$: aici soluțiile străine sunt imposibile. Nu la fel în secțiunea următoare.

4. Sisteme mixte: o ecuație algebrică și una logaritmică

Acesta este tipul în care apar cel mai des soluții străine, pentru că restrângerea logaritmilor lărgește domeniul.

Exemplu. Rezolvăm $$\{\begin{array}{l}\lg x+\lg y=3\\ x-y=30\end{array}$$ Condițiile: $x>0$ și $y>0$.

Restrângem prima ecuație: $\lg (xy)=3=\lg 1000$, deci $xy=1000$. Din a doua, $x=y+30$, deci $(y+30)y=1000$, adică $y^2+30y-1000=0$. Discriminantul este $\Delta =900+4000=4900=70^2$, deci $$y_{1,2}=\frac{-30\pm 70}{2}⟹y_1=20,y_2=-50.$$ Valoarea $y_2=-50$ se respinge, fiindcă nu verifică condiția $y>0$ (ar cere $\lg (-50)$, care nu există). Rămâne $y=20$, deci $x=50$.

Verificare în sistemul inițial: $\lg 50+\lg 20=\lg 1000=3$ ✓ și $50-20=30$ ✓. Soluția: $(50,20)$.

Fără condițiile scrise la început, perechea $(-20,-50)$ ar fi părut o a doua soluție: într-adevăr, produsul lor este $1000$ și diferența $30$ — dar logaritmii nu există.

5. Descompunerea în factori primi

Când într-o ecuație apare un produs de puteri cu baze prime diferite, egal cu un număr, folosești unicitatea descompunerii în factori primi: exponenții se identifică unul câte unul.

Exemplu. Rezolvăm în mulțimea numerelor reale sistemul $$\{\begin{array}{l}{3}^x\cdot 2^y=972\\ {\log }_{\sqrt{3}}(x-y)=2\end{array}$$ Condiția de existență pentru a doua ecuație: $x-y>0$.

Descompunem: $972=4\cdot 243=2^2\cdot 3^5$. Prima ecuație devine $3^x\cdot 2^y=3^5\cdot 2^2$; cum $2$ și $3$ sunt numere prime distincte, identificarea exponenților dă $x=5$ și $y=2$.

Verificăm a doua ecuație: $x-y=3>0$, iar ${\log }_{\sqrt{3}}3=2$, fiindcă ${\left(\sqrt{3}\right)}^2=3$. ✓

Verificare completă: $3^5\cdot 2^2=243\cdot 4=972$ ✓. Soluția: $(5,2)$.

Atenție: identificarea exponenților e validă doar pentru baze prime distincte. Din $4^x\cdot 2^y=32$ nu deduci nimic direct, fiindcă $4=2^2$: scrii totul în baza $2$ și obții o singură ecuație, $2x+y=5$.

6. Sisteme cu ${\log }_{x}y$

Când într-un sistem apar ${\log }_{x}y$ și ${\log }_{y}x$, folosești relația $${\log }_{y}x=\frac{1}{{\log }_{x}y},$$ consecință directă a formulei de schimbare a bazei. Notezi $t={\log }_{x}y$ și obții o ecuație în $t$ și $\frac{1}{t}$.

Exemplu. Rezolvăm $$\{\begin{array}{l}{\log }_{x}y+{\log }_{y}x=\frac{5}{2}\\ xy=27\end{array}$$ Condițiile: $x>0$, $x\ne 1$, $y>0$, $y\ne 1$.

Cu $t={\log }_{x}y$ (deci $t\ne 0$), prima ecuație devine $t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}$, adică $2t^2-5t+2=0$, cu $\Delta =25-16=9$ și rădăcinile $t_1=2$, $t_2=\frac{1}{2}$.

Cazul $t=2$: ${\log }_{x}y=2$ înseamnă $y=x^2$. Înlocuind în a doua ecuație: $x\cdot x^2=27$, deci $x^3=27$ și $x=3$, de unde $y=9$.

