Teorema împărțirii cu rest la polinoame (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

O soluție de $64$ de mililitri se împarte în porții de câte $5$ mililitri: ies $12$ porții pline și mai rămân $4$ mililitri, prea puțini pentru încă una. Ai scris, fără să-i spui pe nume, o împărțire cu rest. Lecția aceasta, din programa de clasa a IX-a de la profilul științe ale naturii (M2), face aceeași operație cu polinoame: două formule intră, un cât și un rest ies, iar tot ce se schimbă față de numere este măsura după care hotărăști când te oprești. La bacalaureatul M2 2027–2029 polinoamele apar la Subiectul al II-lea, ca materie de clasa a XII-a; la proba MAT_P2 din 2030 ele intră în domeniul Algebră, chiar la capitolul de clasa a IX-a pe care îl parcurgi acum.

Până acum ai adunat și ai înmulțit polinoame, în lecția despre operațiile cu polinoame și gradul rezultatului. Împărțirea e ultima dintre cele patru operații și singura care nu se termină, de obicei, cu un rezultat rotund — exact ca la numere, unde $64$ nu se împarte exact la $5$ . Ceea ce ai învățat în gimnaziu la teorema împărțirii cu rest la numere se mută aici aproape cuvânt cu cuvânt, cu o singură înlocuire: în loc să ceri un rest mai mic decât împărțitorul, ceri un rest de grad mai mic.

Ce vei învăța

Vei ști ce cere teorema împărțirii cu rest de la rest, nu doar ce egalitate scrie ea.
Vei ști să efectuezi împărțirea a două polinoame pas cu pas, așezând calculul pe coloane, și să citești din el câtul și restul.
Vei ști să te oprești la momentul potrivit: împărțirea se termină când gradul a coborât sub gradul împărțitorului.
Vei ști să verifici orice împărțire, refăcând produsul $g \cdot q$ și adunând restul.
Vei ști dinainte ce grade au câtul și restul, deci ce formă are răspunsul înainte de a-l calcula.
Vei ști să folosești împărțirea cu rest ca să rescrii raportul a două mărimi modelate prin polinoame.

Hai să descoperim împreună

1. Ce spune teorema împărțirii cu rest la polinoame?

Teorema împărțirii cu rest este garanția că orice două polinoame cu coeficienți reali, $f$ și $g$ cu $g$ nenul, intră într-o egalitate de forma $f = g \cdot q + r$ în care gradul lui $r$ a coborât strict sub gradul lui $g$ (ori $r$ este polinomul nul) — și că o singură pereche $(q, r)$ are această proprietate. Numele celor patru polinoame sunt cele din gimnaziu: deîmpărțitul $f$ , împărțitorul $g$ , câtul $q$ și restul $r$ .

Numele sunt aceleași ca la numere, pentru că și rolurile sunt aceleași. Ce merită observat este perechea de condiții: egalitatea singură nu ajunge, iar condiția asupra gradului singură nu are ce ține. Abia împreună fixează un rezultat și numai unul.

Programa de științe ale naturii nu cere demonstrația faptului că perechea $(q, r)$ este unică; cere să știi enunțul, să aplici algoritmul și să verifici rezultatul. Ideea din spatele unicității se vede însă pe un exemplu: dacă restul ar avea gradul cel puțin egal cu al împărțitorului, din el s-ar mai putea scoate un termen, deci calculul ar fi fost oprit prea devreme — iar rezultatul ar depinde de unde te-ai oprit tu, nu de cele două polinoame.

2. De ce se compară gradele, și nu polinoamele?

La numere naturale, „restul este mai mic decât împărțitorul" este o comparație de mărimi. La polinoame nu există o asemenea comparație: $X^{2} + 1$ nu este nici mai mare, nici mai mic decât $X - 3$ , fiindcă nu sunt numere, ci expresii care își schimbă valoarea odată cu $X$ . Singura mărime care se poate compara este gradul, iar el joacă exact rolul pe care mărimea îl juca la numere: cât timp gradul e destul de mare, mai ai ce scoate.

Iată ce se întâmplă dacă renunți la condiție. Pentru $f = X^{3} + 2 X^{2} - 4 X + 7$ și $g = X^{2} - 3$ sunt adevărate amândouă egalitățile

$X^{3} + 2 X^{2} - 4 X + 7 = (X^{2} - 3) (X + 1) + (X^{2} - X + 10),$

$X^{3} + 2 X^{2} - 4 X + 7 = (X^{2} - 3) (X + 2) + (- X + 13) .$

Prima are un „rest" de gradul al doilea, adică de același grad cu împărțitorul: din el se mai poate scoate o dată $X^{2} - 3$ , deci împărțirea nu s-a terminat. A doua are restul de gradul întâi și se oprește acolo unde trebuie. Numai a doua este împărțirea cu rest a lui $f$ la $g$ , iar câtul și restul căutate sunt $q = X + 2$ și $r = - X + 13$ .

