Tangente și normale, ca la examen (M2, științe ale naturii)

Formulele le ai deja. Ce desparte, în clasa a XI-a de la științe ale naturii (M2), un elev care rezolvă corect de unul care se oprește la jumătate nu mai este formula, ci doi pași mai puțin spectaculoși: să traduci corect enunțul în condiția pe care o pui pe hârtie și să scrii rezolvarea în ordinea în care se construiește. Lecția aceasta este un antrenament: patru tipare de cerință, o redactare-model și probele cu care îți verifici singur răspunsul, toate pe funcțiile care apar cu adevărat în subiecte. La bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, cerințele de acest fel se dau la Subiectul al III-lea; pentru generația care va da proba MAT_P2 din 2030, în domeniul Analiză matematică li se adaugă și cele cu normala.

Cele două lecții pe care se sprijină antrenamentul sunt ecuația tangentei la graficul unei funcții și normala la graficul unei funcții; de acolo iei formulele, aici înveți ce să faci cu ele când enunțul e scris în limba examenului, nu în limba manualului.

Ce vei învăța

• Vei ști să traduci enunțul în condiție: ce se dă, ce se cere și ce ecuație rezultă din asta.
• Vei ști să scrii o rezolvare în cinci rânduri, în ordinea în care se construiește.
• Vei ști să rezolvi cerințele cu parametru, unde două condiții dau un sistem de două ecuații.
• Vei ști să calculezi aria triunghiului determinat de o tangentă sau de o normală cu axele de coordonate.
• Vei ști să lucrezi cu enunțuri în care punctul dat nu se află pe grafic.
• Vei ști să faci trei probe care prind aproape orice greșeală de calcul, fără să refaci rezolvarea.

Hai să descoperim împreună

1. Cum traduci enunțul în condiția potrivită?

Condiția de rezolvat este relația matematică în care se traduce cerința: egalitatea pe care o scrii pe foaie imediat după ce ai citit enunțul și din care ies, mai departe, toate calculele. Toate cerințele din familia aceasta pornesc de la aceleași două numere, $f(x_0)$ și $f^{\prime }(x_0)$; ce se schimbă de la un enunț la altul este care dintre ele se dă și care se caută. Tabelul de mai jos este întreaga strategie, strânsă pe o jumătate de pagină.

Reține deosebirea dintre două prepoziții care schimbă complet problema. „Tangenta în punctul $A$" spune că $A$ este punctul de tangență, deci abscisa lui intră direct în formule. „Tangenta care trece prin punctul $P$" nu spune nimic despre punctul de atingere: acela rămâne necunoscut. Prima verificare, când enunțul dă un punct cu ambele coordonate, este dacă punctul se află pe grafic — adică dacă ordonata lui este chiar valoarea funcției în abscisa lui.

2. Cum arată o redactare care ia tot punctajul?

În modelul oficial al probei M_șt-nat, cerințele Subiectului al III-lea sunt formulate cu „Arătați că…" și „Determinați…", adică se cere drumul, nu numai rezultatul; de aceea rezolvarea se scrie ca o succesiune de rânduri scurte, fiecare cu rostul lui. Redactarea-model are cinci rânduri și merită copiată ca atare:

1. funcția derivată, scrisă complet: $f^{\prime }(x)=\dots$;
2. valoarea funcției în punct: $f(x_0)=\dots$;
3. valoarea derivatei în punct: $f^{\prime }(x_0)=\dots$;
4. formula folosită, cu numerele puse în ea;
5. ecuația finală, adusă la forma $y=mx+n$ (sau $x=x_0$, la normala verticală).

Ce se pierde cel mai des: rândul 1, când elevul calculează derivata în minte, și rândul 4, când sare direct la rezultat. Amândouă sunt pași ai rezolvării, nu comentarii, iar o rezolvare punctată pe pași se scrie cu ei la vedere. Și încă ceva: în modelul oficial, subpunctul a) al problemei de analiză cere derivata, iar celelalte două se sprijină pe ea — deci o derivată greșită la a) strică tot restul, chiar dacă metoda de la b) și c) e corectă.