Cazul $t=\frac{1}{2}$: $y=x^{1/2}=\sqrt{x}$, deci $x\sqrt{x}=27$, adică $x^{3/2}=27$ și $x=27^{2/3}=9$, de unde $y=3$.

Ambele perechi respectă condițiile ($3$ și $9$ sunt pozitive și diferite de $1$).

Verificare: pentru $(3,9)$: ${\log }_{3}9+{\log }_{9}3=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$ ✓ și $3\cdot 9=27$ ✓. Pentru $(9,3)$, cele două logaritme își schimbă rolurile și suma rămâne aceeași ✓.

7. Metoda logaritmării

Uneori necunoscuta apare și în bază, și în exponent. Atunci logaritmezi ecuația: aplici logaritmul aceleiași baze în ambii membri — operație permisă tocmai fiindcă funcția logaritmică este injectivă, deci nu pierde și nu adaugă soluții.

Exemplu. Fie sistemul $\{\begin{array}{l}{x}^y=y^x\\ x=2y\end{array}$, cu $x>0$ și $y>0$.

Logaritmăm prima ecuație în baza $10$: $\lg \left(x^y\right)=\lg \left(y^x\right)$, adică $y\lg x=x\lg y$. Înlocuim $x=2y$: $$y\lg (2y)=2y\lg y.$$ Împărțim prin $y>0$: $\lg (2y)=2\lg y=\lg y^2$, deci, prin injectivitate, $2y=y^2$. Cum $y\ne 0$, rezultă $y=2$ și $x=4$.

Verificare: $4^2=16$ și $2^4=16$ ✓, iar $4=2\cdot 2$ ✓. Soluția: $(4,2)$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Sistem liniar în puteri

Rezolvați sistemul $\{\begin{array}{l}{2}^x+3^y=11\\ 2^x-3^y=5\end{array}$

Rezolvare. Notăm $u=2^x>0$ și $v=3^y>0$. Sistemul devine $u+v=11$, $u-v=5$, cu soluția $u=8$, $v=3$ — ambele pozitive, deci acceptabile.

Revenim: $2^x=2^3\Rightarrow x=3$ și $3^y=3^1\Rightarrow y=1$.

Verificare: $8+3=11$ ✓, $8-3=5$ ✓. Soluția: $(3,1)$.

Exemplul 2 — Sumă și produs

Rezolvați sistemul $\{\begin{array}{l}{3}^x+3^y=12\\ 3^{x+y}=27\end{array}$

Rezolvare. Cu $u=3^x>0$ și $v=3^y>0$, a doua ecuație se scrie $uv=27$, iar prima $u+v=12$. Deci $u$ și $v$ sunt rădăcinile ecuației $t^2-12t+27=0$, cu $\Delta =144-108=36$ și $t_{1,2}=\frac{12\pm 6}{2}$, adică $3$ și $9$.

Revenim: $\left(3^x,3^y\right)=(3,9)$ dă $(x,y)=(1,2)$; ordinea inversă dă $(2,1)$.

Verificare: $3^1+3^2=3+9=12$ ✓ și $3^{1+2}=27$ ✓. Soluțiile: $(1,2)$ și $(2,1)$.

Exemplul 3 — Sistem logaritmic pur

Rezolvați sistemul $\{\begin{array}{l}{\log }_{3}x+{\log }_{3}y=3\\ {\log }_{3}x-{\log }_{3}y=1\end{array}$

Rezolvare. Condiții: $x>0$, $y>0$.

Cu $p={\log }_{3}x$, $q={\log }_{3}y$: $p+q=3$ și $p-q=1$, deci $p=2$ și $q=1$. Revenim: $x=3^2=9$, $y=3^1=3$.

Verificare: ${\log }_{3}9+{\log }_{3}3=2+1=3$ ✓ și $2-1=1$ ✓. Soluția: $(9,3)$.

