Termeni cu proprietăți date în dezvoltarea binomială

„Determinați termenul care nu îl conține pe $x$ din dezvoltarea ${\left(x^2+\frac{1}{x}\right)}^{12}$." Așa arată una dintre cerințele care apar an de an la proba M1. Dezvoltarea are treisprezece termeni; dacă te apuci să-i scrii pe toți, pierzi zece minute și, cel mai probabil, greșești pe la al șaptelea. Totuși, exercițiul se rezolvă în trei rânduri — cu condiția să știi unde să te uiți.

Cheia stă într-o observație simplă, dar care schimbă tot: în orice dezvoltare de forma ${\left(x^p+c{x}^q\right)}^n$, exponentul lui $x$ dintr-un termen este o funcție de gradul I în $k$. Adică: exponentul crește (sau scade) cu un pas constant, pe măsură ce înaintezi în dezvoltare. Prin urmare, orice cerință despre exponent — „să fie zero", „să fie $2$", „să fie număr întreg" — devine o ecuație de gradul I în $k$, pe care o rezolvi într-un rând. Formula termenului general, pe care ai învățat-o la Termenul general al dezvoltării binomiale, rămâne aceeași; nou este doar felul în care o folosim: acolo primeai rangul și căutai termenul, aici primești o proprietate a termenului și cauți rangul. Este exact răsturnarea pe care o cere programa de matematică-informatică și care duce capitolul la nivelul examenului.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii exponentul lui $x$ ca funcție de gradul I în $k$ pentru orice dezvoltare de forma ${\left(x^p+c{x}^q\right)}^n$, inclusiv cu radicali și cu exponenți negativi.
• Vei ști să determini termenul care nu îl conține pe $x$ (termenul liber), rezolvând ecuația „exponentul $=0$".
• Vei ști să determini termenul din mijloc, deosebind cazul $n$ par (un singur termen) de cazul $n$ impar (doi termeni).
• Vei ști să găsești termenul cu un exponent dat și coeficientul lui $x^m$, precum și rangul termenului cerut.
• Vei ști să determini $n$ din condiții de tipul „suma coeficienților binomiali este $1024$" sau „$C_n^1+C_n^2=36$".
• Vei ști să numeri termenii raționali ai unei dezvoltări cu radicali și să afli cel mai mare termen al unei dezvoltări numerice.

Hai să descoperim împreună

1. Punctul de plecare: termenul general, scris cu grijă

Formula rămâne cea cunoscută:

$$T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k,k\in \{0,1,\dots ,n\},$$

unde $k$ este exponentul lui $b$, iar rangul termenului este $k+1$. Noutatea este că $a$ și $b$ nu mai sunt litere oarecare, ci puteri ale aceleiași variabile, eventual înmulțite cu numere:

$$a=\alpha x^p,b=\beta x^q,$$

unde $p$ și $q$ pot fi întregi (chiar negativi) sau fracționari. Reține echivalențele de scriere, care vin din lecția Puteri cu exponent rațional: de la radicali la exponenți și pe care le vei folosi la fiecare exercițiu:

$$\frac{1}{x^m}=x^{-m},\sqrt{x}=x^{1/2},\sqrt[3]{x}=x^{1/3},x\sqrt{x}=x^{3/2}.$$

Primul pas, obligatoriu, la orice problemă din această lecție: rescrie binomul cu exponenți, fără radicali și fără fracții. Cine sare peste acest pas se încurcă la al doilea.

2. Ideea centrală: exponentul este de gradul I în $k$

Să calculăm exponentul lui $x$ din termenul general. Avem

$$T_{k+1}=C_n^k{\left(\alpha x^p\right)}^{n-k}{\left(\beta x^q\right)}^k=C_n^k{\alpha }^{n-k}{\beta }^k\cdot x^{p(n-k)+qk}.$$

Exponentul lui $x$ este deci

$$E(k)=p(n-k)+qk=pn+(q-p)k.$$

Aceasta este o funcție de gradul I în $k$: pornește de la $pn$ (pentru $k=0$) și se modifică cu $q-p$ la fiecare pas. Consecința practică este uriașă:

• „termenul nu îl conține pe $x$" $⟺$ $E(k)=0$;
• „termenul îl conține pe $x^2$" $⟺$ $E(k)=2$;
• „termenul este rațional" $⟺$ $E(k)$ este întreg (și, dacă apar radicali numerici, și puterile lor sunt întregi).