3. Cum rezolvi cerințele cu parametru?

Sunt cerințele în care funcția conține o literă — $f(x)=a{x}^2+bx+c$ — și se cere ca tangenta sau normala să îndeplinească o condiție. Regula de aur: numeri condițiile din enunț și scrii tot atâtea ecuații.

O singură condiție („tangenta are panta $5$", „tangenta e paralelă cu $d$") dă o singură ecuație, de obicei în derivata din punct. Două condiții („tangenta este dreapta $d$") dau două ecuații, pentru că o dreaptă e determinată de două numere: pantele trebuie să coincidă, iar punctul de tangență trebuie să fie pe dreapta dată. Din cele două ecuații iese un sistem simplu, la funcțiile din lecție de gradul întâi în parametri.

Greșeala tipică aici este să scrii condiția pentru orice $x$, în loc să o scrii în punctul cerut: din „tangenta în punctul de abscisă $1$ are panta $5$" rezultă $f^{\prime }(1)=5$, nu $f^{\prime }(x)=5$.

4. Tangenta, normala și axele: lungimi și arii

Un tipar care apare des, pentru că leagă analiza de geometria analitică învățată în clasa a IX-a, când ai scris pentru prima dată ecuația unei drepte printr-un punct, cu panta dată. După ce ai ecuația dreptei, intersecțiile cu axele se află înlocuind pe rând: pui $y=0$ și obții abscisa punctului de pe $Ox$; pui $x=0$ și obții ordonata punctului de pe $Oy$.

Triunghiul determinat de o dreaptă cu cele două axe are catetele pe axe, iar lungimile lor sunt modulele coordonatelor găsite: un punct de intersecție la $(0,-6)$ dă o catetă de lungime $6$, nu $-6$. Aria este atunci jumătate din produsul lor. Același calcul se face și pentru triunghiul format de tangentă, normală și una dintre axe: cele două drepte fiind perpendiculare, triunghiul este dreptunghic, cu vârful unghiului drept chiar în punctul de pe grafic.

5. Ce faci când punctul dat nu e pe grafic?

Metoda o știi din lecția despre tangentă, dar merită așezată aici ca tipar de examen, pentru că se recunoaște greu. Scrii ecuația tangentei într-un punct de abscisă $x_0$ nedeterminată, obții o dreaptă care depinde de $x_0$, apoi impui ca punctul din enunț să o verifice. Ecuația rezultată are ca necunoscută pe $x_0$ și, la funcțiile de gradul al doilea, este de gradul al doilea: două soluții, deci două tangente.

Semnul după care recunoști tipul acesta de cerință: enunțul dă un punct cu două coordonate, nu o abscisă, iar coordonatele nu se potrivesc cu funcția. Dacă se potrivesc, problema e cea simplă, cu punctul de tangență cunoscut.

6. Cum îți verifici singur rezultatul?

Trei probe, toate scurte, care se fac în cap și prind aproape orice greșeală.

Proba punctului: înlocuiește $x_0$ în ecuația finală; trebuie să obții $f(x_0)$. Proba pantei: coeficientul lui $x$ din ecuația finală trebuie să fie $f^{\prime }(x_0)$ la tangentă, respectiv un număr al cărui produs cu $f^{\prime }(x_0)$ dă $-1$ la normală. Proba de bun-simț: privește semnul. Dacă funcția scade în punctul cercetat, panta tangentei trebuie să fie negativă; dacă tangenta e aproape orizontală, normala trebuie să fie aproape verticală, deci cu pantă mare în valoare absolută.

La cerințele cu parametru mai există o probă, cea mai bună dintre toate: înlocuiește valoarea găsită în funcție și reia rezolvarea în două rânduri, ca să vezi dacă iese chiar dreapta cerută.