Exemplul 4 — Sistem mixt, cu respingere

Rezolvați sistemul $\{\begin{array}{l}\lg x+\lg y=3\\ x-y=30\end{array}$

Rezolvare. Condiții: $x>0$ și $y>0$.

Din prima ecuație, $xy=10^3=1000$. Din a doua, $x=y+30$, deci $y^2+30y-1000=0$, cu $\Delta =4900$ și rădăcinile $y=20$, $y=-50$.

Confruntarea cu condițiile: $y=-50$ se respinge, fiindcă $\lg (-50)$ nu există. Rămâne $y=20$, deci $x=50$.

Verificare: $\lg 50+\lg 20=\lg 1000=3$ ✓ și $50-20=30$ ✓. Soluția: $(50,20)$.

Exemplul 5 — Descompunere în factori primi

Rezolvați sistemul $\{\begin{array}{l}{2}^x\cdot 3^y=288\\ {\log }_{\sqrt{3}}(x-y)=2\end{array}$

Rezolvare. Condiția: $x-y>0$.

Descompunem: $288=32\cdot 9=2^5\cdot 3^2$. Din unicitatea descompunerii în factori primi, $x=5$ și $y=2$.

Verificăm a doua ecuație: $x-y=3>0$, iar ${\log }_{\sqrt{3}}3=2$, fiindcă ${\left(\sqrt{3}\right)}^2=3$ ✓.

Verificare: $2^5\cdot 3^2=32\cdot 9=288$ ✓. Soluția: $(5,2)$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Rezolvați în mulțimea numerelor reale sistemul $\{\begin{array}{l}x+y=10\\ \lg x+\lg y=\lg 21\end{array}$

Rezolvare.

Condițiile de existență: $x>0$ și $y>0$.

Rezolvarea: restrângem a doua ecuație: $\lg (xy)=\lg 21$, iar prin injectivitatea funcției logaritmice, $xy=21$. Împreună cu $x+y=10$, numerele $x$ și $y$ sunt rădăcinile ecuației $$t^2-10t+21=0.$$ Discriminantul este $\Delta =100-84=16$, deci $t_{1,2}=\frac{10\pm 4}{2}$, adică $t_1=3$ și $t_2=7$.

Confruntarea cu condițiile: ambele valori sunt strict pozitive, deci ambele perechi convin.

Verificarea: pentru $(3,7)$: $3+7=10$ ✓ și $\lg 3+\lg 7=\lg 21$ ✓; perechea $(7,3)$ verifică la fel, sistemul fiind simetric.

Soluțiile sistemului: $(3,7)$ și $(7,3)$.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare sistem care conține un logaritm, scrie întâi condițiile de existență; la fiecare substituție de tip $u=a^x$, scrie explicit că $u>0$ și respinge motivat valorile care nu convin. Verifică la final în sistemul inițial.

1. Rezolvă sistemul $\{\begin{array}{l}x+y=7\\ {\log }_{2}x+{\log }_{2}y={\log }_{2}12\end{array}$

2. Rezolvă sistemul $\{\begin{array}{l}{2}^x+2^y=10\\ 2^x-2^y=6\end{array}$

3. Rezolvă sistemul $\{\begin{array}{l}{\log }_{3}x+{\log }_{3}y=3\\ {\log }_{3}x-{\log }_{3}y=1\end{array}$

4. Rezolvă sistemul $\{\begin{array}{l}{3}^x\cdot 3^y=81\\ x-y=2\end{array}$

5. Determină numerele reale $x$ și $y$ pentru care $2^x\cdot 3^y=108$.

6. Rezolvă sistemul $\{\begin{array}{l}x-y=5\\ \lg x+\lg y=\lg 24\end{array}$

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Sistemul $\{\begin{array}{l}\lg x+\lg y=2\\ x+y=-20\end{array}$ are cel puțin o soluție reală."