În toate cazurile obții o ecuație de gradul I în $k$. Rezolvi, obții o valoare, și verifici două lucruri: că $k$ este număr natural și că $k\le n$. Dacă vreuna dintre condiții cade, înseamnă că termenul cerut nu există — iar acesta este un răspuns perfect valabil, care se punctează.

Exemplu-model. Pentru ${\left(x^2+\frac{1}{x}\right)}^{12}$ avem $p=2$, $q=-1$, $n=12$, deci

$$E(k)=2(12-k)+(-1)k=24-3k.$$

Exponentul pornește de la $24$ și scade din $3$ în $3$, până la $-12$. Vom folosi această relație de câteva ori mai jos.

3. Termenul care nu îl conține pe $x$

Se mai numește termen liber și este cel în care $x$ apare la puterea zero, adică dispare. Rețeta are trei pași:

1. scrii $E(k)$;
2. rezolvi ecuația $E(k)=0$;
3. înlocuiești valoarea găsită a lui $k$ în termenul general și calculezi.

Aplicație. La ${\left(x^2+\frac{1}{x}\right)}^{12}$: din $24-3k=0$ obținem $k=8$, valoare acceptabilă ($8$ este natural și $8\le 12$). Termenul căutat are rangul $k+1=9$:

$$T_9=C_{12}^8{\left(x^2\right)}^4{\left(\frac{1}{x}\right)}^8=C_{12}^8\cdot x^8\cdot x^{-8}=C_{12}^8=495.$$

Am folosit $C_{12}^8=C_{12}^4=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}=495$ (combinări complementare — calculul e mult mai scurt).

Când termenul liber nu există. Ia dezvoltarea ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^7$: aici $E(k)=(7-k)-k=7-2k$, iar ecuația $7-2k=0$ dă $k=3,5$, care nu este număr natural. Concluzie: dezvoltarea nu are termen liber. Explicația de fond: $7-2k$ este mereu impar, deci nu poate fi zero. Verifică mereu naturalitatea lui $k$ — este exact locul unde baremul acordă punctul de justificare.

4. Termenul din mijloc

Dezvoltarea lui $(a+b{)}^n$ are $n+1$ termeni, deci discuția se face după paritatea lui $n$:

• $n$ par: numărul de termeni $n+1$ este impar, deci există un singur termen din mijloc, cel de rang $\frac{n}{2}+1$, adică $k=\frac{n}{2}$;
• $n$ impar: numărul de termeni este par, deci există doi termeni din mijloc, de ranguri $\frac{n+1}{2}$ și $\frac{n+3}{2}$, adică $k=\frac{n-1}{2}$ și $k=\frac{n+1}{2}$.

Pentru $n=10$, termenul din mijloc este $T_6$ (cu $k=5$); pentru $n=12$, este $T_7$ (cu $k=6$); pentru $n=9$, sunt $T_5$ și $T_6$; pentru $n=11$, sunt $T_6$ și $T_7$.

Aplicație. Termenul din mijloc al dezvoltării ${\left(x+\frac{2}{x}\right)}^{10}$: avem $n=10$ par, deci $k=5$ și rangul $6$:

$$T_6=C_{10}^5{x}^5{\left(\frac{2}{x}\right)}^5=252\cdot 32\cdot x^5\cdot x^{-5}=8064.$$

Interesant: aici termenul din mijloc este chiar termenul liber. Nu e o regulă — se întâmplă doar când $E(k)$ se anulează exact la mijloc, adică atunci când $p=-q$.

Aplicație cu $n$ impar. Termenii din mijloc ai dezvoltării ${\left(2x-\frac{1}{x^2}\right)}^9$: rangurile sunt $5$ și $6$, deci $k=4$ și $k=5$:

$$T_5=C_9^4(2x{)}^5{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^4=126\cdot 32\cdot x^5\cdot x^{-8}=4032x^{-3},$$

$$T_6=C_9^5(2x{)}^4{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^5=126\cdot 16\cdot (-1)\cdot x^4\cdot x^{-10}=-2016x^{-6}.$$

Observă că semnul minus apare doar la al doilea, pentru că $k=5$ este impar.

5. Termenul cu exponent dat și coeficientul lui $x^m$

Aceeași metodă, cu $E(k)=m$ în loc de $E(k)=0$.

