Împărțirea cu rest a polinoamelor: pe scurt

Teorema împărțirii cu rest: pentru orice $f,g\in \mathbb{C}[X]$ cu $g\ne 0$, există și sunt unice $q,r$ astfel încât $f=g\cdot q+r$, cu $r=0$ sau $\mathrm{grad}r<\mathrm{grad}g$. Condiția asupra restului este obligatorie — fără ea, aceeași egalitate $f=gq+r$ s-ar putea scrie în infinit de multe feluri, prin $q-h$ și $r+gh$ pentru orice $h$.

Unicitatea se demonstrează scăzând două scrieri ipotetice: $g(q_1-q_2)=r_2-r_1$; un multiplu nenul al lui $g$ nu poate avea gradul mai mic decât $g$, deci $q_1=q_2$ și $r_1=r_2$. Existența se demonstrează prin inducție după gradul lui $f$, iar demonstrația este chiar algoritmul de calcul: la fiecare pas se scade din $f$ un multiplu de $g$ ales să anuleze termenul dominant.

Din grade: dacă $\mathrm{grad}f\ge \mathrm{grad}g$, atunci $\mathrm{grad}q=\mathrm{grad}f-\mathrm{grad}g$ și $\mathrm{grad}r\le \mathrm{grad}g-1$. Cazuri speciale: dacă $\mathrm{grad}f<\mathrm{grad}g$, atunci $q=0$ și $r=f$; împărțirea la o constantă nenulă dă întotdeauna rest $0$.

Verificarea oricărei împărțiri: înmulțești $g\cdot q$, aduni $r$, și trebuie să obții exact $f$ — pas obligatoriu, nu opțional.

Exerciții din această mini-lecție

1. La împărțirea unui polinom $f$ de gradul $8$ la un polinom $g$ de gradul $3$, ce grad are câtul?

   • a) $5$
   • b) $11$
   • c) $3$
   • d) $8$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $5$

   $\mathrm{grad}q=\mathrm{grad}f-\mathrm{grad}g=8-3=5$.

2. La împărțirea unui polinom $f$ la $g=X^2-5$, care este gradul maxim posibil al restului?

   • a) $2$
   • b) $1$
   • c) $0$
   • d) $3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $1$

   Condiția cere $\mathrm{grad}r<\mathrm{grad}g=2$, deci gradul maxim posibil al restului (nenul) este $1$.

3. La împărțirea unui polinom $f$ la o constantă nenulă $c$, care este restul?

   • a) depinde de $f$
   • b) întotdeauna $c$
   • c) întotdeauna $0$
   • d) nu se poate determina
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) întotdeauna $0$

   Cum $\mathrm{grad}g=0$, condiția $\mathrm{grad}r<0$ e imposibilă pentru un rest nenul, deci restul trebuie să fie $0$: împărțirea la o constantă nenulă e mereu exactă.