8. Rezolvă sistemul $\{\begin{array}{l}{2}^x+2^y=20\\ 2^{x+y}=64\end{array}$

9. Rezolvă sistemul $\{\begin{array}{l}{\log }_{2}x+{\log }_{2}y=6\\ x=4y\end{array}$

10. (Problemă aplicată.) Două culturi de bacterii au, după $t$ ore, $A(t)=100\cdot 2^t$, respectiv $B(t)=6400\cdot 2^{-t}$ celule. Determină momentul în care cele două culturi au același număr de celule și calculează acest număr.

11. Rezolvă sistemul $\{\begin{array}{l}\lg x-\lg y=1\\ x+y=110\end{array}$

12. Rezolvă sistemul $\{\begin{array}{l}{\log }_{x}y=2\\ xy=8\end{array}$

13. Rezolvă sistemul $\{\begin{array}{l}{2}^x\cdot 3^y=288\\ {\log }_{\sqrt{3}}(x-y)=2\end{array}$

14. Rezolvă sistemul $\{\begin{array}{l}{\log }_{2}x+{\log }_{2}y=5\\ {\log }_{2}x\cdot {\log }_{2}y=6\end{array}$

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale sistemul $\{\begin{array}{l}\lg x+\lg y=2\\ x-y=99\end{array}$

16. Rezolvă sistemul $\{\begin{array}{l}{3}^x+3^y=12\\ 3^{x+y}=27\end{array}$

17. Rezolvă sistemul $\{\begin{array}{l}{\log }_{x}y+{\log }_{y}x=\frac{10}{3}\\ xy=16\end{array}$

18. (Provocare.) Rezolvă, în mulțimea numerelor reale strict pozitive, sistemul $\{\begin{array}{l}{x}^y=y^x\\ x=2y\end{array}$

Răspunsuri și explicații

1. Condiții: $x>0$, $y>0$. Din a doua ecuație, $xy=12$; împreună cu $x+y=7$, numerele sunt rădăcinile ecuației $t^2-7t+12=0$, adică $3$ și $4$. Ambele pozitive. Soluțiile: $(3,4)$ și $(4,3)$. Verificare: $3+4=7$ ✓, $3\cdot 4=12$ ✓.

2. Cu $u=2^x>0$, $v=2^y>0$: $u+v=10$, $u-v=6$, deci $u=8$ și $v=2$. Revenim: $x=3$, $y=1$. Verificare: $8+2=10$ ✓, $8-2=6$ ✓.

3. Condiții: $x,y>0$. Cu $p={\log }_{3}x$, $q={\log }_{3}y$: $p=2$, $q=1$, deci $x=9$, $y=3$. Verificare: $2+1=3$ ✓ și $2-1=1$ ✓.

4. Prima ecuație dă $3^{x+y}=3^4$, deci $x+y=4$. Cu $x-y=2$ obținem $x=3$, $y=1$. Verificare: $3^3\cdot 3^1=3^4=81$ ✓.

5. Descompunem $108=4\cdot 27=2^2\cdot 3^3$. Bazele $2$ și $3$ fiind prime distincte, exponenții se identifică: $x=2$, $y=3$. Verificare: $4\cdot 27=108$ ✓.

6. Condiții: $x,y>0$. Din a doua, $xy=24$; cu $x=y+5$ obținem $y^2+5y-24=0$, cu $\Delta =121$ și rădăcinile $y=3$, $y=-8$. Se respinge $y=-8$ (nu verifică $y>0$). Rămâne $y=3$, $x=8$. Verificare: $\lg 8+\lg 3=\lg 24$ ✓ și $8-3=5$ ✓.

7. Fals. Condițiile de existență cer $x>0$ și $y>0$, deci $x+y>0$; egalitatea $x+y=-20$ este imposibilă. Sistemul nu are soluții reale, deși sistemul „algebric" asociat ($xy=100$ și $x+y=-20$) are rădăcini.