Aplicație 1. Determinăm termenul care îl conține pe $x^2$ din ${\left(\sqrt{x}+\frac{1}{x}\right)}^{10}$, unde $x>0$. Rescriem: $a=x^{1/2}$, $b=x^{-1}$, deci

$$E(k)=\frac{1}{2}(10-k)-k=5-\frac{3k}{2}.$$

Din $5-\frac{3k}{2}=2$ obținem $\frac{3k}{2}=3$, deci $k=2$. Termenul are rangul $3$:

$$T_3=C_{10}^2{\left(x^{1/2}\right)}^8{\left(x^{-1}\right)}^2=45\cdot x^4\cdot x^{-2}=45x^2.$$

Aplicație 2. Coeficientul lui $x^3$ din ${\left(3x-\frac{2}{x}\right)}^5$. Aici $E(k)=(5-k)-k=5-2k$, iar $5-2k=3$ dă $k=1$:

$$T_2=C_5^1(3x{)}^4\left(-\frac{2}{x}\right)=5\cdot 81x^4\cdot (-2)x^{-1}=-810x^3.$$

Coeficientul cerut este $-810$. Atenție la distincția pe care o cere enunțul: coeficientul binomial este $C_5^1=5$, iar coeficientul termenului este $-810$. Sunt numere diferite și baremul le tratează diferit.

6. Determinarea lui $n$ din condiții

Multe cerințe de examen dau întâi o condiție din care afli $n$, apoi cer un termen. Cele mai frecvente două tipuri:

Tipul 1: suma coeficienților binomiali. Din lecția Identități cu coeficienți binomiali știi că

$$C_n^0+C_n^1+\cdots +C_n^n=2^n.$$

Dacă enunțul spune că această sumă este $32768$, scrii $2^n=32768=2^{15}$, deci $n=15$.

Tipul 2: o relație între combinări. De exemplu, „coeficienții binomiali ai termenilor al doilea și al treilea au suma $36$" înseamnă $C_n^1+C_n^2=36$, adică

$$n+\frac{n(n-1)}{2}=36⟺2n+n^2-n=72⟺n^2+n-72=0.$$

Rădăcinile sunt $n=8$ și $n=-9$; cum $n$ este natural, rămâne $n=8$. Verificare: $C_8^1+C_8^2=8+28=36$ ✓.

Exemplu complet, cu doi pași. Se știe că suma coeficienților binomiali ai dezvoltării ${\left(x^3+\frac{1}{x^2}\right)}^n$ este $32768$. Determinăm termenul care nu îl conține pe $x$.

Pasul 1: $2^n=32768=2^{15}$, deci $n=15$.

Pasul 2: $E(k)=3(15-k)-2k=45-5k$; din $45-5k=0$ rezultă $k=9$, deci rangul $10$ și

$$T_{10}=C_{15}^9=C_{15}^6=5005.$$

7. Termeni raționali și cel mai mare termen

Termenii raționali. Când în binom apar radicali numerici, cerința tipică este „câți termeni raționali are dezvoltarea?". Condiția este ca toate puterile care apar să aibă exponent întreg.

Exemplu. Câți termeni raționali are ${\left(\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}\right)}^{12}$? Termenul general este

$$T_{k+1}=C_{12}^k{\left(2^{1/2}\right)}^{12-k}{\left(3^{1/3}\right)}^k=C_{12}^k\cdot 2^{\frac{12-k}{2}}\cdot 3^{\frac{k}{3}}.$$

Termenul este rațional când $\frac{12-k}{2}\in \mathbb{N}$ și $\frac{k}{3}\in \mathbb{N}$, adică atunci când $k$ este par și divizibil cu $3$ — deci când $k$ este multiplu de $6$. Cu $0\le k\le 12$ rămân $k\in \{0,6,12\}$: trei termeni raționali, anume

$$T_1=2^6=64,T_7=C_{12}^6\cdot 2^3\cdot 3^2=924\cdot 8\cdot 9=66528,T_{13}=3^4=81.$$

Cel mai mare termen. Într-o dezvoltare numerică (fără $x$), termenii cresc și apoi scad. Ca să afli maximul, folosești raportul a doi termeni consecutivi:

$$\frac{T_{k+2}}{T_{k+1}}=\frac{n-k}{k+1}\cdot \frac{b}{a}.$$

Cât timp raportul este mai mare decât $1$, termenii cresc; când devine mai mic decât $1$, încep să scadă.