3. Cum se împarte un polinom la alt polinom, pas cu pas?

Procedeul este cel din gimnaziu, doar că din deîmpărțit scazi de fiecare dată un multiplu al împărțitorului, ales astfel încât termenul de grad cel mai mare să dispară. Un pas are trei mișcări: împarți termenii dominanți, înmulțești împărțitorul cu ce ai obținut, scazi. Apoi reiei, cu ce a rămas.

Împărțim $f = 2 X^{3} + 5 X^{2} - 8 X + 1$ la $g = X^{2} + 3 X - 1$ .

Pasul	Ce împarți	Termenul câtului	Ce scazi	Ce rămâne
1	$2 X^{3} : X^{2}$	$2 X$	$2 X (X^{2} + 3 X - 1) = 2 X^{3} + 6 X^{2} - 2 X$	$- X^{2} - 6 X + 1$
2	$- X^{2} : X^{2}$	$- 1$	$- 1 \cdot (X^{2} + 3 X - 1) = - X^{2} - 3 X + 1$	$- 3 X$

După al doilea pas restul parțial este $- 3 X$ , de gradul întâi, mai mic decât gradul al doilea al împărțitorului: aici se oprește calculul. Câtul este $q = 2 X - 1$ , iar restul $r = - 3 X$ .

Ordinea celor trei mișcări nu se schimbă niciodată, iar la scădere se schimbă toate semnele polinomului scăzut — este locul în care apar cele mai multe greșeli. Așază calculul pe coloane, cu fiecare grad în dreptul lui, ca în împărțirea numerelor mari: gradele aliniate fac ca scăderea să se facă singură.

4. Ce grade au câtul și restul?

Gradele se știu dinainte, fără niciun calcul. Dacă $grad f = n$ și $grad g = p$ , cu $n \geq p$ , atunci

$grad q = n - p, grad r \leq p - 1.$

Prima egalitate vine din faptul că gradul unui produs este suma gradelor: în $f = g \cdot q + r$ termenul de grad cel mai mare al lui $f$ poate veni doar din produsul $g \cdot q$ , pentru că restul e prea mic ca să contribuie. A doua este chiar condiția din teoremă, rescrisă.

Folosește-le ca pe o formă de control. Împărțind un polinom de gradul al cincilea la unul de gradul al doilea, câtul are gradul al treilea, iar restul cel mult gradul întâi: dacă îți iese altceva, nu mai căuta greșeala în ultimul rând, ci în primul. Și încă un caz, cel mai simplu dintre toate: când împărțitorul are gradul întâi, restul are gradul zero, adică este un număr, nu o expresie cu $X$ .

5. Ce fac dacă deîmpărțitul are gradul mai mic decât împărțitorul?

Nimic — sau, mai exact, scrii direct răspunsul. Nu ai ce scădea, fiindcă niciun multiplu al împărțitorului nu are gradul destul de mic. Câtul este $q = 0$ , iar restul este chiar deîmpărțitul.

Pentru $f = 4 X - 5$ și $g = X^{2} + 2$ scriem $4 X - 5 = (X^{2} + 2) \cdot 0 + (4 X - 5)$ , iar condiția e respectată: gradul restului este $1$ , mai mic decât $2$ . Nu e un caz bolnav, ci același lucru cu $3$ împărțit la $7$ , care dă câtul $0$ și restul $3$ . Compară gradele înainte de a începe: economisești un calcul care oricum nu ar porni.

6. Cum verific dacă am împărțit corect?

Refaci drumul invers: înmulțești împărțitorul cu câtul, aduni restul și trebuie să obții deîmpărțitul, coeficient cu coeficient.

Am împărțit mai sus $f = 2 X^{3} + 5 X^{2} - 8 X + 1$ la $g = X^{2} + 3 X - 1$ și am obținut $q = 2 X - 1$ , $r = - 3 X$ . Verificăm: $(X^{2} + 3 X - 1) (2 X - 1) = 2 X^{3} - X^{2} + 6 X^{2} - 3 X - 2 X + 1 = 2 X^{3} + 5 X^{2} - 5 X + 1$ , iar adunând $- 3 X$ obținem $2 X^{3} + 5 X^{2} - 8 X + 1$ , adică exact $f$ .

Există și un control mai rapid, bun când n-ai timp de toată înmulțirea: o egalitate între polinoame trebuie să fie adevărată pentru orice număr pus în locul lui $X$ . Ia $X = 1$ : în stânga $2 + 5 - 8 + 1 = 0$ , în dreapta $(1 + 3 - 1) (2 - 1) + (- 3) = 3 - 3 = 0$ . Dacă cele două numere nu coincid, împărțirea e sigur greșită; dacă coincid, mai încearcă o valoare, de pildă $X = - 1$ , înainte să te liniștești.

