C ajunge pentru orice ecuație: pe scurt

Teorema fundamentală a algebrei (Gauss–d'Alembert) spune că orice polinom cu coeficienți complecși, de grad cel puțin $1$ , are cel puțin o rădăcină în $C$ — se admite fără demonstrație, fiindcă toate demonstrațiile cunoscute depășesc instrumentele liceului. Șirul de extinderi $N \subset Z \subset Q \subset R \subset C$ , forțat mereu de o ecuație fără soluție, se oprește la $C$ : nicio ecuație algebrică nu mai cere un număr „nou".

Corolarul, demonstrat prin inducție cu ajutorul teoremei lui Bézout, este instrumentul de lucru: orice polinom de gradul $n$ se scrie $f = a_{n} (X - x_{1}) (X - x_{2}) \dots (X - x_{n})$ , deci are exact $n$ rădăcini, numărate cu multiplicități. Grupând rădăcinile egale în puteri obții descompunerea canonică $f = a_{n} (X - x_{1})^{m_{1}} \dots (X - x_{k})^{m_{k}}$ , cu $m_{1} + \dots + m_{k} = n$ — cel mai bun control al oricărei descompuneri. Această descompunere este unică, deci rădăcinile și gradul determină polinomul, până la coeficientul dominant.

Peste $C$ , orice polinom neconstant se „sparge" complet în factori de gradul întâi, chiar și cei care rămân „indivizibili" peste $R$ , precum $X^{2} + 1 = (X - i) (X + i)$ . Pentru un polinom cu coeficienți reali, rădăcinile complexe nereale apar întotdeauna în perechi conjugate, astfel încât, înmulțind fiecare pereche, produsul lor redă un factor de gradul al doilea cu coeficienți reali — de aceea o descompunere pornită din rădăcini complexe poate ajunge, la final, la un polinom cu toți coeficienții reali.

Exerciții din această mini-lecție

Descompuneți peste $C$ polinomul $f = X^{2} - 4 X + 13$ .
- a) $(X - 2 - 3 i) (X - 2 + 3 i)$
- b) $(X - 2 - 3 i) (X + 2 + 3 i)$
- c) $(X + 2 - 3 i) (X + 2 + 3 i)$
- d) $(X - 3 - 2 i) (X - 3 + 2 i)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(X - 2 - 3 i) (X - 2 + 3 i)$

$Δ = 16 - 52 = - 36$ , deci $X_{1, 2} = \frac{4 \pm 6 i}{2} = 2 \pm 3 i$ . Descompunerea este $(X - 2 - 3 i) (X - 2 + 3 i)$ . Verificare cu Fraction pe perechi $(r e, im)$ : $(2 + 3 i)^{2} - 4 (2 + 3 i) + 13 = (- 5 + 12 i) - (8 + 12 i) + 13 = 0$ ✓.
Descompuneți peste $C$ polinomul $f = X^{4} - 81$ .
- a) $(X - 3) (X + 3) (X - 9 i) (X + 9 i)$
- b) $(X - 3) (X + 3) (X - 3 i) (X + 3 i)$
- c) $(X - 9) (X + 9) (X - 3 i) (X + 3 i)$
- d) $(X - 3) (X - 3) (X + 3 i) (X + 3 i)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(X - 3) (X + 3) (X - 3 i) (X + 3 i)$

$X^{4} - 81 = (X^{2} - 9) (X^{2} + 9) = (X - 3) (X + 3) (X - 3 i) (X + 3 i)$ . Verificare pe fiecare rădăcină, cu Fraction: de exemplu pentru $z = (0, 3)$ , $z^{4} - 81 = (0, 3)^{4} - 81 = (81, 0) - 81 = (0, 0)$ ✓.
Scrieți polinomul monic de gradul $3$ care are rădăcinile $- 2$ , $3 i$ și $- 3 i$ .
- a) $X^{3} + 2 X^{2} - 9 X + 18$
- b) $X^{3} - 2 X^{2} + 9 X - 18$
- c) $X^{3} + 2 X^{2} + 9 X + 18$
- d) $X^{3} + 2 X^{2} + 9 X - 18$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $X^{3} + 2 X^{2} + 9 X + 18$

$(X + 2) (X - 3 i) (X + 3 i) = (X + 2) (X^{2} + 9) = X^{3} + 2 X^{2} + 9 X + 18$ . Perechea conjugată $3 i, - 3 i$ dă factorul real $X^{2} + 9$ .

C ajunge pentru orice ecuație: pe scurt

Exerciții din această mini-lecție

Continuă cu