Exemplu. La $(1+2{)}^6$, termenii dezvoltării sunt $C_6^k\cdot 2^k$. Raportul este $\frac{6-k}{k+1}\cdot 2$, iar condiția $\frac{2(6-k)}{k+1}>1$ se scrie $12-2k>k+1$, adică $k<\frac{11}{3}\approx 3,67$. Deci termenii cresc până la $k=4$ și scad după. Cel mai mare este $T_5=C_6^4\cdot 2^4=15\cdot 16=240$. Control: șirul termenilor este $1,12,60,160,240,192,64$, cu suma $729=3^6$ ✓.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Termenul care nu îl conține pe $x$

Determinați termenul care nu îl conține pe $x$ din dezvoltarea ${\left(x^2+\frac{1}{x}\right)}^{12}$, $x\ne 0$.

Rezolvare. Termenul general este

$$T_{k+1}=C_{12}^k{\left(x^2\right)}^{12-k}{\left(x^{-1}\right)}^k=C_{12}^k{x}^{24-3k}.$$

Condiția „nu îl conține pe $x$" înseamnă $24-3k=0$, deci $k=8$, valoare acceptabilă ($k$ natural, $k\le 12$). Rangul este $9$ și

$$T_9=C_{12}^8=C_{12}^4=495.$$

Exemplul 2 — Cei doi termeni din mijloc

Determinați termenii din mijloc ai dezvoltării ${\left(2x-\frac{1}{x^2}\right)}^9$, $x\ne 0$.

Rezolvare. Cum $n=9$ este impar, dezvoltarea are $10$ termeni, deci doi termeni din mijloc: cei de rang $5$ și $6$, adică $k=4$ și $k=5$.

$$T_5=C_9^4(2x{)}^5{\left(-x^{-2}\right)}^4=126\cdot 32\cdot x^5\cdot x^{-8}=\frac{4032}{x^3},$$

$$T_6=C_9^5(2x{)}^4{\left(-x^{-2}\right)}^5=126\cdot 16\cdot (-1)\cdot x^4\cdot x^{-10}=-\frac{2016}{x^6}.$$

Semnele se potrivesc cu regula: $k=4$ par dă plus, $k=5$ impar dă minus.

Exemplul 3 — Termenul cu exponent dat

Determinați termenul care îl conține pe $x^2$ din dezvoltarea ${\left(\sqrt{x}+\frac{1}{x}\right)}^{10}$, $x>0$.

Rezolvare. Rescriem binomul cu exponenți: ${\left(x^{1/2}+x^{-1}\right)}^{10}$. Termenul general este

$$T_{k+1}=C_{10}^k{\left(x^{1/2}\right)}^{10-k}{\left(x^{-1}\right)}^k=C_{10}^k{x}^{\frac{10-k}{2}-k}=C_{10}^k{x}^{\frac{10-3k}{2}}.$$

Punem $\frac{10-3k}{2}=2$, deci $10-3k=4$ și $k=2$. Rangul este $3$ și

$$T_3=C_{10}^2{x}^2=45x^2.$$

Exemplul 4 — Coeficientul unui termen

Determinați coeficientul lui $x^3$ din dezvoltarea ${\left(3x-\frac{2}{x}\right)}^5$, $x\ne 0$.

Rezolvare. Termenul general:

$$T_{k+1}=C_5^k(3x{)}^{5-k}{\left(-2x^{-1}\right)}^k=C_5^k{3}^{5-k}(-2{)}^k{x}^{5-2k}.$$

Din $5-2k=3$ obținem $k=1$, deci

$$T_2=C_5^1\cdot 3^4\cdot (-2)\cdot x^3=5\cdot 81\cdot (-2)x^3=-810x^3.$$

Coeficientul cerut este $-810$. Control: dezvoltarea completă este $243x^5-810x^3+1080x-\frac{720}{x}+\frac{240}{x^3}-\frac{32}{x^5}$, iar coeficientul lui $x^3$ este într-adevăr $-810$.

Exemplul 5 — Mai întâi afli $n$, apoi termenul

Suma coeficienților binomiali ai dezvoltării ${\left(x^3+\frac{1}{x^2}\right)}^n$ este egală cu $32768$. Determinați termenul care nu îl conține pe $x$.

Rezolvare. Pasul 1. Suma coeficienților binomiali este $2^n$, deci $2^n=32768$. Cum $32768=2^{15}$, rezultă $n=15$.