7. La ce folosește împărțirea cu rest într-un model din științe?

Când două mărimi sunt descrise prin polinoame și te interesează raportul lor, împărțirea cu rest îți spune cum arată acel raport. Din $f = g \cdot q + r$ , împărțind totul la $g$ , obții pentru orice valoare în care $g$ nu se anulează

$\frac{f}{g} = q + \frac{r}{g} .$

Ce a ieșit este un polinom, $q$ , plus o corecție, $\frac{r}{g}$ , care devine tot mai mică pe măsură ce variabila crește, fiindcă numitorul are gradul mai mare decât numărătorul. Practic, $q$ este legea după care se comportă raportul în mare, iar restul spune cât de departe ești de ea. Vei vedea imediat, în exemplul 5, o concentrație tratată exact așa.

Împărțirea exactă, adică cea cu restul $0$ , are un statut special: atunci $f = g \cdot q$ , deci deîmpărțitul se rupe în două bucăți. Ce înseamnă asta pentru structura unui polinom se enunță riguros în lecția despre divizibilitatea polinoamelor și teorema lui Bézout. Aici reține doar atât: restul nul e semnalul că împărțitorul „încape" de un număr întreg de ori.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Împărțire la un polinom de gradul al doilea

Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f = 2 X^{3} - X^{2} + 4 X - 9$ la $g = X^{2} + 3$ .

Rezolvare. Pasul 1: $2 X^{3} : X^{2} = 2 X$ , iar scăzând $2 X (X^{2} + 3) = 2 X^{3} + 6 X$ rămâne $- X^{2} - 2 X - 9$ . Pasul 2: $- X^{2} : X^{2} = - 1$ , iar scăzând $- 1 \cdot (X^{2} + 3) = - X^{2} - 3$ rămâne $- 2 X - 6$ , de gradul întâi, deci ne oprim.

Așadar $q = 2 X - 1$ și $r = - 2 X - 6$ . Verificare: $(X^{2} + 3) (2 X - 1) = 2 X^{3} - X^{2} + 6 X - 3$ , iar adunând $- 2 X - 6$ obținem $2 X^{3} - X^{2} + 4 X - 9$ .

Exemplul 2 — Deîmpărțit cu termeni lipsă

Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f = 2 X^{4} - 3 X^{2} + 5$ la $g = X^{2} - X - 3$ .

Rezolvare. Lipsesc termenii în $X^{3}$ și în $X$ , așa că scriem deîmpărțitul complet: $2 X^{4} + 0 \cdot X^{3} - 3 X^{2} + 0 \cdot X + 5$ .

Pasul 1: $2 X^{4} : X^{2} = 2 X^{2}$ , iar scăzând $2 X^{2} (X^{2} - X - 3)$ rămâne $2 X^{3} + 3 X^{2} + 5$ . Pasul 2: termenul câtului este $2 X$ , iar scăzând $2 X (X^{2} - X - 3)$ rămâne $5 X^{2} + 6 X + 5$ . Pasul 3: termenul câtului este $5$ , iar scăzând $5 (X^{2} - X - 3)$ rămâne $11 X + 20$ .

Deci $q = 2 X^{2} + 2 X + 5$ și $r = 11 X + 20$ . Control prin valoare, cu $X = 1$ : $f (1) = 2 - 3 + 5 = 4$ , iar $(1 - 1 - 3) (2 + 2 + 5) + (11 + 20) = - 27 + 31 = 4$ .

Exemplul 3 — Împărțitor de gradul întâi

Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f = 3 X^{3} - 5 X^{2} + 2 X - 8$ la $g = X - 3$ .

Rezolvare. Pasul 1: $3 X^{3} : X = 3 X^{2}$ , iar scăzând $3 X^{2} (X - 3)$ rămâne $4 X^{2} + 2 X - 8$ . Pasul 2: termenul câtului este $4 X$ , iar scăzând $4 X (X - 3)$ rămâne $14 X - 8$ . Pasul 3: termenul câtului este $14$ , iar scăzând $14 (X - 3)$ rămâne $34$ .

Câtul este $q = 3 X^{2} + 4 X + 14$ , iar restul $r = 34$ — un număr, cum ne așteptam de la un împărțitor de gradul întâi. Verificare: $(X - 3) (3 X^{2} + 4 X + 14) = 3 X^{3} - 5 X^{2} + 2 X - 42$ , la care adunăm $34$ și obținem $f$ .

Exemplul 4 — O împărțire exactă

Arătați că restul împărțirii polinomului $f = X^{4} + 2 X^{3} - 2 X^{2} + 7 X - 2$ la $g = X^{2} - X + 2$ este zero și scrieți $f$ ca produs de două polinoame.

Rezolvare. Termenii câtului ies, pe rând, $X^{2}$ , $3 X$ și $- 1$ : după scăderea lui $X^{2} (X^{2} - X + 2)$ rămâne $3 X^{3} - 4 X^{2} + 7 X - 2$ , după scăderea lui $3 X (X^{2} - X + 2)$ rămâne $- X^{2} + X - 2$ , iar acesta este exact $- 1 \cdot (X^{2} - X + 2)$ , deci ultimul rest este $0$ .

Restul fiind nul, avem $f = (X^{2} - X + 2) (X^{2} + 3 X - 1)$ . Control, desfăcând produsul: $X^{4} + 3 X^{3} - X^{2} - X^{3} - 3 X^{2} + X + 2 X^{2} + 6 X - 2 = X^{4} + 2 X^{3} - 2 X^{2} + 7 X - 2$ .

