Ce condiție pune teorema împărțirii cu rest asupra restului $$r$$?

$$r$$ să fie nul sau de grad strict mai mic decât gradul lui $$g$$

$$r$$ să fie întotdeauna un număr

$$r$$ să fie un polinom cu coeficienți pozitivi

$$r$$ să aibă același grad ca $$g$$

Care este a doua mișcare dintr-un pas al algoritmului de împărțire?

înmulțești împărțitorul cu termenul tocmai obținut la cât

aduni restul parțial la deîmpărțit

compari gradele celor două polinoame

Cum scriu fracția (2X²+X+1)/(X-1) ca parte întreagă plus rest?

Împarți și obții 2X²+X+1=(X-1)(2X+3)+4. Atunci fracția este 2X+3+ 4/(X-1), pentru X≠ 1. Scrierea seamănă cu 17/5=3+ 2/5 de la numere și ajută la estimarea fracției pentru valori mari.

Ce grad are restul împărțirii a două polinoame?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Împărțirea cu rest

Restul este fie polinomul nul, fie un polinom cu gradul strict mai mic decât al împărțitorului. La împărțirea la un polinom de gradul $2$ , restul are forma $a X + b$ . Exemplu: $X^{3} + 2 X^{2} + 3 X + 4 = (X^{2} + 1) (X + 2) + (2 X + 2)$ . Verificare: $(X^{2} + 1) (X + 2) = X^{3} + 2 X^{2} + X + 2$ , iar cu $2 X + 2$ se obține exact deîmpărțitul. Restul $2 X + 2$ are gradul $1$ , sub gradul $2$ al lui $X^{2} + 1$ .

Teorema împărțirii cu rest spune că, oricare ar fi polinoamele $f$ și $g$ cu coeficienți reali, cu $g$ nenul, se găsește o pereche $q$ , $r$ — și numai una — pentru care $f = g \cdot q + r$ , cu $r$ nul sau cu gradul aflat strict sub cel al lui $g$ .

Restricția pusă gradului restului nu este un amănunt de redactare: ea face răspunsul unic. Scoate-o și aceeași pereche de polinoame capătă o infinitate de scrieri de acea formă.

Algoritmul repetă un pas alcătuit din trei mișcări: împărțirea termenilor dominanți, înmulțirea împărțitorului cu termenul obținut, scăderea. Te oprești în clipa în care gradul a scăzut sub cel al împărțitorului.

Gradele se cunosc înainte de calcul: $grad f - grad g$ pentru cât, cel mult $grad g - 1$ pentru rest. Când împărțitorul are gradul întâi, restul este un simplu număr.

Două capcane. Prima: un rang absent trebuie trecut cu coeficientul $0$ , altminteri coloanele alunecă și ajungi să scazi termeni de grade diferite. A doua: la scădere își schimbă semnul toți termenii produsului, nu numai primul.

Controlul final reface $g \cdot q + r$ și cere să iasă exact $f$ ; mai repede decât atât, înlocuiești $X$ cu un număr în ambii membri și compari cele două rezultate.

De reținut

$f = g \cdot q + r$ , cu $r = 0$ sau $grad r < grad g$
la un împărțitor de gradul $2$ restul are forma $a X + b$
restul la împărțirea prin $X$ este termenul liber

Greșeala tipică

Se oprește împărțirea cu un rest de același grad ca împărțitorul; cât timp gradul restului nu a coborât sub al împărțitorului, se mai face un pas.

Exerciții din această mini-lecție

La împărțirea unui polinom de gradul $5$ la unul de gradul $2$ , ce grad are câtul?
- a) $3$
- b) $2$
- c) $5$
- d) $7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $3$

Gradul câtului este $grad f - grad g = 5 - 2 = 3$ , iar restul are gradul cel mult $1$ . Știi forma răspunsului înainte de a începe calculul.
Ce condiție pune teorema împărțirii cu rest asupra restului $r$ ?
- a) $r$ să fie întotdeauna un număr
- b) $r$ să fie nul sau de grad strict mai mic decât gradul lui $g$
- c) $r$ să fie un polinom cu coeficienți pozitivi
- d) $r$ să aibă același grad ca $g$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $r$ să fie nul sau de grad strict mai mic decât gradul lui $g$

Exact condiția asta face perechea $(q, r)$ unică. Varianta a) e adevărată doar când împărțitorul are gradul întâi; la un împărțitor de gradul al doilea restul poate fi de gradul întâi.
Care este a doua mișcare dintr-un pas al algoritmului de împărțire?
- a) împarți termenii dominanți
- b) înmulțești împărțitorul cu termenul tocmai obținut la cât
- c) aduni restul parțial la deîmpărțit
- d) compari gradele celor două polinoame
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) înmulțești împărțitorul cu termenul tocmai obținut la cât

Pasul are trei mișcări, în ordinea: împarți termenii dominanți, înmulțești împărțitorul cu rezultatul, scazi. Varianta a) e prima mișcare, iar d) se face o singură dată, înainte de start.

Întrebări conexe

Cum aflu restul împărțirii lui $X^{4} + X + 3$ la $X^{2} - 1$ fără să împart?

Restul are forma $a X + b$ . Înlocuiești rădăcinile împărțitorului: $f (1) = 5$ dă $a + b = 5$ , iar $f (- 1) = 3$ dă $- a + b = 3$ . Rezultă $b = 4$ , $a = 1$ , deci restul este $X + 4$ . Proba: $X^{4} - 1$ se divide cu $X^{2} - 1$ .

Cum verific o împărțire de polinoame înlocuind o singură valoare?

Egalitatea $f = g \cdot q + r$ trebuie să fie adevărată pentru orice număr. La $X^{3} + 2 X^{2} + 3 X + 4 = (X^{2} + 1) (X + 2) + 2 X + 2$ , pentru $X = 1$ stânga dă $10$ , iar dreapta $2 \cdot 3 + 4 = 10$ . O nepotrivire arată sigur o greșeală.

Cum scriu fracția $\frac{2 X ^{2} + X + 1}{X - 1}$ ca parte întreagă plus rest?

Împarți și obții $2 X^{2} + X + 1 = (X - 1) (2 X + 3) + 4$ . Atunci fracția este $2 X + 3 + \frac{4}{X - 1}$ , pentru $X \neq = 1$ . Scrierea seamănă cu $\frac{17}{5} = 3 + \frac{2}{5}$ de la numere și ajută la estimarea fracției pentru valori mari.

Ce rest dă un polinom împărțit la $X$ ?

Restul este termenul liber, pentru că toți ceilalți termeni conțin factorul $X$ . De exemplu, $3 X^{3} - X + 7 = X (3 X^{2} - 1) + 7$ , deci restul este $7$ , iar câtul $3 X^{2} - 1$ . Restul coincide cu valoarea polinomului în $0$ .

Ce înseamnă un rest nul la împărțirea polinoamelor?

Rest nul înseamnă că împărțitorul divide deîmpărțitul: $f = g \cdot q$ . De exemplu, $X^{3} - 8 = (X - 2) (X^{2} + 2 X + 4)$ , fără rest. Atunci orice rădăcină a lui $g$ este și rădăcină a lui $f$ , aici numărul $2$ .

Oamenii mai întreabă și: gradul restului la împărțirea polinoamelor · ce grad poate avea restul · forma restului la împărțirea la un polinom de gradul 2 · restul este mai mic decât împărțitorul