7. Ce se cere efectiv la examen din materia aceasta?

Aici trebuie făcută o distincție de calendar, pentru că cele două generații de elevi dau examene diferite. La bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, programa de examen (cea din 2014) conține „tangenta la o curbă", deci cerințele cu tangenta pot apărea; ele stau la Subiectul al III-lea, singurul care conține analiză matematică. Normala nu este în acea programă, deci cerințele cu normală nu se dau în acele sesiuni; ele intră la proba MAT_P2 din 2030, în domeniul Analiză matematică. În lecția aceasta, exercițiile sunt marcate diferit, tocmai ca să vezi din prima care pentru ce examen sunt.

Un cuvânt despre așteptări: în modelul oficial al probei publicat pentru sesiunea 2026, prima problemă de analiză cere derivata unei funcții, o limită și o inegalitate — nu ecuația tangentei. Cerințele din lecție sunt construite pe tema din programă, în formatul probei, dar nu sunt o prezicere a subiectului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cerință completă, în trei subpuncte

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x+5$. a) Arătați că $f^{\prime }(x)=3x^2-3$, $x\in \mathbb{R}$. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=2$. c) Determinați punctele în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu axa $Ox$.

Rezolvare.

a) Derivăm termen cu termen: $(x^3{)}^{\prime }=3x^2$, $(-3x{)}^{\prime }=-3$, iar derivata constantei este nulă. Deci $f^{\prime }(x)=3x^2-3$.

b) $f(2)=8-6+5=7$ și $f^{\prime }(2)=12-3=9$, deci tangenta are ecuația $y-7=9(x-2)$, adică $y=9x-11$. Proba punctului: pentru $x=2$ iese $18-11=7$.

c) Paralelă cu axa $Ox$ înseamnă pantă nulă, deci rezolvăm $3x^2-3=0$, adică $x^2=1$ și $x\in \{1,-1\}$. Cum $f(1)=1-3+5=3$ și $f(-1)=-1+3+5=7$, punctele căutate sunt $(1,3)$ și $(-1,7)$.

Exemplul 2 — Cerință cu parametru

Determinați numărul real $a$ pentru care tangenta la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+ax+3$, în punctul de abscisă $1$, este paralelă cu dreapta $d:y=5x-2$, apoi scrieți ecuația acelei tangente.

Rezolvare. Panta dreptei $d$ este $5$, deci condiția de paralelism se scrie în punctul cerut: $f^{\prime }(1)=5$.

Cum $f^{\prime }(x)=2x+a$, obținem $2+a=5$, deci $a=3$.

Funcția devine $f(x)=x^2+3x+3$, cu $f(1)=1+3+3=7$, iar tangenta are ecuația $y-7=5(x-1)$, adică $y=5x+2$. Ea este într-adevăr paralelă cu $d$ și nu se confundă cu ea, pentru că termenii liberi diferă.

Exemplul 3 — Tangentă, normală și aria unui triunghi

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-5x+8$. Scrieți ecuațiile tangentei și normalei la graficul funcției în punctul de abscisă $x_0=3$ și calculați aria triunghiului determinat de cele două drepte cu axa $Ox$.

Rezolvare. $f(3)=9-15+8=2$ și $f^{\prime }(x)=2x-5$, deci $f^{\prime }(3)=1$.

Tangenta are ecuația $y-2=1\cdot (x-3)$, adică $y=x-1$. Panta normalei este $-1$, deci normala are ecuația $y-2=-(x-3)$, adică $y=-x+5$.

Tangenta taie axa $Ox$ în punctul $(1,0)$, iar normala în punctul $(5,0)$; al treilea vârf al triunghiului este chiar punctul de pe grafic, $(3,2)$. Baza triunghiului, măsurată pe axă, are lungimea $5-1=4$, iar înălțimea corespunzătoare este ordonata punctului de pe grafic, adică $2$. Aria este $\frac{4\cdot 2}{2}=4$.

Observă și verificarea geometrică: produsul pantelor fiind $1\cdot (-1)=-1$, triunghiul este dreptunghic în vârful de pe grafic.

Exemplul 4 — Când derivata se anulează

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2\ln x$. Scrieți ecuațiile tangentei și normalei la graficul funcției în punctul de abscisă $x_0=1$.

Rezolvare. $f(1)=1-2\ln 1=1$, pentru că $\ln 1=0$. Derivata este $f^{\prime }(x)=2x-\frac{2}{x}$, deci $f^{\prime }(1)=2-2=0$.