Exemplul 5 — O densitate rescrisă cu împărțirea

O bară metalică neomogenă, tăiată dintr-un lingou, are lungimea $L (x) = x + 2$ centimetri și masa $m (x) = x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 14$ grame, unde $x \in [0, 6]$ este poziția tăieturii pe lingou, în centimetri. Scrieți densitatea liniară medie $d (x) = \frac{m ( x )}{L ( x )}$ sub forma „polinom plus corecție" și calculați-o pentru $x = 2$ .

Rezolvare. Împărțim $m$ la $L$ . Pasul 1: $x^{3} : x = x^{2}$ , iar $x^{2} (x + 2) = x^{3} + 2 x^{2}$ ; rămâne $5 x + 14$ . Pasul 2: $5 x : x = 5$ , iar $5 (x + 2) = 5 x + 10$ ; rămâne $4$ . Deci $m (x) = (x + 2) (x^{2} + 5) + 4$ și

$d (x) = x^{2} + 5 + \frac{4}{x + 2} .$

Pentru $x = 2$ : $d (2) = 4 + 5 + \frac{4}{4} = 10$ , deci densitatea liniară medie este de $10$ g/cm. Verificare directă: $m (2) = 8 + 8 + 10 + 14 = 40$ grame, $L (2) = 4$ centimetri, iar $40 : 4 = 10$ g/cm. Observă ce citește inginerul în rezultat: partea $x^{2} + 5$ dă tendința densității, iar corecția $\frac{4}{x + 2}$ scade de la $2$ g/cm la capătul lingoului până la $0, 5$ g/cm pentru $x = 6$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră polinomul $f = X^{3} + m X^{2} + 3 X - 4$ , unde $m$ este număr real. a) Pentru $m = 1$ , determinați câtul și restul împărțirii lui $f$ la $X^{2} + 2$ . b) Determinați $m$ știind că restul împărțirii lui $f$ la $X^{2} + 2$ este egal cu $X$ . c) Pentru valoarea lui $m$ găsită la punctul b), scrieți egalitatea împărțirii cu rest și verificați-o.

Rezolvare. a) Pentru $m = 1$ avem $f = X^{3} + X^{2} + 3 X - 4$ . Pasul 1: $X^{3} : X^{2} = X$ , iar $X (X^{2} + 2) = X^{3} + 2 X$ ; rămâne $X^{2} + X - 4$ . Pasul 2: $X^{2} : X^{2} = 1$ , iar $1 \cdot (X^{2} + 2) = X^{2} + 2$ ; rămâne $X - 6$ . Deci $q = X + 1$ și $r = X - 6$ .

b) Repetăm calculul cu $m$ nedeterminat: după primul pas rămâne $m X^{2} + X - 4$ , iar după al doilea, în care câtul primește termenul $m$ , rămâne $X - 4 - 2 m$ . Restul este așadar $r = X - (4 + 2 m)$ , iar condiția ca el să fie egal cu $X$ înseamnă $4 + 2 m = 0$ , deci $m = - 2$ .

c) Pentru $m = - 2$ avem $f = X^{3} - 2 X^{2} + 3 X - 4$ , cu câtul $q = X - 2$ și restul $r = X$ , adică $X^{3} - 2 X^{2} + 3 X - 4 = (X^{2} + 2) (X - 2) + X$ . Verificare: $(X^{2} + 2) (X - 2) = X^{3} - 2 X^{2} + 2 X - 4$ , iar adunând $X$ obținem $f$ .

Să exersăm

Înainte de fiecare împărțire: compară gradele, completează termenii lipsă cu $0$ și scrie-ți dinainte ce grad trebuie să aibă câtul. După fiecare împărțire: înmulțește înapoi. Sunt trei obiceiuri care, împreună, elimină aproape toate greșelile de la această temă.

1. Determină câtul și restul împărțirii polinomului $X^{3} - 4 X^{2} + 6 X - 1$ la $X^{2} - 2$ .

2. Determină câtul și restul împărțirii polinomului $2 X^{3} + X^{2} - 4 X + 9$ la $X^{2} - X - 4$ .

3. Determină câtul și restul împărțirii polinomului $X^{4} - 5 X + 2$ la $X^{2} + X$ , având grijă la termenii care lipsesc.

4. Arată că împărțirea polinomului $X^{4} + X^{3} - 5 X^{2} + 9 X - 10$ la $X^{2} - X + 2$ este exactă și scrie deîmpărțitul ca produs de două polinoame.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Restul împărțirii unui polinom la un polinom de gradul al treilea poate avea gradul al treilea."

6. Determină câtul și restul împărțirii polinomului $3 X - 7$ la $X^{2} - 4 X + 1$ .

7. La împărțirea unui polinom $f$ la $g = X^{2} - 3 X + 5$ s-au obținut câtul $X + 4$ și restul $- 2 X + 1$ . Determină $f$ .