8. Cu $u=2^x$, $v=2^y$, ambele pozitive: $uv=2^{x+y}=64$ și $u+v=20$, deci $u$ și $v$ sunt rădăcinile ecuației $t^2-20t+64=0$, cu $\Delta =144$ și rădăcinile $4$ și $16$. Revenim: $(x,y)=(2,4)$ sau $(4,2)$. Verificare: $4+16=20$ ✓ și $2^6=64$ ✓.

9. Condiții: $x,y>0$. Prima ecuație dă $xy=2^6=64$; înlocuind $x=4y$: $4y^2=64$, deci $y^2=16$ și $y=4$ (valoarea $-4$ se respinge prin condiția $y>0$), de unde $x=16$. Verificare: ${\log }_{2}16+{\log }_{2}4=4+2=6$ ✓ și $16=4\cdot 4$ ✓.

10. Ecuația este $100\cdot 2^t=6400\cdot 2^{-t}$, deci $2^{2t}=64$, adică $2t=6$ și $t=3$ ore. Numărul comun de celule: $100\cdot 2^3=800$, respectiv $\frac{6400}{8}=800$ ✓.

11. Condiții: $x,y>0$. Din prima ecuație, $\lg \frac{x}{y}=1$, deci $x=10y$. Înlocuind: $11y=110$, deci $y=10$ și $x=100$. Verificare: $\lg 100-\lg 10=2-1=1$ ✓ și $100+10=110$ ✓.

12. Condiții: $x>0$, $x\ne 1$, $y>0$. Din prima ecuație, $y=x^2$; înlocuind: $x^3=8$, deci $x=2$ și $y=4$. Verificare: ${\log }_{2}4=2$ ✓ și $2\cdot 4=8$ ✓.

13. Condiția: $x-y>0$. Cum $288=2^5\cdot 3^2$, identificarea exponenților dă $x=5$, $y=2$, iar $x-y=3>0$. A doua ecuație se verifică: ${\log }_{\sqrt{3}}3=2$ ✓. Soluția: $(5,2)$.

14. Condiții: $x,y>0$. Cu $p={\log }_{2}x$, $q={\log }_{2}y$: $p+q=5$ și $pq=6$, deci $p$ și $q$ sunt rădăcinile ecuației $t^2-5t+6=0$, adică $2$ și $3$. Revenim: $(x,y)=(4,8)$ sau $(8,4)$. Verificare: ${\log }_{2}4+{\log }_{2}8=2+3=5$ ✓ și $2\cdot 3=6$ ✓.

15. Condiții: $x>0$, $y>0$. Din prima ecuație, $xy=100$; cu $x=y+99$ obținem $y^2+99y-100=0$, cu $\Delta =9801+400=10201=101^2$, deci $y_{1,2}=\frac{-99\pm 101}{2}$, adică $y=1$ sau $y=-100$. Se respinge $y=-100$. Rămâne $y=1$, $x=100$. Verificare: $\lg 100+\lg 1=2+0=2$ ✓ și $100-1=99$ ✓.

16. Cu $u=3^x$, $v=3^y$: $u+v=12$ și $uv=27$, deci $u,v$ sunt rădăcinile ecuației $t^2-12t+27=0$, adică $3$ și $9$. Revenim: $(x,y)=(1,2)$ sau $(2,1)$. Verificare: $3+9=12$ ✓ și $3^3=27$ ✓.

17. Condiții: $x,y>0$, $x\ne 1$, $y\ne 1$. Cu $t={\log }_{x}y$: $t+\frac{1}{t}=\frac{10}{3}$, deci $3t^2-10t+3=0$, cu $\Delta =64$ și rădăcinile $t=3$, $t=\frac{1}{3}$. Pentru $t=3$: $y=x^3$ și $x^4=16$, deci $x=2$ (valoarea $-2$ nu convine) și $y=8$. Pentru $t=\frac{1}{3}$: rolurile se schimbă și obținem $(8,2)$. Verificare: ${\log }_{2}8+{\log }_{8}2=3+\frac{1}{3}=\frac{10}{3}$ ✓ și $2\cdot 8=16$ ✓.