Tangenta are panta nulă, deci ecuația ei este $y=1$: o dreaptă orizontală.

Normala este perpendiculara pe o orizontală, adică o dreaptă verticală care trece prin punctul $(1,1)$; ecuația ei este $x=1$. Formula cu $-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$ nu se poate folosi aici, pentru că numitorul este nul, iar răspunsul corect nu este „nu există", ci ecuația scrisă mai sus.

Exemplul 5 — Punctul din enunț nu e pe grafic

Determinați ecuațiile tangentelor la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+2$, care trec prin punctul $P(2,5)$.

Rezolvare. Verificăm întâi dacă $P$ este pe grafic: $f(2)=6\ne 5$, deci nu este. Prin urmare punctul de tangență are abscisa necunoscută, notată $x_0$.

Cum $f^{\prime }(x)=2x$, tangenta în punctul de abscisă $x_0$ are ecuația $y-(x_0^2+2)=2x_0(x-x_0)$, adică $y=2x_{0}x-x_0^2+2$.

Impunem ca $P(2,5)$ să verifice această ecuație: $5=4x_0-x_0^2+2$, deci $x_0^2-4x_0+3=0$, cu soluțiile $x_0=1$ și $x_0=3$.

Pentru $x_0=1$ obținem tangenta $y=2x+1$, iar pentru $x_0=3$ obținem tangenta $y=6x-7$. Proba: ambele trec prin $P$, pentru că în $x=2$ dau ordonata $5$.

Capcana. Dacă ai fi calculat direct $f^{\prime }(2)=4$, ai fi obținut dreapta $y=4x-2$, adică tangenta în punctul de abscisă $2$ — răspunsul la altă întrebare, fiindcă acea tangentă trece prin punctul $(2,6)$ al graficului, nu prin $P$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-2x^2+x$. a) Arătați că $f^{\prime }(x)=3x^2-4x+1$, $x\in \mathbb{R}$. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=2$. c) Determinați ecuația normalei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=2$ și ordonata punctului în care aceasta taie axa $Oy$.

Rezolvare.

a) Derivăm termen cu termen: $(x^3{)}^{\prime }=3x^2$, $(-2x^2{)}^{\prime }=-4x$ și $(x{)}^{\prime }=1$, deci $f^{\prime }(x)=3x^2-4x+1$.

b) $f(2)=8-8+2=2$ și $f^{\prime }(2)=12-8+1=5$, deci tangenta are ecuația $y-2=5(x-2)$, adică $y=5x-8$.

c) Panta normalei este $-\frac{1}{5}$, deci ecuația ei este $y-2=-\frac{1}{5}(x-2)$, adică $y=-\frac{x}{5}+\frac{12}{5}$. Pentru abscisa nulă, ordonata este $\frac{12}{5}$, deci normala taie axa $Oy$ în punctul $\left(0,\frac{12}{5}\right)$.

De la examen la lecție. Subpunctele a) și b) sunt cerințe care pot apărea ca atare la bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029; subpunctul c) este scris în stilul probei MAT_P2 din 2030, pentru că normala nu se află în programa de examen de azi. Structura celor trei subpuncte — derivata, apoi două aplicații ale ei — este cea din modelul oficial al probei de matematică pentru științe ale naturii.

Să exersăm

La fiecare exercițiu, scrie cele cinci rânduri ale redactării-model și fă cel puțin una dintre cele trei probe.

1. Scrie ecuația tangentei la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+4x-1$, în punctul de abscisă $x_0=-1$.

2. Scrie ecuația tangentei la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-x^2$, în punctul de abscisă $x_0=-1$.

3. Scrie ecuația tangentei la graficul funcției $f:\mathbb{R}\setminus \{-1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x-1}{x+1}$, în punctul de abscisă $x_0=0$.

4. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-x+3$. Scrie ecuația normalei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=1$.

5. Determină ecuația tangentei la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+6x$, care este paralelă cu dreapta $d:y=4x+1$.

6. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Determină ecuația normalei la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+7x$, care este paralelă cu dreapta $d:y=-\frac{x}{5}+2$.

7. Determină numărul real $a$ pentru care tangenta la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=a{x}^3+x$, în punctul de abscisă $1$, are panta $7$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă punctul $A(2,5)$ nu se află pe graficul funcției $f$, atunci prin $A$ nu se poate duce nicio tangentă la graficul lui $f$."

9. Determină ecuațiile tangentelor la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+9$, care trec prin originea reperului.

10. (Problemă aplicată.) Secțiunea transversală a unui dig de pământ este dată de funcția $f:[0,10]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2}{12}$, coordonatele fiind măsurate în metri. Un jet de apă lovește taluzul în punctul de abscisă $6$, iar apăsarea lui se calculează pe direcția perpendiculară pe taluz. Scrie ecuația acestei direcții.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+2x^2-1$. Scrie ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=1$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-\ln x$. Scrie ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=1$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x-4)e^x$. Scrie ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=0$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+5x$. Scrie ecuația normalei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=1$.

15. Scrie ecuația tangentei la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-6x+10$, în punctul de abscisă $x_0=4$, apoi calculează aria triunghiului determinat de această tangentă cu axele de coordonate.

16. Determină numerele reale $a$ și $b$ pentru care graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+ax+b$, trece prin punctul $A(1,2)$, iar tangenta în acest punct este paralelă cu dreapta $d:y=5x$.

17. Pentru funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=2\sqrt{x}$, scrie ecuațiile tangentei și normalei la grafic în punctul de abscisă $x_0=1$ și arată că fiecare dintre ele face un unghi de $45^{\circ }$ cu axa $Ox$.

18. (Provocare.) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$, și $x_0$ un număr real nenul. Arată că normala la graficul funcției în punctul de abscisă $x_0$ taie axa $Oy$ în punctul de ordonată $x_0^2+\frac{1}{2}$ și explică de ce, oricare ar fi $x_0$, acest punct se află deasupra parabolei.

Răspunsuri și explicații

1. $f(-1)=1-4-1=-4$; $f^{\prime }(x)=2x+4$, deci $f^{\prime }(-1)=2$. Tangenta: $y+4=2(x+1)$, adică $y=2x-2$. Atenție la paranteză: $x-(-1)=x+1$.

2. $f(-1)=-1-1=-2$; $f^{\prime }(x)=3x^2-2x$, deci $f^{\prime }(-1)=3+2=5$. Tangenta: $y+2=5(x+1)$, adică $y=5x+3$.

3. $f(0)=\frac{-1}{1}=-1$; $f^{\prime }(x)=\frac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}$, deci $f^{\prime }(0)=3$. Tangenta: $y+1=3(x-0)$, adică $y=3x-1$.

4. $f(1)=1-1+3=3$; $f^{\prime }(x)=2x-1$, deci $f^{\prime }(1)=1$ și panta normalei este $-1$. Normala: $y-3=-(x-1)$, adică $y=-x+4$.

5. Panta lui $d$ este $4$, deci $f^{\prime }(x_0)=4$. Cum $f^{\prime }(x)=2x+6$, obținem $2x_0+6=4$, deci $x_0=-1$ și $f(-1)=1-6=-5$. Tangenta: $y+5=4(x+1)$, adică $y=4x-1$.

6. Panta cerută este $-\frac{1}{5}$, deci $-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}=-\frac{1}{5}$, adică $f^{\prime }(x_0)=5$. Cum $f^{\prime }(x)=2x+7$, obținem $2x_0+7=5$, deci $x_0=-1$ și $f(-1)=1-7=-6$. Normala: $y+6=-\frac{1}{5}(x+1)$, adică $y=-\frac{x}{5}-\frac{31}{5}$.

7. $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+1$, deci panta în punctul de abscisă $1$ este $3a+1$. Din $3a+1=7$ rezultă $a=2$. Verificare: pentru $a=2$ avem $f^{\prime }(x)=6x^2+1$ și într-adevăr $f^{\prime }(1)=7$.