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră polinomul $f = 2 X^{3} - X^{2} + m X + 5$ , unde $m$ este număr real. a) Pentru $m = 1$ , determină câtul și restul împărțirii lui $f$ la $X^{2} - X + 2$ . b) Determină $m$ știind că restul acestei împărțiri este un polinom constant.

9. Un polinom de gradul al șaptelea se împarte la unul de gradul al treilea. Ce grad are câtul și ce grade poate avea restul? Răspunde fără să efectuezi vreo împărțire.

10. (Problemă aplicată.) Un lot de medicament conține $Q (x) = x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 10$ miligrame de substanță activă și se distribuie în $x + 2$ flacoane identice, unde $x$ este un număr natural. Determină câtul și restul împărțirii lui $Q$ la $x + 2$ , apoi verifică, pentru $x = 3$ , că ele sunt chiar cantitatea dintr-un flacon și cantitatea rămasă nedistribuită.

11. Determină câtul și restul împărțirii polinomului $6 X^{3} - X^{2} - 7 X + 5$ la $2 X^{2} + X - 1$ .

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră polinomul $f = X^{3} + m X^{2} - X + 7$ , unde $m$ este număr real. a) Pentru $m = 2$ , determină câtul și restul împărțirii lui $f$ la $X^{2} - 3$ . b) Determină $m$ știind că restul acestei împărțiri este egal cu $2 X + 1$ .

13. Verifică egalitatea $X^{3} + 3 X^{2} - 2 X + 4 = (X^{2} + X + 1) (X + 2) + (- 5 X + 2)$ și arată că ea reprezintă împărțirea cu rest a lui $X^{3} + 3 X^{2} - 2 X + 4$ la $X^{2} + X + 1$ .

14. Explică în două-trei fraze de ce, la împărțirea unui polinom de gradul al patrulea la unul de gradul întâi, restul este întotdeauna un număr.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră polinomul $f = X^{4} + m X^{2} + 2 X - 1$ , unde $m$ este număr real. a) Pentru $m = 3$ , determină câtul și restul împărțirii lui $f$ la $X^{2} + 1$ . b) Determină $m$ știind că restul acestei împărțiri este egal cu $2 X + 2$ .

16. Determină câtul și restul împărțirii polinomului $X^{3} + 5 X^{2} - 3 X + 2$ la $X^{2} + 2 X - 1$ .

17. Determină câtul și restul împărțirii polinomului $4 X^{3} - 8 X^{2} + 3 X - 5$ la $X - 2$ și observă ce coeficient are câtul la termenul de gradul întâi.

18. (Provocare.) Determină numerele reale $m$ și $n$ pentru care împărțirea polinomului $f = X^{4} - 2 X^{3} + m X^{2} + n X - 8$ la $X^{2} - 5 X + 4$ este exactă, apoi scrie câtul.

Răspunsuri și explicații

1. Termenii câtului sunt $X$ și $- 4$ : scăzând $X (X^{2} - 2)$ rămâne $- 4 X^{2} + 8 X - 1$ , iar scăzând $- 4 (X^{2} - 2)$ rămâne $8 X - 9$ . Deci $q = X - 4$ și $r = 8 X - 9$ . Verificare: $(X^{2} - 2) (X - 4) + 8 X - 9 = X^{3} - 4 X^{2} + 6 X - 1$ .

2. Pașii: $2 X^{3} : X^{2} = 2 X$ , iar scăzând $2 X (X^{2} - X - 4)$ rămâne $3 X^{2} + 4 X + 9$ ; apoi $3 X^{2} : X^{2} = 3$ , iar scăzând $3 (X^{2} - X - 4)$ rămâne $7 X + 21$ . Deci $q = 2 X + 3$ și $r = 7 X + 21$ , cu gradul restului mai mic decât $2$ .

3. Deîmpărțitul complet este $X^{4} + 0 \cdot X^{3} + 0 \cdot X^{2} - 5 X + 2$ . Pașii dau, pe rând, termenii câtului $X^{2}$ , $- X$ , $1$ , iar la final rămâne $- 6 X + 2$ . Deci $q = X^{2} - X + 1$ și $r = - 6 X + 2$ . Verificare: $(X^{2} + X) (X^{2} - X + 1) = X^{4} - X^{3} + X^{2} + X^{3} - X^{2} + X = X^{4} + X$ , iar adunând restul obținem $X^{4} + X - 6 X + 2 = X^{4} - 5 X + 2$ .

4. Pașii dau termenii câtului $X^{2}$ , $2 X$ , $- 5$ , iar ultimul rest este $0$ . Deci $X^{4} + X^{3} - 5 X^{2} + 9 X - 10 = (X^{2} - X + 2) (X^{2} + 2 X - 5)$ . Control: desfăcând produsul obții $X^{4} + 2 X^{3} - 5 X^{2} - X^{3} - 2 X^{2} + 5 X + 2 X^{2} + 4 X - 10 = X^{4} + X^{3} - 5 X^{2} + 9 X - 10$ .