18. Logaritmăm: $y\lg x=x\lg y$; cu $x=2y$ obținem $y\lg (2y)=2y\lg y$, deci, împărțind prin $y>0$, $\lg (2y)=\lg y^2$ și, prin injectivitate, $2y=y^2$. Cum $y\ne 0$, rezultă $y=2$ și $x=4$. Verificare: $4^2=16=2^4$ ✓ și $4=2\cdot 2$ ✓.

De reținut

• Notează puterea, nu exponentul: substituțiile $u=a^x$, $v=b^y$ transformă sistemul într-unul algebric. Scrie de fiecare dată $u>0$, $v>0$ și respinge valorile negative sau nule.
• Circuli în ambele sensuri: o relație între exponenți devine una între puteri prin ridicare la putere ($x+y=5\Rightarrow 2^x\cdot 2^y=32$), iar una între puteri devine una între exponenți prin logaritmare.
• La structura sumă și produs, cele două necunoscute auxiliare sunt rădăcinile ecuației $t^2-St+P=0$ — de aici obții ambele perechi de soluții, în cele două ordini posibile.
• La orice sistem cu logaritmi, condițiile de existență se scriu întâi; în sistemele mixte ele elimină efectiv soluții, cum se vede în Exemplul 4, unde perechea negativă se respinge.
• Din $a^x\cdot b^y=N$ cu $a$ și $b$ prime distincte se identifică exponenții, prin unicitatea descompunerii în factori primi; regula nu se aplică dacă o bază e putere a celeilalte.

Greșeli frecvente

• Uiți că $u=a^x$ e strict pozitiv. Accepți o rădăcină negativă a ecuației auxiliare și „obții" o soluție inexistentă: nu există $x$ real cu $2^x=-4$.
• Nu scrii condițiile la sistemele mixte. În sistemul cu $\lg x+\lg y=3$ și $x-y=30$, perechea $(-20,-50)$ verifică ecuațiile algebrice, dar nu are logaritmi definiți.
• Pierzi a doua pereche de soluții. Când necunoscutele auxiliare sunt rădăcinile aceleiași ecuații de gradul al doilea, ambele ordini sunt valide dacă sistemul e simetric: $(2,3)$ și $(3,2)$.
• Identifici exponenți la baze care nu sunt prime distincte. Din $4^x\cdot 2^y=32$ nu rezultă $x=?$ și $y=?$ separat; scrii totul în baza $2$ și obții o singură ecuație, $2x+y=5$.
• Confunzi ${\log }_{x}y$ cu $\frac{\lg y}{\lg x}$ scris pe dos. Relația corectă este ${\log }_{y}x=\frac{1}{{\log }_{x}y}$; inversarea greșită duce la o ecuație în $t$ complet diferită.

Aplică acasă

1. Cele două culturi. Reia problema din exercițiul 10 cu alte date (de exemplu, $A(t)=50\cdot 3^t$ și $B(t)=4050\cdot 3^{-t}$) și găsește momentul egalității. Desenează apoi, pe hârtie milimetrică, cele două curbe pentru $t\in \{0,1,2,3,4\}$ și verifică grafic punctul de intersecție.

2. Fabrica de sisteme simetrice. Alege două numere pozitive care îți plac, calculează-le suma $S$ și produsul $P$ și scrie sistemul $x+y=S$, $\lg x+\lg y=\lg P$. Dă-l unui coleg: el trebuie să regăsească numerele tale, rezolvând ecuația $t^2-St+P=0$.