Pasul 2. Termenul general al dezvoltării ${\left(x^3+x^{-2}\right)}^{15}$ este

$$T_{k+1}=C_{15}^k{x}^{3(15-k)}\cdot x^{-2k}=C_{15}^k{x}^{45-5k}.$$

Din $45-5k=0$ obținem $k=9$, deci rangul $10$ și $T_{10}=C_{15}^9=C_{15}^6=5005$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Determinați termenul care nu îl conține pe $x$ din dezvoltarea ${\left(x\sqrt{x}+\frac{1}{x}\right)}^{10}$, $x>0$.

Rezolvare. Rescriem întâi binomul cu exponenți: $x\sqrt{x}=x\cdot x^{1/2}=x^{3/2}$ și $\frac{1}{x}=x^{-1}$, deci dezvoltarea este a lui ${\left(x^{3/2}+x^{-1}\right)}^{10}$. Termenul general:

$$T_{k+1}=C_{10}^k{\left(x^{3/2}\right)}^{10-k}{\left(x^{-1}\right)}^k=C_{10}^k{x}^{\frac{3(10-k)}{2}-k}=C_{10}^k{x}^{15-\frac{5k}{2}}.$$

Condiția ca termenul să nu îl conțină pe $x$:

$$15-\frac{5k}{2}=0⟺\frac{5k}{2}=15⟺k=6.$$

Valoarea este naturală și $6\le 10$, deci termenul există; are rangul $7$ și

$$T_7=C_{10}^6=C_{10}^4=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}=210.$$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare exercițiu: rescrie binomul cu exponenți, scrie termenul general, scrie exponentul lui $x$ ca funcție de $k$ și abia apoi pune condiția din enunț. Verifică întotdeauna că valoarea găsită pentru $k$ este naturală și cel mult $n$.

1. Scrie termenul general al dezvoltării ${\left(x^2+\frac{1}{x}\right)}^{12}$ și exprimă exponentul lui $x$ ca funcție de $k$.

2. Determină termenul care nu îl conține pe $x$ din dezvoltarea ${\left(x^2+\frac{1}{x}\right)}^{12}$.

3. Determină termenul liber al dezvoltării ${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^8$.

4. Determină termenul din mijloc al dezvoltării ${\left(x+\frac{2}{x}\right)}^{10}$.

5. Determină cei doi termeni din mijloc ai dezvoltării $(a+b{)}^9$.

6. Determină coeficientul lui $x^6$ din dezvoltarea ${\left(x^2-\frac{1}{x}\right)}^9$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dezvoltarea ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^7$ are un termen care nu îl conține pe $x$."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $n$ este impar, dezvoltarea lui $(a+b{)}^n$ are un singur termen din mijloc."

9. Determină $n$ știind că suma coeficienților binomiali ai dezvoltării ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^n$ este $1024$.

10. Determină termenul care nu îl conține pe $x$ din dezvoltarea ${\left(2x+\frac{1}{x^2}\right)}^6$.

11. Determină rangul termenului care îl conține pe $x^2$ în dezvoltarea ${\left(\sqrt{x}+\frac{1}{x}\right)}^{10}$, $x>0$.

12. (Problemă aplicată.) Câți termeni raționali are dezvoltarea ${\left(\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}\right)}^{12}$? Calculează-i pe toți.

13. Determină coeficientul lui $x^3$ din dezvoltarea ${\left(3x-\frac{2}{x}\right)}^5$.

14. Determină termenul care nu îl conține pe $x$ din dezvoltarea ${\left(x^3+\frac{1}{x^2}\right)}^{15}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Determinați termenul care nu îl conține pe $x$ din dezvoltarea ${\left(x+\frac{1}{x^3}\right)}^8$, $x\ne 0$.

16. (Problemă aplicată.) Care este cel mai mare termen al dezvoltării $(1+2{)}^6$, adică al sumei ${\sum }_{k=0}^6{C}_6^k{2}^k$? Folosește raportul a doi termeni consecutivi și verifică scriind toți termenii.

17. Determină $n$ știind că, în dezvoltarea lui $(a+b{)}^n$, coeficienții binomiali ai termenilor al doilea și al treilea au suma $36$.

18. (Provocare.) Câți termeni raționali are dezvoltarea ${\left(\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}\right)}^{30}$? Justifică folosind condițiile de divizibilitate asupra lui $k$.

Răspunsuri și explicații

1. $T_{k+1}=C_{12}^k{\left(x^2\right)}^{12-k}{\left(x^{-1}\right)}^k=C_{12}^k{x}^{24-3k}$, deci $E(k)=24-3k$, funcție de gradul I în $k$, descrescătoare cu pasul $3$.