8. Fals. Faptul că punctul nu e pe grafic schimbă metoda, nu răspunsul: punctul de tangență devine necunoscut, iar tangentele se caută impunând ca $A$ să verifice ecuația. Contraexemplul este chiar Exemplul 5: prin $P(2,5)$ trec două tangente la graficul funcției $f(x)=x^2+2$, deși $f(2)=6$.

9. $f^{\prime }(x)=2x$, deci tangenta în punctul de abscisă $x_0$ este $y=2x_{0}x-x_0^2+9$. Originea o verifică dacă $0=-x_0^2+9$, deci $x_0\in \{3,-3\}$. Tangentele sunt $y=6x$ și $y=-6x$.

10. Direcția perpendiculară pe taluz este normala. $f(6)=\frac{36}{12}=3$; $f^{\prime }(x)=\frac{x}{6}$, deci $f^{\prime }(6)=1$ și panta normalei este $-1$. Ecuația: $y-3=-(x-6)$, adică $y=-x+9$.

11. $f(1)=1+2-1=2$; $f^{\prime }(x)=3x^2+4x$, deci $f^{\prime }(1)=7$. Tangenta: $y-2=7(x-1)$, adică $y=7x-5$.

12. $f(1)=3-\ln 1=3$; $f^{\prime }(x)=3-\frac{1}{x}$, deci $f^{\prime }(1)=2$. Tangenta: $y-3=2(x-1)$, adică $y=2x+1$.

13. $f(0)=-4$; $f^{\prime }(x)=e^x+(x-4)e^x=(x-3)e^x$, deci $f^{\prime }(0)=-3$. Tangenta: $y+4=-3(x-0)$, adică $y=-3x-4$. Derivata produsului se scrie o singură dată, apoi se dă factor comun $e^x$; abia după aceea se înlocuiește $x$ cu $0$.

14. $f(1)=1+5=6$; $f^{\prime }(x)=3x^2+5$, deci $f^{\prime }(1)=8$ și panta normalei este $-\frac{1}{8}$. Normala: $y-6=-\frac{1}{8}(x-1)$, adică $y=-\frac{x}{8}+\frac{49}{8}$.

15. $f(4)=16-24+10=2$; $f^{\prime }(x)=2x-6$, deci $f^{\prime }(4)=2$. Tangenta: $y-2=2(x-4)$, adică $y=2x-6$. Ea taie axele în punctele $(3,0)$ și $(0,-6)$, deci catetele au lungimile $3$ și $6$, iar aria triunghiului este $\frac{3\cdot 6}{2}=9$.

16. Două condiții, două ecuații. Punctul $A$ este pe grafic: $f(1)=1+a+b=2$, deci $a+b=1$. Tangenta în acel punct are panta $5$: cum $f^{\prime }(x)=3x^2+a$, obținem $3+a=5$, deci $a=2$ și apoi $b=-1$. Funcția este $f(x)=x^3+2x-1$, iar tangenta în punctul de abscisă $1$ este $y=5x-3$.

17. $f(1)=2$; $f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$, deci $f^{\prime }(1)=1$. Tangenta: $y-2=1\cdot (x-1)$, adică $y=x+1$. Normala are panta $-1$: $y-2=-(x-1)$, adică $y=-x+3$. Unghiurile: din $\mathrm{tg}\alpha =1$ rezultă $\alpha =45^{\circ }$ pentru tangentă, iar normala, cu panta $-1$, face tot un unghi de $45^{\circ }$ cu axa, dar coborând.

18. $f^{\prime }(x)=2x$, deci panta normalei în punctul de abscisă $x_0$ este $-\frac{1}{2x_0}$, iar ecuația ei este $y-x_0^2=-\frac{1}{2x_0}(x-x_0)$. Pentru abscisa nulă obținem ordonata $x_0^2+\frac{1}{2}$. Cum punctul parabolei de aceeași abscisă, adică originea, are ordonata $0$, iar $x_0^2+\frac{1}{2}>0$ oricare ar fi $x_0$, punctul de intersecție se află mereu deasupra parabolei, la o înălțime cu $\frac{1}{2}$ mai mare decât ordonata punctului de tangență.

