Pentru care dintre cerințele de mai jos condiția care se scrie pe foaie este $$-\dfrac{1}{f'(x_0)}=3$$?

„Normala la grafic are panta $$3$$."

„Tangenta la grafic are panta $$3$$."

„Tangenta este perpendiculară pe o dreaptă de pantă $$-\dfrac13$$."

„Normala este perpendiculară pe o dreaptă de pantă $$3$$."

De ce aria dintre tangenta la k/x și axe nu depinde de punct?

În x₀=a>0, tangenta la k/x, cu k>0, este y=- k/a²(x-a)+ k/a. Ea taie Ox în 2a și Oy în 2k/a, deci aria este 1/2· 2a· 2k/a=2k. Pentru k=4 se obține mereu 8, oricare ar fi punctul.

Ce arie face tangenta cu axele de coordonate?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XI-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Tangente și normale

Scrii ecuația tangentei, afli unde taie axele, apoi calculezi aria triunghiului dreptunghic format cu originea: jumătate din produsul lungimilor tăiate pe axe. Pentru $f (x) = \frac{4}{x}$ în $x_{0} = 2$ : $f (2) = 2$ , $f^{'} (2) = - 1$ , deci tangenta este $y = - x + 4$ . Ea taie axele în $(4, 0)$ și $(0, 4)$ , iar aria este $\frac{4 \cdot 4}{2} = 8$ . Lungimile se iau în modul, altfel aria poate ieși negativă.

Formulele sunt deja știute; ce se antrenează aici sunt doi pași mai puțin spectaculoși — traducerea enunțului în condiția care se scrie pe foaie și redactarea în ordinea în care se construiește rezolvarea.

Toate cerințele din familia aceasta se sprijină pe aceleași două numere, $f (x_{0})$ și $f^{'} (x_{0})$ ; enunțul spune doar care se dă și care se caută. „În punctul de abscisă $x_{0}$ " cere calcul direct. „Paralelă cu dreapta $d$ de pantă $m$ " dă $f^{'} (x_{0}) = m$ la tangentă și $- \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )} = m$ la normală. „Perpendiculară pe $d$ " dă $f^{'} (x_{0}) \cdot m = - 1$ . „Care trece prin $P$ ", cu $P$ în afara graficului, lasă punctul de atingere necunoscut. Deosebirea dintre prepoziții schimbă problema: la „tangenta în punctul $A$ " locul atingerii e dat, la „tangenta prin punctul $P$ " el rămâne de aflat.

La cerințele cu parametru regula e aritmetică: câte condiții citești în enunț, atâtea ecuații scrii, toate în același punct. „Tangenta are panta $5$ " dă o ecuație; „tangenta este dreapta $d$ " dă două, fiindcă o dreaptă e determinată de două numere.

Ca să găsești intersecțiile cu axele, pui pe rând $y = 0$ și $x = 0$ , iar lungimile catetelor triunghiului format sunt modulele coordonatelor găsite — o arie nu poate ieși negativă. Trei probe prind aproape orice greșeală: valoarea în $x_{0}$ , coeficientul lui $x$ comparat cu panta cerută și semnul, citit după cum urcă sau coboară graficul.

De reținut

tangenta: $y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$
intersecția cu $O x$ : $y = 0$ ; cu $O y$ : $x = 0$
aria cu axele: $\frac{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}{2}$ , unde $a$ și $b$ sunt tăieturile pe axe

Greșeala tipică

Se ia ca înălțime a triunghiului valoarea $f (x_{0})$ , adică ordonata punctului de tangență; catetele sunt tăieturile tangentei pe axe, nu coordonatele punctului de pe grafic.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru care dintre cerințele de mai jos condiția care se scrie pe foaie este $- \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )} = 3$ ?
- a) „Tangenta la grafic are panta $3$ ."
- b) „Normala la grafic are panta $3$ ."
- c) „Tangenta este perpendiculară pe o dreaptă de pantă $- \frac{1}{3}$ ."
- d) „Normala este perpendiculară pe o dreaptă de pantă $3$ ."
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) „Normala la grafic are panta $3$ ."