2. Din $24-3k=0$ rezultă $k=8$, deci rangul $9$ și $T_9=C_{12}^8=495$.

3. $E(k)=(8-k)-k=8-2k$; din $8-2k=0$ rezultă $k=4$, deci $T_5=C_8^4(-1{)}^4=70$. Semnul este plus, pentru că $k=4$ este par.

4. $n=10$ este par, deci termenul din mijloc este unic, de rang $6$ ($k=5$): $T_6=C_{10}^5{x}^5\cdot 2^5{x}^{-5}=252\cdot 32=8064$.

5. $n=9$ impar $\Rightarrow$ doi termeni din mijloc, de ranguri $5$ și $6$: $T_5=C_9^4{a}^5{b}^4=126a^5{b}^4$ și $T_6=C_9^5{a}^4{b}^5=126a^4{b}^5$. Coeficienții sunt egali, prin combinări complementare.

6. $E(k)=2(9-k)-k=18-3k$; din $18-3k=6$ rezultă $k=4$, deci $T_5=C_9^4(-1{)}^4{x}^6=126x^6$. Coeficientul este $126$.

7. Fals. Aici $E(k)=(7-k)-k=7-2k$, iar $7-2k=0$ dă $k=3,5$, care nu este număr natural. Mai general, $7-2k$ este impar pentru orice $k$ întreg, deci nu se poate anula: dezvoltarea nu are termen liber.

8. Fals. Dacă $n$ este impar, dezvoltarea are $n+1$ termeni, adică un număr par de termeni, deci există doi termeni din mijloc, de ranguri $\frac{n+1}{2}$ și $\frac{n+3}{2}$. Termenul din mijloc este unic doar când $n$ este par.

9. Suma coeficienților binomiali este $2^n$, deci $2^n=1024=2^{10}$, de unde $n=10$.

10. $E(k)=(6-k)-2k=6-3k$; din $6-3k=0$ rezultă $k=2$, deci rangul $3$ și $T_3=C_6^2\cdot 2^4=15\cdot 16=240$.

11. $E(k)=\frac{10-k}{2}-k=\frac{10-3k}{2}$; din $\frac{10-3k}{2}=2$ rezultă $k=2$, deci rangul este $3$ (iar termenul este $45x^2$).

12. $T_{k+1}=C_{12}^k\cdot 2^{\frac{12-k}{2}}\cdot 3^{\frac{k}{3}}$ este rațional când $12-k$ este par (deci $k$ par) și $k$ este divizibil cu $3$ — adică $k$ multiplu de $6$: $k\in \{0,6,12\}$, deci trei termeni raționali. Valorile lor: $T_1=2^6=64$, $T_7=C_{12}^6\cdot 2^3\cdot 3^2=924\cdot 72=66528$, $T_{13}=3^4=81$.

13. $E(k)=5-2k$; din $5-2k=3$ rezultă $k=1$, deci $T_2=C_5^1\cdot 3^4\cdot (-2)x^3=-810x^3$. Coeficientul este $-810$.

14. $E(k)=3(15-k)-2k=45-5k$; din $45-5k=0$ rezultă $k=9$, deci rangul $10$ și $T_{10}=C_{15}^9=5005$.

15. $E(k)=(8-k)-3k=8-4k$; din $8-4k=0$ rezultă $k=2$, deci rangul $3$ și $T_3=C_8^2=28$.

16. Termenii sunt $T_{k+1}=C_6^k{2}^k$, iar raportul este $\frac{T_{k+2}}{T_{k+1}}=\frac{6-k}{k+1}\cdot 2$. Condiția de creștere, $\frac{2(6-k)}{k+1}>1$, se scrie $12-2k>k+1$, adică $k<\frac{11}{3}$. Deci termenii cresc până la $k=4$ și scad după, iar cel mai mare este $T_5=C_6^4\cdot 2^4=240$. Verificare: $1,12,60,160,240,192,64$, cu suma $729=3^6$ ✓.

17. Condiția este $C_n^1+C_n^2=36$, adică $n+\frac{n(n-1)}{2}=36$. Înmulțind cu $2$: $2n+n^2-n=72$, deci $n^2+n-72=0$, cu rădăcinile $n=8$ și $n=-9$. Cum $n\in \mathbb{N}$, rămâne $n=8$. Verificare: $8+28=36$ ✓.