De reținut

• Toate cerințele din familia aceasta se reduc la două numere, $f(x_0)$ și $f^{\prime }(x_0)$; enunțul spune doar care dintre ele se dă și care se caută.
• Numărul condițiilor din enunț este numărul ecuațiilor pe care le scrii: „paralelă cu $d$" dă o ecuație, „este dreapta $d$" dă două.
• Prepozițiile decid problema: „tangenta în punctul $A$" fixează punctul de tangență, „tangenta prin punctul $P$" îl lasă necunoscut, iar prima verificare este dacă punctul dat se află pe grafic.
• Redactarea se scrie în cinci rânduri — derivata, valoarea, panta, formula cu numere, ecuația finală — ca fiecare pas să poată fi urmărit, nu doar rezultatul.
• Lungimile catetelor unui triunghi format cu axele sunt modulele coordonatelor de intersecție, iar aria este jumătate din produsul lor.

Greșeli frecvente

• Sari peste rândul derivatei. Calculul făcut în minte nu se vede pe foaie: dacă subpunctul cere „arătați că $f^{\prime }(x)=\dots$", se scrie derivarea, termen cu termen. La subpunctele următoare, derivata scrisă o dată se poate folosi, dar trebuie să apară undeva pe foaie.
• Pui o singură condiție acolo unde enunțul dă două. „Tangenta în punctul de abscisă $1$ este dreapta $d$" înseamnă și că punctul de tangență se află pe $d$, și că pantele sunt egale; cu o singură ecuație, parametrii rămân nedeterminați.
• Scrii condiția pentru orice $x$. Din „panta tangentei în punctul de abscisă $1$ este $5$" rezultă $f^{\prime }(1)=5$, adică o ecuație numerică; $f^{\prime }(x)=5$ ar însemna cu totul altceva — o funcție cu grafic-dreaptă.
• Iei lungimile catetelor cu semn. O intersecție cu axa $Oy$ la $(0,-6)$ dă o catetă de $6$; o arie nu poate ieși negativă, iar dacă îți iese, ai folosit coordonata în loc de modulul ei.
• Răspunzi la altceva decât s-a cerut. Dacă enunțul cere punctele, răspunsul are două coordonate, nu doar abscisa; dacă cere ecuația normalei, răspunsul este o ecuație, nu panta ei.

Aplică acasă

1. Fișa de redactare. Ia trei cerințe din lecție și rezolvă-le pe foaie scriind doar cele cinci rânduri ale redactării-model, fără nicio explicație în cuvinte. Apoi dă foaia unui coleg și roagă-l să spună, citind numai rândurile, ce funcție și ce punct au fost date. Dacă nu poate, îți lipsește un rând.

2. Fabrica de cerințe. Alege o funcție simplă, de exemplu $f(x)=x^2-8x+3$, și construiește singur cele patru tipuri de cerință: tangenta într-un punct, tangenta paralelă cu o dreaptă aleasă de tine, normala într-un punct și o cerință cu parametru. Rezolvă-le pe toate patru și verifică-le cu cele trei probe.

3. Corectorul. Rescrie una dintre rezolvările tale strecurând dinadins o singură greșeală — semnul unei paranteze, inversul uitat la normală sau valoarea funcției în loc de derivată — și dă-i-o unui coleg să o găsească în două minute. Apoi schimbați rolurile. Vei descoperi că cele trei greșeli se prind, toate, cu una dintre probe.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) temele apar în domeniul Analiză matematică, unde programa cere atât tangenta la o curbă, cât și normala într-un punct la graficul unei funcții. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) conține tangenta la o curbă, dar nu conține normala; de aceea exercițiile sunt marcate diferit, iar cele cu normală poartă mențiunea probei din 2030. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Lecția aceasta nu introduce noțiuni noi: ea antrenează traducerea enunțului în condiție și redactarea pe pași, adică exact cele două locuri în care elevii greșesc deși știu formulele. La clasă funcționează bine ca oră de exerciții după lecțiile de tangentă și normală, cu tabelul din prima subsecțiune scris pe tablă și ținut la vedere.

