Termeni cu proprietăți date: pe scurt

Pentru o dezvoltare ${\left(x^p+c{x}^q\right)}^n$, exponentul lui $x$ din termenul general este o funcție de gradul I în $k$: $E(k)=p(n-k)+qk$. De aici, orice cerință despre exponent devine o ecuație de gradul I, rezolvată într-un rând: «termenul liber» (nu-l conține pe $x$) $⟺E(k)=0$; «conține $x^m$» $⟺E(k)=m$.

Pasul obligatoriu, înainte de orice calcul: rescrii binomul cu exponenți, fără radicali ($\sqrt{x}=x^{1/2}$, $\frac{1}{x^m}=x^{-m}$). După ce rezolvi ecuația în $k$, verifici că $k$ este număr natural și $0\le k\le n$ — dacă nu, termenul cerut nu există, iar acesta e un răspuns valid, nu o eroare.

Termenul din mijloc: pentru $n$ par, e unic, de rang $\frac{n}{2}+1$; pentru $n$ impar, sunt doi termeni, de ranguri $\frac{n+1}{2}$ și $\frac{n+3}{2}$. Pentru a afla $n$ dintr-o condiție, cele mai frecvente pornesc de la suma coeficienților binomiali, $2^n=S$, sau de la o ecuație cu combinări, precum $C_n^1+C_n^2=S$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Determinați termenul liber al dezvoltării ${\left(x^2+\frac{1}{x}\right)}^9$.

   • a) $84$
   • b) $126$
   • c) $36$
   • d) nu există termen liber
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $84$

   $E(k)=2(9-k)-k=18-3k$. Din $18-3k=0$ rezultă $k=6$, natural și $\le 9$. $T_7=C_9^6=C_9^3=84$.

2. Determinați coeficientul termenului din mijloc al dezvoltării $(x+3{)}^6$.

   • a) $180$
   • b) $540$
   • c) $1620$
   • d) $20$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $540$

   $n=6$ e par, deci termenul din mijloc are rangul $4$ ($k=3$): $T_4=C_6^3{x}^3\cdot 3^3=20\cdot 27x^3=540x^3$. Coeficientul este $540$.

3. Suma coeficienților binomiali ai dezvoltării $(a+b{)}^n$ este $16384$. Determinați $n$.

   • a) $n=15$
   • b) $n=13$
   • c) $n=14$
   • d) $n=16$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $n=14$

   Suma este $2^n$. Din $2^n=16384=2^{14}$ rezultă $n=14$.