18. $T_{k+1}=C_{30}^k\cdot 3^{\frac{30-k}{2}}\cdot 2^{\frac{k}{3}}$. Termenul este rațional când $\frac{30-k}{2}$ și $\frac{k}{3}$ sunt numere naturale, adică atunci când $k$ este par și divizibil cu $3$ — deci multiplu de $6$. Cu $0\le k\le 30$: $k\in \{0,6,12,18,24,30\}$, adică șase termeni raționali.

De reținut

• Primul pas, mereu: rescrie binomul cu exponenți ($\sqrt{x}=x^{1/2}$, $\frac{1}{x^m}=x^{-m}$), apoi scrie termenul general $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$.
• Exponentul lui $x$ este o funcție de gradul I în $k$: $E(k)=p(n-k)+qk$. Orice cerință despre termen devine o ecuație de gradul I în $k$.
• Termenul liber: rezolvi $E(k)=0$. Dacă soluția nu este număr natural sau depășește $n$, dezvoltarea nu are termen liber — și asta se scrie explicit.
• Termenul din mijloc: $n$ par $\Rightarrow$ un singur termen, de rang $\frac{n}{2}+1$; $n$ impar $\Rightarrow$ doi termeni, de ranguri $\frac{n+1}{2}$ și $\frac{n+3}{2}$.
• Determinarea lui $n$: cel mai des din $2^n=S$ (suma coeficienților binomiali) sau dintr-o ecuație cu combinări, de exemplu $C_n^1+C_n^2=36\Rightarrow n=8$.

Greșeli frecvente

• Lucrul cu radicali nerescriși. Dacă nu transformi $\sqrt[3]{x}$ în $x^{1/3}$, exponentul lui $x$ nu poate fi calculat, iar exercițiul se blochează în primul rând. Rescrierea nu e opțională.
• Confundarea lui $k$ cu rangul. După ce rezolvi ecuația și obții, de exemplu, $k=8$, termenul cerut este $T_9$, nu $T_8$. Multe puncte se pierd exact aici.
• Ignorarea condiției ca $k$ să fie natural. La ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^7$ ecuația dă $k=3,5$: nu există termen liber. A „rotunji" la $k=3$ sau $k=4$ este o greșeală gravă, pentru că termenul obținut nu are proprietatea cerută.
• Uitarea semnului la binoame cu minus. Termenul general trebuie scris cu $(-b{)}^k$ sau cu factorul $(-1{)}^k$. La ${\left(x^2-\frac{1}{x}\right)}^9$, termenul cu $k=4$ este pozitiv, dar cel cu $k=5$ ar fi negativ.
• Confundarea coeficientului binomial cu coeficientul termenului. La ${\left(3x-\frac{2}{x}\right)}^5$, coeficientul binomial al termenului al doilea este $C_5^1=5$, iar coeficientul termenului este $-810$. Citește ce se cere.

Aplică acasă

1. Fișa de rezolvare. Scrie pe o jumătate de pagină algoritmul în patru pași (rescriu cu exponenți $\to$ scriu $T_{k+1}$ $\to$ scriu $E(k)$ $\to$ pun condiția și verific $k\in \mathbb{N}$, $k\le n$) și aplică-l la trei dezvoltări inventate de tine, cu $n=8$, $n=9$ și $n=12$. Compară rezultatele cu un coleg: dacă ați ales aceleași binoame, trebuie să obțineți exact aceiași termeni.

2. Vânătoarea de subiecte. Caută pe internet trei variante de subiecte de Bacalaureat M1 din ultimii ani și identifică cerințele legate de binomul lui Newton. Vei observa că se repetă doar patru tipare: termenul liber, termenul din mijloc, coeficientul lui $x^m$ și determinarea lui $n$. Rezolvă-le pe toate trei cronometrat, cu maximum trei minute fiecare.

3. Verificarea cu tabelul. Alege dezvoltarea ${\left(x^2+\frac{1}{x}\right)}^6$ și scrie într-un tabel, pentru $k=0,1,\dots ,6$, valorile lui $C_6^k$ și ale exponentului $E(k)=12-3k$. Observă că exponenții formează o progresie aritmetică cu rația $-3$ și găsește termenul liber citind direct din tabel. Este exact procedeul pe care îl faci mental la examen.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este cea care aduce capitolul de combinatorică la nivelul cerut de proba M1. Diferența față de lecțiile de trunchi comun este de tip, nu de dificultate a calculului: acolo se dă rangul și se cere termenul, aici se dă o proprietate a termenului și se cere rangul. Elevul trebuie să facă o traducere — condiția din enunț devine o ecuație de gradul I în $k$ — și abia apoi să calculeze. Este primul context în care combinatorica se întâlnește sistematic cu puterile cu exponent rațional, deci lecția consolidează, indirect, și capitolul de puteri.