5. Fals. Teorema cere gradul restului strict mai mic decât gradul împărțitorului, deci cel mult al doilea. Dacă restul ar avea gradul al treilea, din el s-ar mai putea scoate cel puțin o dată împărțitorul, deci împărțirea nu ar fi fost dusă până la capăt.

6. Gradul deîmpărțitului este $1$ , mai mic decât gradul $2$ al împărțitorului, deci $q = 0$ și $r = 3 X - 7$ . Egalitatea este $3 X - 7 = (X^{2} - 4 X + 1) \cdot 0 + 3 X - 7$ .

7. $f = g \cdot q + r = (X^{2} - 3 X + 5) (X + 4) + (- 2 X + 1)$ . Produsul este $X^{3} + 4 X^{2} - 3 X^{2} - 12 X + 5 X + 20 = X^{3} + X^{2} - 7 X + 20$ , iar adunând restul obținem $f = X^{3} + X^{2} - 9 X + 21$ . Control de grade: $3 = 2 + 1$ .

8. a) Pentru $m = 1$ , pașii dau termenii câtului $2 X$ și $1$ , iar restul $- 2 X + 3$ ; deci $q = 2 X + 1$ și $r = - 2 X + 3$ . b) Cu $m$ nedeterminat, după cei doi pași restul este $(m - 3) X + 3$ . El este constant exact când $m - 3 = 0$ , adică $m = 3$ ; atunci restul este $3$ .

9. Câtul are gradul $7 - 3 = 4$ . Restul este polinomul nul sau are gradul $0$ , $1$ ori $2$ — în niciun caz $3$ sau mai mult.

10. Pașii: $x^{3} : x = x^{2}$ , rămâne $3 x + 10$ ; $3 x : x = 3$ , rămâne $4$ . Deci $q = x^{2} + 3$ și $r = 4$ , adică $Q = (x + 2) (x^{2} + 3) + 4$ . Pentru $x = 3$ : lotul are $Q (3) = 27 + 18 + 9 + 10 = 64$ mg, flacoanele sunt $5$ , iar $q (3) = 9 + 3 = 12$ și restul $4$ . Într-adevăr, $64 = 5 \cdot 12 + 4$ , cu $4 < 5$ : câte $12$ mg în fiecare flacon și $4$ mg rămași nedistribuiți.

11. Aici împărțitorul nu este unitar, deci primul coeficient al câtului se obține prin împărțire: $6 X^{3} : 2 X^{2} = 3 X$ , iar $3 X (2 X^{2} + X - 1) = 6 X^{3} + 3 X^{2} - 3 X$ ; rămâne $- 4 X^{2} - 4 X + 5$ . Apoi $- 4 X^{2} : 2 X^{2} = - 2$ , iar $- 2 (2 X^{2} + X - 1) = - 4 X^{2} - 2 X + 2$ ; rămâne $- 2 X + 3$ . Deci $q = 3 X - 2$ și $r = - 2 X + 3$ .

12. a) Pentru $m = 2$ : pașii dau termenii câtului $X$ și $2$ , iar restul $2 X + 13$ ; deci $q = X + 2$ și $r = 2 X + 13$ . b) Cu $m$ nedeterminat, câtul este $X + m$ și restul $2 X + (7 + 3 m)$ . Condiția $7 + 3 m = 1$ dă $m = - 2$ . Verificare: pentru $m = - 2$ , $(X^{2} - 3) (X - 2) + 2 X + 1 = X^{3} - 2 X^{2} - 3 X + 6 + 2 X + 1 = X^{3} - 2 X^{2} - X + 7$ .

13. Desfacem produsul: $(X^{2} + X + 1) (X + 2) = X^{3} + 2 X^{2} + X^{2} + 2 X + X + 2 = X^{3} + 3 X^{2} + 3 X + 2$ , iar adunând $- 5 X + 2$ obținem $X^{3} + 3 X^{2} - 2 X + 4$ , deci egalitatea este adevărată. Restul propus are gradul $1$ , mai mic decât gradul $2$ al împărțitorului, deci este chiar împărțirea cu rest: $q = X + 2$ și $r = - 5 X + 2$ .

14. Împărțitorul are gradul întâi, iar restul trebuie să aibă gradul strict mai mic, adică zero — ceea ce înseamnă un polinom constant, deci un număr (eventual $0$ ). Gradul deîmpărțitului nu schimbă nimic: el hotărăște doar gradul câtului, care este $4 - 1 = 3$ .

15. a) Pentru $m = 3$ , deîmpărțitul este $X^{4} + 3 X^{2} + 2 X - 1$ ; pașii dau termenii câtului $X^{2}$ și $2$ , iar restul $2 X - 3$ . Deci $q = X^{2} + 2$ și $r = 2 X - 3$ . b) Cu $m$ nedeterminat, câtul este $X^{2} + (m - 1)$ și restul $2 X - 1 - (m - 1) = 2 X - m$ . Condiția ca restul să fie $2 X + 2$ dă $- m = 2$ , adică $m = - 2$ .