Expresia $- \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )}$ este chiar panta normalei, deci condiția spune că normala are panta $3$ . Varianta a) dă $f^{'} (x_{0}) = 3$ . Varianta c) cere $f^{'} (x_{0}) \cdot (- \frac{1}{3}) = - 1$ , adică tot $f^{'} (x_{0}) = 3$ . Varianta d) cere $- \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )} \cdot 3 = - 1$ , adică $- \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )} = - \frac{1}{3}$ .
Se consideră $f : R ∖ {1} \to R$ , $f (x) = \frac{a x + 1}{x - 1}$ , unde $a$ este un număr real. Știind că tangenta la grafic în punctul de abscisă $2$ are panta $- 5$ , numărul $a$ este:
- a) $- 6$
- b) $- 4$
- c) $4$
- d) $5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $4$

Regula câtului dă $f^{'} (x) = \frac{a ( x - 1 ) - ( a x + 1 )}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{- a - 1}{( x - 1 ) ^{2}}$ , deci $f^{'} (2) = - a - 1$ . Din $- a - 1 = - 5$ rezultă $a = 4$ . Varianta a) inversează ordinea termenilor de la numărător, ceea ce duce la $a + 1 = - 5$ ; b) scade greșit termenul liber, din $a - 1 = - 5$ ; d) îl uită de tot, din $- a = - 5$ .
Tangenta la graficul funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 4 x + 10$ , în punctul de abscisă $x_{0} = 4$ , determină împreună cu axele de coordonate un triunghi. Aria acestui triunghi este:
- a) $\frac{9}{2}$
- b) $9$
- c) $- \frac{9}{2}$
- d) $\frac{9}{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{9}{2}$

$f (4) = 10$ și $f^{'} (x) = 2 x - 4$ , deci $f^{'} (4) = 4$ și tangenta este $y = 4 x - 6$ . Ea taie axa $O x$ în $(\frac{3}{2}, 0)$ și axa $O y$ în $(0, - 6)$ , deci catetele au lungimile $\frac{3}{2}$ și $6$ , iar aria este $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot 6 = \frac{9}{2}$ . Varianta b) uită jumătatea; c) folosește coordonata cu semn, deși o arie nu poate fi negativă; d) înjumătățește încă o dată.

Întrebări conexe

De ce aria dintre tangenta la $\frac{k}{x}$ și axe nu depinde de punct?

În $x_{0} = a > 0$ , tangenta la $\frac{k}{x}$ , cu $k > 0$ , este $y = - \frac{k}{a ^{2}} (x - a) + \frac{k}{a}$ . Ea taie $O x$ în $2 a$ și $O y$ în $\frac{2 k}{a}$ , deci aria este $\frac{1}{2} \cdot 2 a \cdot \frac{2 k}{a} = 2 k$ . Pentru $k = 4$ se obține mereu $8$ , oricare ar fi punctul.

Cum aflu parametrul dacă tangenta trece printr-un punct dat?

Scrii tangenta cu parametrul și impui trecerea prin punct. Pentru $f (x) = a x^{2}$ în $x_{0} = 1$ : $f (1) = a$ , $f^{'} (1) = 2 a$ , deci tangenta este $y = 2 a x - a$ . Dacă trece prin $(0, - 3)$ , rezultă $- a = - 3$ , adică $a = 3$ .

Cum rezolv o cerință cu doi parametri și o tangentă dată?

Tangenta dată îți oferă două condiții: panta și punctul. Pentru $f (x) = x^{2} + b x + c$ cu tangenta $y = 3 x + 1$ în $x_{0} = 1$ : $f^{'} (1) = 2 + b = 3$ , deci $b = 1$ , iar $f (1) = 1 + b + c = 4$ , deci $c = 2$ . Proba: $f (x) = x^{2} + x + 2$ dă $f (1) = 4$ și $f^{'} (1) = 3$ .

În ce punct este tangenta la grafic paralelă cu prima bisectoare?

Prima bisectoare, $y = x$ , are panta $1$ , deci rezolvi $f^{'} (x_{0}) = 1$ . Pentru $f (x) = x^{2} - 3 x$ : $2 x_{0} - 3 = 1$ dă $x_{0} = 2$ , iar $f (2) = - 2$ . Tangenta este $y = x - 4$ , paralelă cu bisectoarea și distinctă de ea.

Ce fac când tangenta taie axele în puncte cu coordonate negative?

Iei lungimile în modul. Tangenta $y = 2 x + 6$ taie $O x$ în $x = - 3$ și $O y$ în $y = 6$ ; catetele triunghiului sunt $∣ - 3∣ = 3$ și $6$ , deci aria este $\frac{3 \cdot 6}{2} = 9$ . Fără modul ar ieși $- 9$ , rezultat fără sens pentru o arie.

Oamenii mai întreabă și: aria triunghiului format de tangentă cu axele · tangenta și axele de coordonate arie · aria sub tangentă cu axele · triunghiul tangentei cu axele