Ce verificați în caietul elevului: (1) rescrie binomul cu exponenți înainte de orice; (2) scrie explicit exponentul lui $x$ ca funcție de $k$; (3) verifică, după rezolvarea ecuației, că $k$ este natural și cel mult $n$ — și scrie concluzia „termenul nu există" atunci când este cazul; (4) trece corect de la $k$ la rangul $k+1$; (5) distinge coeficientul binomial de coeficientul termenului. Întrebări bune de control: „Care este exponentul lui $x$ în termenul de rang $k+1$?"; „Ce se întâmplă dacă ecuația dă un $k$ fracționar?"; „Câți termeni din mijloc are dezvoltarea când $n$ este impar?".

La Bacalaureat M1, aceste cerințe apar la subiectul I aproape în fiecare sesiune, în formulări scurte de tipul „determinați termenul care nu îl conține pe $x$…" sau „determinați coeficientul lui $x^3$…". Sunt exerciții de punctaj integral, rezolvabile în două-trei minute, unde baremul cere explicit scrierea termenului general și justificarea valorii lui $k$. Semne că elevul a înțeles: aplică algoritmul fără ezitare, motivează de ce un termen nu există și își verifică singur rezultatul pe un caz mai mic.

Întrebări frecvente

Cum aflu termenul care nu îl conține pe $x$ dintr-o dezvoltare binomială? Scrii termenul general, calculezi exponentul lui $x$ ca funcție de $k$ și rezolvi ecuația „exponentul $=0$". Valoarea găsită pentru $k$ trebuie să fie număr natural și cel mult $n$; termenul căutat are rangul $k+1$.

Ce fac dacă ecuația îmi dă un $k$ fracționar? Înseamnă că dezvoltarea nu are termenul cerut, iar acesta este răspunsul corect. De exemplu, la ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^7$ ecuația $7-2k=0$ dă $k=3,5$, deci nu există termen liber. Nu se rotunjește niciodată.

Care este termenul din mijloc al unei dezvoltări binomiale? Dacă $n$ este par, dezvoltarea are $n+1$ termeni (număr impar), deci un singur termen din mijloc, de rang $\frac{n}{2}+1$. Dacă $n$ este impar, sunt doi termeni din mijloc, de ranguri $\frac{n+1}{2}$ și $\frac{n+3}{2}$.

Cum determin rangul unui termen care conține $x$ la o putere dată? Pui exponentul lui $x$ din termenul general egal cu puterea cerută și rezolvi ecuația de gradul I în $k$. Rangul este apoi $k+1$. De exemplu, în ${\left(\sqrt{x}+\frac{1}{x}\right)}^{10}$, termenul cu $x^2$ are $k=2$, deci rangul $3$.

Cum aflu $n$ dacă știu suma coeficienților binomiali? Suma coeficienților binomiali este $2^n$, deci rezolvi ecuația $2^n=S$ scriind $S$ ca putere a lui $2$. De exemplu, $2^n=32768=2^{15}$ dă $n=15$, iar $2^n=1024$ dă $n=10$.

Cum număr termenii raționali ai unei dezvoltări cu radicali? Scrii termenul general cu exponenți fracționari și impui ca toți exponenții să fie numere naturale. Obții condiții de divizibilitate asupra lui $k$, pe care le rezolvi în intervalul $0\le k\le n$. La ${\left(\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}\right)}^{12}$, $k$ trebuie să fie multiplu de $6$, deci există trei termeni raționali.

Care este diferența dintre coeficientul binomial și coeficientul termenului? Coeficientul binomial este $C_n^k$, iar coeficientul termenului include și factorii numerici proveniți din $a$ și $b$. La termenul al doilea al dezvoltării ${\left(3x-\frac{2}{x}\right)}^5$, coeficientul binomial este $5$, iar coeficientul termenului este $-810$.

Cum găsesc cel mai mare termen al unei dezvoltări numerice? Folosești raportul a doi termeni consecutivi, $\frac{T_{k+2}}{T_{k+1}}=\frac{n-k}{k+1}\cdot \frac{b}{a}$, și cauți valorile lui $k$ pentru care raportul este supraunitar: acolo termenii cresc. Maximul se atinge la ultima valoare a lui $k$ pentru care raportul este încă mai mare decât $1$.