16. Termenii câtului sunt $X$ și $3$ : scăzând $X (X^{2} + 2 X - 1)$ rămâne $3 X^{2} - 2 X + 2$ , iar scăzând $3 (X^{2} + 2 X - 1)$ rămâne $- 8 X + 5$ . Deci $q = X + 3$ și $r = - 8 X + 5$ .

17. Primul termen al câtului este $4 X^{2}$ , iar scăzând $4 X^{2} (X - 2)$ rămâne $3 X - 5$ ; al doilea este $3$ , iar scăzând $3 (X - 2)$ rămâne $1$ . Câtul este $q = 4 X^{2} + 3$ și restul $r = 1$ . Coeficientul termenului de gradul întâi al câtului este $0$ — un cât poate avea și el termeni lipsă.

18. Împărțim cu $m$ și $n$ nedeterminați. Cei trei termeni ai câtului ies, pe rând, $X^{2}$ , $3 X$ și $m + 11$ , iar resturile parțiale sunt $3 X^{3} + (m - 4) X^{2} + n X - 8$ , apoi $(m + 11) X^{2} + (n - 12) X - 8$ , iar la final $(5 m + n + 43) X - (4 m + 52)$ . Împărțirea este exactă când ambii coeficienți ai restului se anulează: $4 m + 52 = 0$ și $5 m + n + 43 = 0$ , deci $m = - 13$ și $n = 22$ , cu câtul $q = X^{2} + 3 X - 2$ . Verificare: $(X^{2} - 5 X + 4) (X^{2} + 3 X - 2) = X^{4} - 2 X^{3} - 13 X^{2} + 22 X - 8$ .

De reținut

Teorema împărțirii cu rest: pentru orice polinoame $f$ și $g$ cu coeficienți reali, cu $g$ nenul, există o singură pereche de polinoame $q$ și $r$ cu $f = g \cdot q + r$ și cu $r$ nul sau de grad strict mai mic decât gradul lui $g$ .
Condiția asupra gradului restului este partea care fixează răspunsul: fără ea, aceeași pereche de polinoame ar admite o infinitate de scrieri de forma $f = g \cdot q + r$ .
Un pas al algoritmului are trei mișcări — împarți termenii dominanți, înmulțești împărțitorul cu termenul obținut, scazi — și se repetă până când gradul a coborât sub gradul împărțitorului.
Gradele se știu dinainte: câtul are gradul $grad f - grad g$ , iar restul cel mult $grad g - 1$ ; la un împărțitor de gradul întâi, restul este un număr.
Verificarea se face refăcând produsul: $g \cdot q + r$ trebuie să dea exact $f$ , coeficient cu coeficient; un control rapid este înlocuirea lui $X$ cu un număr, în ambii membri.

Greșeli frecvente

Termenii lipsă nescriși cu coeficient $0$ . La $X^{4} - 5 X + 2$ deîmpărțitul are cinci coeficienți, nu trei. Dacă sari peste locurile goale, coloanele se decalează și, de la primul pas, scazi termeni de grade diferite — calculul rămâne curat la privire, dar răspunsul e al altei probleme.
Scăderea făcută pe jumătate. Scazi un polinom întreg, deci toate semnele lui se schimbă, nu doar al primului termen. Scrie produsul pe un rând separat, pune-i minus în față și abia apoi adună termen cu termen.
Verificarea făcută pe câtul singur. Ca să confirmi rezultatul, înmulțești împărțitorul cu câtul și aduni restul. Dacă te oprești la produsul $g \cdot q$ și îl compari cu deîmpărțitul, îți va lipsi exact restul, iar tu vei crede că ai greșit împărțirea și vei relua un calcul corect.
Coeficientul câtului obținut prin scădere. Fiecare termen al câtului vine dintr-o împărțire a termenilor dominanți. La un împărțitor ca $2 X^{2} + X - 1$ , primul termen al câtului lui $6 X^{3}$ este $3 X$ , nu $4 X^{3}$ sau $6 X$ ; confuzia apare exact când împărțitorul nu are coeficientul dominant $1$ .
Gradele necomparate înainte de start. Dacă deîmpărțitul are gradul mai mic decât împărțitorul, împărțirea nu e imposibilă și enunțul nu e greșit: câtul este $0$ , iar restul este chiar deîmpărțitul.

Aplică acasă

Proba cu trei numere. Ia o împărțire pe care ai făcut-o la exerciții și verifică egalitatea $f = g \cdot q + r$ punând, pe rând, $X = 0$ , $X = 1$ și $X = - 1$ în ambii membri. Dacă toate trei ies, împărțirea e aproape sigur corectă; dacă una nu iese, ai găsit greșeala fără să reiei calculul. Notează de fiecare dată cele două numere unul sub altul, ca să vezi de unde pornește diferența.
Raportul a două mărimi din manual. Caută în manualul de fizică sau de chimie două mărimi descrise prin formule polinomiale — un spațiu și un timp, o masă și un volum — și scrie raportul lor sub forma $q + \frac{r}{g}$ . Calculează apoi corecția $\frac{r}{g}$ pentru trei valori crescătoare ale variabilei și spune de la ce valoare ea devine neglijabilă față de $q$ .
Porții și resturi, cu alte numere. Reia problema porțiilor din exercițiul 10 cu un volum ales de tine, de gradul al treilea, și cu o porție de forma $x + c$ . Fă împărțirea polinoamelor o singură dată, apoi citește din ea rezultatul pentru trei valori întregi ale lui $x$ și confruntă-l, de fiecare dată, cu împărțirea numerică. Vei vedea că o singură împărțire de polinoame ține locul mai multor împărțiri de numere.