Ce puteți urmări acasă: dacă elevul, înainte de orice calcul, spune cu voce tare ce se dă și ce se cere; dacă scrie derivata ca funcție înainte de a o evalua; dacă face cel puțin o probă. Întrebări de control: „De unde știi că punctul din enunț e pe grafic?"; „Câte condiții ai în enunț și câte ecuații ai scris?"; „Ce verifici ca să fii sigur că ecuația e corectă?"; „Această cerință se poate da la examenul pe care îl dai tu?". Pentru recapitularea calculului derivatelor, lecția de sprijin este cea despre derivata unei funcții și panta tangentei.

Întrebări frecvente

Ce tipuri de cerințe cu tangente și normale se dau la bacalaureatul M2? Cerințele se învârt în jurul a patru tipare: tangenta într-un punct de abscisă dată, tangenta paralelă cu o dreaptă dată, tangenta dusă printr-un punct care nu e pe grafic și cerințele cu parametru. Toate se sprijină pe derivata funcției, calculată în modelul oficial la primul subpunct. Cerințele cu normală intră abia din 2030, odată cu proba MAT_P2.

Cum știu dacă enunțul cere tangenta sau normala? După cuvinte. „Tangentă la grafic" înseamnă panta $f^{\prime }(x_0)$; „normala la grafic", „perpendiculara pe tangentă" sau, în probleme aplicate, „direcția perpendiculară pe suprafață" înseamnă panta $-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$. Dacă enunțul vorbește despre apăsare, incidență sau despre cea mai scurtă distanță până la curbă, cerința este despre normală, chiar dacă numele ei nu apare.

Ce trebuie scris pe foaie ca să iau tot punctajul? Cinci rânduri: funcția derivată, valoarea funcției în punct, valoarea derivatei în punct, formula cu numerele puse în ea și ecuația finală adusă la forma $y=mx+n$. Cerințele de acest fel încep cu „arătați că" sau „determinați", deci drumul face parte din răspuns: un rezultat scris fără pași lasă cerința pe jumătate, iar o rezolvare cu pașii scriși se poate urmări până la capăt chiar dacă numărul final e greșit.

Se cere normala la bacalaureatul M2 din 2027–2029? Nu. Programa de examen în vigoare pentru acele sesiuni, cea din 2014, conține la capitolul de derivate doar tangenta la o curbă. Normala apare în programa școlară nouă și va fi cerută la proba MAT_P2 din 2030, în domeniul Analiză matematică. Dacă dai examenul în 2027, 2028 sau 2029, exersează normala pentru fizică și pentru teze, nu pentru subiect.

Cum rezolv o cerință în care funcția are un parametru? Numeri condițiile din enunț și scrii tot atâtea ecuații, toate în punctul indicat. O condiție de paralelism dă $f^{\prime }(x_0)=m$; apartenența unui punct la grafic dă $f(x_0)=y_0$. Rezolvi sistemul, apoi înlocuiești valorile găsite în funcție și reiei pe scurt calculul, ca probă că dreapta obținută este chiar cea cerută.

Prin ce diferă aceste probleme de cele de la mate-info (M1)? La matematică-informatică, aceeași formulă a tangentei este folosită împreună cu teme care nu intră în programa ta — derivatele laterale, punctele în care funcția nu e derivabilă, tangentele verticale —, iar normala lipsește cu totul din programa lor. La științe ale naturii, accentul cade pe calcul corect, pe lectura grafică și pe aplicațiile din fizică, unde direcția normalei are înțeles concret.

Ce funcții apar cel mai des în cerințele de acest tip? Cele din programa ta: funcții polinomiale de gradul al doilea și al treilea, funcții raționale simple, funcția radical, exponențiala $e^x$ și logaritmul natural. Punctele care fac calculul să iasă frumos sunt $x_0=1$ la logaritm, $x_0=0$ la exponențială și valorile întregi mici la polinoame — de aceea merită să ai la degetul mic $\ln 1=0$ și $e^0=1$.