3. Verificarea cu tabel. Pentru trei sisteme rezolvate de tine, fă un tabel cu coloanele „membrul stâng" și „membrul drept" și completează-l numeric, cu calculatorul. Un sistem rezolvat corect are toate liniile identice.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este, în bună măsură, o lecție de strategie: elevul are deja toate uneltele (proprietățile puterilor, proprietățile logaritmilor, relațiile lui Viète, rezolvarea sistemelor din clasa a IX-a) și trebuie doar să aleagă notația potrivită. De aceea, indicatorul cel mai bun de înțelegere nu este răspunsul final, ci prima linie scrisă: un elev care notează spontan „fie $u=2^x>0$" a înțeles lecția, indiferent cât de lung e calculul care urmează.

Ce verifică lecția: (1) alegerea substituției potrivite și menționarea explicită a pozitivității necunoscutelor auxiliare; (2) scrierea condițiilor de existență la sistemele cu logaritmi; (3) trecerea corectă între relații de exponenți și relații de puteri; (4) respingerea motivată a soluțiilor care nu convin; (5) prezentarea ambelor perechi la sistemele simetrice. Întrebări bune de control: „De ce nu poate fi $u$ negativ?", „Cum transformi $x+y=5$ într-o relație între $2^x$ și $2^y$?", „De ce sistemul are două soluții și nu una?".

La Bacalaureat M1, sistemele de acest tip apar la subiectul al II-lea și la subiectul al III-lea, adesea ca punct final al unei probleme mai lungi; baremul acordă puncte pentru substituție, pentru rezolvarea sistemului algebric și, separat, pentru revenirea la necunoscutele inițiale. Semne că elevul a înțeles: nu se sperie de un sistem care „arată complicat", ci caută imediat blocul care se poate nota cu o literă nouă.

Întrebări frecvente

Cum rezolv un sistem cu exponențiale? Notezi puterile cu litere noi — de exemplu $u=2^x$ și $v=3^y$ — și obții un sistem algebric obișnuit. După ce îl rezolvi, revii la necunoscutele inițiale, respingând valorile negative sau nule ale lui $u$ și $v$, fiindcă o putere este întotdeauna strict pozitivă.

Ce fac dacă una dintre ecuații leagă exponenții, nu puterile? O transformi: din $x+y=5$ obții, ridicând baza la putere, $2^x\cdot 2^y=2^5=32$, adică o relație între necunoscutele auxiliare. Invers, dintr-o relație între puteri obții una între exponenți prin logaritmare.

De ce scriu condiții de existență la sistemele cu logaritmi? Pentru că logaritmul cere argument strict pozitiv. În sistemele mixte, ecuația algebrică poate produce valori negative care verifică toate calculele, dar pentru care logaritmii nu există — exact perechea respinsă în Exemplul 4.

Când folosesc relațiile lui Viète la aceste sisteme? Când, după substituție, cunoști suma și produsul celor două necunoscute auxiliare. Atunci ele sunt rădăcinile ecuației $t^2-St+P=0$, pe care o rezolvi obișnuit; fiecare rădăcină îți dă o valoare a unei puteri sau a unui logaritm.

Cum rezolv o ecuație de tipul $2^x\cdot 3^y=288$? Descompui numărul în factori primi, aici $288=2^5\cdot 3^2$, și identifici exponenții: $x=5$, $y=2$. Metoda este validă doar pentru baze prime distincte; dacă o bază este putere a celeilalte, aduci totul la o singură bază.

Ce înseamnă că un sistem este simetric și de ce contează? Înseamnă că schimbând $x$ cu $y$ sistemul rămâne același, ca la $x+y=10$ și $xy=21$. Atunci, dacă $(3,7)$ este soluție, și $(7,3)$ este soluție — iar la examen trebuie scrise amândouă, altfel răspunsul e incomplet.

Ce fac dacă apar ${\log }_{x}y$ și ${\log }_{y}x$ în același sistem? Notezi $t={\log }_{x}y$ și folosești ${\log }_{y}x=\frac{1}{t}$, obținând o ecuație în $t$ pe care o aduci la forma unei ecuații de gradul al doilea. Nu uita condițiile $x,y>0$ și $x,y\ne 1$, plus $t\ne 0$.