Pentru părinți și profesori

Lecția este locul în care polinoamele încetează să mai fie „expresii cu litere" și încep să se comporte ca numerele: au împărțire cu rest, deci au și divizori. Partea grea nu este teorema, ci disciplina calculului — aliniere pe grade, semne la scădere, oprire la momentul potrivit. La profilul științe ale naturii, unde se fac trei ore de matematică pe săptămână, accentul cade pe algoritm și pe verificare, nu pe demonstrația unicității câtului și a restului, pe care programa nu o cere.

De urmărit în caiet, în ordinea în care apar greșelile: deîmpărțitul a fost scris cu toate gradele, inclusiv cele lipsă; produsul care se scade e trecut pe un rând separat, cu semnele schimbate; calculul s-a oprit când gradul a coborât sub gradul împărțitorului; la final apare verificarea prin înmulțire. Întrebări de control, în limbajul lecției: „Ce grad are câtul, dacă deîmpărțitul are gradul al cincilea și împărțitorul al doilea?"; „De ce la un împărțitor de gradul întâi restul este un număr?"; „Ce scrii dacă deîmpărțitul are gradul mai mic decât împărțitorul?"; „Cum arăți, fără să refaci împărțirea, că rezultatul e greșit?". Semn că elevul a înțeles: își anunță singur, înainte de calcul, gradul câtului și al restului, și nu predă niciun rezultat neverificat.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la capitolul „Polinoame cu coeficienți reali". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde împărțirea polinoamelor apare la Subiectul al II-lea, ca materie de clasa a XII-a, în capitolul despre polinoame. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a IX-a în programa de examen din 2014.

Întrebări frecvente

Se împart polinoame și la M1, și la M2? Ce diferă? Da, dar în ani diferiți și cu material diferit. La științe ale naturii împărțirea cu rest vine în clasa a IX-a, cu polinoame care au coeficienți reali, iar accentul cade pe algoritm și pe verificare. La matematică-informatică ea vine în clasa a X-a, cu coeficienți complecși și cu demonstrația existenței și unicității. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: împărțirea polinoamelor la clasa a 10-a.

La ce subiect apare teorema împărțirii cu rest la bacalaureatul M2? La Subiectul al II-lea, unde una dintre cele două probleme este de structuri algebrice și polinoame. În sesiunile 2027–2029 tema este trecută la materia clasei a XII-a, iar cerințele pornesc de la un polinom cu un parametru real, ca în modelul oficial de subiect. Din 2030, la proba MAT_P2, polinoamele intră în domeniul Algebră.

Cum se împarte un polinom la alt polinom, pas cu pas? Împarți termenul de grad cel mai mare al deîmpărțitului la termenul de grad cel mai mare al împărțitorului și obții un termen al câtului; înmulțești împărțitorul cu el și scazi rezultatul din deîmpărțit. Reiei procedeul cu ce a rămas, până când gradul coboară sub gradul împărțitorului.

Ce fac cu termenii care lipsesc din deîmpărțit? Îi scrii cu coeficientul $0$ , ca să nu se decaleze coloanele. Un polinom de gradul al patrulea intră în calcul cu cinci coeficienți, chiar dacă trei dintre ei sunt zerouri. Este cea mai ieftină precauție de la această temă și cea mai des uitată.

Când se oprește împărțirea a două polinoame? Când gradul restului parțial a coborât strict sub gradul împărțitorului, sau când restul a devenit polinomul nul. Mărimea coeficienților nu contează deloc: hotărăște numai gradul. La un împărțitor de gradul al doilea te oprești, așadar, când a rămas un polinom de gradul întâi sau un număr, chiar dacă el este mare; la unul de gradul întâi, când a rămas doar un număr.

De ce restul împărțirii la un polinom de gradul întâi este un număr? Pentru că restul trebuie să aibă gradul strict mai mic decât împărțitorul, iar sub gradul întâi nu mai rămâne decât gradul zero, adică un polinom constant. De aceea, la orice împărțire la $X - 3$ sau la $X + 5$ , răspunsul se termină cu un singur număr, oricât de mare ar fi gradul deîmpărțitului.

La ce folosește împărțirea cu rest într-un model din fizică sau chimie? La rescrierea raportului a două mărimi: din $f = g \cdot q + r$ obții $\frac{f}{g} = q + \frac{r}{g}$ , adică o parte polinomială plus o corecție care se micșorează pe măsură ce variabila crește. Așa se citește tendința unui raport fără să calculezi valori una câte una; vezi și lecția despre schema lui Horner, care scurtează împărțirea la $X - a$ .